保险精算学-确定年金

1、五种利息支付方式：五种利息支付方式：d d(p)/p d(p)/p d(p)/p d(p)/p i(p)/p i(p)/p i(p)/p i(p)/p i 时间时间 0 1/p 2/p 3/p (p-1)/p 1 1d 1d 141)4(d 2)4(41 d3)4(41 d4)4(41 ddmdmm 11)(1i1i141)4(i 2)4(41 i3)4(41 i4)4(41 iimimm 11)(利息利息贴现贴现 在日常生活零存整取、债务分期偿还等在日常生活零存整取、债务分期偿还等 都是在相等的时间间隔上做的一系列支付，都是在相等的时间间隔上做的一系列支付， 我们称之为我们称之为年金年金。

2、第第2章章 年金年金 (Annuity) 年金，是定期或不定期的时间内一系列的现金流年金，是定期或不定期的时间内一系列的现金流入或流出。入或流出。 年金的分类年金的分类o一般地，年金可以分为如下的两大类：一般地，年金可以分为如下的两大类： 1. 确定年金确定年金：只要事先约定就会确定支付的年金；：只要事先约定就会确定支付的年金； 2. 或有年金或有年金：收付的发生，以某指定事件是否发：收付的发生，以某指定事件是否发 生而定生而定. . 比如，生存年金以被保险比如，生存年金以被保险 人生存为支付年金的先决条件人生存为支付年金的先决条件. . 其它分类方法其它分类方法o收付时点不同：收付时点不同：

3、 1.1.普通年金或期末付年金普通年金或期末付年金 2.2.预付年金或期初付年金预付年金或期初付年金o时间期限不同：时间期限不同：定期、延期、永续年金定期、延期、永续年金. .o时间间隔不同：时间间隔不同：年度、一年多次、连续年金年度、一年多次、连续年金. .o利率变动与否利率变动与否：变动利率年金和不变利率年金。：变动利率年金和不变利率年金。 标准年金标准年金o确定年金的标准型：确定年金的标准型：o 由于年金的形式多种多样，为了便于研究，由于年金的形式多种多样，为了便于研究，常常确定一个年金的标准型。常常确定一个年金的标准型。o 标准年金：指付款时间间隔相等、每次付款标准年金：指付款时间间隔

4、相等、每次付款额额 相等、在整个付款期内利率不变且计息转相等、在整个付款期内利率不变且计息转换周期与付款周期相同的年金。换周期与付款周期相同的年金。 2.1 确定年金的现值确定年金的现值 (1) (1) n 年定期年金的现值年定期年金的现值.o例例1：某君从银行借款：某君从银行借款20,000元，规定在元，规定在今后十年内等额还清，还款时间为每年年今后十年内等额还清，还款时间为每年年末，若贷款复年利率为末，若贷款复年利率为5%，求每年的还款，求每年的还款额额. o例例2：某君从银行借款：某君从银行借款50000元，计划从元，计划从第第7个月开始每月底等额还款，从借款时个月开始每月底等额还款，从

5、借款时算起，期限算起，期限3年还清年还清. 设复年利率为设复年利率为6%（不是名义利率），求每月的还款额（不是名义利率），求每月的还款额X. o分析：还款周期为月，分析：还款周期为月，3年为年为36个月，因个月，因为从第为从第7个月开始还款，必须个月开始还款，必须30个月还清个月还清. o我们先计算还款的现金流在我们先计算还款的现金流在第第7个月初个月初的的现值，然后，再计算它在借款时的现值现值，然后，再计算它在借款时的现值.2.2 年金终值年金终值(Accumulated Value of Annuity)年金终值是一项年金在全年金收付期末的价值，年金终值是一项年金在全年金收付期末的价值，它

6、等于一系列等额收付款在年金收付期末的终值它等于一系列等额收付款在年金收付期末的终值之和之和. (1) n 年定期年金的终值年定期年金的终值n-1n-2年金特点：每年年金特点：每年年末年末支付支付1元，一共支付元，一共支付n次次n-2等比数列等比数列an的前的前n项之和项之和 总结总结: 基本年金公式推导基本年金公式推导211(1)1111(1)1(1)(1)11(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavvi adiisiiiiisiii sdvaaiivaadd din1)1( iiii

7、aaAAAd 1111)1(1)1()1()0()1( iiid11111o例例4：某君每月初存款：某君每月初存款50元，共存了元，共存了10年，年，设年利率为设年利率为9%（不是名义利率）（不是名义利率）. 问：如问：如果按复利计算，则果按复利计算，则10年末能得多少元？年末能得多少元？ 2.3 变额年金n 年定期递增年金年定期递增年金 (期末收付年金期末收付年金):inIa)(记其现值为记其现值为kvkninnvvvvIa 3232)( 1 2 k n 金额金额0 1 2 k n 年份年份第一年末收付第一年末收付1元，以后每年末元，以后每年末收付增加收付增加1元，一共收付元，一共收付 n

8、次。次。, 1nk 求其现值：求其现值：)1(32)(32ninnvvvvIa )2(321)(1(12 ninnvvvIaiiv 11复复习习：ninnva .nninnvvvvIai 121)(:)1 ()2(invaIaninin )(nininiIaIs)1()()( 期末收付时的终值期末收付时的终值iinvannin)1()( insin dnvaiIaaInininin )1()()(现现值值：期初收付期初收付dnsiaIsIinninin )1()()(终终值值：n 年定期递减年金年定期递减年金期末收付：期末收付：n n1 1 金额金额0 1 2 n 年份年份第一年末收付第一年末

9、收付n元，以后每年末收付减少元，以后每年末收付减少1元，元，一共收付一共收付 n 次。次。ianDainin )(现现值值：isiniDaDsinnninin )1()1()()(终终值值：nininvvnnvDaDa 2)1()()(记记其其现现值值为为期末收付期末收付iainaDinin )1()(现现值值isinsDinnin 1)1()(终终值值：期初收付期初收付永续递增年金永续递增年金2.2.4 连续年金连续年金t变动利率年金的现值变动利率年金的现值o当年金每年的利率并不固定时，就是一个变当年金每年的利率并不固定时，就是一个变动利率年金。动利率年金。o设第设第t t年的年实际利率为年

10、的年实际利率为it,年金额为年金额为1，期末支，期末支付。则变动利率年金的现值计算分为两种：付。则变动利率年金的现值计算分为两种： 1. 1. 每次支付的现值都是以支付时的利率计算每次支付的现值都是以支付时的利率计算 2. 2. 每笔支付在不同的时期都以当期利率计算每笔支付在不同的时期都以当期利率计算nniiiiA )1(.)1()1()1(33221111121111)1(.)1()1()1( knkiiiiA2.5 年金例题年金例题 在日常生活零存整取、债务分期偿还等在日常生活零存整取、债务分期偿还等 都是在相等的时间间隔上做的一系列支付，都是在相等的时间间隔上做的一系列支付， 我们称之为

11、我们称之为年金年金。 第第2章章 年金年金 (Annuity) 年金，是定期或不定期的时间内一系列的现金流年金，是定期或不定期的时间内一系列的现金流入或流出。入或流出。 年金的分类年金的分类o一般地，年金可以分为如下的两大类：一般地，年金可以分为如下的两大类： 1. 确定年金确定年金：只要事先约定就会确定支付的年金；：只要事先约定就会确定支付的年金； 2. 或有年金或有年金：收付的发生，以某指定事件是否发：收付的发生，以某指定事件是否发 生而定生而定. . 比如，生存年金以被保险比如，生存年金以被保险 人生存为支付年金的先决条件人生存为支付年金的先决条件. . 其它分类方法其它分类方法o收付时

12、点不同：收付时点不同： 1.1.普通年金或期末付年金普通年金或期末付年金 2.2.预付年金或期初付年金预付年金或期初付年金o时间期限不同：时间期限不同：定期、延期、永续年金定期、延期、永续年金. .o时间间隔不同：时间间隔不同：年度、一年多次、连续年金年度、一年多次、连续年金. .o利率变动与否利率变动与否：变动利率年金和不变利率年金。：变动利率年金和不变利率年金。 标准年金标准年金o确定年金的标准型：确定年金的标准型：o 由于年金的形式多种多样，为了便于研究，由于年金的形式多种多样，为了便于研究，常常确定一个年金的标准型。常常确定一个年金的标准型。o 标准年金：指付款时间间隔相等、每次付款标

13、准年金：指付款时间间隔相等、每次付款额相等、在整个付款期内利率不变且计息转额相等、在整个付款期内利率不变且计息转换周期与付款周期相同的年金。换周期与付款周期相同的年金。 2.1 确定年金的现值确定年金的现值 (1) (1) n 年定期年金的现值年定期年金的现值.o例例1：某君从银行借款：某君从银行借款20,000元，规定在元，规定在今后十年内等额还清，还款时间为每年年今后十年内等额还清，还款时间为每年年末，若贷款复年利率为末，若贷款复年利率为5%，求每年的还款，求每年的还款额额. o例例2：某君从银行借款：某君从银行借款50000元，计划从元，计划从第第7个月开始每月底等额还款，从借款时个月开

14、始每月底等额还款，从借款时算起，期限算起，期限3年还清年还清. 设复年利率为设复年利率为6%（不是名义利率），求每月的还款额（不是名义利率），求每月的还款额X. o分析：还款周期为月，分析：还款周期为月，3年为年为36个月，因个月，因为从第为从第7个月开始还款，必须个月开始还款，必须30个月还清个月还清. o我们先计算还款的现金流在我们先计算还款的现金流在第第7个月初个月初的的现值，然后，再计算它在借款时的现值现值，然后，再计算它在借款时的现值.2.2 年金终值年金终值(Accumulated Value of Annuity)年金终值是一项年金在全年金收付期末的价值，年金终值是一项年金在全年

15、金收付期末的价值，它等于一系列等额收付款在年金收付期末的终值它等于一系列等额收付款在年金收付期末的终值之和之和. (1) n 年定期年金的终值年定期年金的终值n-1n-2年金特点：每年年金特点：每年年末年末支付支付1元，一共支付元，一共支付n次次n-2等比数列等比数列an的前的前n项之和项之和 总结总结: 基本年金公式推导基本年金公式推导211(1)1111(1)1(1)(1)11(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavvi adiisiiiiisiii sdvaaiivaadd di

16、n1)1( iiiiaaAAAd 1111)1(1)1()1()0()1( iiid11111o例例4：某君每月初存款：某君每月初存款50元，共存了元，共存了10年，年，设年利率为设年利率为9%（不是名义利率）（不是名义利率）. 问：如问：如果按复利计算，则果按复利计算，则10年末能得多少元？年末能得多少元？ 2.3 变额年金n 年定期递增年金年定期递增年金 (期末收付年金期末收付年金):inIa)(记其现值为记其现值为kvkninnvvvvIa 3232)( 1 2 k n 金额金额0 1 2 k n 年份年份第一年末收付第一年末收付1元，以后每年末元，以后每年末收付增加收付增加1元，一共收

17、付元，一共收付 n 次。次。, 1nk 求其现值：求其现值：)1(32)(32ninnvvvvIa )2(321)(1(12 ninnvvvIaiiv 11复复习习：ninnva .nninnvvvvIai 121)(:)1 ()2(invaIaninin )(nininiIaIs)1()()( 期末收付时的终值期末收付时的终值iinvannin)1()( insin dnvaiIaaInininin )1()()(现现值值：期初收付期初收付dnsiaIsIinninin )1()()(终终值值：n 年定期递减年金年定期递减年金期末收付：期末收付：n n1 1 金额金额0 1 2 n 年份年份

18、第一年末收付第一年末收付n元，以后每年末收付减少元，以后每年末收付减少1元，元，一共收付一共收付 n 次。次。ianDainin )(现现值值：isiniDaDsinnninin )1()1()()(终终值值：nininvvnnvDaDa 2)1()()(记记其其现现值值为为期末收付期末收付iainaDinin )1()(现现值值isinsDinnin 1)1()(终终值值：期初收付期初收付永续递增年金永续递增年金2.2.4 连续年金连续年金t变动利率年金的现值变动利率年金的现值o当年金每年的利率并不固定时，就是一个变当年金每年的利率并不固定时，就是一个变动利率年金。动利率年金。o设第设第t

19、t年的年实际利率为年的年实际利率为it, 年金额为年金额为1，期末，期末支付。则变动利率年金的现值计算分为两种：支付。则变动利率年金的现值计算分为两种： 1. 1. 每次支付的现值都是以支付时的利率计算每次支付的现值都是以支付时的利率计算 2. 2. 每笔支付在不同的时期都以当期利率计算每笔支付在不同的时期都以当期利率计算nniiiiA )1(.)1()1()1(33221111121111)1(.)1()1()1( knkiiiiA2.5 年金例题年金例题.例8o某公司决定用五年时间建立一笔专用基金，办法某公司决定用五年时间建立一笔专用基金，办法如下：如下：o每年初存入一笔款，数量为逐年等额

20、递减每年初存入一笔款，数量为逐年等额递减 2万元。万元。o从第六年开始每年末提取从第六年开始每年末提取1万元作为奖金。万元作为奖金。o假如年利率为假如年利率为3%，o求第一年初的存款额。求第一年初的存款额。o解：设第一年存款额为解：设第一年存款额为 X 万元。万元。分解与平衡（一）0 1 2 3 4 5 6 7 . . . . .X X-2 X-4 X-6 X-8 0 1 1. 分分解解X X X X X0 -2 -4 -6 -81 1.平衡点平衡点选选 择择平衡关系式：平衡关系式：收入现金流的终值收入现金流的终值 = 支出现金流的现值支出现金流的现值%3%34%35)(2 asIsX )1(

21、1)1()1(iiiissninin .4684.503.103.0103.15%35 s.03.1/03.04)(%34|%34 sdnssIn 3091.403.103.0103.14%34 s 6124.1003.1/03.043091.4)(%34 sI %3%34%35)(2 asIsX 代代入入方方程程：（万万元元）9770.94684.55581.545581.543333.332248.214684.53333.336124.1024684.5 XXX3333.3303.011%3 ia分解与平衡（二）0 1 2 3 4 5 6 7 . . . . .X X-2 X-4 X-6

22、 X-8 0 1 1. 分分解解X X X X X0 -2 -4 -6 -81 1.平衡点平衡点选选 择择平衡关系式：平衡关系式：收入现金流的现值收入现金流的现值 = 支出现金流的现值支出现金流的现值5%3%34%35)(2vaIaaX 为什么是为什么是5次方？次方？.03.1/03.003.0111,15%35 advanininvaIaninin )(.03. 003. 0114)(4%34%34 aIa.03. 1/03. 003. 01114%34 a.5%3%34%35)(2vaIaaX 03. 011333.3303. 003. 011403. 1/03. 003. 0111203

23、. 1/03. 003. 0111445X2.6 随机现金流的期望现值随机现金流的期望现值下面，我们讨论资金的期望价值下面，我们讨论资金的期望价值. 习题inmiminminmiminminmiminminmiminmaisssisssvaaavaa)1()4()1()3()2()1(1 、证明下列等式：、证明下列等式：nnisd)1(12 、求求证证：3、某君每月初存款、某君每月初存款100元，共存了元，共存了5年，年，设年利率为设年利率为5%，问：如果按复利计算，问：如果按复利计算，则则5年末能得多少元？年末能得多少元？)(100)1(%51|0612isXi ，4、某单位每年末存入银行、

24、某单位每年末存入银行20万元，万元，5年后，年后，每年末取出一部分作为专项奖励基金发放，每年末取出一部分作为专项奖励基金发放，共发放共发放8年，每年发放金额相等，若年利率年，每年发放金额相等，若年利率按按3%计算，求每年能发放的最大金额。计算，求每年能发放的最大金额。)(20%3 | 8%3 | 5axS0 1 2 3 4 5 6 7 A A A B B B B5%7%5、如图所示，考虑一个两阶段的年初付的变额年金：、如图所示，考虑一个两阶段的年初付的变额年金：第一阶段：第一阶段：13年，金额年，金额 A =100 元，年利率元，年利率=5% ；第二阶段：第二阶段：47年，金额年，金额 B = 200元，年利率元，年利率=7%。按复利计算此年金的现值及终值。按复利计算此年金的现值及终值。%7 | 44%5 | 33%7 |