管理类联考数学复习笔记

1、199概念篇整数1.0是自然数，最小的自然数是 0; 1既不是质数，也不是合数；2 .偶数:2n;奇数2n+1或2n-1,其中n属于整数；3 .奇数与偶数：相邻两整数必有一奇一偶，在一个加（减）算式中，判断其结果的奇偶性，只取决于奇数的个数（奇数个奇数为奇，其余均为偶）4 .奇数的正整数次募是奇数，偶数的正整数次募是偶数；5 .最小的质数是2, （20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19）;6 .最小的合数是 4,（20 以内的合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20）;7 .公倍数和公约数：对于两个整数，两数之积等于最小公倍数乘以最大公约数8 .因式定

2、理：如果多项式f（a）=0,那么多项式f（x）必定含有因式x-a。反过来，多项式f（x）含有因式x-a,则立即推f（a）=0;可以进一步理解，当因式为 0时，原表达式也为0o,泪I 因”扪：D福勒岫林蒯方+产乃能秘2期除号数6干必中然?2。+4配6、8势融融3唾除困酸三喑数位数字之和必能被3整除；"益新5整松树蛙坪杳/!或5能萩9"斑I槐:颦灌射字之和必能被9整除199习题篇答案1. 已知3a2+2a+5是一个偶数，那么整数 a一定是（）A.奇数 B.偶数C.任意数D.0 E.质数【解析】因为2a是偶数，所以3a2+5也是偶数，所以3a2是奇数，a一定是奇数。【考点】奇数和

3、偶数的概念和计算2. 2, 5, 7, 11都是质数，如果把其中的三个数相乘，再减去第四个数，这样得到的数中，是质数的个数为（）A.1B.2C.3D.4E.0【解析】列举法进行依次计算即可。所得结果均为质数【考点】质数的概念3. 已知两个自然数的和是50 ， 它们的最大公约数是 5， 这两个自然数的乘积一定是（ ）A.9 的倍数 B.7 的倍数 C.45 的倍数D.75 的倍数E.18 的倍数【解析】设两个自然数分别为a,b且a<b,又因为二者的最大公约数是5,故可以令a=5ai b=5bi ,由题干可得 5ai+5bi=50.故ai+bi=10,结合a,b的最大公约数为 5,可知， a

4、1 和 b1 二者是互质的，所以取值有两组，1 和 9, 3 和 7 。经计算，可得，ab 的乘积一定是 75 的倍数。【考点】已知最大公约数，以及两数之和，反求两个数字。199 概念篇 分数、小数、百分数、比例1. 实数是与数轴上的点一一对应的；2. 实数加、减、乘、除四则运算符合加法和乘法运算的交换律、结合律和分配律；3. 形如 x=x+x ，即称 x 为实数 x 的整数部分， x 为实数 x 的小数部分。如： 2.5的整数部分为2 ，小数部分为0.5；4. 整数和分数统称为有理数；有理数和无理数的本质区别：任何一个有理数都可以写成分数的形式；有理数又被称为有限小数和无限循环小数；5. 算

5、术平均值：就是n个数相加的和除以n所得的值；6. 几何平均值：n个数相乘开n次方所得的值；7. 当算术平均值与几何平均值相等的时候，且这n个数为正数时，则这n个正数相等；8. 平均值定理：乘积为定值，和有最小值；和为定值，成绩有最大值；当这几个数相等时，取到最值；9. 比例的性质ace ace,等比 TE 理：（b d f 0）a b c db d a-b c-db dbdfb d f合比定理：a - b d分比定理：a £ b d合分比定理:a c a mc, am 1 一b d b mdb11 .正比关系:12 .反比关系:199习题篇:1. x,y的算术平均数是4,几何平均数也

6、是4,则 的值是（） x y【解析】根据平均值的性质，只有当两个数相等的情况下，几何平均数和算术平均数的值才是相等的，所以x y 4,得到答案为1,选D。【考点】平均值的性质2. a,b,c,d都是有理数，且d不为零，x是无理数，则s 丝上为有理数。 cx d（1） a 0c 0【解析】条件（1）和（2）单独均不充分，联合，得到两个有理数相除还是有理数答案选C,即单独均不充分，联合充分。【考点】有理数3.若a b-c a b c a b c k ,则 k 的值为（） cbaA.1B.1或-2C.-1或2D.-2E.以上选项都不对【解析】利用等比定理，第一步，判断分母之和是否为0,可进行分类讨论

7、（1）当a b c 0时，a b -c,代入原式，可知k 2 ;（2）当a b c 0时，由等比定理：整理，可得到-1.答案选B【考点】等比定理的运用199概念篇 数轴与绝对值1 .绝对值：绝对值通常用零点分段去绝对值，其几何意义是，一个实数在数轴上所对 应的点到原点的距离；2 .绝对值的三角不等式当且仅当ab 0时,a b a b ;当且仅当ab 0时Ja-b a b ;当且仅当ab 0时，a-b a b;当且仅当ab 0时,|a-b| a-b。左边等号成立的条件：ab 0且a b右边等号成立的条件：ab 0左边等号成立的条件：ab 0且a b右边等号成立的条件：ab 0199习题篇1.已知

8、m和n为实数，且J2m 1 3n 20,实数m n2的相反数的倒数值是（）.A.59/12B.59/14C.9/2【解析】因为等式为0,由非负性得到:D.16E.182 n -3n 2 032m 1 01m 2所以，实数m n2的值为力可以得到其相反数的倒数值为18.答案选E【考点】绝对值的性质2.已知 a, b, c为有理数，且 <13-2底 aV7 + bJ6 + c,贝U 2 012a+2 013b+2 014c=().A.0B.-2C.2D.-1E.1a 1【解析】13 2.42, 7- 6 27- 6 a, 7 b 6 c b 1c 0故 2 012a+2 013b+2 014

9、c=2012-2013=-1.选 D【考点】化简求值，掌握变形的技巧3 .等式2m 7 m 2 m 5成立，则实数m的取值范围是（）A. 2 m 5B. m2或m 5 C.-2 m 5D. m 2或m 5 E. m5或 m2【解析】2m 7 m 2 m 5 m 2 m 5 ,当且仅当m 2与m 5同号时等号成立,即m 2 m 50,所以m 2或m 5,选D【考点】绝对值三角不等式习题1 .设a,bG R,则下列命题中正确的是（）A.若a,b均是无理数，则a+b也是无理数B.若a,b均是无理数，则ab也是无理数C.若a是有理数，b是无理数，则a+b是无理数D.若a是有理数，b是无理数，则ab是无

10、理数E.若a是无理数，b是无理数，则ab是无理数【解析】A,B项若a=V2 ,b=-J2，则a+b=0,ab=-2,均为有理数，不正确;D项若a=0,b=V2 , 则ab=0,为有理数，不正确；E项若a= & ,b= 72，则a/b=1,为有理数，不正确.选C【考点】实数的概念和性质2 .已知a,b,c是三个连续的奇数，并且10abe 20, b、c都是质数，那么a b （）A.20B.28C.30D.32E.38【解析】根据题意，可知 a、b、c分别为15,17,19。所以可得a b 32,答案选D。【考点】20以内的质数3 .有一个四位数，它被131除余13,被132除余130,则

11、此数字的各位数字之和为（）A.23B.24C.25D.26E.27【解析】设所求的4位数为x,则有x 131k1 13，对第二个式子进行变形，得到 x 132k2 130x （131 1）k2 131 1 131（k2 1） k2 1 ,可得 k2-1 13,故 k2 14,则可的 k21klk1 15x 131 15 13 1978,各位数字之和为 25.选C。【考点】带余除法问题4 .在20以内的质数当中，两个质数的和还是质数的共有（）种A.3B.4C.5D.6E.7【解析】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19其中大于2的质数全为奇数，偶数十奇数二奇数，故这两个质数一定有

12、一个是2,与2相加还是质数的有3,5,11,17,故共有四种。选B【考点】20以内的质数5 .甲数是36,甲乙两数的最大公约数是 4,最小公倍数是288,乙数的各个数位和为（）A.9B.8C.7D.6E.5【解析】甲数 Z数二甲、乙两数的最大公约数 X数的最小公倍数，可得到36X乙数=4X288,解得乙数二32。各个数位之和为5.选E【考点】最大公约数与最小公倍数与两数的关系6 .已知实数x,y满足q'2x 3y 1 x 2y 2 0,则2x 4 y的平方根是（）5A.12 B. 12 C. 2 2D. 2 3 E.2 3【解析】根据非负性得到2x 3y 1 0y 5,得到2x 4y=

13、12,得平方根是2石x 2y 2 0x 85答案选D【考点】非负性A.42B.43C.44D.45E.46a 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998【解析】（9-0.2）（9-0.02）（9-0.002）（9-0.0002）（9-0.00002）45-0.22222所以，a 44【考点】小数的整数部分和小数部分8 .存在实数 m,使|m+2|+|6-3m|&a成立.（）（1） a=4. （2） a>4.【解析】条件（1）:把 a=4 代入,有 |m+2|+|6-3m|&4 即 |m+2|+|3m-610 4rm 2廿-2 m2 廿 m2或或m 2 3m

14、 6 4 m 2 3m 6 4 m 2 3m 6 4解之得m=2,故条件（1）、（2）都充分.【考点】绝对值不等式9 .m增大2倍.（）（1） m/2的分母增大2,要保持分数值不变.（2） m/2的分母变为原来的2倍，要保持分数值不变.【解析】条件（1）、（2）其实分母都变成了 4,即分母变为原来的2倍了，所以要保 持值不变，则分子也应变为2m,即增大1倍，均不充分.【考点】分数的性质【解析】条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来，有 a 5,b7或a -5,b 7,则a b| 12,所以条件（1）和条件（2）联合起来充分。【考点】绝对值的三角不等式及其性质。199概念篇 整式与分式1 .乘

15、法公式：2 .单项式是有限个数字与字母的乘积；多项式是有限个单项式组成的；二者统一称为整式;3 .若单项式所含字母相同，并且相同字母的次数也相同，则称为同类项；4 .两个多项式相等，则其对应次数项的系数相等，两个多项式任意取值时，多项式的 值都相等；5 .因式分解方法：(1)提公因式法(2)公式法(利用上述公式)(3)求根法：若某一元二次方程的根是xi,则x xi就是这个一元二次方程的一个因式。(4)十字相乘法6 .余式定理若F(x)除以f(x)得到商式g(x),余式是R(x),则F(x)=f(x) g(x)+R(x),其中R(x)的次 数小于f(x)的次数，则(1)若有 x a使 f(a)

16、0,则 F(a) R(a)(2) F(x)除以x a的余式为F(a), F(x)除以ax b的余式为F(-b) a(3)对于F(x),若x a时，F(a)=0,则x a是F(x)的一个因式；若 x a是F(x)的 一个因式，则f(a) 0 ,也将此结论称为是因式定理。7 .分式中分母不为0,则分式有意义；8 .最简分式(既约分式)：分子和分母没有正次数的公因式的分式叫作最简分式(或既约分式)习题：1.老师在黑板上写一道数学题：已知两多项式 A, B,若B为2x23x3,求A+B , 其中A的多项式被擦掉了，而甲误将 A+B看成A B,结果求得答案为4x2-x+5,则此题 正确的答案为().A.

17、8x2 7x1B.10x25x+7C.4x2+x 5D.10x2+x 7E.8x2+x 7A B=4x2 x+5,A=4x 2 x+5+2x 2 3x 3=6x2 4x+2,A+B=6x 2 4x+2+2x2 3x 3=8x27x 1.选 A【考点】多项式的计算2. 若 ABC 的三边长为a、b、c满足 a2 b2ab ac bc ，则 ABC 为( )A. 等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形E. 以上结论均不正解析】a2 b2 c2 abacbcb2c2 -ab-ac-bc 0， 则22(2 abc2 -ab -ac - bc) 0 得到 a b 2abc ， ABC

18、为等边三角形，【考点】完全平方公式的运用及常用的结论a b22bc 0 abc3. 若多项式 f (x) x3 a2x2 x 3a 能被 x1 整除，则实数a =()A.0B.1C.0 或 1D.2 或-1E.2 或 1【考点】余式定理4. 将 x36x 7 因式分解为(1 即可，计算得A. x 12x x7B.x1x7a 2或 1 ，选 E2C. x 1 x x-7D. x 12x-x 7E.x12x -x-7【解析】3 x(6x 71) (x21) (x2x3 -1 6x 6x 1) 6(x 1)x 7)【考点】因式分解和乘法公式199概念篇函数（一）一元二次函数的定义一元二次函数是指只有

19、一个未知数，且未知数的最高次数为二次的多项式函数一元二次函数可以表示为：一般式： y ax2 bx c a 0 ；22顶点式： y a x "c a 0 ;2a 4a两点式： y a x x1 x x2a 0（二）一元二次函数的图像和性质一元二次函数的图像是一条抛物线，图像的顶点坐标为宙,七，对称轴是直b2a当a 0,函数图像开口向上，y有最小值ymin&32但无最大值；当a 0 ,函数4a图像开口向下，y有最大值ymax 4aC J但无最小值.4a当a 0,函数在区间-,-4 上是减函数，在-4,上是增函数；2a2a当a 0,函数在区间-,-全 上是增函数，在 -畀，上是减

20、函数.（三）一元二次函数的图像与 x轴的交点当b2 4ac 0时，函数图像与x轴有两个交点;当b2 4ac 0时，函数图像与x轴有一个交点;当b2 4ac 0时，函数图像与x轴没有交点.习题：1.设实数x ,y满足x 2y 3,则x2y2 2y的最小值为【解析】由x 3-2y代入得x2 y2 2y 5y2 10y 9,可以看成关于y的二次函数，利用一元二次函数的图像和性质，得到最小值为4.【总结】本题首先将已知等式代入所求的表达式中，化为只含有一个未知数的函数，从而借助于抛物线来求解最值。2.已知抛物线y x2 bx c的对称轴为x 1,且过点（-1,1）,那么b , c .【解析】根据一元二

21、次函数的图像和性质及点的坐标，得到【总结】根据抛物线的特征来列方程，从而得到系数。3.设1, a, b成等差数列且ab是两个不相等的实数， 则函数f x x2 2ax b的最小值与0的关系。【解析】根据等差数列的性质可得2a2a 1,根据一元二次函数的图像可知,4b 4a ,2_f x min b a 2a41 a2同时a, b是两个不相等的实数可知1 ,综上所述f x min 0【总结】本题考查了等差中项的性质应用，以及二次函数最值的基本问题。199概念篇方程1 .含有未知数的等式叫做方程，使得方程（组）成立的未知数叫做方程（组）的解。2 . 一元一次方程：方程中，只含一个未知数且未知数的次

22、数为1;二元一次方程：方程中，只含有两个未知数且未知数的次数都为1.3 . 一元一次方程的解：ax b4 .二元一次方程组及其解：(1)若曳 巴方程组有唯一解； a2 b2(2)若史b1 上,方程组有无穷多解； a2 b2 c2(3)若受b1%,方程组无解。 a2 b2 C25. 一元二次方程：ax2 bx c 0(a 0)求根x1, x2的方式(1)配方法(2)求根公式：方程的根 x b *b4ac(b2 4ac 0),其中(b2 4ac)称为一元二次 2a方程的根的判别式 ；(3)韦达定理：描述一元二次方程根与系数的关系：两根分别为x1,x2,则有 xi x2b,xix2 ca a .习题

23、篇1、若方程x2px 370恰好有两个正整数的解xi,x2则x11x21的值是.P解：根据韦达定理，可知x1x2 37 , x1 x2 p o又0x2为正整数解，且两根的积37为质数，所以得x1 1, x2 37, p 38 ,带入 x1 1 x2 1 ,得-2.P总结：灵活地应用韦达定理。2、已知关于x的一元二次方程k2x2 2k 1 x 1 0有两个相异实根，则求k的取值范围解：k2 0由题意知，k2, 解得k 1且2k 1 -4k04k 0.总结：考查点为判别式与F 二次方程的实根个数的 关系。1、X1,X2是方程x2 k 2x k2 3k 5 0的两实根，则x； x；的最大值解：因为方

24、程有两个实数根则22k 24 k2 3k 5 0解得-4k o3根据抛物线的图像可知，当k 4时，x12 x；取到最大值18 .总结：灵活应用韦达定理和判 别式与F二次方程的 实根个数的关系。199概念篇不等式1 .不等式的解集对于含有未知数的不等式，能使其成立的未知数的值的集合，叫做这个不等式的解集。2 一元二次不等式(1)方法一：可通过一元二次函数图象进行求解 。根据二次项系数的正负，开口方向, 顶点坐标，对称轴等，采用数形结合的思想，进行初步判定解集情况；再利用求根公式求 出方程的两个实数根，写出解集。(2)方法二：可利用用配方法解一元二次不等式。3 .含绝对值的不等式解含绝对值不等式一

25、般有两种思路：(1)利用绝对值的性质去掉绝对值符号(2)利用平方进行等价变换4 .高次不等式先不等式变形，使不等式两边，一边为0,然后再解相对应的高次等式的根，最后利用穿根法求解：(1)最高次项的系数一定为正，才可以从数轴右上角开始；(2)穿线法则是奇穿偶不穿，即含 x的因式，偶数次募和奇数次募5.分式不等式先转化成整式不等式再进行求解，注意分母必须有意义。习题篇1、设0 x 1,则不等式3x:1的解是 x2 1解：0 x 1,则 x2 1 0.即 2x2 1 0 x -.22又0 x 1,解集为0 x 2总结：对于分式不等式通常先转化成整式不等式再进行求解，同时注意分母必须启意义。2、关于x

26、的方程x2 a 1 x 1 0有两个相异实根，且两根均在区间0,2上，则实数 的取值范围.解：区间根问题，根据题意，知a 1 2 4 0ca 1 cc022 解得：3 a 1.f 002f 20总结：区间根问题使用“两点式” 解题方法，即看顶点(横坐 标相当于对称轴，纵坐标相 当于)，再看端点(根所 分布区间的端点)。对十号二次方程的不等式问题，要有数形结合的思想， 即先回出函数图象的草图冉 进行求解。11 一3、已知不等式ax2 2x 2 0的解集是3，万，则a 解：总结：根据题意知X11,X2 L32注意一元二次不等式、-兀由韦达定理可知一次方程之间的关系。即a 12199概念篇数列（一）

27、数列:数列的定义：依一定次序排列的一组数。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列的一般表达式为a1,a2,a3,L ,an,L或简记为ano项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列。数列通项：其中an叫做数列an的通项,自然数n叫做an的序号。如果通项an与n之间的函数关系可以用一个关于n的解析式fn表达，则称an为数列an的通项公式。数列的前n项和（记作Sn）对于数列a显然有Sn a1a2ano（二）等差数列:an是等差数列等价于an 1 an d（d为常数）等差数列的通项公式:an =a1+ n-1 d , an =am+ n- m d。等差中项：若a,b,c成等差数列，则b

28、是a,c的等差中项,等差数列的前n项和Snn a1 ann n 1 d Sn na1 2'2（三）等比数列an是等比数列等价于型q（q为常数）。 an等比数列的通项公式:n 1n man =aiq , an =amq 0等比中项：若a,b,c成等比数列，则b是a, c的等比中项，且b2 ac等比数列的前n项和snnai 1 q2 则它的通项an , n习题解：当 n 1时，a1 § 3.当n 2时，uk3,n 1从而an8n 3, n 2总结：要注意分情况讨论。2、数列an的前n项和Sn 3an 3则它的通项an n112 n,n解：当 n 1时，© §

29、3a1 3w1 62当n 2时，an Sn Sn 1-an 3 - an 1 3整理得 an 3an 1 ,即-an- 322an 1因此an是首项为a1 6,公比q 3的等比数列，即a02 3n。总结：要注意分情况讨论，本题先得到an与an-1的关系式，再求出通 项an。1、数列an的前n项和Sn 4n2 n3、设a,b,c三数成等差数列，若x,y分别是a,b和b,c的等比中项，求x2 y2解：2b a c由题意得x2 ab所以x2 y2 ba c 2b2 y2 bc总结：考查了等差、等比数列的中项。习题1、一元二次函数y x1 x的最大值为 解：方法一：用二次函数求最值22111y xxx

30、-,ymax一244方法二：用平均值定理求最值总结：本题考点二次函数的最值、平均值不等式2、已知a,b,c三数成等差数列，又成等比数列，设 ,是方程ax2 bx c 0的两个根，且解：由于a,b,c二数成等差数列，又成等比数列，故a b c 0 ,原方程可化为x2 x 1 0 ,33/2根据韦达定理得-y-J2-4X111 5总结：考查了数列与方程根3，则33、设方程3x2 mx 5 0的两个实数根xi和x2满足1 1则m的值为 x1 x2解：根据韦达定理，有总结：借助韦达定理求出两根的导数和。4、设y x a x 20 x a 20,其中0 a 20,则对于满足a x 20的x值，y的最小值

31、是解：由于 a x 20, y x a 20 x a 20 x 40 x ,当x 20时，y取得最小值是y 20总结：根据取值范围进行绝对值的化简，然后根据x的 取值范围讨论 y的变换 范围。充分条件判断题1、设a, b是两个不相等的实数，则函数 f x x2 2ax b的最小值小于零(1) 1, a, b成等差数列。(2) 1, a, b成等比数列。解：题十欲证最小值4b 4a 0 b a2 0o 4条件(1)根据等差数列性质可得2a 1b b 2a 1,b a2 2a 1 a2a2 2a 1 00当 a 1 时，有 a2 2a 1 0。又因a, b是两个不相等的实数是两个不相等的实数，所以

32、a 1,故a2 2a 1 0,即b a2充分。总结：抛物线的最小值条件(2),根据等比数列的性质可得 a2 b, 贝U b a2 = a2 a2=0,故不充分。2、lOgaX 1/八1(1) X 2,4 , a 1.(2)x 4,6 , 1 a 2.2解：题十欲证 logax 1 logax 1 或logax1。条件(1),1 a 1且x 1,则对数单调减小，有logax loga-1故2aa充分。条件(2) , 1 a 2且x a,则对数单调减人，有logax logaa 1故也充分。总结：考查了对数函数的单调性。平面几何1 .三角形相关结论(1)三角形外角等于不相邻的两个内角之和；(2)两

33、边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)三角形的“四心”内心：内切圆圆心，角平分线的交点。内心到三边的距离相等;外心：外接圆圆心，三边的垂直平分线的交点；重心：三条中线的交点，重心将中线分成2: 1两段；垂心：三条高的交点；(4)直角三角形的勾股定理勾股定理，常用的勾股数要记住(3, 4, 5) , (6, 8, 10) , ( 5, 12, 13);a, b, c (c为斜边)，内切圆直角三角形与内切圆半径的关系：设直角三角形三边分别为 半径为r,则 r (a b c) /2(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方(6)三角形面积公式通用的公式：其中，p 1(a b c) ,是三角形的周

34、长的一半。(半周长) 2等腰三角形的面积：等边三角形的面积：2 .四边形(1)梯形：设上底为a,下底为b,高为h,则中位线l= (a+b) /2,面积 S= (a+b) h/2(2)平行四边形：设两边为 a, b,以b为底边的高为h,则面积S=bh(3)菱形：设四边边长均为 a,以a为底边的高为h,则面积S=ah=liH2,其中li, I2分别为对角线的长3.圆和扇形(1)扇形：设 0为扇形角的弧度数，a为扇形角的角度，r为扇形半径，则弧长：l 2 r360扇形面积：S r2 llr3602(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦(3)等弧对等角，同一段弧所的圆心角是圆周角的2倍，直径所对的圆

35、周角为直角.习题：1、三角形的两边长分别为 2和9,周长为偶数，则第三边的长为 .解：设第三边长为x,则7VXV11,由于周长为偶数，所以第三边长为奇数，故 x等于9.总结:考查了三角形边的关系：三 角形任意两边之和大于第三 边，两边只差小于第三边。2、梯形ABCD的上底与下底分别为 5, 7, E为AC与BD的交点,MN过点E且平行于AD ,则MN=解：根据梯形的性质，可知AED相似于CEB ,纯5EC 7总结:相似三角形的性质。3、P是以a为边长的正方形，Pi是以P的四边中点为顶点的正方形，P2是以Pi的四边中点为顶点的正方形，Pi是以Pi-1的四边中点为顶点的正方形，则P6的面积是 .解

36、：总结：后一个正方形Pi的面积是前一个正方形 Pi-i面积的%.。正方形 归纳递推关系。P面积是a2.正方形Pi面积是a/2.正方形P2面积是 啜2.递推知：正方形P6面积是a4即资。/264立体几何一、长方体设长方体三条相邻的棱长分别为a,b, c ,(1)体积 V abc；(2)全面积 S 2(ab bc ca)(3)体对角线 d Ja2 b2 c2(4)当a b cBt,为正方体二、圆柱体设圆柱体的高为h,底半径为r,轴截面为矩形，其中一边长为底面圆的直径，另一边 为圆柱的高(母线长)；侧面展开图为矩形，其中一边长为底面圆的周长，另一边为圆柱 的高(母线长)；(1)体积 Vr2h(2)侧

37、面积S侧2 rh(3)全面积 S 2 rh 2 r2三、球设球半径为R,(1)体积 V 4 R33(2)面积 S 4 R2四、长方体、正方体、圆柱与球的关系设圆柱底面半径为r,球半径为R,圆柱的高为h ；内切球外接球长方体无体对角线l 2R正方体棱长a 2R体对角线l 2R(2R V3a)圆柱只有轴截面是正方形的圆柱才有，此时有2r h 2R习题：1、一个长方体，有共同顶点的三条对角线长分别为a,b,c,它的体对角线长是()/、22212,2212,22(A) 4a2 b2 c2(B)2%a b c(C)-M'a b c(D)2,22a b c(E)2,22a b c考占考查了对角线与

38、体对角线的关系。解析：设长方体长、宽、高分别为 x, y, z,体对角线为l22222,2222则侣 x y a , y z b ,z x c,222所以体对角线长是l .；x2 y2 z21a b c2答案选择D.2、现在一个半径为 R的球体，拟用刨床将其加工成正方体， 则能加工成的最大正方体 的体积是()(中3(B)893R3©#(畤3,3解析：正方体内接于球体时体积最大，设正方体长为a,则2Rma a罕，所以正方体体积J3答案选择B.总结：本题考查了正方体的内切球。3、一圆柱体的高与正方体的高相等，且它们的侧面积也相等，则圆柱体的体积与正方体体积比值是()o(A)-(B)-(C

39、)-(D)-(E)34解析：设正方体棱长为a,圆柱体底面半径为r.因为S正方体侧面S圆柱体侧面，所以 4a2 2 r a r 2a.2因此V正方体a ,V圆柱体r aaa总结：本题考查了圆柱体的体积与正方体体积。圆柱体的体积与正方体体积比值是 4答案选择Ao解析几何(上)一、平面直角坐标系1、定义平面直角坐标系中的点与有序实数对(x, y) 一对应2、有向线段的定比分点设点A(xi,火)，B(x2, y2)，点P(x, y)是直线 AB上不同于点B的一点，若uuv徽，则称PB为点P分有向线段uiv日AB所成的比。分点P的坐标为xix2yiy2x 1，y 10特别地，当1时，点P为线段AB的中点

40、，则xiX2yiy2x, y °22、平面直线1、直线方程(1)点斜式：过点F0(xo,yo),斜率为k的直线方程为(2)斜截式：斜率为k,在y轴上的截距为b的直线方程为(3)两点式：过两个不同的点 P(x1,y1), P2(x2,y2)的直线方程为口 一展 x2 且 y1 y2) y2 y1 x2 x1(4)截距式：在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b的直线方程为(5) 一般式：Ax By C 0 (A,B不全为零)2、两条直线的位置关系设两条直线11 : y k1x b ,l2：yk2xb2 或 l1：AxB1yC1 0, l2 :A2xB2yC20两条直线的位置关系有四种:(

41、D重合b ，C2解析：由k, 1,b成等差数列知kb 2,即b 2 k,直线化为y kxk2 即 y2kx1,过定点 1, 2答案选择A.总结：本题考查了定点如何求。2、已知直线li： a 2 x 1 a y 3 0和直线l2：a 1 x 2a 3 y 2 0互相垂直，贝a等A BiCi(2)平行(3)相交(4)垂直习题：1、若k, 1, b三个数成等差数列，则直线 y kx b必经过点()k1k2, b1k1k2k1k21b2A2B2AA2B1B2C2于()。A. -1B. 1C. 0解析：两直线垂直，则可得a 1 0答案选择C.总结：本题考查了两直线的位置关系。3、已知平行四边形 ABCD

42、勺三个顶点A (-1 , -2) , B (3, 4) , C (0, 3),则顶点D的坐标为()A. (4,3)B. ( 4,3)C.( 4,3) D. ( 4,4)E.(3, 4)总结:利用平行四边形的性质求点坐标。解得Xd4,yD 3解析:设平行四边形 ABCD勺对角线AG BD的交点为E (x,y),可知E为AC的中点,所以E也是BD的中点，所以答案选择C.20180201解析几何(中)平面直线3、直线夹角(1)倾斜角直线斜率k的计算公式:设为直线1的倾斜角,0,),则k tan,-设P(xi,yj P2d, y2)是直线1上的两个不同的点，则k 1,、x2; X2 X1直线Ax By

43、 C 0的斜率为Ak 一, B 0。B(2)到角：直线li按逆时针方向旋转到直线12时所转的角，记作 (0,)设直线ll2的斜率分别为k1,k2,且k1k21,则tan 反上o1 k1k2(3)夹角：直线1i到l2的角和直线l2到1i的角中较小的角，记作(0,),有tan21 k1k24、两条平行直线的距离设直线1i,12的方程分别为为Ax By Ci 0, Ax By C2 0 ,则两条直线的距离为5、两种对称（1）两点关于直线对称：垂直、平分点（a,b）关于x轴的对称点为（a, b）点（a,b）关于y轴的对称点为（a,b）点（a,b）关于原点的对称点为（a, b）点（a,b）关于y x的对

44、称点为（b,a）点（a,b）关于yx的对称点为（b, a）（2）直线和直线关于直线对称：交于一点，到角相等直线ykxb关于x轴的对称直线为 y kxb直线ykxb关于y轴的对称直线为y kxb直线ykxb关于直线y x的对称直线为xkyb直线ykxb关于直线y x的对称直线为xky b习题0C.6x 5y 1 0总结：本题巧妙地利用了线段垂直平分线的性质。1、设点A 7, 4 , B 5,6 ,则线段AB的垂直平分线的方程为A. 5x 4y10B. 6x 5y10D.7x 5y20E.2x 5y70解析：设点P（x,y）为AB的垂直平分线上任意一点，则pa |pb|可得解得6x 5y 1 0答

45、案选择C.2、条件充分判断直线L的方程为4x 3y 9 0.（1） L经过两条直线2x 3y 1 0和x 3y 4 0的交点;（2） L与直线3x 4y 7 0垂直。解析：条件（1）和（2）显然单独不充分，联合起来，有：5x -两条直线2x 3y 1 0和x 3y 4 0的交点为3 ,直线L的7y 9斜率是k 4,所以直线L的方程为4x 3y 9 0.3总结：考查了两直线的位置关系，点斜式确定直线的方程。3、点P 2,7关于直线x y 3 0的对称点是()。A.(5, 4)B.(4, 5)C(-4, -5)D.(-5, -4)E.(7, 2)解析：U 14设点P' a,b,由对称轴将P

46、P垂直平分得 a 2a 4a 2b 7八 b 53 022答案选择B.总结：点关于直线对称，解题要 点：两点连线垂直平分对 称轴。20180202解析几何（下）三、圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆（第一定义）；平面内到定点的距离等于定长的点的集合（第二定义）。1、圆的方程（1）标准方程：圆心为（a, b）,半径为r的圆的方程为（2） 一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （D2 E2 4F 0）般方程可通过配方化为标准方程:2 D2 E2 4F42、点与圆的关系设点P(xp, yp)到圆(xxo)2 (yy。)2r2的圆心的距离为d

47、,(1)点在圆内(xpxo)2(ypyo)2(2)点在圆上(xpx。)2(ypy。)2(3)点在圆外(xpxo)2(ypyo)23、直线与圆的关系直线 l : y kx b ,_2O :(x xo)(yy。)2d为圆心(xo,yo)到直线l的距离。直线与圆的交点坐标即是方程组kx(x xo)2 (yyo)22的解; r(1)相交(2)相切(3)相离4、圆的切线方程(1)已知圆方程：x2 y2 Dx Ey若已知切点(x0,yj在圆上，则切线只有一条,其方程是:x°xyoyD(x° x) E(yo y)F o。当(x0,yo)在圆外时，x°x y°yD(xo

48、 x)E(y。29F 。表示过两个切点的切点弦方程。过圆外一点的切线方程可设为yyok(x x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y轴的切线。斜率为k的切线方程可设为y kx b ,再利用相切条件求b,必有两条切线。(2)已知圆方程：x2 y2 r2 o过圆上的Po(xo,yo)点的切线方程为x°x2yoyr 。斜率为k的圆的切线方程为y kx rkT5、圆与圆的关系设两圆方程分别为 Q:(x xi)2 (y yi)222/、2ri , O2(x X2)(y y2)22,圆心距为d圆与圆的交点坐标即是方程组(x ai)2(x a2)2(y bi)2(y b

49、2)22i的解。(i)内含dir2(2)内切dr1r2(3)相交rir2drir2(4)外切drir2(5)外离drir2习题篇i.曲线x2 2x y2 0上点到直线3x 4y i2 0的最短距离是()。A. -i6B.ni6D.-8E/4A-iB.5c-1Dte2解析：圆的方程为x-i 2 y2 i,圆心i,0到直线3x 4y i2 0的距离所以最短距离为d r -5答案选择B.总结：先确定直线与圆的关 系，这里最短距离等于 为圆心到已知直线的距 离减圆的半径。2.已知直线ax by 3 0a 0,b 0过圆x2 4x y2 2y i 0的圆心，则a b的最大值为解析：圆的方程为x 2 2y

50、-1 2 22 ,圆心-2,1至lj直线 ax by 3 0 a 0,b 0 得 2a b 3利用均值不等式得3 2ab 242ab,则ab -,当且仅当a -,b -842时，达到最大值。答案选择D.总结：以解析几何为背景，利 用二次函数或者基本不 等式求最值。3.设P是圆x2 y2 2上的一点，该圆在点P的切线平行于直线x y 2 0 ,则点P的坐标 为（）。A. -1,1B. 1, -1C. 0, , 2D.、,2,0E. 1,1解析：设Pa,b ,根据题意可知OP 直线x y 2 0,可得方程2, 2-a b 2b,可以解出a b 1一11a答案选择E.方法二：利用排除法；因为切点在第一象限或第三象限，所以答案选择E.总结：画草图可以判断出圆x2 y2 2与平行于直线x y 2 0的切线相 切，切点在第一象限或 第三象限。习题1 .已知两点Pa,b c,Qb,c a ,则直线PQ的倾斜角为（）.A. 45B. 90C. 120D. 135E. 60解析：设直线PQ的倾斜角为 ,tan c a b c 21,b ab a且0 ,180，所以 135答案选择D总结：直线的倾斜角取值范围0 ,180，要记清。2 .直线li：y J3x 1到