数学中的极限思想及其应用.

1、摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几 类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在 三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学 极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂 的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点 看待并解决问题。关键词：极限思想，应用Abstract : In this paper, the application of the limit idea in solving problems is exp

2、lained. What' s mor,ethe applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are in

3、troduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving

4、 problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the chang.eKeywords: the limit idea ，application目录1 绪 论 31.1 研究意义 31.2 国内外研究现状 31.3 本文解决的主要问题 32 数学极限思想的在解题中应用 52.1 数学极限思想在数列中的应用 52.1.1 利用极限思想处理无穷等比数列 52.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案 62.2 数

5、学极限思想在函数中的应用 72.2.1 利用极限思想确定函数图像 72.2.2 利用极限思想确定函数定义域 72.2.3 利用极限思想求未知变量的取值范围 82.3 数学极限思想在三角函数中的应用 92.3.1 通过求极端位置求三角函数的取值范围 92.3.2 通过假设极端状态推出角的取值范围 92.4 数学极限思想在不等式中的应用 错. 误！未定义书签。2.4.1通过假设变量的极限求得答案 错误！未定义书签。2.4.2利用极限思想解决不等式证明题 错误！未定义书签。2.4.3 应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题 错误！未定义书签。2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用 错误！未定义

6、书签。2.5.1 利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积 错误！未定义书签。2.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题 错误！未定义书签。2.6数学极限思想在立体几何中的应用 错误！未定义书签。2.6.1 数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用 错误！未定义书签。2.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系 错误！未定义书签。2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹 错误！未定义书签。3 对一道数学题探索解题思路 16结 论 17谢 辞 18参考文献 19极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析中的一系列重要概念如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助极限来定义的。所谓极限的思想，是指用极限

7、概 念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括 为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无 限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着高中课程 的改革，高考中将加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴 含的极限思想。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用 变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。本文就数学极限思想在解决几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的 方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。1.1研究意义极限思想作为一种重要思想，在整个数学发

8、展史上占有重要地位。极限思想在现代 数学乃至物理学中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思 维上的禁锢，化繁为简，拓宽考虑问题的思路，为数学问题的顺利解决提供较大的帮助1.2国内外研究现状由于数学中的极限思想对学生数学思维方法培养的重要性，因此数学极限思想的相关问题一直受到国内外众多学者的关注。 如为了引起广大师生对极限思想广泛关注和高 度重视，苟玉德和董玉武在2006年给出了渗透极限思想，优化解题过程，说明了利 用极限思想，把问题放置于极限状态，能提高解题能力；2007年刘明远给出了极限思想在

9、解题中的应用，通过列举极限在函数、三角函数、数列、不等式和解析几何中的 应用说明极限思想对于优化解题过程，降低解题难度的重要作用；孙道斌于2007年发表了利用极限思想巧解立几问题，列举了极限思想在解决一些立体几何选择题的范 例；2005年黄加卫给出了极限思想在数列中的几个“闪光点”，认为极限是微积分中 最基本、最主要的概念，同时列举了极限思想在解决等比数列问题和数列证明中的几个 范例；2007年徐素琳给出了极限思想的妙用，认为极限思想即运用“化整为零，又 积零为整”的思想在图形面积、周长、体积和函数等方面有重要作用；2007年牛保华给出了极限思想在解题中的应用，分析了极限思想在解题时简化运算过

10、程、优化解 题方案、探索解题思路的作用。1.3本文解决的主要问题本文主要对数学极限思想在数列中、在立体几何中、在函数中、在三角函数中、在 不等式中和在平面几何图中的应用进行分析， 然后具体比较了数学极限思想和一般解法 在解决一道数学题的不同，进而反映了极限思想的优势。32数学极限思想的在解题中应用2.1数学极限思想在数列中的应用2.1.1利用极限思想处理无穷等比数列例1：( 1)已知数列:Cn /，其中=2n 3n，且数列G.i-pCn?为等比数列，求常数(2)已知数列 a?、是公比不相等的两个等比数列，Cn=abn，证明:列b 不是等比数列。解：(1)设：Cn1- PG的公比为q，则有:Gn

11、.-pcn.严+3np(2齐尹)2n*(2-p)+尹(3-P)n -1 n -1Q =Cn 1 - pen2n 1 3n 1 - p 2n 3n2n 2 - p 3n 3- p(2 72_p 3 3_p2.- i3)n(2 - P )+(3 - P )对上式两端取极限，当P-3时，4呷"2 ；当p=3时，qm宁普=3，此时，氛-叫1=3弘沖4，即n: ；2n ：；2n：；1n：；1n 1 n 1n n2+3p(2+3) = 3(2+3)3p(2 十3 )整理得 2n 2 - p2n .3 2n 1 -2n，即 4 -2p = 6 -3p，得 p = 2故常数P =2或p =3。(2)

12、假设数列 心？是等比数列，设 订鳥、止？、址？的公比分别为PT，: Cn pbn. r -弘-mcnanbnnn_ a1P b1q_n斗丄nJa1P biqa1 卫。b qa1P Z丿4两边取极限:56若P =q，: P = q，. p = _q,E = 一1，此时左边极限为r，右边极限不存在，矛盾; qnbi+ b)若p = q，不妨设b1nnm bqbi yp q此时 an =q _bn =吋2 _如=CjqnJ -加2 EG -R qnJ表明数列阮的公比p二q，这与题设矛盾。故假设不成立，即数列 g 不是等 比数列。注1：极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法，设数列匕奁是公比为q的

13、无 穷等比数列，将也二q两边取极限，得|im匹=lim q = q，说明等比数列中的也的any an yan极限存在，且就是公比q。2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案例2:已知数列和中，a, =1，且对于任意自然数N，总有an.1=），是否存在实an 2数a、b,使得务二a-b - 对于任意自然数N恒成立？若存在，给出证明；若不I 3丿存在，说明理由。分析：解此题的一般思路是，按照“从一般到特殊，再从特殊到一般”的思维原则。先 从具体、特定的实例入手，从中探测出问题的结论，再经过严格的论证，但这样解题过 程比较复杂，不如用极限思想优越，因为本题有它的特殊性，可利用极限考虑。/-：

14、n解：如果这样的a，b存在的话，则由a"=a-bEj可得剪n = a，对an 1二两边取极限,得a二亠，解得a=o或a =3an 2a 2若a = 0,则数列：a应该是以1为首项2以-为公比的等比数列。显然不可能对任意的正整数N都满足an 1二an -2若a =3 ,将q =1代入ana bGI 3丿n，可求得"一3,此时，*"3十33丿2验证a2即得出矛盾。所以，这样的实数a和b不存在。注2:灵活地运用极限思想解题，常可避开抽象、 解题难度，这是减少运算量的一条重要途径。复杂的运算，优化解题过程，降低2.2数学极限思想在函数中的应用2.2.1利用极限思想确定函数

15、图像.11例3：函数y =1 一丄的图像是（）（D），故选（B）2.2.2利用极限思想确定函数定义域例4:从盛满aL纯酒精的容器中倒出1L ,然后用纯水填满，再倒出1L混合液后又用水 填满，这样继续下去。设倒完第n n1次时前后一共倒出纯酒精xL，倒完第n，1次时前后一共倒出纯酒精f x L，求函数f x的表达式。分析：混合溶液问题是我们经常遇到的应用题，根据混合前后浓度的变化即可写出其函数表达式f x二x仁口X由操作的重复性知，操作的次数越多，溶液的浓aa度越小，但是不可能是浓度为零，故 x . a o解：根据题意，第n次倒出的混合液中纯酒精的体积分数为a -xa-1.f (x) =x*1=

16、 x 1aa下面确定定义域，由于第一次就倒出1L纯酒精，故x_1 ;又经过有限次（无论n有多大） 操作，总不可能将全部的aL纯酒精倒出，只能无限趋近于a,即x ： a ,故定义域为|1,a。2.2.3利用极限思想求未知变量的取值范围例5:已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是P -1,1和Q 2,2 ,若直线L : x my m = 0与线段PQ的延长线相交,求m的取值范围解：若m =0,则直线L:x =0与线段PQ相交,不合题意，故 m = 0 ,此时L的方程为y =-丄 x _1m如图易知直线L恒过定点M 0,-1 ,不妨先考虑直线L的极限情形:由于直线L必须与有向线段PQ的延长线相

17、交，L的斜率必须小于M , Q两点所在3直线L,的斜率K二-；当L离开L1的位置绕点M顺时针旋转时，L与PQ的延长线的交2点N逐渐远离Q点,当交点N与Q的距离趋向无穷大时，L逐渐趋向L2 （ L2平行于PQ ）,11这时L的斜率趋向PQ的斜率k2 =丄，故L应夹在L,与L2之间，则k - : k1，即2 m11322，故一2"二为所求。2.3数学极限思想在三角函数中的应用2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值范围例6：已知长方形的四个顶点 A 0,0 ,B 2,0 ,C 2,1和D 0,1，一质点从AB的中点PQ沿与AB夹角为B的方向射到BC上的点R后，依次反射到CD,DA和AB上

18、的点R ，F3和P4 （入射角等于反射角），设F4坐标为X4,0）,若仁：X： 2 ,则tanr的取值范围是A 1,13'c 2,15 2d 225 39分析：本题可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出 tan二的取值范围，根据极限的 观点，令x4t1，不妨 令F4与P重合，依据入射角等于反射角，即知 P， F2，F3均为1各边中点，此时tan v - -，而四个选项中仅有选项 C与此数据有关，故选 C2注3:将精算与估算相结合， 是一种重要的数学能力。运用极限的思想，化繁为简, 为解题提供思路。此类数学试题给高中数学教学变革教与学的方向以启示，注重多元联 系表示，拓宽思维，提高思维

19、质量。2.3.2通过假设极端状态推出角的取值范围例7：若 sin x " cos：A.B.分析：本题中角：显然不是熟知的特珠角，如果我们将方程的两边看作是两个连续的函 数的话，禾U用极限思想，借助函数的大小关系即可得出答案当，0时，sin.土，cosr1 , tan0，此时有 sin二川 cos、* , tan：sincos2tan _：i ；此时有 sin.j hcos、£ > tan：10#当时， sina +cosgt 罷，tanaT 1，此时有 sina +cosa > tanot4当3时,sin ：亠 cos:- 一；tanjr /3，此时有 si n

20、r 11 cos： : ta n :因此，由'蔦和'込两式值的特点和；两式在区间(JT 兀 '14,3>上连续可得#:，故答案为C4 3注4:由本例可见，在解决有关三角函数中的范围问题时， 因为答案都是不等关系, 所以可应用极限思想来确定正确选项。2.4数学极限思想在不等式中的应用2.4.1通过假设变量的极限求得答案例 8:已知 0 ： x ： y : a : 1，则有()(A) loga xy ：0(B) 0 loga xy <1(C) 1 ： loga xy : 2(D) loga xy2分析：当x-； a时，由题意y-； a，此时xy a2， loga

21、 xy；r 2，故可排除 A和B , 当yr o时，由题意Xr 0，此时xyr 0，又0 ： a ： 1,则Ma x，故可排除C ，从而选D2.4.2利用极限思想解决不等式证明题112例9:已知-1：aJ, 一仁b：1，求证亠二 21 -a 1-b 1 -ab分析：本题属于不等式证明，可用作差比较法、三角换元法，分析法等，但用极限思想尤为简单12462 =1 a a a .， 1 -a2 -1 b b b -.， 1-b1 1(a2 b2) (a4 b4) (a6 b6).1 -a 1-b2233_2 2ab 2a b 2a b .=2 1 ab a2b2a3b3.二21 - ab当且仅当a二

22、b时，等号成立，故原不等式成立。2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题xaO例10:不等式组3-x |2-x的解集是（）3 x2 xA 'x 0 ： x : 2： B 'x 0 ： x ： 2.5”'C 0 ： x ： 、6 D 0 ： x ： 3:分析：此不等式组中关健是解绝对值不等式匕2x，但是过程相当复杂，如果应3十x 12十x|用极限思想并结合排除法，此题便可轻松获解。解：当x >3时， > 0, I2" > 1，显然原绝对值不等式不成立，故排除选项D3+x|2+x|5当x=2时，匕J , |2x =o，显然口2x故排除

23、选项A3 + x 5 |2+x|3 + x |2 + x|而当XT 2.5时，3_ T ，| 1，显然原绝对值不等式不成立，故又排除3+x 11 |2+x|9选项B。故正确选项为C。2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积13例11求抛物线y =x2与直线x =1及x轴围城的阴影部分面积S141解：在x轴上将线段0,11等分为n份，每份长度为-，以每份线段为底，以此线段端点n坐标对应抛物线的值为高分别作n个矩形，由此可见，这n个矩形的面积之和Sn近似等于图中阴影部分面S，当n时，S =SSn=M1 M 2 . M#J)2(2)2(n)2n n n

24、 nn n2 22. n )#n(n 1)(2 n 1) 2n3 3n2 n6n3- 6n3SJm：Sn3n26n3#2.5.2禾U用极限思想解决圆锥图形的问题例12:已知抛物线y2 =2px(p 0)，试问：在x轴正方向上是否必存在一点 M，使得对1 1于抛物线上任意一点过M的弦PQ均有 22为定值。MP MQ-Z""一图四分析：假设符合条件的点 M存在，考虑过点M的一条特殊的弦(垂直与x轴的弦的情形)，设 M(x),0 卜 Po(xo,y° 卜 Qo(Xo,yo),则1 1 112 1* = + = 2 =MPoMQoyoyoyopxo但是仅凭此式还是看不出M

25、点的位置，再考虑过点M的弦的极限情形一弦与x的 正半轴重合，此时过点M的弦PQ的一个端点Q是原点，另一个端点P，则可看成是一 个在无穷远的点，即MP，则亠 亠，A，于是丄二丄，解得xo二p o于是可猜得顶 MPo MQoXopxo Xo点 M p,o1 1下面证明过点M p,O的任意一条弦PQ均有2为定值。MPO2 MQO2/ X = p t COS J设过点M的直线方程为y=tsin代入抛物线方程得t2sin2-2ptcos-2p2 =O设方程的两根为t1、t2，它们的几何意义分别为MP、MQ的长，则t1t2 二進0sin a-2p2sin2:15#1 1 1 1 r = r 2 2 2 2

26、MP2 MQ2 t12 t22（鮎 t2）2-2t|t2 4 p2 cos2 ? 4 p2 sin2 ：224t12t224p4故点M ( p,O)是符合条件的点2.6数学极限思想在立体几何中的应用261数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用例13：如图，直三棱柱ABC -A'bC'的体积为V ， P、Q分别是侧棱AA'、CC'上的点, 且AP -CQ，则四棱锥B - APQC的体积为()冬五1(A). V21(B)3V解：由于上、下底三角形形状未定,11(C) _V(D) -V45P、Q可移动，直接找Vbrpqc与V之间的关系不太16#方便，在此可考虑P、Q

27、的极端位置：令P > A、Q > C',则有Vb APQCVb 丄CC' =VC7BC故选(B)#2.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系例14： 一个正四棱台上、下底面边长分别为a b,高为h,且侧面积等于两底面积之和， 则下列关系中正确的是()o(A) 1 二1 1 ( B) 1( C) 111h a bha+ba b hbah解析考虑极限情况：令a； b，则由侧面积等于两底面积之和得 a2 b2 =4ah，即a=2h 对照选项可知(A)符合，故选(A) o2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹例15:如图，正方体ABCD -A'bc'd&#

28、39;，且点P在侧面BCC'B'及边界上运动，且总保持AP BD ',则动点P的轨迹是()图六(A)线段B'C(B)线段BC'( C) BB'中点与CC'中点连成的线段(D) BC中点与B'C中点连成的线段解：直接求符合条件的点P的轨迹不容易，因此，可以考察各选择支 P点的极端位置。P点运动到线段BC的端点C (即点P与端点C重合)时，易证AP_ BD' ；当P点运动 到线段BC的端点B'时，也易证AP _ BD'。而选择支B、C、D中，当P点运动到各 线段的端点时都不满足AP _ BD '。故选(

29、A)。173对一道数学题探索解题思路-II '长轴平例16:求离心率e =_2，过点1,0且与直线L:2x_y 0相切于点 行于y轴的椭圆方程。分析：一般解法是设椭圆中心为 x0, y0，可得椭圆方程，并列出过已知点P的切线方程, 联立消参可求椭圆。2 .解：设椭圆中心为（x（）,y0 ），由离心率e=J5，可得b2 = a22 2又由长轴平行于y轴，可设椭圆方程为 y?05 X=1aa2 2|（y-y。）+5（x-X。）.联立方程a2孑=1只有唯一解，且此解为2x-y+3=02又椭圆过点1,0代入 可求得椭圆方程为X2=15探索思考：计算过程中，明显发现这种解法运算过程繁琐。如果把“点椭圆”看作椭圆 的退化情况，考虑极端元素，则可简化运算过程。解：把点_2 5看作离心率e二2的椭圆系（x 2）2 （y-与=0的极限状态（“点23 丿45353椭圆”），则与直线L:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线 L与“点椭圆”的公 共点的椭圆系，其方程为（x 2）2（y -5）2 （2x - y 3） = 03 53又由于所求的椭圆过点1,0，代入上式，得二-2。32因此，所求椭圆方程为x2 =1518结论