数学建模——传染病模型

1、数学建模一一传染病模型传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染 病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微 分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，S丿等新生传染病模型进行建模和分析。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角 度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如 简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模 型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展 过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立

2、方程求解算法。然后，通过 借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控 制措施的效果，从而不断完善文中的模型。本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数 据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进 行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对 卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab、问题重述有一种传染病（如SARS甲型H1N1正在流行，现在希望建立适当的数学 模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染

3、病进行有效地研究，以期对其传 播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建 立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。1、 不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的 增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者， 易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。二、问题分析1、这是一个涉及传

4、染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间 的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程 模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染 人数是时间的连续可微函数。三、模型假设模型二和模型三的假设条件：假设一：在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也 不考虑迁移.人群分为易感染者Su呂ceptibie)和已感染者(5珀毗如3)两 类(取两个

5、词的第一个字母，称之为SI模型)，以下简称健康者和病人。时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t),假设二匸每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率°当病 人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。假设三模型三在假设一和假设二的基础上进行考虑，然后设病人每天治 愈的比例为“，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然1/A 是这种传染病的平均传染期。模型四的假设条件：假设四：腺人数N不变口人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者 (Removed)三类，称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作s(t)f i (t) 和 r (t) o假设五；

6、病人的日接触率为爲日治愈率为k (与SI模型相同)，传染期接 触为4四、符号说明t 某一具体时刻x(t)病人人数Z 每天每个病人有效接触的人数N-总人数s(t)健康者总人数i(t)病人总人数切*初始时刻病人的比例病人的最大值日治愈率山平均传染率接触率r(t)移出者仇初始时刻健康者的比例五、模型的建立与求解模型1在这个最简单的模型中，设时刻 t的病人人数x(t)是连续、可微函数，并 且每天每个病人有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数 ，考察t至到j 病人人数的增加，就有x(t t) x(t) x(t) t再设t 0时有xo有个病人，即得微分方 程d xdtx , x(0) Xo(1)6方程

7、(1)的解为x(t)txoe#结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人模型2 (SI模型)根据假设，每个病人每天可使s(t)个健康者变为病人，因为病人数为Ni(t)，所以每天有Ns(t)i(t)个健康者被感染，于是Nsi就是病人数Ni的增加率，即(3)N ° Nsi dts(t) i(t) 1(4)#7再记初始时刻(t0)病人的比例为i。，则didti(1 i),i(0) io(5)#方程(5)是Logistic 模型。它的

8、解为1io由(5),(6)式及图1可知，第一，当i1/2时dt到达最大值didt，这个时刻为mtm叽1这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。tm与成反比，因为日接触率表示该地区的卫生水平，越小卫生水平越高。所以改善保 健设施、提高卫生水平 可以推迟传染病高潮的到来。第二，当t 时i 1,即所有人终 将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。模型3 （SIS模型）有些传染病如伤风、痢疾等愈合后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是 病人被治愈后变

9、成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型成 为SIS模型。考虑到这一模型的假设条件，于是有Ni(t t)-i(t)Ns(t)i(t) t- Ni(t)（8）可得微分方程-J:一i(1-i) - ii(0)iodt（9）定义/（10）其中 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。得到% - i i-（1-1/ ）（ 11）模型4 （SIR模型）大多数传染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病 愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），因此他们将被移除传 染系统，我们称之为移除者，记为 R类。SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治

10、愈，并会产生免疫力，变为移除者。人员流动图为：S-I-R。1. 模型构成：(在假设1中显然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为(13)不妨设初始时刻的易感染者、染病者、恢复者的比例分别为So ( So > 0), io (iod_ dt ds dt dr dt>0), ro=O,则SIR基础模型用微分方程组表示如下：(14)si isiis(t) , i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) , i(t)的般变化规律。2. 数值计算在方程(3)中设入=1,卩=o.3,i (o) = o.o2 , s (o) =o.98，

11、用软件编程:fun cti on y=ill(t,x) a=1;b=o.3;ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)输出的简明计算结果列入表 1o i(t) , s(t)的图形以下两个图形，is图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98 相当于图2中的P0点,随着t的 增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至 约t=7时达到最大值,然后减少,t ,i r0,s(t)则单调减少,t ,s

12、 f0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律.表1i(t),s(t)的数值计算结果t012345678(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.324；7s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.202；7t9101520 :2530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.0399

13、0.039(313. 相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解(t ) ,s (t )的性质。(s, i ) | s >0, i >0 , s + i(15)在方程（14）中消去dt并注意到T的定义，可得所以:d1dsilssoio（didsiio di(17)利用积分特性容易求出方程（5）的解为:i(so io) s -1So在定义域D内,(17)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向图3下面根据(14), (17)式和图3分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t -o时它们的极 限值分别记作s ,

14、 i和r ).1. 不论初始条件s0,i0如何，病人将消失，即：t,i 02. 最终未被感染的健康者的比例是，在 式中令i=0得到， 是方1. S介S) io sIn 0So在(0,1/ (T )内的根.在图形上 是相轨线与s轴在(0, 1/ (T )内交点的横坐标3.若 s0>1/ td1,则开始有乞丄1o, i(t)先增加,令虫 丄1 =0, 可ds s TdsSt得当s=1/ T时,i(t)达到最大值：ims0i0丄(1In s。)d1然后s<1/ C时，有里 丄1 o，所以i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减dss c小至s ,如图3中由P1( s0, i0)出发的轨线d

15、 14. 若so1/ c ,则恒有 一 10 , i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至sdss c如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线可以看出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延， 那么1/ c是一个阈值,当so>1/ c (即c >1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期 接触数C ,即提高阈值1/ c使得s0< 1/ c (即c < 1/ s0),传染病就不会蔓延(健 康者比例的初始值s0是一定的，通常可认为接近1)。并且，即使s0>1/ C , C减小时，s增加(通过作图分析),im降低，也控制 了蔓延的程度我们注意到在C =入

16、卩中，人们的卫生水平越高，日接触率入越 小；医疗水平越高，日治愈率 卩越大，于是C越小,所以提高卫生水平和医疗水 平有助于控制传染病的蔓延从另一方面看，s s?1/是传染期内一个病人传染的健康者的平均数 ， 称为交换数,其含义是一病人被 s个健康者交换.所以当s0 1/ 即s0 1时 必有.既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加，传染病不会蔓延。5. 群体免疫和预防：根据对SIR模型的分析,当S。1/ 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除 了提高卫生和医疗水平，使阈值1/ C变大以外，另一个途径是降低s0 ,这可以通 过比如预防接种使群体免疫的办法做到。忽略病人比例的初始值i0有s0

17、1 r0,于是传染病不会蔓延的条件1/可以表为1ro 1 -这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）就 可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是 很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数（T =5,至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r0，也因很难做 到免疫者的均匀分布，使得天花直到 1977年才在全世界根除。而有些传染病的 （T更高，根除就更加困难。6. 模型验证：上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了

18、虫的实际数据，dtKermack等人用这组数据对SIR模型作了验证。首先，由方程（12)，(14）可以得到dsdr一SIsis一dtdt上式两边同时乘以dt可L dr，两边积分得ss1r.ssrs _dss0 sdrr° 0 rIn sbr es0所以:15#s(t)s°er(t)(8)#(10)(11)其中 2 (So1)2 2soio 2，thSo1从而容易由（1。）式得出:然后取定参数so,drdt22 t2So ch (牙)（T等，画出（11 ）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在(1 r s) (1 rSoe r)(9)当r 1/ 时，取（13）式右端e r Taylor展开式的前3项得:2 2“Sor(1 rSos°r)dt在初始值r0=0下解高阶常微分方程得1r(t)二佝 1) So