绵阳南山中学2014自主招生数学试题及答案

1、保密启用前绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试数学试题本套试卷分试题卷和答题卷两部份，试题卷共6页，答题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用0. 5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号；2 .选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效；3 .非选择题（主观题）用 0. 5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对 应的位置上，答在试题卷上无效.作图一律用2B铅笔或0.

2、 5毫米黑色签字笔；4 .考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.第一卷（选择题，共36分）绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试数学（试题卷）第2页共12页一.选择题（本大题共 12个小题，每小题 项是符合题目要求的）3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有1 .下列计算正确的是（）23(D) aa a(a 0)236222326. 2(A) a a a(B) (x y) x y(C)(ab) a b|x 1| 42 .方程组 9的解是（）x2 2x 3(A) -1(B) 3(C) 1 或 3(D) 5或 33 .如右图所示, 图，P、Q、M、图表示正六棱柱形状的高大

3、建筑物，图中的阴影部分表示该建筑物的俯视 N表示小明在地面上的活动区域（各区域均不含边界），若小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（(A) P区域(C) M区域(B) Q区域(D) N区域4.小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段 时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（Q5.南山中学高一年级有四名学生 A、B、C、D参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生”的选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A、B得票之和超过 C、D得票之和，候选人A、C得票之和与B、D得票之和相等，则这四人得票数由高到低的次序排列(A) A、D、C、B(B) D、B、A、

4、C(C) D、A、B、C，他们依次为(D) A、D、B、一，、，一、，一 一 ，116 .南山中学数学建模小组的同学们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：一一他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数.若x、y、2 (x、12 15y均为正整数)110日)C112，组调和数，则x、y的值( (A)有一组)(B)有两组(C)有三组7 .如下图所示, 垂足分别为E、在F,RtABC 中，AC=3, BC=4, D 为斜边 AB 上一动点,(D)有无数组DEXBC, DF± AC,当线段EF最小时，cosEFD的值等于(A) 354(B)一53(C)一48 .如上图所示,在正方

5、形 ABCD中，点E、形，则 AEF与梯形ABCF的面积之比为(F分别在边)BC、CD上，且使得 AEF为等边三角(A)至 1(B)近2(C)(D) 4 2439.已知函数y1 ，一，一，一，一在同一直角坐标系内的图象如下图所不，给出下列结论:x如果那么如果如果如果那么那么0;a时，那么aa则其中正确结论的序号为(A)(B)(C)(D)绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学(试题卷)第4页共12页入口4么123456第10题图10.上右图为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过五层净化后

6、流入底部的六个出口中的一个.下列判断：六个出口的出水量相同；2号出口的出水量与5号出口的出水量相同;1, 2, 3号出水口的出水量之比约为1 ： 5 ： 10;若净化材料损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的16倍.其中，正确的判断个数是（）绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试数学（试题卷）第8页共12页(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个11 .如下图所示，在（ ）RtABC中，/A=2/B, CD为/ C的内角平分线，若AD=2,则CD等于(A) 2石(B) 33(C) 2而(D)娓第1

7、2题图12.如上图所示,点A、D在以BC为直径的半圆上,D是弧AC的中点，AC与BD交于点E.若AE=3, CD=2而，则 BC 等于（）(A) 6(B) 8(C)10(D) 12第二卷（非选择题，共114分）二.填空题（本大题共 6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上）13.按下图程序进行操作，规定：程序运行从输入一个x”到 结果是否10”为一次操作.若操作进行三次才彳止，则 x的取值范围是 .输、7|-|x3f-2 f|；0 芦| 停止第13题图 口14 .如下图所示，直线11、12、13、14及m1、m2、m3、m4分别平行，且S边形abcd =100, S四边形

8、efgh 20 ,贝1 S四边形PQRS =1112I31 415 .如上图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为.16 .小明每天下午5点放学回家时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家.有一天，学校提 前1小时放学，小明自己步行回家，在途中遇到开车接他的爸爸， 结果比平时早了 20分钟到家.则 小明步行 分钟遇到来接他的爸爸.17 .已知关于x的一元二次方程x2 Va2 2a 2 x （m 1） 0对任意白实数a均有实数根,则实数m的取值范围是 18 .如右图所示，矩形 ABCD的对角线AC、BD交于点O,已知 DAC 60，边CD上有

9、一 点S,满足DS 空.线段OC上有一点M, OS与MB交于点L,联结CL、SM.给出以下结论:SC AC SM/BD 与 SM/CL 等价；CM AC若CM 2AC 则点l在ad的延长线上；MO AOSM 1右一，贝U AD=DL;CL 3S若_CM k 则方程x2 3kx 10无等根.S BCM其中，正确的结论有 （填所有正确结论的序号）三.解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)19.(本题共2个小题，每小题8分，共16分)解答下列各题：(1)计算：(J 1 |sin30 1| ( 1)106 3/8 (2014)0 ；20142 12013 2014

10、2 2014 2(2)计算：2.20142 4028+1 2015201620 .(本小题满分12分)做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺.每个店铺在同一段时间内都 能售出A、B两种款式的服装合计 30件，并且每售出一件 A款式和B款式服装，甲店铺获利润 分别为30元和40元，乙店铺获利润分别为 27元和36元.某日，唐老板进 A款式服装35件，B款式服装25件，怎样分配给每个店铺各 30件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于950元的前提下，唐老板获取的总利润最大？最大总利润是多少？21 .(本小题满分12分)一个不透明的口袋里装有分别标有汉字百“、年“、经“、典“、南”、山”的六个小球，除汉

11、字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.(I)若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是南”的概率；(n)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成 经典”或南山”的概率P1;(出)从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字恰能组成 经典”或南山”的概率为P2,指出P1, P2的大小，并证明你的结论.第22题图x22 .(本小题满分12分)如右图所示，已知点 A (4, 0),点Bk在y轴上，经过A、B两点的直线与反比例函数 y k(k1)在x第四象限的图像只有一个公共点.又一次函数y x 2k的图像与

12、x轴、y轴分别交于点 C、D两点.当四边形 ABCD的面积最 小时，求k的值及面积的最小值.23 .(本小题满分12分)如右图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，多边形OABCDE的顶点分别为 O (0, 0), A (0, 6), B (4,y八A|BC(I )若点 M (0,l的函数表达式;6), C (4, 4), D (6, 4), E (6, 0).已知直线l经过点M,分别与 边OA、DE相交，且将多边形 OABCDE分成面积相等的两部分.(II)是否存在一点 M ,使得过点M有无数条直线l将多边形OABCDE分成面积相等的两部分？若存在，求出M的坐标；否则，说明理由.>第23

13、题图E x24 .(本小题满分12分)如下图所示，3 01与302外切于点O,直线l分别与eOeO2外切于点A、B,分别与x轴、y轴交于点M(2j3,0)、C(0,2).(I)求e 01的半径长;相似，并求出点 P的坐标.(n)在直线l上找一点P,使得 MO1P与 M0B1 225.(本小题满分14分)如下图所不，过 y轴上一点M (0, 1)作直线与二次函数 y x的图 4像交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为 C、D,直线l过点M关于原点O的对称点N,且与y轴垂直.过点 A作l的垂线，垂足为 E.(I)当A点的横坐标是一1时，证明AM=AE;(n)当直线 AB变化时(点A与

14、点O不重合)，求OC OD AC BD的值；(出)当直线 AB变化时(点A与点O不重合)，试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系， 并证明你的结论.绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学(试题卷)第11页共12页.32C.显然(a b)2.3.4.题号123456789101112答案CBBCDBADACDCC.2b正确，故选择绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试数学参考答案及评分标准一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一个 符合题目的要求）6 a|x 1| 4B.2x2 2x 3(x 3)(x 1)B.显然P、N区域只能给

15、看到一面,M区域只能看到两面,3x3,故选择B.3Q区域可以看到三面，故选择B.C.开始时匀速行驶，此时对应的图像为直线，函数的图像递减.途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离为常数，最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线，故选择C.5. D .用 a、b、d依次表不' A、B、C、D的得票,由条件可得a(b d c) b c, 一26. B.由已知得一yd, 1a b 2y4 y(b d a).当y=l时,时，x 6,所以x、y的值有两组，故选择 B.7. A.由 EF此时 EFD8. D.令 BE由 EF2 CF2d,（舍去）；当y=2时，x 2;当y=3CD ,于是当 CD

16、与AB垂直时，EF最小.CDF BDE日 S AEFZE 6弟形ABCFAF2x9. A.由图像知，当01时,l=t足 cos EFDcos BAC时，a2 a 1,当 aa1时,10. C.若进水量为 1,EF ,1 x2, DF x,CF 2(1 x)2, x 2 V3.2出，故选择D.2 -.a成立，当a 1时,a ,故选择A.则从左到右的六个出水口的出水量依次为：CEx(0 x10 101).,32 32 32 32 32于是正确.水流量最大与最小的三角形分别是最上面的三角形与第五排最左（或最右）角形，流经最上面的三角形的水量为1,而流经第五排最左（或最右）的三角形的水量为32的三11

17、6于是正确.故选择 C.11. D.如图，令 AB边的高线为 CF,在CB上作一点E,使得 CA=CE,联结DE ,则ACAD0绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试数学（试题卷）第14页共12页B, BE DE AD 2 . CED,所以 CED CAD 2 B, BDE过 E 作 EG± BD 交 BD 于 G ,由 ABC 30 得 EG=1 ,于是 BG GD .3, AB 2 2 .、3,CA 1 . 3 .33133 ；3在AACF 中可得 CF AF ,FD 222在 cdf中可得cd Jcf2 df2 J6,故选择d.12. C.如图，延长 BA、CD交于点F

18、,由条件可得 BD是等腰 BCF的角平分线，可得CD AD DE 2J5 .由 CDEs CAF得CECDCE2 5-22=-5-,CE 5, AF Jcf2CA24.CF CA 4、5 CE 32_2 _22 _2BC2 AB2 CA2 (BF AF )2 CA2,2 2_ 2BC (BC 4)8 , BC 10,故选择 C.填空题（本大题共 6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上）题号131 1415161718答案4x2 360>/T5cm503 m413 .第一次运行的结果为 3x 2,第二次运行的结果为 3（3x 2） 2 9x 8 ,第三次运行的结9x

19、 8 104果为3(9x 8) 2 27x 26.由条件得一 x 2.27x 26 10' 3S四边形PQRS 60 -14 .由图可知：S四边形ABCD=S四边形EFGH2（SH边形PQRS20）,15 .圆锥底面周长 2等于扇形的弧长，于是可得扇形的半径等于4cm,于是圆锥的高为v42 12 cm5cm.16 .由已知得，爸爸从接到他的位置A处开车到达学校 B,则往返AB段开车用时为20分钟，单程AB段开车用时10分钟，于是小明步行了 50分钟. 217 .由条件得a2a 2 4（m 1） 0对任意白勺实数 a恒成立，rr23即（a 1） （4m 3） 0, 4m 3 0, m -

20、.418 .设OS与AD交于点L .由DS 殁知AS为 DAC的角平分线.SC ACDAC ,知ACL为正三由 DAC 60 及 OA=OD,DAO为正三角形,有 AD =AO .又由AS平分ASO ASD ASL角形，且S为其中心.设BM与AD的延长线交于ASCASOASC.又DAC 60 ,则L .CS ACSD AD12DL AD ACL为正三角形.注意到SM /BDCMMOAC 2AOCMAMBMMLBCAL故 SM /BD点L与点L重合点L在AD的延长线上S为正ACL的中心OS OMSL MC注意到S BCM12S SCM八 一l SM 1-SM/CL,且 一，因此正确.S OCD

21、S OCBS OCD S OCB S BCMCL 3SC CM OC SCCD OC CM CDAC 2 , k ,AC AD 3则方程x2 3kx 1 0有等根1.综上，正确的结论有.三.解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)12 1 32 12a2 1 a 1a2 2a+1 a 111 2 2a2 a 2a 2,119 . (1)原式=3 |- 1| 12(2)令a 2014,贝U原式(a 1)(a 1) a 1 (a 1)(a 2) 八 2 , 1 (a 1) a 2014. 8 分(a 1)2a 1 a 220 .分配给甲店铺 A款式服装x件(x取

22、整数，且5技W30, 则分配给甲B款式服装30x件. 2分分配给乙店铺 A款式服装35 x件， 分配给乙 B款式服装25 (30x) =x5件. 4分甲店铺的利润为 y甲，则有y甲 30x 40(30 x) 1200 10x, 6分乙店铺的利润为y乙，则有y乙27(35 x) 36(x 5) 9x 765,于是总利润y总 y甲 y乙(1200 10x) (9x 5由条件得y乙9x 765 950 ,解得x 205 .9对于y总x 1965随着x的增大而减小，要使765) x 1965 .y总最大，则x必须最小.又x 20 5,故取x=21,即分配给甲店铺 A、B两种款式服装 9两种款式服装14

23、件与16件.此时，既保证乙店铺获利润不小于10分21件与9件，分配名乙店铺 A、B950元，又保证了在此前提下,唐老板获取的总利润最大，最大利润是y总21 1965 1944元.12分21. (I)任取一球，共有 6种不同结果，所以球上汉字刚好是1南”的概率p 16(H)由题知树状图如下:百年经典南山典百年经南山年百经典南山南百年经典山经百年典南山山百年经典南共有30种不同取法，能满足要求的有4种，所以p 4-二.30 15绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学(试题卷)第19页共12页(m)Pi>P2 各种情况列表如下:百年经典南山百白白百年经百典百南白山百年百年年年:经年

24、典年南年山年1经百经年经经经经曲南经山经典百典二年典绎曲rm m/、/、南典山典:南白南年南经南典南南南南山山百山年山经出典出南出山山一共有36种结果，满足要求的结果有4种，于是p2 4- 1 ,所以R桂. 12分36 922 .经过点A (4, 0)的直线的函数表达式令为 y m(x 4)(m 0) , 1分k, y2由 x 可得：mx 4mx k 0 . 3分y m(x 4)因为直线与反比例函数图像只有一个公共点， 2一一于16m 4mk 0, k 4m. 5分一一-1 _1于是 Sg边形 abcd -BD AC -( 3k)(4 2k) 3k(k 2)易得 C(2k,0), D(0, 2

25、k), B(0,k),可得 AC 4 2k,BD 3k . 7分223k2 6k 3(k 1)2 3(k1). 10分于是当k1时，Szg边形ABCD有最小值，最小值等于9. 12分23 . ( I )如图1,延长BC交x轴于F,联结OB、AF交于P,联结DF、CE交于Q.易知P (2, 3), Q (5, 2)是两个矩形的中心，过 P的直线将矩形 OABF的面积平分，过 Q的直线将矩形CDEF的面积平分，于是直线PQ将多边形OABCDE的面积平分.11 .1显然M(0,一)在y-x33故直线l的函数表达式为 y一上，且M不是GH的中点,3111-x 一 331111另解 如图2,令过M (0

26、,一)的直线的表达式为 y kx 一,与DE交于点H, 33则H的坐标为(6,6 k则S梯形OMHE/11 i11、C( 6k ) 633而S多边形OABCDE3218k 221 111由题意得18k 22 16, k -，于是直线l的表达式为y -x .333，一 ,一一，111(n)如图3,由(I)知直由线 l的函数表达式为 y -x 一,33115可得 G(0，5)，H (6,3) .令M为GH的中点，则M的坐标为(3,8),此即为满足条件的点M.3证明如下：另取一条过点 M(3,8)的直线分别与 OA、DE交于GH1.3注意到线段GH的中点也为M (3,8),3则S MGG1 S MHH 1S3边形OG1HlE S多边形AG1HlDCB，故G H1也是满足条件的直线.由G1H1的任意性，知满足条件的直线有无数条.故存在满足条件的点M,其坐标为(3,8) .324. (I)如图1,易知tanAMO2令e O1与e O2的半径分别是MO1 2R,MO2 2r,由 2RMr,_2_2、3则2r,得 R3rAMO2 30 .23,故eO1的半径R 2石.3分4分, 5分6分8分10分12分2分 5分yBpiC(P)O：Oi第24题解答图1第24题解答图2yAA XM* xO1Oj *O2 / MH(n) Q BO2M 60