(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1节导数的概念及运算学案

1、第1节 导数的概念及运算考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数 y=c, y=x, y =x2, y=x3, y=-, y=炉的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运 x算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b)的导数；6.会使用导 数公式表.I基H；知识性断川小也希基出知识梳理1 .导数的概念设函数y=f(x)在区间(a, b)上有定义，且一，,.Ayx0

2、C(a, b),右Ax无限趋近于0时，比值3=f (xo+ A x) f (xo)A x无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x。处可导，并称该常数 A为函数f(x)在x=xo处的导数，记作f' (xo).f(x)在各点的导数也随着x的变化而变若函数y=f(x)在区间(a, b)内任意一点都可导，则 化，因而是自变量 x的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作f' (x).2 .导数的几何意义导数f' (x°)的几何意义就是曲线y = f(x)在点Rx°, f(xo)处的切线的斜率，在点 P的切线方程为 y yo=f' (xo)( x-x

3、o).3 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x) = qc为常数)f' (x) = 0f (x) = x"( a C Q*)f' (x)= ax=1f (x) = sin xf ' (x) = cosxf (x) = cos xf' (x) = sin_ xf(x) =exf' (x)三f (x) = ax( a>0 且 aw 1)(x) = axlnaf(x) = ln x,1f (x)= xf (x) = log ax(a>0,且 aw1)1f(x)=x xln a4 .导数的运算法则若f ' (x) , g

4、' (x)存在,则有：(1) Cf(x) ' = Cf' (x)( C为常数);(2) f(x)±g(x) ' = f' (x) ±g' (x);(3) f (x) g(x)= f' (x)g(x)+f(x)g' (x);f(x)， f ' (x) g (x) f (x) g' (x)4 4)22t-2(g(x) W0).'，g (x)g (x)5 .复合函数求导的运算法则若 y = f( u),u = ax+b,贝Uyx'=y出，即yx'=ya.常用结论与微点提醒(f(

5、x0)1.f' (x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值；(f(x0)'是函数值f(x0)的导数，且=0.1 f ' ( x)2 . f (x) ' 一 f (x) 2(f(x)w0).3 .曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共与八、.4 .函数y=f(x)的导数f' (x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方 向，其大小|f ' (x)|反映了变化的快慢，|f ' (x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊断自测总全辞薪1 .判断下列结论的正误.(在括号内打或“X”)

6、(1)f'(X0)是函数y=f(x)在x = x0附近的平均变化率.()(2)函数 f(x) = sin( x)的导数 f' (x) = cos x.()求f'(X0)时，可先求f (xo),再求f' (x0).()(4)曲线y = f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的.()解析(1) f' (x0)表示y = f(x)在x=x0处的瞬时变化率，错.2 2) f (x) = sin( x) = sin x,则 f ' ( x) = cos x, (2)错.求f' ( x0)时，应先求f' ( x),再代

7、入求值，(3)错.(4) “在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.答案 (1) X (2) X (3) X (4) X教材街也x2.(教材选修2 2P20T3改编)已知函数f (x) =x72，则函数在x=- 1处的切线万程是(A.2x-y+ 1= 0C.2x-y- 1= 0B. x-2y+2=0D. x+2y-2=0一，x ，2解析由 f(x)=;,得 f (x) =2,x i 2 x i 2 )又 f( 1)

8、= 1, f ' ( 1) = 2.因此函数在x=1处的切线方程为y+1 = 2(x+1), IP 2x-y+1=0.答案 At s时运动员相对于水面的高度v =m/s ,加速度 a3.(多填题)(教材选修2 2P17T13改编)在高台跳水运动中, (单位：m)是h(t) =4.9 12+6.5 t + 10,则运动员的速度 m/s 2.解析 v=h' (t)=-9.8t + 6.5, a= v (t) = 9.8.答案 一9.8t+6.59.84.(2019 全国 n 卷)曲线 y=2sin考题侬骑x+cos x在点(兀，一1)处的切线方程为()A. x 一 y一 兀 一 1

9、 = 0B.2 x-y- 2 兀-1 = 0C.2x + y 2兀+ 1=0D. x+ y兀 + 1 =0解析设 y=f (x) = 2sinx+cos x,贝U f' (x) = 2cos x-sin x,，曲线在点(兀，一1)处的切线斜率k=f'(兀)=2,故切线方程为 y+1 = - 2(x-),即2x+y 2兀+1 = 0.答案 C5.(2019 济宁模拟)设£。)=k3 2x)+cos 2 x,贝U f ' (0) =解析 f' (x)= 2sin 2 x,所以 f' (0) = 2.3 2x32答案-36.(2019 全国I卷)曲线

10、y=3(x2+x)ex在点(0 , 0)处的切线方程为 .解析 v = 3(2 x+ 1)ex + 3(x2+ x)e x= 3ex(x2+ 3x+ 1),所以曲线在点(0, 0)处的切线的斜率k=e°X3=3,所以所求切线方程为 y = 3x.答案 y=3xI考点聚焦突破分金阴.以例求*考点一导数的运算卜.多维探究角度1根据求导法则求函数的导数【例1 1】 求下列函数的导数: f(x) =x2+x(2) f(x) =x- 1x3+ 2xx2ln7t7t(3) y = xsin 2x+ cos 2x+ .解(1) f' (x) =(2x+1) ex (x2 + x) ex 1

11、 + x x2(ex) 2,21(2)由已知 f(x)=* xTn x+xf(x) = 11 22 x3-x2-2x+2+ x3= x3(3) y= xsin兀兀 112x+ - cos 2x + - = 2xsin(4 x+ 兀)=2xsin 4 x,111，y' =2sin 4 x 2x - 4cos 4x= 2sin 4 x 2xcos 4 x.角度2抽象函数的导数【例1 2】 已知函数f(x)的导函数为f' (x),且满足关系式f(x)=x2+ 3xf' (2)+lnx,则 f (1) =.解析 因为 f(x) = x2+3xf' (2) + In x,

12、(x) =2x + 3f z (2) + 1 x19令 x=2,得 f ' (2) =4+3f ' (2) + 2,则 f' (2) =- 4. .f(1) =1+3X1X 9 +0=-. 4423答案 7 4规律方法1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2 .抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解3 .复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.2x1 一【训练1】(1)(角度1)已知f(x)=ln 21,则f(x) =.x I I(2)(角度2)(2020 雅礼中学月考)已知函数f(x)的导函数是f

13、' (x),且满足f(x) = 2xf'+ ln 1,则 f(1)=()xA. eB.2C. 2 D.e(3)(角度1)(2020 苏南四市联考)已知函数f(x) =(x2-a)ln x, f' (x)是函数f(x)的导函数，若 f' (1) =- 2,则 a=.解析(1) f' ( x) = In2x-12x-12x+12x- 1 2x+ 12x+ 1D.3x+y-4= 02x+ 1(2x1) ' ( 2x+1) ( 2x 1) (2x+1) '4(2)(2019 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在

14、点 A处的 切线经过点(一e, - 1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 .1 21nx 3+2lnx解析 (1)因为 f(x)=,所以 f ( x) =2.xx又 f (I) = 1,且 f' (I) = 3.故所求切线方程为 y-1 = -3(x-1),即3x + y4=0.一八 1(2)设A( m n),则曲线y= 1n x在点A处的切线方程为 y- n=m(x- m).1又切线过点(e, 1),所以有n+1 = mme).再由 n = 1n rnj 解得 m= e, n= 1.故点A的坐标为(e , 1).答案(1)D(2)(e , 1)规律方法 1.求曲线在点 Rxo,

15、 yo)处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函数在 P处的导 数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于 x轴，切线方程为x=xo.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【训练2】(1)(多填题)(2020 潍坊调研)已知函数y=f(x)对任意的xCR都有f(1 x) 2f(x) =x21,则 f( -1) =,曲线 y= f (x)在点(一1, f( 1)处的切线 方程为.(2)设曲线y = ex在点(0 , 1)处的切线与曲线 y = 1(x>0

16、)上点P处的切线垂直，则 P的坐标为 xf解析 (1)由题可得f(1x) - 2f (x) =x2-1,(x) -2f,、,、 2(1 x) = ( 1 x) - 1解得 f(x) =- x2 + |x + -2.所以33，一，2f(-1) = - 1, f' (x)=-2x+-,3处的切线方程为y+1 = *x+1),3即 8x-3y + 5=0.(2) ,函数y=ex的导函数为y' = ex,曲线y=ex在点(0, 1)处的切线的斜率k1=e°=1.4,曲线y='(x>0)在点P处的切线的 xx1设P(x。，y0)( x0>0) , =函数y=

17、 一的导函数为y x斜率k2=-最1-2由题思知 kk2= 1,即1 , x2 = 1,斛得x0= 1,又 Xo>0, 1- Xo= 1.一 1,又,一点P在曲线y=(x>0)上, xy0 = 1,故点P的坐标为(1 , 1).答案(1) -18x3y+5=0(2)(1 , 1)考点三导数几何意义的应用【例3】(1)(2019全国ID卷)已知曲线 y=aex+xln x在点(1 , ae)处的切线方程为y = 2x+ b,则()A. a= e, b= 1C. a= e , b= 1(2)(2019 南通调研B.a=e, b= 1D.a= e 1, b= 1)若曲线y = x2与y=

18、 aln x( a*0)存在公共切线，则实数 a的取值范围是A.(0 , 2eB.(0 , eC.( 8, 0) U( 0, 2eD.( 一000)U(0, e解析(1) , y' = aex+ In x+1,，k= y' |x=1 = ae+1,，切线方程为 y-ae= ( ae+ 1)( x-1),即 y= (ae+ 1)x 1.又已知切线方程为ae+ 1 = 2,即 b=1,y= 2x+b, a= e I b= - 1.(2)设切线在曲线y=x2上的切点坐标为(xo,2、x。)，则切线方程为y = 2x°x x0, 切线在y= aln x上的切点为(x1，aln

19、 x。， 该切线方程为y=x1x-a+ain x1由于两曲线有相同的公切线,a2因此一 =2x0, x0=aln x1- a,x1 消去 xc,得 a=4x2 4x2ln x1,x,设 g(x) = 4x24x2ln x, gz (x)=4x8xln 得到g(x)在(0 , e2)递增，在(e-, +8)递减，故g(x)最大值为2e.又 x 十 °° 时，g(x) 一 oo；当 x-O 时，g(x)-0.所以a的取值范围为(一8, 0)U(0, 2e.答案(1)D(2)C规律方法1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)

20、切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用【训练3】(1)(2020 重庆调研)已知直线丫=:曲线y=xex的一条切线，则实数 m的值为()A. B. eC. D.eee(2)(2020 淄博联考)若函数f(x) = ln x+2x2ax的图象上存在与直线2x y=0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.( 8, 6B.( 8, 6 U 2 , +oo)C.2 , +oo)D.( 8, - 6) U (2 , +oo)一 1解析(1)设切点坐标为 n，m，由 y = xex,得 y' = (xex) &

21、#39; = ex + xex.1x若直线y=m是曲线y=xex的一条切线， y' | x=n= en+ nen=0,解得 n=1,1 n 1因此一 =ne故 m= e.me (2)直线2xy = 0的斜率k=2,又曲线f (x)上存在与直线2xy=0平行的切线，1，f' (x) = -+ 4x a= 2 在(0 , 十00)内有解 x1则 a=4x+ -2, x>0. x又 4x+，>2 A /4x - -= 4,当仅当 x=；时取.xx2.042=2.答案(1)B(2)Ci分层限Bhi练i分层训拣升能力A级基础巩固一、选择题1.(多选题)下列求导数的运算中正确的

22、是()=2xln x+ xA.(3 x) ' = 3xln 3B.( x2ln x)，xsin x-cos x2xD.(sin x cos x) ' = cos 2 xcos x xsin x cos x，解析 因为' =x, c项错误，其余都正确答案 ABDx + 2x, xw0,2.(2020 唐山模拟)已知函数f(x)= 必+冰 x>0为奇函数，则曲线 f(x)在x=2处的切线斜率等于()A.6B. -2C. 6D. -8 解析 f(x)为奇函数，则f(x)= f(x).取 x>0,得 x22x = ( x2 + ax),则 a= 2.当 x>0

23、 时，f ' (x) = 2x+2. f，(2) =- 2.答案 B3 .函数y=ex+x+1在点(0, 2)处的切线方程是()A.y= 2x+2B. y=2x+2C.y=x+2D.y=x+2解析 函数y=ex + x+1的导数为 v =ex+1,可得在点(0, 2)处的切线的斜率为 k=2,所求切线方程为y=2x+2.答案 B4 .(2020 济南调研)若函数f(x)在R上可导，且f (x) =x2+2f ' (1) x+3,则()A. f (0)< f(4)B.f(0) =f (4)C.f(0)> f(4)D.以上都不对 解析 函数f(x)的导数f '

24、(x) =2x+2f ' (1),令 x= 1,得 f ' (1) = 2+2f ' (1),即 f ' (1) = 2,故 f (x) = x24x+3=(x 2)21,所以 f(0) =f (4) =3.答案 B5.(2020 南师 大附中模拟)若曲线y = aln x + x2(a>0)的切线的倾 斜角的 取值 范围是兀 兀1A.24B 3B. 8c.4y, 2，则 a=()解析 因为 y= aln x+x2(a>0, x>0),所以y' =a+ 2x>2当且仅当x=42a时取等号因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是兀3,71

25、2-3 则斜率k><3,因此3 = 24，所以a=8.答案 b6.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设=a,则下列不等式正确的是()A. a<f ' (2)< f ' (4)B. f ' (2)< a<f ' (4)C.f' (4)< f' (2)< aD.f ' (2)< f ' (4)< a解析 由函数f(x)的图象可知，在0, +8)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在 0 , + 8 )上的切线斜率也越来越大.因为f f (2)4一 2=a,所以

26、 f' (2)< a<f' (4).答案 B7.(2020 东莞检测)已知直线y=kx+1与曲线f(x)=ln x相切，则k=()C.eD.e 1 2ln解析由 f(x) = ln x,得1f' (x)=,设切点为(x。，In x。)，则 xxc= kxc+ 1,解得xc=e2,则1_1 xc e2.8.(2020 西安调研)已知函数答案f (x) = ex+ax1的图象与x轴相切，则a=(A. 1B.01C.2D.1em+ a=0,则 a= em,解析设切点坐标为T(mj 0) 由 f ' (x) =ex+a,得 f '=又 f (m) =

27、 em+ am- 1 = 0, -'-e m- em m- 1 = 0,贝U em=1 m从而可得 m= 0,，a=em= - 1.答案 A二、填空题 x.9 .(2019 天津卷)曲线y=cos x-2在点(0 , 1)处的切线万程为 .1解析 y' = sin x万，将x=0代入，r ，1可得切线斜率为-2.1所以切线方程为y1 = x,即x + 2y2 = 0.答案 x+2y 2=010 .(2020 苏、锡、常、镇调研 )已知 f(x)=2sin 2 2x-，则 f'卷=33解析 因为 f (x) = 2sin 2 2x A = 1 cos 4x 好, 33所以

28、 f ' (x) = 4sin 4x 亭，故 f '= 2y3.331 ln x . . .y=-+在x=1处的切线l与直线2x+3y=0垂直，x ay' = 1+；由于切线l与直线2x+3y=0垂直.所以答案 2 311 .(2019 江西八校联考)已知曲线则实数a的值为.解析 y =一工+工，当 x= 1时， x ax-1 + - -| = - 1,解得 a= 1.a 35f (2)处的切线方程为y= 2x1,则曲线g(x)=x2+f(x)答案2 512 .已知函数y = f(x)的图象在点(2, 在点(2, g(2)处的切线方程为 .解析由题意，知 f (2) =

29、2X2 1=3,g(2) =4 + 3=7,. g' (x)=2x + f ' (x), f ' (2) = 2,g' (2) =2X2+ 2=6,2曲线 g(x)=x+f(x)在点(2, g(2)处的切线万程为 y-7=6(x-2),即 6x-y-5 = 0.答案 6x-y-5=0B级能力提升13 .(2020 兰州检测)若曲线y=ex在x=0处的切线也是曲线y= ln x+b的切线，则b=()A. 1B.1C.2 D.e解析y= ex的导数为y' = ex,则曲线y=ex在x=0处的切线斜率k=1,则曲线y=ex在x=0处的切线方程为y1 = x,即

30、y = x+1.y = x+ 1 与 y = ln x+b相切的切点为(n1).又y' =1,则1 = 1,解得n 1.所以切点坐标为(1, 2), x m则 2=b+ In 1 ，得 b=2.答案 C14 .给出定义：设 f' (x)是函数y=f(x)的导函数，f(x)是函数f' (x)的导函数.若方程 f" (x) = 0有实数解xo,则称点(xo, f(xo)为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数 f(x)=5x + 4sin x- cos x 的"拐点”是 Mx。，f(xo),则点 M()A.在直线y= 5x上B.在直线y = 5x上C.在直

31、线y=4x上D.在直线y = 4x上解析由题意，知 f' (x) = 5+4cos x+sin x,f" (x) = 4sin x+cos x,由 f" (xo) = O,知 4sin xocos xo=O,所以 f (xo) = 5xo,故点M(xo, f(xo)在直线y = 5x上.答案 B15 .(2o2o 扬州调研)已知f' (x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f' (x) =ex(2x-2)+f(x)(e 是自然对数的底数)，f (o) = 1,则 f(x)=.f (x)xe=2x2.解析 由 f' (x) = ex(

32、2x 2) +f(x)./口 f '( x) f (x)口H得J=2x2,即 ef= x2 2x + c( c 为常数)， 所以 f (x) = (x22x+c)ex.又 f (o) = c= 1,故 f (x) =ex(x- 1) 2.答案ex(x-1)216 .(2o2o 山东省实验中学调研)曲线y = x2In x上的点到直线 x-y-2=o的最短距离是 解析 设曲线在点P(xo, yo)( xo>o)处的切线与直线x-y-2= o平行,则 y' Ix =x0= 2x | x=x0 = 2xo = 1.XXoxo= 1, y0= 1,则 R1 , 1), 则曲线y = x2ln x上的点到直线x y2=0的最短距离d= J2 -要求；若 f(x) =tan x,贝U f ' (x)=-2L = J2.12+ (- 1) 2 期答案 2C级创新猜想17 .(多选题)已知函数f(x)及其导函数f' (x),若存在X0使得f(X0)=