应用数学答案1

1、P. 342 研究一下，出现下列情况时，分析过程有何更改。(a)        如果与是的函数。(b)       如果与是的函数。(c)        如果,和都是的函数。(补充讨论)提示：当系统处于均匀态的时候，所有相关的物理量都将有其各自确定的值；我们的目的是研究系统因为一个小的扰动而偏离均匀态的时候，它能否在经过一段时间以后回到这个均匀态。如果能，我们就称之为稳定的，反之为不稳定的。我们把

2、这一分析过程称之为稳定性分析过程。它的基本思路是：首先确定系统的均匀态（或者称为平衡解），然后就每一个状态分析其稳定性，即引入小扰动，写出关于扰动的物理方程，并化简保留线性项，进而求解线性微分方程(组)，如果关于扰动部分的解不随时间的增长而趋于零，说明该均匀态是不稳定的。参考答案：控制方程：均匀态：小扰动：(a) 自行写出分析过程，参考结果如下： 线性常系数偏微分方程组：稳定性条件：(b) 自行写出分析过程，参考结果如下： 线性常系数偏微分方程组：稳定性条件：(c) 参考分析过程： i)      将,和作Taylor展开，忽略二阶(包括二阶以

3、上)小量：ii)      代入控制方程整理，忽略二阶(包括二阶以上)小量：其中：iii)    稳定性分析：猜测有如下的形式解：代入ii)的方程中可得：有非平庸解的条件是系数行列式为零：稳定性的充分条件： (为什么？上式两根均为负，见书上的分析！)稳定性条件：注：这里根据物理条件已经假定，当然也可以放弃这一假设，进行更详细的讨论。 注意：(1) 和的书写，如这里也可以写作；(2) 是一阶小量，不是二阶小量；(3)  4 定义为，且假设是正小量。忽略的高次项，找到二次方程较大根的近似值。推出增长

4、得最快的扰动的波长的近似值。提示：(部分符号已作修改！做作业时要把下面省略的详细步骤补充完整!)i)          二次方程：ii)         定义：iii)       失稳条件：因为是小量，所以也是小量，进而可知也是小量。iv)       二次方程较大根的近似值：v)  &

5、#160;     增长得最快，说明扰动最大极大值条件：小技巧： (舍去负值)vi)       波长近似值：因为，所以波长近似值：注意：(1)    正确理解题目的意思。(2)   掌握在时的Taylor展开(the Taylor expansion)。 P. 516 在(9)式得方程中消去，以便得到关于径向运动的一个微分方程。把它积分以便推得径向运动的开普勒表示式， 此处a是椭圆的长半轴，e是偏心率，n是轨道的频率，T是经

6、过近日点的时间(the time of perihelion passage)，而E（称为偏近点角, the eccentric anomaly）是一个参数，每走一圈，它的取值范围为。位置角度即为所谓的真近点角(the true anomaly)，量值，随时间而线性变化，称为平近点角(the mean anomaly)。在推导中，应先得到下列形式的能量方程为此，请注意在近日点和远日点（即分别离太阳最近和最远的位置）处的径向速度为零。本题重点复习和掌握简单微积分和微分方程的解法，简要了解一下天文学名词。提示：从轨道运动方程推导能量方程。参考答案：轨道方程：由第二个式子，有：代入第一个式子，有：上

7、式两边同乘以，整理得：积分上式得：在远日点和近日点处的径向速度为零，即：因此： （注意C1是否写对了，可能差一个符号）能量方程：令，有：即：令，则有：因此：当时，则所以：， 偏近点角和真近点角的关系： 补充题：用简单函数(如幂级数、指数函数、对数函数)来表示当时函数的量阶：(本题要求给出具体分析过程！)(a)     (b)     (c)      (d)     (e)   

8、;  (f)       (g)     提示： 两个函数之间的关系：参考分析过程举例如下： 方法一、可作Taylor展开(the Taylor expansion)的情况：(求量阶只需要展出第一项即可，这里多展了几项，只作参考)(a)    因为，则(b)    同(a)有，(c)    (d)    (g)  方法二、不可能只作Taylor展开

9、的情况：(e) 逐渐忽略小量(f) 这里只讨论的情况： 方法三、猜测比较法，如：(c) 猜测量阶为，比较时使用LHospital法则(the L'Hospital's rule)：为使，只有取(g) 猜测 量阶为，比较时使用LHospital法则(the L'Hospital's rule)：为使，只有取 详细解题示例：(a) 方法一：直接进行Taylor展开(the Taylor expansion)因为：所以：方法二：因为：所以：则：方法三：猜测量阶为，比较时使用LHospital法则(the L'Hospital's r

10、ule)：为使，只有取注意： (1)  称为的双曲正弦函数，也可以写作：； 称为的双曲余弦函数，也可以写作：； 称为的反双曲正弦函数，也可以写作：； 称为的反双曲余弦函数，也可以写作：。有同学将理解为、，都是不对的。参考：(2) 幂级数不足于构成完备的标准函数集，需要补充对数函数、指数函数，以及P. 64 10 水星轨道方程：式中，是一小参数。题目提示的方法：解：（题目中部分符号有意更改，做作业要求按原题的符号推导！）设方程有形式解：一阶导数：二阶导数：平方项：（补充推导过程！）方程左边：方程右边：由的任意性，则：一级近似：（补充推导过程！）因此：所以：

11、两个相继的近日点之间的角度为： 注：平方项中涉及了三角函数的积化和差，请自行复习。 我们也可以有下面更加一般化的写法：设方程有形式解：一阶导数：二阶导数：平方项：方程左边：方程右边：。庞加莱方法（Poincares method）水星轨道方程：式中，是一小参数。解：（题目中部分符号有意更改，做作业要求按原题的符号！）假设：则：即原方程左边：原方程右边：当时：因为当（近日点）即时，则：而当很小时：方程右边除了零阶的项以外，最大的项为，它是因此方程的左边除了零阶的项以外，最大的项的量阶必须为我们可以分别讨论和两种情况，易见这两种情况均不合理，前者不可能找到一个常数使得成立，后者

12、不能消除久期项的影响；因此必须有，此时为消除久期项（自行复习高等数学内容），关于的系数必须为零，则结合定解条件我们可以定出即有：两个相继的近日点之间的角度为： 为得到更高阶的解，我们可以继续假设如下形式：具体的讨论略去，因为方法完全类似于上述的讨论。极烦的方法：水星轨道方程：式中，是一小参数。这是来自一本很老的纸版参考答案的题解，里面有诸多笔误，但还是不断被传抄，因此我们将其主要的错误修改后贴在这里，仅供参考。实际上，这个解题过程相当繁琐，原因是它一开始就将一级近似代入方程推导，我们前面提供的方法有效地避免了这一复杂性，希望引起大家的重视。先简要提炼一下这份参考答案的解题过程：(最烦

13、的方法，吃力不讨好！)解的形式：一级近似：Taylor展开：则：方程左边：（太复杂略去）方程右边：（太复杂略去）相应项相等：所以：两个相继的近日点之间的角度为：！详细图片见网上答案！P. 904 (a) 阶的第一类贝塞耳函数(Bessel function of the First Kind)的定义如下：证明（形式地）这个级数给出了贝塞耳方程(Bessel differential equation)：   的解。(b) 如果是整数，试证：(c) 证明:它可充当带有整数下标的贝塞耳函数(Bessel differential equation)的母函数。(d) 证明: (e

14、) 证明:提示：本题要求验证即可，有推导兴趣的参见“数学物理方程(科大版p.84)”。 (a) 推导过程如下：因此：式中，为The (complete) gamma function (b) 推导过程如下： (c) 推导过程如下： (d) 令，代入(c)，利用Euler公式(The Euler formula)得：两边同乘以，并在上对积分，交换积分和求和的顺序有：式中，是the Kronecker delta.因此： (e) 令，代入(d)得：实际上就是周期函数的性质。 P. 1027：求下列积分当时的渐近展开式：(a) 补余误差函数

15、：(b) Fresnel积分： & 参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题！）提示：分部积分法(integration by parts)，注意渐近展开(asymptotic expansion)的表示(p.94)。(a) The complementary error function: 或者或者或者                    

16、          (b) Fresnel integrals: (可直接推导，也可利用上述结果，具体推导过程略去，做作业需要完全写出！)因此：或者写作：P. 112(8) 考虑在均匀力场中沿轴的随机走动。在时间内，粒子以概率分别向左和向右移动距离（其中为常数）。写出粒子在时刻位于离原点距离处的概率的一个差分方程。求时的极限微分方程。参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题！）提示：题目中的左和右的对应性不是很明确，自己选择一种对应关系，给出结论即可；若差分方程和初始条

17、件：结论为：若差分方程和初始条件：结论为： 下面以一种为例来推导：差分方程和初始条件：使用Taylor展开，有： 方程左边：方程右边：可见：因此：，则定义： 和 有极限微分方程： P. 14810 试作一形式为的变量代换，把微分方程：,    均为常数转化成标准形式：提示：参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题！）变量代换：则有：代入，有：整理得：与标准形式比较，得：由上式，第二个式子，有：代入，有：即：解得：因此，取函数：作变量代换，有标准形式：  P. 170(9)(a) 试证：(b

18、) 按照普朗克定律，温度时的辐射密度为：试证：温度时，在空腔内的总辐射密度为：参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题有可能不同，做作业请按原题！）(a) 由Taylor展开有： 或者  因此：那么：其中： (Integral by parts, 要求写出详细推导过程) 考虑函数的Fourier展开：式中：即：由Parseval定理: 因此：则有：(P.168Eqn.45/习题P.169Ex.8c得证)因为：所以：( P.169Eqn.47得证) 因此： (b) 空腔内的总辐射密度：令： 则有： (Stefans law) Ex12非齐次边界问

19、题：(a) 齐次边界问题：试证：和正交。(b) 假定讨论：当有什么性质时，非齐次边界问题存在什么样的解？(c) 问(b)的结论和(a)的结论是否相容。参考答案：（参考答案中有些符号和书上原题不同，做作业请按原题完成！）(a)要证明在区间上的正交性，就是要证明：  写法一：分部积分并利用边界条件可以证明(自己补充详细推导过程)： 写法二：（这一种写法使用了分部积分没有？）因为： 和 所以：则有： (b) 假设则有：因此：解的性质讨论：(1)    若（对于任意的自然数满足），则，即方程有唯一解；(2)   

20、 若（存在自然数满足而），则无解，即方程无解；(3)    若（存在自然数满足且），则有任意解，即方程有任意解。 (c) 相容性讨论：假设若显然有只需要讨论不恒等于零的情况，即，此时必为整数以满足边界条件，记，根据(b)中根的性质(2-3)的讨论，方程有解必有，则：因此，两个结论一样，不矛盾，一致，吻合，无差别，相容。  P1826热传导方程：解为：幅度：改写为：注：这里使用的“幅度”在英文原版书中是”amplitude”，查金山词霸：【物理学】The maximum absolute value of a periodically

21、varying quantity.振幅周期性变量的最大绝对值【数学】The maximum absolute value of a periodic curve measured along its vertical axis.振幅沿垂直轴摆动的周期性曲线的最大绝对值因此这里取。如果有同学取，这是中文版题目本身不是很明确(可能理解成“range”)的缘故，所以这里都不判错，况且这两种理解对本题主要关心的量没有影响。中文版有些翻译不是很恰当，但有些是不影响我们掌握应用数学方法的，所以希望大家不要因为这些问题分散注意力。记：（用最小二乘法（Least Squares Fitting）求解。为什么？

22、）（要求写出详细过程!）写法一：最小二乘法则有矛盾方程组：解矛盾方程，两边同时左乘于，有： 张韵华, 等. 数值计算方法和算法. 科学出版社 2000. (P.59)则：因此： 或者 注：计算过程中取几位有效数字？一般原则是比最后结果至少多一位有效数字。认为不要影响。最后结果取几位有效数字？这取决于测量数据的精度，在一般实验课程中大家都应该掌握了。这里只要不是很夸张(比如位数取很多位)，我们将不予评价。没有掌握规则的同学，自己找本实验技能的书复习一下，那会对你以后书写研究论文有帮助的。写法二：最小二乘法定义误差：求a和b使误差最小，则有极值条件： 即 结果同上。&

23、#160;P. 195(1) 提示：(a)      从(14)式证明(15)式：已知：交换积分顺序：变量代换：变量代换：因为，所以：证毕。(b)     特殊情况下：代入(15)式：变量代换：所以：(c)      应用习题P102.7的结果：（注意补充推导过程）即：（思考为什么需要这么处理）             P. 207(5)

24、 这里我们以更一般的形式为例，部分符号有意更改，做作业请按原题完成：定义函数：            共轭函数(The complex conjugate)：            自相关函数(The autocorrelation function)定义为：          

25、  代入得：            交换积分和求和的顺序：            积分得：            利用Euler公式(The Euler formula)得：       &

26、#160;    因为：            式中，是the Kronecker delta.所以：              P. 221(2) (部分符号和书上原题可能不同！请自行补充详细的推导过程！)扩散方程：式中，为温度，定常问题指的是不随时间发展而变化的问题，即与时间无关的问题。定常问题： 热导率为常数，定常问题：核

27、对自洽性：因为：所以：还有：解的误差和相对误差均和同量级。近似解精确到的量级。在零阶近似下，近似解和精确解一致。 P. 233(7b) 定理的应用在粘性流体中，一个受重力而下落的小球，可以观察到它下落的速度（在一段时间后）为一常数。令, , , 和分别表示球的半径和密度，液体的密度和粘性系数以及重力加速度。(b) 因为这里的运动不是加速的，我们不需要运用加速度正比于重力的关系，而可以把力当作独立的基本单位去处理，试证明。提示：参量量纲关联所有参量的关系式，形式上记作：定义参量组合成的无量纲参数：相应量纲：即：因此：-注意：这个式子并不是关联测量量的关系式，只是定义的无量纲参数的可能形

28、式。如“取”这种说法是不严格的，因为实际上的并不一定只是这样的幂指数的简单形式。-六个参量四个独立的基本单位，故有两个无量纲参数。不妨取：，我们有一个无量纲参数：再者取：，我们有另一个无量纲参数：由定理我们有：，即：也可写成： 我们也可以取：，我们有一个无量纲参数：再者还取：，我们有另一个无量纲参数：由定理我们有：，即：也可写成： 我们还可以有很多很多的取法。P236Ex12 Buckingham pi theorem （详见网上答案）一个简单例子 略P255Ex8b抛射问题：考虑到空气的阻力，但仍不考虑重力的变化。此时定解方程为：(b) 引进变量，证明问题变成了其中只有参数的问题。试对作出物理解释。提示：（部分符号