数学建模-人口预测实验报告

1、数学与计算科学学院 实验报告实验项目名称人口预报所属课程名称数学模型实验类型综合型实验日期 班 级信计1001班学号201053100127姓名徐超成 绩、实验概述:【实验目的】【实验原理】【实验环境】1二、实验内容：【实验方案】有效的控制我国人口的增长，不仅是深入贯彻落实科学发展观，到2020年实现全面建成小康社会的需要，而且对于全人类的美好理想来说，也是我们义不容辞 的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控 制人口增长产前提。请利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据，建立人口 预测模型，并对模型作模型的参数估计、检验和预报。表1美国人口（单位：百万）年1

2、7901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1 模型假设（1）假设各年的人口数均为当年年末人口数。（2）假设人口数量足够大，为时间的连续可微函数。（3）假设人口不流动，即不考虑迁入或迁出对全国总人口的影响。（4）假设生存空间等

3、自然资源无限，不考虑自然资源对人口变化的影响。（5）不考虑大规模疾病等意外灾难因素对人口变化的影响。（6）不考虑同一时间间隔（例如每一年）内人口数量的变化。（7）假设成都市人口的老龄化趋势与全国基本保持一直。（8）假设我国的政治体制对人口状态变化的影响保持不变，如计划生育政策 的稳定不变。2 符号说明X（t）:模型（1）中表示第t年的实际人口数；）?（t）:模型（1）中表示第 t年的预测人口数；J :模型（2）中表示内禀增长率；to :模型（2）中表示初始 年份；Wm :模型（2）中表示环境条件所能容许的最大人口数； W（t）:模型（2） 中表示第 t 年的人口数； m :模型（3） 中表示嵌

4、入维数； ：模型（3） 中表示时3间延迟；Y :模型（3）中表示重构相空间；M :模型（3）中表示m维相空间的嵌入点数;:模型（3）中表示最大Lyapunov指数；Tm :模型（3）中表示最长预测时间;X（k）:模型（4）中表示第k年的实际人口数；乂（k）:模型（4）中表示第k年的预测人口数；：模型（5）中表示人口老龄化指数；Di :模型（5）中表示第i个年龄段的人数；Bi:模型（5）中表示第i个年龄段的人数占总人数的比例。模型建立(1)针对问题（1）,我们建立了三个模型: 模型（1）:灰色系统GM （1,1）模型(2)(3)模型（2）:模型（3）:dM (0) =mjn工dw一 w、w（1

5、） Logistic 人口模型 dtwmIw（t°） = w。最大Lyapunov指数预测模型Ym-Y; =|Ym -Yk|YM -YM 1=Yk -Yk 1针对问题（2），我们建立了等维灰数递补动态预测模型: 模型（4）:A （0）A （1）A （1）X （k）=X （k 1）-X （k）针对问题（3），我们定义了老龄化指数D3模型(5) :3100%D1 +D2 +D3模型求解问题（1）:我国人口数量的变化趋势（1）A、模型（1）在模型（1）中包含两个参数：a和u ,首先需要估计出这两个参数。我们把方 程（1）改写为aX(t) +u 心dt然后把t换为（t 1）并与原式作算术平均

6、，得1 1 ' '5求得时间函数X(t)的估计值：Xt)珂X(0) 一 Ueat ua a我们把上述方程作为我们的人口预测方程。根据我们上网查到的1981年2005年的全国人口统计数据，得到如下的原始数 据序列：X(0) =( 100072101654103008104357105851107507109300 111026112704114333115823117171118517119850121121 122589123626124761125786126743127627128453129207129735130137)得人口预测方程：)?(t) =176060.75-

7、75988.75eq°22552t将各个年份分别代入上面的方程即得各个年份的人口数据预测值，然后将其分别与实际值比较，并计算出其误差。实际值与预测值的比较图11 251981 -2005 的人口型1.151 as1.1+ 预测憤o 实际値198519901995年数200020056#该模型对于中短期的人口预测，所得结果较为准确，大部分预测数据与实际数 据的误差率都在2%以内，较好地估计出了最近几十年的人口数量。根据我们的模型所预测出的结果，到本世纪中叶我国的人口数量将超过15亿，但是根据国内的本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，可以预测我国的总人口将于2010年

8、、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前 后达到峰值15亿人左右，即我国人口的上限不会超过15亿人。这一结论与我们的模 型所得到的数据有所出入。于是我们将模型进行改进，选择在长期预测方面比较精准的模型（2） Logistic 人口模型来求解.B、模型（2）w(t)=wm1 (忖应叫 w0这个问题是典型的伯努利方程初值问题，其解为: 分析上式可知：(1) 当t_. '时，w(t) > Wm，即无论人口初值如何随着时间推移而变化，人口总数总是趋向于一个确定的值Wm ；(2) d罗二i(1 2w)，所以当人口达到极限值的一半Wm时，属于加速增长, dtWm2超过一半

9、属于减速增长，但是增长率仍为正的，并且其增长率随时间的增加而减少。 根据1981年2005年的全国人口统计数据，利用计算机 Matlab编程得，150000J = 0.0422，Wm =150000从而得到全国总人口数的Logistic模型方程为：w(t)二1+(15000。1) _0.0422(t981) (100072 )e利用该模型对1981年2005年的人口数据进行检验并对 2006年2050年的人 口数据进行预测。实际值与预测值的比较图21981年年的人口1.25O 实际值+ 预测值° % 8019S5199019952Q002005将该模型所得结果与国内本课题专家研究组得

10、到的数据进行比较，发现二者拟合的很好，从而保证了该模型在长期人口预测方面的可靠性。C、模型(3)(1)重构相空间单变量时间序列是许多物理因子相互作用的综合反映，它蕴涵参与运动的全部 变量的痕迹。为此，需要把此时间序列扩展到三维甚至更高维的相空间中去，才能 将时间序列中的信息充分显露出来，这就是时间序列的重构相空间。设人口的混沌时间序列为X1,X2,.,Xn，嵌入维数m，时间延迟，则重构相空 间Y=(X，Xf,-X+m4)»ERm，(i=1,2M)其中M二n-(m-1).表示m维相空间的嵌入点数。嵌入维数 m和时间延迟可由 C C方法计算得到。(2)最大Lyapunov指数算法1时间序

11、列 %笛)户1,2,N进行FFT变换，计算平均周期P;2用C C方法同时计算出嵌入维数 m和时间延迟t ;3根据时间延迟和嵌入维数m重构相空间Yj,j=1,2,M;4找相空间中每个点Yj的最近邻点X，并限制短暂分离，即jAAdj(0) min 丫丫，j-j >p ,i=1,2,，min(M-j,M- j)Ajj5对相空间中每个Yj，计算出该邻点对应的i个离散时间步的距离dj(i);6对每个i，求出所有j的In dj(i)平均y(i)，即：qy(i)=' In dj (i)j生其中q是非零dj(i)的数目，并用最小二乘法作回归直线，该直线的斜率就是 最大Lyapunov指数。(3)

12、 最大Lyapunov指数预测模型Lyapu nov指数作为量化对初始轨道的指数发散和估计系统的混沌量，是系统的一个很好的预报参数，在很多领域有着相当广泛的应用前景。设Ym为预测的中心点，相空间中Ym的最近的邻点为Yk，其距离为dM (0)，最大Lyapunov指数为】，即dM(0)二mjn Ym-Y； = Ym -YjYm-Ym 1 |丫厂丫宀 e1其中点YM 1只有最后一个分量x(tN1)未知，故x(tN是可以预测的。上式就是 基于最大Lyapunov指数的预测模型。实际表明：此预测方法具有较高的预测精度。已知把1949年到2006年的人口数据看作时间序列：Qo(ti),i =1,2,.,

13、 N?，重构 相空间，把人口的时间序列扩展到m的相空间中去，充分显示出人口时间序列的信 息，按照最大lyapunov指数算法，MATLAB编程实现，求的最大 Lyapunov指数 =0.029380,表明人口数量为混沌时间序列。实际值与预测值的比较图3X 10135 I巧切年一刮砧年甘寸人口融据1.2SY 1.15+ 和抑值1198010GS10D0年救1995200-02005在用最大Lyapunov指数预测2001到2030年的人口，并用前五年的真实数据进行检验最大Lyapunov指数的倒数为混沌系统确定性预测的时间上界，即最长预测时间110.02938-34说明该模型对我国未来34年的人

14、口预测所得结果比较精确，较好地达到了我 们的预期目标。基于最大Lyapunov指数方法不但能够充分利用时间序列资料信息, 而且可以克服以往人为选择模型的缺陷，计算相对误差较小，提高了预测精度，预 测效果较好。图1美国人口指数增长模型的拟合图形(1790-1900)【实验结论】(结果)用得出的拟合参数确立的数学模型与实际数据作比较，结果如图1和图2所示:12010080x口 60人40200024681012年份t【实验小结】（收获体会）、指导教师评语及成绩:评语评语等级优良中及 格不及格1.实验报告按时完成，字迹清楚，文字叙述流畅，逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细，记录完

15、整，数据合理，分析透彻）4实验结论正确.成绩:指导教师签名:批阅日期：附录1:源程序程序1:%指数增长模型的1790-1990年数据建立的预测函数clear;clc;t=1:12;%人口增长率参数r=0.2743;捌始人口值x0=4.1884;%预测模型y1=x0.*exp(r.*t);y2=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0; title('指数增长模型拟合图形');xlabel('年份 t');ylabel('人口 x(t)');plot(t,y2,'ro&#

16、39;,t,y1,'b')程序2：%旨数增长模型,全部数据建立的预测函数clear;clc;t=1:22;%人口增长率参数r=0.2022;捌始人口值x0=6.0450;%预测模型y1=x0.*exp(r.*t);y2=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4; title('指数增长模型拟合图形');xlabel('年份 t');ylabel('人口 x(t)');plot(t,y2,'ro',t,y1,'b')附录 2：实验报告填写说明1实验项目名称： 要求与实验教学大纲一致。2实验目的 ：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。3实验原理： 简要说明本实验项目所涉及的理论知识。4实验环境 ：实验用的软、硬件环境。5实验方案（思路、步骤和方法等） ：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。对于验证性实