第五节统计回归模型

1、第第五五节节 统计回归模型统计回归模型 数学模型不仅可以用来描述自然科学中的许数学模型不仅可以用来描述自然科学中的许多现象，还可以用来探讨社会科学中的一些问题。多现象，还可以用来探讨社会科学中的一些问题。 在建立和完善社会主义市场经济体制的过程在建立和完善社会主义市场经济体制的过程中，会出现各种各样的新问题，每时每刻都对经中，会出现各种各样的新问题，每时每刻都对经济的发展产生着重大影响。济的发展产生着重大影响。 在研究经济活动时，比如价格体系的调整或在研究经济活动时，比如价格体系的调整或改革，证券市场的变动等问题，都具有数据有限，改革，证券市场的变动等问题，都具有数据有限，系统不确定性的特点。

2、针对解决系统不确定性的特点。针对解决小样本小样本、少信息少信息、不确定性不确定性的数学建模问题，下面介绍数理统计建的数学建模问题，下面介绍数理统计建模法。模法。 通过建立数学模型可以研究一个国家、地区通过建立数学模型可以研究一个国家、地区或一个城市经济均衡增长的最佳速度及最佳经济或一个城市经济均衡增长的最佳速度及最佳经济结构等问题，因此，数学建模在国民经济中有着结构等问题，因此，数学建模在国民经济中有着重要的应用。重要的应用。 一九九九年一九九九年中共中央、国务院关于深化中共中央、国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定教育改革全面推进素质教育的决定中指出：中指出： 近几年来教育事业的优先

3、发展受到了极大近几年来教育事业的优先发展受到了极大关注，保证了关注，保证了“科教兴国科教兴国”战略的实施。在我战略的实施。在我国三级教育经费总投入中，国家投入仍占较大国三级教育经费总投入中，国家投入仍占较大比重。比重。切实把教育作为先导性、全局性、基础性的知切实把教育作为先导性、全局性、基础性的知识产业和关键的基础设施，摆在优先发展的战识产业和关键的基础设施，摆在优先发展的战略发展地位。略发展地位。年份年份 国家财政性教育经费国家财政性教育经费x（亿元）（亿元） 教育经费投入合计教育经费投入合计y（亿元）（亿元） 1991617.8 731.5 1992728.8 867 1993867.8

4、1059.9 19941174.7 1488.8 19951411.5 1878 19961671.7 2262.3 19971862.5 2531.7 19982032.5 2949.1 19992287.2 3349 1991年年1999年我国教育经费来源表年我国教育经费来源表 表表1教育投入合计包括教育投入合计包括:(1) 国家财政性教育经费国家财政性教育经费;(2) 社会团体公民个人办学经费社会团体公民个人办学经费;(3) 社会捐资和集资办学经费社会捐资和集资办学经费;(4) 学费和杂费及其他教育经费。学费和杂费及其他教育经费。 从从1994年高校招生年高校招生“并轨并轨”改革以来，高

5、等教改革以来，高等教育逐步实行了收费制度，育逐步实行了收费制度， 学生个人需要分担一部分学生个人需要分担一部分教教育成本。育成本。 从表从表1可以看出可以看出, 1994年前后我国的教育经费的年前后我国的教育经费的分担结构已有了较大变化，但是，分担结构已有了较大变化，但是，全国预算内教育全国预算内教育经费经费仍占全部教育经费的大部分。仍占全部教育经费的大部分。 随着教育体制改革的不断深入和公众受教育程随着教育体制改革的不断深入和公众受教育程度期望值的大幅度提高，教育总投入的结构发生了度期望值的大幅度提高，教育总投入的结构发生了较大变化，多渠道的教育投入格局加速了教育投入较大变化，多渠道的教育投

6、入格局加速了教育投入的增长，尤其以的增长，尤其以1994年前后更加明显。年前后更加明显。 建模方法的适用范围和比较建模方法的适用范围和比较 数理统计是从数量角度研究随机现象规律数理统计是从数量角度研究随机现象规律性的学科，主要任务是如何有效的收集和使用性的学科，主要任务是如何有效的收集和使用带随机性的数据数。带随机性的数据数。 数理统计是针对随机不确定性现象常用的数理统计是针对随机不确定性现象常用的一种建模方法。在已知样本信息的情况下，应一种建模方法。在已知样本信息的情况下，应用回归分析和方差分析的手段进行数学建模，用回归分析和方差分析的手段进行数学建模，可借助于一些统计软件如可借助于一些统计

7、软件如SPSS等。等。 例例1 我们把全国教育经费总投入记作我们把全国教育经费总投入记作y（亿元），（亿元），把国家财政性教育经费作为把国家财政性教育经费作为x（亿元），基于上述（亿元），基于上述原因，建立原因，建立1994年前后的两段线性回归。年前后的两段线性回归。 实例分析实例分析 通过散点图可以看出通过散点图可以看出x与与y之间有较密切的线性关系之间有较密切的线性关系.散点图散点图 设模型为设模型为 y = a+bx+，Eya+bx ，是其他随机是其他随机因素产生的随机误差，设因素产生的随机误差，设E=0，Var=2， 设设94年前后的回归模型为：年前后的回归模型为：y对对x的回归表示为

8、两条相交直线，的回归表示为两条相交直线，iiixbay11111i (1,2,3) iiixbay22222i (1,2,3,4,5,6) 假定假定 ， 服从正态分布服从正态分布 ，i1 i2 N2(0,) 回归模型满足约束条件回归模型满足约束条件:iiEyab x1111 iiEyab x2222ab xab x110220 (1) 其中一条回归直线适用于其中一条回归直线适用于 ，另一条回归，另一条回归直线适用于直线适用于 ，且，且 。 xx0 xx0 xxx13021求求Q在约束条件（在约束条件（1）下的极小值）下的极小值.36221211iiiiQ令令110220FQab xab x构造

9、构造Lagrange函数为：函数为：解解: 应用应用Lagrange乘数法，乘数法， 221111 111211 12221311 132122212222222223222322242242425222522622626110220 yab xyab xyab xyab xyab xyab xyab xyab xyab xab xab x2236111 1222211110220 iiiiiiyab xyab xab xab x正规方程组：正规方程组： 3111 1113111 110116222212622222012110220202020200iiiiiiiiiiiiiiFyab xa

10、Fyab xxxbFyab xaFyab xxxbFab xab x 整理得：整理得： 331111113332111111011166222211666222222201111102203020260202iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyabxx yaxbxxyabxx yaxbxxab xab x记：记： 622162216222216222211,61,61,61662iiiiiiiiiXxYyX XxX Yx y3111311132111131 11111,31,31,31,3iiiiiiiiiXxYyX XxX Yx y化简得：化简得： 11111111101 1222

11、22222202211022022ab XYa Xb X XxX Yab XYa Xb X XxX Yab xab x这里这里 为未知数，为未知数， 1122, ,a b a b1,X11112222aabbaabb，由试验数据计算由试验数据计算:由由Cramer法则解得：法则解得：1,Y11,X X1 1,X Y2,X2,Y22X Y1111022220110220738.132886.13738.135553012667857.171740.012409.821740.013166346.64425124.51ababxababxab xab x代入数据，得：代入数据，得： 这里的这里的

12、可按如下方法估计出：可按如下方法估计出：0 x111112121313(,),(,)xyxyxy01yx 设设94年前的散点为年前的散点为 ，由最小二乘法得由最小二乘法得 ，212122222626(,),(,),(,)xyxyxy01yx 94年后的散点年后的散点 , 由最小二乘法得由最小二乘法得 ，经计算得经计算得 ： y = 85.7420 + 1.3167x 和和 y = 500.8832 +1.6728x线性回归图形y = - 500.5598 + 1.6726xy = - 85.9745 + 1.3169x两条线性回归线相交y = - 85.9745 + 1.3169xx0 y =

13、 - 500.5598 + 1.6726x 由由Cramer法则解得两段线性回归方程：法则解得两段线性回归方程： 两条回归直线的交点两条回归直线的交点 =1165.7014，且，且x0 xxx13021 y = 85.9745 + 1.3169x y = 500.5598 + 1.6726x 模型的应用模型的应用 94年前，当国家财政性教育经费投入增加年前，当国家财政性教育经费投入增加1亿亿元时，大约教育总投入增加元时，大约教育总投入增加1.3169亿元亿元，其中有，其中有0.3169亿元亿元是非国家财政性教育经费的投入，即国是非国家财政性教育经费的投入，即国家每增加家每增加1个亿的教育投入，

14、社会其他教育投入约个亿的教育投入，社会其他教育投入约增加增加3169万元万元。 结论结论: 94年后，当国家财政性教育经费增加年后，当国家财政性教育经费增加1亿元时，亿元时，大约教育总投入增加约大约教育总投入增加约1.6726亿元亿元，其中约有，其中约有0.6726亿元亿元是非国家财政性教育经费投入，即国家是非国家财政性教育经费投入，即国家每增加每增加1个亿的教育投入，社会其他教育投入约增个亿的教育投入，社会其他教育投入约增加加6726万元万元，比，比94年前年前多增加约多增加约3557万元万元。 面向面向21世纪教育振兴行动计划世纪教育振兴行动计划中提出：中提出：落实科教兴国战略，要切实把教育作为基础性设落实科教兴国战略，要切实把教育作为基础性设施建设，把教育投资作为一种基础性投资，千方施建设，把教育投资作为一种基础性投资，千方百计增加教育投入。百计增加教育投入。 从表从表1可以看出，可以看出，1991年至年至1999年，全国三级年，全国三级教育经费总投入为教育经费总投入为17117.4亿元，教育投入的大幅亿元，教育投入的大幅度增加，为我国教育事业的较快发展提供了基础，度增加，为我国教育事业的较快发展提供了基础，全国办学条件得到了改善。全国办学条件得到了改善。 教育事业的快速发展，使得我国人口素质教育事业的快速