高中数学教学论文 加强数形结合提高解题能力

1、加强数形结合，提高解题能力摘要：本文主要论述如何用数与形结合的方法来解答高中的一些题目。众所周知，数指的是数据和式子，形指的是我们所学过的几何图形（到高中阶段为止）。如何把它们有机地结合起来是本文论述的重点。本文主要从两方面来论证主题：一、形往数的转化；二、数向形的转化。本文除了在论述方法的同时，其中还隐含了培养数学思维的三种途径：一、数学基本方法和基本知识的牢固掌握是解题的关键；二、一题多解对培养数学思路的重要性；三、创造性思维的重要性。关键词： 数 形 结合“数”和“形”是数学研究的两大对象，数形结合法是一种重要的数学思想方法。“数”是指数据与式子，主要表现在以下几方面：函数、方程、不等式

2、、数列、复数、排列组合等。“形”可以理解为几何图形。采用数形结合法去解数学题，就是对题目中的条件与结论，既分析其代数含义又分析其几何含义。力图将代数和几何统一起来去找出解题思路。下面举例说明：一、数向形的转化问题 y （图1）Y例1 不等式4的解集是_.解：分别画出函数与的图象（图1），从图象可-1 O 3 4 x （图1)以看出满足不等式4的解集是：。评注：用数形结合法显得直观、简捷，若用代数法解，把不等式4化为4或-4来求解，则较为抽象繁琐。例2.实数、满足 y Bmax Bmin O x (图2)，求的最值。解：如图2，的图象是以C（2，0）为圆心，半径为1的圆，设（x,y）是该圆上任一

3、点，令，则，直线的斜率为 2且在y轴上的截距为b,当且仅当直线与圆相切时b取得最大或最小值。由点到直线的距离公式得：， ,因此，。评注：本题解题的关键是赋予b=2x+y截距几何意义斜率为2的直线在y轴上的截距。例3已知复数z的模为2，则的最大值是（ ）。 y O x(图3)（A）1 （B）2 （C） （D）3解：如图3，表示圆心在原点，半径为2的圆，由复数加减法的三角形法则和模的定义知：。评注：其实，原式。复数具有明确的几何意义，常用数形结合法去解有关的问题。 y 6 x -6 （图4） 例3.直线y=2x+m与曲线恰有一个公共点，则m的取值范围是_,恰有两个公共点时，m的取值范围是_。解：分

4、别作出直线y=2x+m与曲线的图象（图4），由图象可知，-3<x3或直线与圆相切时-3 O 3恰有一个公共点，此时-6m<6或；恰有两个公共点时，6。评注：“动”是绝对的，“静”是相对的，这是自然规律，也是一条重要的数学思想。通过平移直线，运用点到直线的距离公式，就得出所求的值。例5已知抛物线和点A（2，-3），在抛物线上求一点M，使M到点A和抛物线焦点的距离之和最小，并求出这个最小值。 y N y=1 O F M x M x 解：如图5，抛物线的焦点为F（0，-1），准线L为y=1,由抛物线定义可知，其中M为抛物线上的点，N为MNL的垂足，所以，当A、M、N三点共线时，所求值最小

5、，最小值为。 A(2,-3)（图5）评注：使用定义，化“折”为“直”，应用“线段最短”的概念解题，充分体现数学概念在数学科学中的重要地位。例6求函数（xR）的最小值。解： B y A O x （图6）y可以看成是点(x,0)到两A(1,2)、B(-3,4)距离之和（图6），可先求点B关于X轴的对称点(-3，-4)，则为所求。评注：这是一个运用数形结合法的典型例题，把抽象的函数关系转化为直观的两点距离，解题思路独特。例7求函数的值域。解：可把y看作点M(sinx,cosx)和点A（2，-3）的直线的斜率，设该直线的方程为y=k(x-2)-3，而点M在圆上， y N O x M A（图7）当直线与

6、圆相切时，K取得最值（图7），由点到直线的距离公式得：，所以,从而，。例8设方程的根为，设方程的根为，则_。解：如图8，分别画出函数的图象，它们与直线的交点为、，则，因为和 y y=x A B x（图8）互为反函数，由互为反函数的图象性质可知，因此。评注：一些特殊图形用常规方法难以求解，使用“数形结合法”往往迎刃而解。例9有41名学生参加数、理、化三科竞赛，其中不及格的人数为：数学物理化学数理数化理化数理化12582631试问有多少学生三科都及格？解：借助韦恩图（如图9）来解，由题意可知，总人数41人，即可得，三科及格的人数为：41-15=26（人）。 5 1 数学 1 物理 1 5 2 化学

7、 （图9）评注：本题若从代数的方法来解，比较抽象，较难获得答案，借助韦恩图，答案一目了然，既直观又好理解。上述九个例子从不同侧面说明在用代数法解某些题遇到困难时，借助于几何图形来解，往往收到事半功倍的效果。二、形向数转化的问题所谓形向数转化的问题就是如果用几何的角度来解或证明较为困难时且题目中的条件又容易转化成代数问题，于是便用代数法来求解。现举例说明。例1在平行四边形ABCD中，A是锐角，且，求证：分析：这个题目从几何角度来证明难度很大，因为题中条件有限：A是锐角，且，而AC、BD、AB、AD又不能在同一三角形中有机的结合起来，这就给证明带来困难，但借助代数法中根与系数的关系和余弦定理，此题

8、便可较快的解答了，现解答如下：证明：如图10，设AB=a, D C m b nA B a（图10）AD=b,AC=m,BD=n,则A是锐角，且由根与系数关系可知：、是方程的两根，又A是锐角，n<m, ,由余弦定理，得，从而得到cosA=,评注：代数法的引入大大简化题中隐含的难度“系数”。例2四边形ABCD外切于圆O，且两对角线AC、BD互相垂直，试证四边形ABCD是关于一条对角线所在直线为对称轴的轴对称图形。分析：本题若用纯几何法解，较难找到切入点，为此我们用代数的方法来解，因为该题的条件与结论可以用代数式来表示。解：如图11，设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,则该题问题的条件可

9、表示如下： C b c B a d A（图11）a+c=b+d D 结论为：a=b,c=d或a=d,c=b 我们可从、两式中消去c,得 即 (a-b)(a-d)=0 ,从而有 a=b或a=d另一方面，由、两式也易得a、 c及b、d 同是一个一元二次方程的根，只须把减去得，2ac=2bd即ac=bd,如果设a+c=b+d=p,ac=bd=q,则a,c及b、d都是方程的两根，由此即得，a=b,c=d或a=d,c=b .上述两种方法，一种是用式子变换，另一种是利用韦达定理，这也是代数与几何常用的方法。综上所述，本论文从两个方面浅论数形结合方法在高中解题中的应用。本文一种类型仅以一个例子来说明该题的转化思想（即解法）。要想比较灵活的掌握，除了扎实的基本功外，还必须仔细分析题中的条件