2020高考数学四海八荒易错集专题16圆锥曲线的综合问题文

1、教学资料范本2020高考数学四海八荒易错集专题16圆锥曲线的综合问题文编辑:【最新】20xx年高考数学四海八荒易错集专题16圆锥曲线的综合问题文1.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任 意一点，M是线段PF上的点，且|PM| = 2|MF|,则直线OM勺斜率的 最大值为()A. B. C. D.1答案C解析如图，2.直线3x 4y + 4=0与抛物线x2 = 4y和圆x2+(y 1)2 = 1从左 到右的交点依次为 A B、C D,则的值为.答案今解析由得x23x4= 0, xA= - 1, xD= 4, . yA= , yD= 4.直线3x 4y + 4=0

2、恰过抛物线的焦点F(0,1),.|AF|=yA+ 1 = , |DF| =yD+ 1 = 5,* .3.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A,左 焦点为F1( 2,0)，点B(2,)在椭圆C上,直线y=kx(k?0)与椭 圆C交于E, F两点，直线AE, AF分别与y轴交于点M N.(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点 巳 使得无论非零实数k怎样变化，总有 /MP时直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理 由.解(1)设椭圆C的方程为+= 1(a>b>0),因为椭圆的左焦点为F1( 2,0),所以a2 b2 = 4.因为点B(2,)在椭圆C上,所以

3、+= 1.由解得，a=2, b=2.所以椭圆C的方程为+= 1.(2)方法一因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为(一2, 0).因为直线y=kx(k #0)与椭圆+ = 1交于两点E, F,设点E(x0 , y0)(不妨设 x0>0),则点 F(x0, y0).假设在x轴上存在点P(t,0),使得/ MP防直角，则 = 0.即 t2 + X = 0,即 t2 4= 0,解得 t = 2 或 t = 2.故存在点P(2,0)或P( 2,0),无论非零实数k怎样变化，总有 /MP加直角.方法二 因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为(一2, 0). 因为直线y=kx(k #0)与椭圆+ =

4、 1交于两点E, F,设点E(x0 , y0),则点 F( x0, y0).所以直线AE的方程为y = (x+2).因为直线AE与y轴交于点M,W *81 VP V"档U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a3 / 18令x=0得y=, 即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点P(t,0),使得/ MP防直角，则 = 0.故存在点P(2,0)或P( 2,0),无论非零实数k怎样变化，总有 /MPNfe直角.4.设圆x2 + y2 + 2x15 = 0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x 轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点

5、E. 证明|EA| 十|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M, N两点，过B且与 l垂直的直线与圆A交于P, Q两点，求四边形MPN®积的取值范 围.解 (1)因为 |AD| =|AC| , EB/ZAC故/ EB氏 / ACD= / ADC 所以 |EB| = |ED| , 故 |EA| +|EB| =|EA| +|ED| =|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA| 十 |EB| =4.由题设得A( 1,0) , B(1,0) , |AB| =2,由椭圆定义可得点 E的轨 迹方程为：+= 1(y#0

6、). 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k #0), M(x1, y1) , N(x2, y2).由得(4k2 +3)x2 8k2x + 4k2 12 = 0.贝U x1 +x2= , x1x2=,所以 |MN| = |x1 x2| =.当l与x轴垂直时，其方程为x=1, |MN| = 3, |PQ|=8,四边形 MPNQ)面积为12.综上，四边形MPN幽积的取彳1范围为12,8).5.已知椭圆C1: + =1(a>0)与抛物线C2: y2=2ax相交于A, B两 点，且两曲线的焦点F重合.(1)求C1, C2的方程;(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M Q两点，与抛

7、物线分别 交于P, N两点，是否存在斜率为k(k?0)的直线l ,使得=2?若 存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)因为C1, C2的焦点重合，所以=,所以a2 = 4.又a>0,所以a=2.于是椭圆C1的方程为+= 1, 抛物线C2的方程为y2 = 4x.(2)假设存在直线l使得=2,则可设直线 l 的方程为 y = k(x -1) , P(x1 , y1), Q(x2, y2), M(x3, y3) , N(x4, y4).由可得 k2x2 (2k2+4)x+k2 = 0,则 x1 +x4= , x1x4= 1, 所以 |PN| = =.由可得(3 + 4k2)x2 8k

8、2x + 4k2-12=0,W *81 .f VP V"档U 方M -la 同« -.« 迎收如u a5 / 18则 x2 + x3=, x2x3=,易错起源1、范围、最值问题例1、如图，椭圆+ = 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线交椭圆于P, Q两点，且POL PF1.(1)若|PF1| =2+, |PF2|=2,求椭圆的标准方程； 若|PQ| =入|PF1| ,且w入 < ,试确定椭圆离心率 e的取值范 围.解(1)由椭圆的定义，2a= |PF1| 十|PF2| =(2 +) +(2)=4,故 a=2.设椭圆的半焦距

9、为c,由已知PF1, PF2,因止匕 2c=|F1F2| =>/|PF1|2+|PF2|2=2,即c=,从而b=1.故所求椭圆的标准方程为+ y2=1.如图，由 PF1,PQ |PQ| =入 |PF1| ,得|QF1| =|PF1|.由椭圆的定义，|PF1| 十|PF2| =2a, |QF1| 十|QF2| =2a,进而 |PF1| +|PQ|+|QF1|=4a,于是(1 + 入 + )|PF1| =4a,解得 |PF1| =,故 |PF2| =2a-|PF1| =.由勾股定理得|PF1|2 +|PF2|2 =|F1F2|2 = (2c)2 =4c2,进而< e2< ,即&l

10、t; ew .【变式探究】如图，已知椭圆：+ y2=1,点A, B是它的两个顶 点，过原点且斜率为k的直线l与线段AB相交于点D,且与椭圆相 交于E, F两点.(1)若=6,求k的值；求四边形AEBF0积的最大值.解(1)依题设得椭圆的顶点A(2,0) , B(0,1),则直线AB的方程为x + 2y 2=0.设直线EF的方程为y = kx(k>0).由点D在线段AB上，知x0+2kx0 2=0,得x0 =,所以=,化简，得 24k225k+ 6=0,解得 k=或 k=. 根据点到直线的距离公式，知点 A, B到线段EF的距离分别为 h1=, h2=,又 |EF| =,所以四边形AEBF

11、勺面积为2 14 2kS=|EF|(h1 +h2)=zr【名师点睛】解决范围问题的常用方法：(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数 形结合求解.(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为 元的不等式求解.W *81“专"> 档U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a7 / 18 构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求 其值域.【锦囊妙计，战胜自我】圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.易错起源2、定点、定值问题例2、椭圆C

12、: + = 1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的 距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l : y = kx + m与椭圆C相交于A, B两点(A, B不是左， 右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过 定点，并求出该定点的坐标.解(1)由 e= = ,得 a = 2c,. a2=b2 + c2, .b2=3c2,则椭圆方程变为+= 1.又由题意知=,解得c2 = 1,故 a2=4, b2=3,即得椭圆的标准方程为+= 1.y = kx + m,设A(x1 , y1) , B(x2, y2),联立 起 返 4+3 = 1，得(3 +4k

13、2)x2 +8mkx+ 4(m23) = 0.则又 y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m)=k2x1x2 + mk(x1 + x2) + m2 椭圆的右顶点为 A2(2,0) , AA21 BAZ .(x1 2)(x2 2) +y1y2 = 0, .y1y2 + x1x22(x1 +x2)+4=0,HIH 4=0,7ma 16m®4k2 = 0,解得 m1= 2k, m2= ,由，得3+4k2 m2>0当m1= 一 2k时，l的方程为y=k(x2),直线过定点(2,0),与已 知矛盾.当m2= 时，l的方程为y=k,直线过定点，且满足，直线l过定点，定点坐标为.【变

14、式探究】已知抛物线：y2=2px(p>0)的焦点F在双曲线：一=1的右准线上，抛物线与直线l : y = k (x -2)(k>0)交于A, B两 点，AF, BF的延长线与抛物线交于C, D两点.(1)求抛物线的方程； 若4AFB的面积等于3,求k的值； 记直线CD的斜率为kCQ证明：为定值，并求出该定值.解(1)双曲线：一=1的右准线方程为：x=1,所以F(1,0),则抛物线的方程为：y2=4x.设 A(, y1), B(, y2),由得 ky2 4y8k=0,A = 16+ 32k2>Q y1+y2=, y1y2=8.S；AAFB= X 1 X |y1 y2| =2V

15、y1 + y2 2-4y1y2W *81 .f VP V"档U 方M -la 同« -.« 迎收如u a9 / 18= 2 = 3,解得 k=2.设 C(, y3),则=(1, y1), =( 1, y3),【名师点睛】(1)动线过定点问题的两大类型及解法动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx + t ,由题设条件将t用k表示为t =m1彳# y = k(x +m),故动直 线过定点(m,0).动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.(2)求解定值问题的两大途径一先将式子用动点坐

16、标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束 条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.【锦囊妙计，战胜自我】1 .由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y-y0 =k(xx0),则直线必过定点(x0, y0);若得到了直线方程的斜截 式：y=kx+m则直线必过定点(0, m).2 .解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面 积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与 题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的 值.易错起源3、探索性问题例3、如图，抛物线C: y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点 Q(1,2).W *81“专&

17、quot;> 档U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a# / 18(1)求抛物线C的方程及准线l的方程；(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A, B两点，与准线 l交于点M记QA QB QM勺斜率分别为k1, k2, k3,问是否存在 常数入，使得k1 + k2=入k3成立，若存在，求出 入的值；若不存 在，请说明理由.解(1)把 Q(1,2)代入 y2=2px,彳# 2p= 4,设A(x1, y1), B(x2, y2),由根与系数的关系，知x1 + x2=, x1x2= 1.又 Q(1,2),则 k1 = , k2 = .因为A, F, B共

18、线，所以kAF= kBF= k, 即=k.所以 k1+k2= + 2clI|1 x22 x1+x2 2=H L -7x1x2 x1+x2 +1= 2k= 2k+2, 即 k1 + k2=2k+2.又 k3=k+ 1,可得 k1 + k2=2k3.即存在常数 入=2,使得k1 +k2=入k3成立.【变式探究】如图，椭圆E： + = 1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且 = 1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A, B两点.是否 存在常数入，使得 +入为定值？若存在，求 入的值；若不存 在，请说明理由. W *81 VP V&q

19、uot;档U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a 11 / 18联立普十号=1， y = kx + 1,得(2k2 + 1)x2 +4kx 2 = 0,其判别式 A = (4k)2 +8(2k2 + 1)>0,所以 x1 +x2= , x1x2=,从而， 十入 PB= x1x2 + y1y2+ 入x1x2 +(y1 -1)(y2 -1)=(1 + 入)(1 +k2)x1x2 +k(x1 +x2) +1一 2 入 一 4 k2 十 一 2 入 一 12k2+ 1=入 - 2.【名师点睛】解决探索性问题的注意事项：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若

20、结论正确则存 在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放， 采取另外的途径.【锦囊妙计，战胜自我】1 .解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相 关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明 朗化.其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存 在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实 数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、 曲线或参数）不存在.2 .反证法与验证法也

21、是求解存在性问题常用的方法.1.若曲线ax2 + by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a, b满 足（）1A. a2>b2.< 1bC. 0<a<b. 0<b<a答案 C2 .已知椭圆十 = 1（0<b<2）的左,右焦点分别为 F1, F2,过F1的 直线l交椭圆于A, B两点，若|BF2| 十|AF2|的最大值为5,则b的值 是（）A. 1 B. C. D. ；3答案 D解析 由椭圆的方程，可知长半轴长 a=2;由椭圆的定义，可知 |AF2| 十|BF2| +|AB| =4a= 8,所以 |AB| =8（|AF2| 十|BF2|） >3

22、.由 椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即= 3,可求得b2 = 3,即 b=.3 .已知直线AB与抛物线y2=2x交于A, B两点，M是AB的中 点，C是抛物线上的点，且使得取最小值，抛物线在点C处的切线为l ,则（）A. CMLABB. CML CBC. CML CAD. CML1W *81“专"> 档U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a13 / 18答案 D解析如图所示,CA , = ( -) , ( -) =2(+) , + , =2 2, 当直线AB一定时，当且仅当|取得最小值时，使得取最小值，只有当CML1时，|取得最小值

23、，故选D.4.已知抛物线y2=2px(p>0), ABC勺三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设 ABC三条边AB, BQ AC的中点分别为 M, N, Q,且 M N, Q的纵坐标分别为y1, y2, y3.若直线AR BQ AC的斜率之和 为1,则+ +的值为()1A.-B. -1P - 1C.%p答案 B_p_ = yA yB yxA xBkABp _ yB - yC y2=xB xCkBCp 二 yA yC 二 y3-xA-xC-kAC所以+ + = .5.若点O和点F分别为椭圆+ = 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A. 2B. 3C. 6D. 8答案

24、 C14 /18解析 由题意得F( 1,0),设点P(x0, y0),则 y=3(1 -)( -2<x0<2).OP - = x0(x0 + 1)+y = x+x0 + y0= x + x0 + 3(1 -) =(x0 +2)2 + 2.又因为2Wx0W2,所以当x0 = 2时，取得最大值，最大值为 6,故选C.6.已知双曲线C: =1(a>0, b>0)的离心率为，A, B为左，右 顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点 O为坐标原点，若 直线PA PB, PO的斜率分别为k1, k2, k3,记m k1k2k3,则m的取 值范围为.答案(0,2).0<k

25、3<, .0<m= k1k2k3<2.7 .已知A(1,2) , B( 1,2),动点P满足，.若双曲线一=1(a>0, b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范 围是.答案(1,2)解析 设P(x, y),由题设条件，得动点 P 的轨迹为(x 1) (x +1)+(y 2)(y 2) = 0, 即x2 + (y 2)2 = 1,它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.又双曲线=1(a>0, b>0)的渐近线方程为y=±x,即bx士ay= 0,由题意，可得>1,即>1,所以e=<2,又 e>1,故

26、 1<e<2.8 .在直线y= 2上任取一点Q过Q作抛物线x2 = 4y的切线，切点分别为A B,则直线AB恒过定点.答案(0,2)解析 设Q(t, 2), A(x1, y1), B(x2, y2),抛物线方程变为y= x2,则y' =x,则在点A处的切线方程为厂M二品(工一工办化简得二会1LJL同理，在点方处的切线方程为尸&X一羟又点如，一2)的 坐标满足这两个方程，代人得；一2号广川 7二步 则说明/ 9 见如 为闱满足方程一工 =%一力即直缉必的方程为尸2=界 因此直线小恒过定点(。分9 .已知椭圆 C: + = 1(a>b>0)的离心率为，A(a,0) , B(0, b), O(0,0) , OAB勺面积为 1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P