六年级小升初数学行程问题

1、六年级(小升初总复习行程问题行程问题常用的解题方法有公式法S=V*T 图示法比例法行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题;分段法方程法模块一、时间相同速度比等于路程比【例1】甲、乙二人分别从A、 B 两地同时出发,相向而行,甲、乙的速度之比是 4 : 3,二人相遇后继续行进,甲到达B 地和乙到达A地后都立即沿原路返回,已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米,则A、B 两地相距多少千米?【解析】两个人同时出发相向而行,相遇时时间相等,

2、路程比等于速度之比,即两个人相遇时所走过的路程比为4 : 3.第一次相遇时甲走了全程的4/7;第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程,三个全程中甲走了453177=个全程,与第一次相遇地点的距离为542(1777-=个全程.所以A、B两地相距2301057÷=(千米.【例2】B地在A,C两地之间.甲从B地到A地去送信,甲出发10分后,乙从B地出发到C地去送另一封信,乙出发后10分,丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了,于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙,以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等,丙的速度是甲、乙速度的3倍,丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【解析】根据题意当丙发现

3、甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下: 因为丙的速度是甲、乙的3倍,分步讨论如下:(1若丙先去追及乙,因时间相同丙的速度是乙的3倍,比乙多走两倍乙走需要10分钟,所以丙用时间为:10÷(3-1=5(分钟此时拿上乙拿错的信5分钟5分钟当丙再回到B点用5分钟,此时甲已经距B地有10+10+5+5=30(分钟,同理丙追及时间为30÷(3-1=15(分钟,此时给甲应该送的信,换回乙应该送的信在给乙送信,此时乙已经距B地:10+5+5+15+15=50(分钟,此时追及乙需要:50÷(3-1=25(分钟,返回B地需要25分钟所以共需要时间为5+5+15+15+25+2

4、5=90(分钟(2同理先追及甲需要时间为120分钟【例3】(“圆明杯”数学邀请赛 甲、乙两人同时从A、B两点出发,甲每分钟行80米,乙每分钟行60米,出发一段时间后,两人在距中点的C处相遇;如果甲出发后在途中某地停留了7分钟,两人将在距中点的D处相遇,且中点距C、D距离相等,问A、B两点相距多少米?【分析】甲、乙两人速度比为80:604:3=,相遇的时候时间相等,路程比等于速度之比,相遇时甲走了全程的47,乙走了全程的37.第二次甲停留,乙没有停留,且前后两次相遇地点距离中点相等,所以第二次乙行了全程的47,甲行了全程的37.由于甲、乙速度比为4:3,根据时间一定,路程比等于速度之比,所以甲行

5、走期间乙走了3374,所以甲停留期间乙行了43317744-=,所以A 、B 两点的距离为1607=16804÷(米.【例 4】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发,相向而行.出发时,甲、乙的速度之比是 5 : 4,相遇后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%.这样当甲到达 B 地时,乙离 A 地还有 10 千米.那么 A 、B 两地相距多少千米?【解析】 两车相遇时甲走了全程的59,乙走了全程的49,之后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,此时甲、乙的速度比为5(120%:4(120%5:6-+= ,所以甲到达 B 地时,乙又走了4689515=,距离 A 地5

6、8191545-=,所以 A 、 B 两地的距离为11045045÷= (千米.【例 5】 早晨,小张骑车从甲地出发去乙地.下午 1 点,小王开车也从甲地出发,前往乙地.下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米.下午 3 点时,两人之间的距离还是 l5 千米.下午 4 点时小王到达乙地,晚上 7 点小张到达乙地.小张是早晨几点出发?【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块.下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米.下午 3 点时,两人之间的距离还是 l5 千米,所以下午 2 点时小王距小张 15 千米,下午 3 点时小王超过小张 15千米,可知两人的速度差是每小时 30 千米.

7、由下午 3 点开始计算,小王再有 1 小时就可走完全程,在这 1 小时当中,小王比小张多走 30 千米,那小张 3 小时走了15 30 45= + 千米,故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时,小王的速度是15 +30 =45千米/时.全程是 45 ×3 =135千米,小张走完全程用了135 +15= 9小时,所以他是上午 10 点出发的。【例 6】 从甲地到乙地,需先走一段下坡路,再走一段平路,最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时,其中第一小时比第二小时多走 15 千米,第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上

8、坡路比走平路每小时慢 30 千米,走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米?【解析】 由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确,所以需要先予以确定.从甲地到乙地共用3小时,如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路,也就是说走上坡路的路程不需要1小时,那么由于下坡路与上坡路距离相等,而下坡速度更快,所以下坡更用不了1小时,这说明第一小时既走完了下坡路,又走了一段平路,而第二小时则是全在走平路.这样的话,由于下坡速度大于平路速度,所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程,而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程多走15千米,所以这样的话第一小时走

9、的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米,不合题意,所以假设不成立,即第三小时全部在走上坡路.如果第一小时全部在走下坡路,那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路,这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程,而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米,也不合题意,所以假设也不成立,故第一小时已走完下坡路,还走了一段平路.所以整个行程为:第一小时已走完下坡路,还走了一段平路;第二小时走完平路,还走了一段上坡路;第三小时全部在走上坡路.由于第二小时比第三小时多走25千米,而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米.所以第二小时内用在走平路上的时间为525306÷=

10、小时,其余的16小时在走上坡路;因为第一小时比第二小时多走了15千米,而61小时的下坡路比上坡路要多走(130157.56+=千米,那么第一小时余下的下坡路所用的时间为(1157.5152-÷=小时,所以在第一小时中,有112263+=小时是在下坡路上走的,剩余的31小时是在平路上走的.因此,陈明走下坡路用了3+=(千米.模块二、路程相同速度比等于时间的反比【例 7】 甲、乙两人同时从A 地出发到B 地,经过3小时,甲先到B 地,乙还需要1小时到达B 地,此时甲、乙共行了35千米.求A ,B 两地间的距离.【分析】 甲用3小时行完全程,而乙需要4小时,说明两人的速度之比为4:3,那么

11、在3小时内的路程之比也是4:3;又两人路程之和为35千米,所以甲所走的路程为4352034=+千米,即A ,B 两地间的距离为20千米.【例 8】 在一圆形跑道上,甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行,6 分后两人相遇,再过4 分甲到达 B 点,又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分? 【解析】 由题意知,甲行 4 分相当于乙行 6 分.(抓住走同一段路程时间或速度的比例关系从第一次相遇到再次相遇,两人共走一周,各行 12 分,而乙行 12 分相当于甲行 8 分,所以甲环行一周需 12+8=20(分,乙需 20÷4×6=30(分.【例 9】 上午 8 点

12、整,甲从 A 地出发匀速去 B 地,8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍,乙速度不变;8 点 30 分,甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从 B 地出发时是 8 点几分.【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟,之后甲的速度提高到原来的 3 倍,又走了 10 分钟到达目的地,根据路程一定,时间比等于速度的反比,如果甲没提速,那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟,所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3,由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟,所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟,也就是说与甲相

13、遇时乙已出发了 15 分钟,所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分.【例 10】 小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2,那么走一半平路所需时间是1.由于下坡路与一半平路的长度相同,根据路程一定,时间比等于速度的反比,走下坡路所需时间是51 1.68÷=,因此,走上坡路需要的时间是511288-=,那么,上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比,为111:8:118=,所以,上坡速度是平路速度的811倍.【例 11】 一辆汽车从甲地开往乙地,每分钟行750米,预计50分钟到达.但汽车行驶到路程的35时,出了故障,

14、用5分钟修理完毕,如果仍需在预定时间内到达乙地,汽车行驶余下的路程时,每分钟必须比原来快多少米?【分析】 当以原速行驶到全程的35时,总时间也用了35,所以还剩下350(1205-=分钟的路程;修理完毕时还剩下20515-=分钟,在剩下的这段路程上,预计时间与实际时间之比为20:154:3=,根据路程一定,速度比等于时间的反比,实际的速度与预定的速度之比也为4:3,因此每分钟应比原来快47507502503-=米.小结:本题也可先求出相应的路程和时间,再采用公式求出相应的速度,最后计算比原来快多少,但不如采用比例法简便.【例12】(2008“我爱数学夏令营”数学竞赛一列火车出发1小时后因故停车

15、0.5小时,然后以原速的340.5小时,然后同样以原速的34前进,则到达目的地仅晚1小时,那么整个路程为_公里.【解析】如果火车出发1小时后不停车,然后以原速的34-=小时,在一小时以后的那段路程,原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4,所以原计划要花(14333÷-=小时,现在要花(14344÷-=小时,若出发1小时后又前进90公里不停车,然后同样以原速的3-=小时,在一小时以后的那段路程,原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4,所以原计划要花(0.5433 1.5÷-=小时,现在要花(0.54342÷-=小时.所以按照原计划90公里的路程

16、火车要用3 1.5 1.5-=小时,所以火车的原速度为90 1.560÷=千米/小时,整个路程为(6031240+=千米.【例13】王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达;返回时,按原计划的速度行驶280 千米后,将车速提高1/6,于是提前1 小时40 分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米?【解析】从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,即车速为原计划的10/9,则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10,即比原计划少用1/10的时间,所以一个半小时等于原计划时间的1/10,原计划时间为:1.5÷

17、1/10=15(小时;按原计划的速度行驶280 千米后,将车速提高1/6,即此后车速为原来的7/6,则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7,即此后比原计划少用1/7的时间,所以1 小时40 分等于按原计划的速度行驶280 千米后余下时间的1/7,则按原计划的速度行驶280 千米后余下的时间为:5/3÷1/7=35/3(小时,所以,原计划的速度为:84(千米/时,北京、上海两市间的路程为:84 ×15= 1260(千米.【例 14】 一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高 20%可以提前1小时到达.如果按原速行驶一段距离后,再将速度提高 30% ,也可以提前1小时

18、到达,那么按原速行驶了全部路程的几分之几?【解析】 车速提高 20%,即为原速度的6/5,那么所用时间为原来的5/6,所以原定时间为51(166÷-=小时;如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ,此时速度为原速度的13/10,所用时间为原来的10/13,所以按原速度后面这段路程需要的时间为1011(14133÷-=小时.所以前面按原速度行使的时间为156433-=小时,根据速度一定,路程比等于时间之比,按原速行驶了全部路程的556318÷=【例 15】 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将车速提

19、高25%,则可以提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?【分析】 车速提高20%,速度比为5:6,路程一定的情况下,时间比应为6:5,所以以原速度行完全程的时间为65166-÷=小时. 以原速行驶120千米后,以后一段路程为考察对象,车速提高25%,速度比为4:5,所用时间比应为5:4,提前40分钟到达,则用原速度行驶完这一段路程需要4054106053-÷=小时,所以以原速行驶120千米所用的时间为108633-=小时,甲、乙两地的距离为812062703÷=千米.【例 16】 甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程.乙火车上午8:00从B 站开

20、往A 站,开出若干分钟后,甲火车从A 站出发开往B 站.上午9:00两列火车相遇,相遇的地点离A 、B 两站的距离的比是15:16.甲火车从A 站发车的时间是几点几分? 分析甲、乙火车的速度比已知,所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知.由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比.根据题意可知,甲、乙两车的速度比为5:4.从甲火车出发算起,到相遇时两车走的路程之比为5:415:12=,而相遇点距A、B两站的距离的比是15:16.说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小时所走路程的(11612164-÷=.也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一,也就是15分钟.所以甲火车从A

21、站发车的时间是8点15分.模块三、比例综合题【例17】小狗和小猴参加的100米预赛.结果,当小狗跑到终点时,小猴才跑到90米处,决赛时,自作聪明的小猴突然提出:小狗天生跑得快,我们站在同一起跑线上不公平,我提议把小狗的起跑线往后挪10米.小狗同意了,小猴乐滋滋的想:“这样我和小狗就同时到达终点了!”亲爱的小朋友,你说小猴会如愿以偿吗?【解析】小猴不会如愿以偿.第一次,小狗跑了100米,小猴跑了90米,所以它们的速度比为100:9010:9=;那么把小狗的起跑线往后挪10米后,小狗要跑110米,当小狗跑到终点时,小猴跑了91109910=米,离终点还差1米,所以它还是比小狗晚到达终点.【例18】

22、甲、乙两人同时从A地出发到 B 地,经过 3 小时,甲先到 B 地,乙还需要 1 小时到达B 地,此时甲、乙共行了35 千米.求A,B 两地间的距离.【解析】甲、乙两个人同时从A地到B地,所经过的路程是固定所需要的时间为:甲3个小时,乙4个小时(3+1两个人速度比为:甲:乙=4:3当两个人在相同时间内共行35千米时,相当与甲走4份,已走3份,所以甲走:35÷(4+3×4=20(千米,所以,A、B两地间距离为20千米【例19】A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市.开车后1小时A车出了事故,B和C车照常前进.A车停了半小时后以原速度的45继续前进.B、C两车行至距离

23、甲市200千米时B 车出了事故,C 车照常前进.B 车停了半小时后也以原速度的45继续前进.结果到达乙市的时间C 车比B 车早1小时,B 车比A 车早1小时,甲、乙两市的距离为 千米.【分析】如果A 车没有停半小时,它将比C 车晚到1.5小时,因为A 车后来的速度是C 车的45,. 故甲、乙两市距离为220012807÷-= (千米.【例 20】 甲、乙二人步行远足旅游,甲出发后1小时,乙从同地同路同向出发,步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方.此后乙每小时多行500米,经过3小时追上速度保持不变的甲.甲每小时行多少米?分析根据题意,乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小

24、时的路程,所以甲、乙的速度之比为2:2.258:9=,乙的速度是甲的速度的1.125倍; 乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程,所以加速后甲、乙的速度比为3:3.754:5=.加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍; 由于乙加速后每小时多走500米,所以甲的速度为(500 1.25 1.1254000÷-=米/小时.【例 21】 甲、乙两人分别骑车从A 地同时同向出发,甲骑自行车,乙骑三轮车.12 分钟后丙丙 分析 丙的速度为7.5215=千米/小时,丙比甲、乙晚出发12分钟,相当于退后了1215360=千米后与甲、乙同时出发.如图所示,相当于甲、乙从A ,丙从B 同

25、时出发,丙在C 处追上甲,此时乙走到D 处,然后丙掉头走了3千米在E 处和乙相遇.【例 22】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时,甲与乙在离山顶 600 米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时?【解析】 甲如果用下山速度上山,乙到达山顶时,甲恰好到半山腰,说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍,就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。两人相遇时走了 1 小时,这时甲还要走一段下山路,这段下山路乙上山用了 1 小时,所以甲下

26、山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5(小时【例 23】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗,站在桥中心以西5米处.一列火车以每小时84千【分析】设铁路桥长为x 米. 在小狗向西跑的情况下:小狗跑的路程为(52x -米,火车走的路程为(33x -米; 在小狗向东跑的情况下:小狗跑的路程为(50.5( 4.522x x +-=+米,火车走的路程为(40.5x -米;两种情况合起来看,在相同的时间内,小狗一共跑了(5( 4.5(0.522x x x -+=-米,火车一共走了(33(40.5(7 3.5x x x -+-=-米;因为(7 3.5x -是(0.5x -的7倍,所以火车速度是小

27、狗速度的7倍,所以小狗的速度为84712÷=(千米/时; 因为火车速度为小狗速度的7倍,所以(337(52x x -=-,解此方程得:64x =.所以铁路桥全长为64米,小狗的速度为每小时12千米.【例 24】 如图,8点10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A 、B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向D 点,甲8点20分到D 后,丙、丁两人立即以相同速度从D 点出发,丙由D 向A 走去,8点24分与乙在E 点相遇,丁由D 向C 走去,8点30分在F 点被乙追上,则连接三角形BEF 的面积为 平方米. D C B A乙甲F E C B A D【分析】如图,由题意知,

28、丙从D 到E 用4分钟,丁从D 到F 用10分钟,乙从E 经D 到F 用6分钟,说明甲、乙速度是丙、丁速度的(741063+÷=倍.因为甲走AD 用10分钟,所以丙走AD 要用7701033=(分钟,走AE 用7058433-=(分钟. 因为乙走(BA AE +用14分钟,所以丙走AB 用7584014333-=(分钟. 因为AB 长60米,所以丙每分钟走4096032÷=(米.于是求出 9588723AE =(米,94182ED =(米,8718105BC AE ED =+=+=(米. B E F B A EE A B C D S S S S S =-矩形60105608

29、7218=-÷-÷-÷ 63002610405787.5=-=(平方米.【例 25】 如图,长方形的长AD 与宽AB 的比为5:3,E 、F 为AB 边上的三等分点,某时刻,甲从A 点出发沿长方形逆时针运动,与此同时,乙、丙分别从E 、F 出发沿长方形顺时针运动.甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5.他们出发后12分钟,三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形,那么再过多少分钟,三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形?D 分析长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半,这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合,并且另一个点恰好在该长方形边的对边上.

30、所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况.将长方形的宽3等分,长5等分后,将长方形的周长分割成16段,设甲走4段所用的时间为1个单位时间,那么一个单位时间内,乙、丙分别走3段、5段,由于4、3、5两两互质,所以在非整数单位时间的时候,甲、乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段.所以我们只要考虑在整数单位时间,三个人运到到顶点的情况.对于甲的运动进行讨论: 对于乙的运动进行讨论: 对于丙的运动进行讨论: 需要检验的时间点有2、3、10、11、2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件.3个单位时间的时候甲在AD上,三人第一次构成最大三角形.所以一个单位时间相当于4分钟.10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形.所以再过40分钟.三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形?课后作业练习1. 甲、乙两车分别从 A 、B 两地出发,在 A 、B 之间不断往返行驶,已知甲车的速度是乙车的速度的37,并且甲、乙两车第 2007 次相遇(这里特指面对面的相遇的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米,那么,A 、B 两地之间的距离等于多少 千米?【解析】 甲、乙速度之比是 3:7