一阶线性微分方程及其解法

1、二、可分离变量的微分方程)2 . 1 ()()(dxxfdyyg则称方程（则称方程（1 1）为）为可分离变量可分离变量的微分方程的微分方程. .解法解法 设函数设函数)(yg和和)(xf是连续的是连续的, , 一阶微分方程的一般形式：一阶微分方程的一般形式：)1(),(yxfy 若方程（若方程（1）可以写成如下形式：）可以写成如下形式：时，时，当当0)(1 yg xxhygyd)()(d)3 . 1 (d)()(d)2 . 1 (xxhygy变量分离变量分离两端积分两端积分CxHyG )()(可以验证可以验证: (1.4)式式为微分方程为微分方程 (1) 的的(隐式隐式)通解通解.).( 为为

2、任任意意常常数数C)4 . 1 (时，当0)(20yg.) 1 (0的解也是方程yy 注注: 若题目只需求通解，则不必讨论若题目只需求通解，则不必讨论.0)(情形情形 yg例1 求微分方程求微分方程.2dd的通解的通解xyxy 解解分离变量分离变量,d2dxxyy 两端积分两端积分,d2d xxyy,ln12Cxy .2为所求通解为所求通解xCey ,21xCeey ,21xCeey C例2求微分方程求微分方程.edd的通解yxyx解解分离变量分离变量,ddxeyyx两端积分两端积分xyyxded,ln1Ceyx.为所求通解xeCey ,1xeCeey ,1xeCeeyC).( 为任意常数为任

3、意常数C注意到注意到:当当C=0时即时即y=0也是方程的解也是方程的解应用应用: 衰变问题衰变问题: : 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其它元素其它元素, ,铀的含量不断减少铀的含量不断减少, ,由物理学知识由物理学知识, ,铀的衰变速度与未铀的衰变速度与未衰变的原子的含量衰变的原子的含量M M成正比成正比, ,已知已知t=0t=0时时, ,铀的含量为铀的含量为M M0,0,求衰变过程求衰变过程中铀含量中铀含量M(tM(t) )随随t t的变化规律的变化规律解解)0( ,dkkMdtMvdtMd(这里显然有)0变量分离变量分离kdtMdM两端积分两端积

4、分tktMlnln即即ktCeM 00|MMt又又故故CM 0ktMMe0故故, ,衰变规律为衰变规律为练习练习12.1第第3题题,增加一个条件增加一个条件:曲线过曲线过(2,3)点点,求曲线方程求曲线方程xyy变量分离变量分离,d1dxxyy两端积分两端积分|ln|ln|lnCxy|ln|lnCxy Cxy 即即又又6632xyC，yx即所求曲线方程为：故时练习练习:12.2第第3题题xduufxxf0)()()()(xf，uf求为可微函数两边求导得两边求导得:)(1)(xfxfyy1ydxdy1dxydy1变量分离变量分离0)0(f注意注意: :这里隐藏一个初始条件这里隐藏一个初始条件利用

5、变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解.)(的的通通解解求求2yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdu ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 例例6变量代换变量代换是解方程的一种常用的手段是解方程的一种常用的手段.1的通解求yxdxdy.ln的通解求xyyyyxxyu 令yxu令二、齐次方程二、齐次方程形如形如dyyfdxx的一阶微分方程称为齐次方程的一阶微分方程称为齐次方程或或dxxfdyy解法：解法： 针对齐次方程针对齐次方程 dyydxx，

6、作变量代换作变量代换 yux即即 yxu，则，则 dyduuxdxdx将其代入原式，得：将其代入原式，得： duuudx，即，即 uududxx这是一个这是一个关于变量关于变量u与与x的的可分离变量的方程；可分离变量的方程；然后，然后，利用分离变量法求得利用分离变量法求得 11( )dudxuux例例1 求方程求方程 22dydyyxxydxdx的通解的通解 解解 原方程化为原方程化为22dyydxxyx21ydyxydxx,即即 这是齐次方程，这是齐次方程， 令令 yuxyxu,即即 dyduuxdxdx故故 代入得：代入得：21duuuxdxu进行分离变进行分离变量整理，并两边积分，量整理

7、，并两边积分，ln| |ln| |ln|uuxc故所求通解为：故所求通解为： ln| |yycx这是关于变量这是关于变量u与与x的可分离变量方程，的可分离变量方程，111dudxux得：得：书上还有一个例子，自己可以练习练习书上还有一个例子，自己可以练习练习22()2xydxxydy10 xy2221 ( )22( )ydyxyxydxxyxyux212duudxxu2112ududxux2111( )ln(1)( )ln( )ln222uxc2(1)1cxu222()c xyx10 xy1c 22yxx求求微分方程微分方程，满足初始条件满足初始条件 的特解的特解 解：解： 方程可化为：方程可

8、化为： 它是齐次方程。令代入整理后，有分离变量，则有 两边积分，得 即 代入上式，于是所求方程的通解为 把初始条件代入上式，求出，故所求方程的特解为 例例3 求方程求方程 10 xyeydxyx dy的通解的通解 解：解：这是一个齐次方程。先将方程变形为这是一个齐次方程。先将方程变形为110 xydxxedyy令令 xuyxyudxduuydydy,即即 ，故故 代入得：代入得： 110udueuyudy这是关于变量这是关于变量u与与x的可分离变量方程，的可分离变量方程，分离变量分离变量 ，并，并两边积分，得：两边积分，得： 11uuedudyyue 故故 ln()lnlnuueyc 所以，原

9、方程通解为所以，原方程通解为 ：xyyexc五、小结五、小结本节主要内容是：本节主要内容是：1齐次方程齐次方程 dyyfdxx2齐次方程的解法：关键是令齐次方程的解法：关键是令 yux，从而，从而 原方程转化为可分离原方程转化为可分离 变量方程去求解；变量方程去求解； yxu，则，则 dyduuxdxdx，代入原方程后，代入原方程后，dxxfdyy或或判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：一、一阶线性微分方程及其解法一、一阶线性微分方程及其解法例例1 1在微分方程中，若在微分方程中，若未知函数未知函数和和未知函数的导数未知函数的导数都是一次都是一次的，则称

10、其为一阶线性微分方程。的，则称其为一阶线性微分方程。1. 1. 一阶线性微分方程的定义一阶线性微分方程的定义223)1(xyy 2sin1)4(xyxdxdy 22)3(xyy )12sin() ()2(3 xxyyxyyy )5(1sin)6(2 xyxy（是）（是）（是）（是）(1) )()(xQyxPdxdy 2. 2. 一阶线性微分方程的一般式一阶线性微分方程的一般式3. 3. 一阶线性微分方程的分类一阶线性微分方程的分类 当当 时，方程（时，方程（1）称为一阶线性）称为一阶线性齐次齐次微微分方程。分方程。0)( xQ 当当 时，方程（时，方程（1）称为一阶线性）称为一阶线性非齐次非齐

11、次微分方程。微分方程。0)( xQ(2) )()(yQxyPdydx或或)2 . 2(0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齐次线性方程的通解为：齐次线性方程的通解为：.d)( xxPCey1 齐次线性方程：齐次线性方程：求求解法解法:分离变量：分离变量：1. 常数变易法常数变易法2 非齐次线性方程：非齐次线性方程：).()(ddxQyxPxy )()(待待定定将将变变易易xCC 作变换作变换 xxPexCyd)()(,)()()(d)(d)( xxPxxPexPxCexCy得得代代入入原原方方程程和和将将,yy ),()(d)(xQex

12、CxxP 可分离变量方程可分离变量方程,d)()(d)(CxexQxCxxP 积分得积分得一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为的通解为: xxPxxPeCxexQyd)(d)(d)(.为为任任意意常常数数其其中中C2. 常数变易公式常数变易公式的通解为：d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP )()(xQyxPdxdy)()(xQyxPdxdy （2）一阶线性非齐次微分方程）一阶线性非齐次微分方程常数变易法常数变易法1）一般式）一般式2）解法）解法3）通解公式）通解公式)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxxPCe)(dxexQedxxPdxxP )

13、()()(齐次的齐次的通解通解非齐次的特解dxxPey)()()(CdxexQdxxP关于通解公式要注意：关于通解公式要注意：只表示某一只表示某一个函数个函数若 时，绝对值符号可不写即即特别注意特别注意： 而是而是| )(|ln)(xdxxPln| ()|ln()( )( )xxP x dxeeexln()()xex ln( )1( )xex例例1 1、求微分方程、求微分方程2xyye 的通解的通解. .1122xyye 102yy 解法解法1 1（常数变易法）常数变易法）原方程变形为原方程变形为 : : 对应的齐次方程为对应的齐次方程为 ：得通解为得通解为11( )22dxxP x dxyC

14、eCeCe设原方程的解为设原方程的解为 12( )xyC x e从而从而 11122( )( )2xxyCx eC x e代入原方程得代入原方程得111111222( )( )( )222xxxxCx eC x eC x ee1( )2xCxe2( )xC xeC化简得化简得 两边积分，得两边积分，得 122( )xxxyC x eCee11( ),( )22xP xQ xe 所以，原方程的通解所以，原方程的通解 解法解法2（用公式法）（用公式法）把它们代入公式得把它们代入公式得11()1222dxdxxyeeedx C22()xxeeC. 1 2的通解的通解求求xyxy ,1)(xxP ,x

15、xQ2)( Cdxexeydxxdxx121 Cdxexexxln2ln解解例例2 2则通解为则通解为 Cdxxx31xCx 341. 00)12( 12的特解的特解满足满足求求 xydxxxydyx,2)(xxP 21)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx2221 Cdxxex)1(ln2解解练习练习则通解为则通解为 Cxxx2122原方程变形为原方程变形为,122xxyxdxdy 其中其中2121xCx .1的通解的通解求方程求方程xeyxyx ,1)(xxP ,)(xexQx Cxexeeyxxxxxdd1d1 Cxexeexxxdlnln Cxexxd1 .1Cexx 解解(不)例

16、4通解：通解： Cxxxexxd1得得由由01 xy,21 C因此方程满足初始条件的特解为因此方程满足初始条件的特解为221121xxy (ln )ln0 xy dyyydx(讲讲)求以下方程在求以下方程在 下的特解下的特解eyx1|yxyydydx1ln1原方程可化为：原方程可化为：原方程通解为：原方程通解为：()()()Py dyPy dyxeQy edyCyCyxlnln21Cyyxln)ln2(或或0)(3dyyxydx求方程通解：求方程通解：若化为：若化为：xyydxdy3则则不是不是一阶线性的一阶线性的而化为：而化为：xyyyxydydx123则则是是一阶线性的一阶线性的再见书上习

17、题再见书上习题),(tv设设降降落落伞伞下下落落速速度度为为.)0( 系系落落速速度度与与时时间间的的函函数数关关速速度度为为零零，求求降降落落伞伞下下伞伞离离开开跳跳伞伞塔塔时时速速度度成成正正比比，并并设设降降落落后后，所所受受空空气气阻阻力力与与设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落 t,ddkvmgtvm 解解例9kvmgF :其其所所受受力力为为maF :由由牛牛顿顿第第二二定定律律得得(方法1)gvmktv dd即即一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程dddCtegevtmktmk dCtegetmktmk Cekmgetmktmk .tmkCekmg kmgcv|t :00代入

18、通解得代入通解得将将).e1(tmkkmgv 所求特解为所求特解为选择题考点选择题考点（间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序）大题考点大题考点1、求极限求极限2、隐函数求导（一个方程和方程组情形）隐函数求导（一个方程和方程组情形）3、抽象函数求导抽象函数求导4、求极值、求极值5、直角坐标系下计算二重积分、直角坐标系下计算二重积分6、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标）、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标）7、解齐次方程、解齐次方程（令令U=

19、U=。，转化为。，转化为U U和和X X的方程）的方程）8 8、解一阶线性方程、解一阶线性方程（用公式或常数变易法）（用公式或常数变易法）9、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 画草图如右画草图如右dxxfVba2)( dyy2)( dcVd)(yx

20、xy0cxyo)(xfy 注注： ，即动点，即动点P P以以任意方式任意方式即沿即沿任意曲线任意曲线趋向定趋向定点点P P0 0时，都有时，都有f(Pf(P) A) AAPfPP)(lim022222200)()cos(1limyxyxyxyx 求二重极限方法类似一元函数的一些求二重极限方法类似一元函数的一些方法方法：等价无穷小替换；：等价无穷小替换；重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹逼准则；换元；利用公式和运算法则）逼准则；换元；利用公式和运算法则）xcos122x等价无穷小替换等价无穷小替换；对于多元函数的极限要求不

21、高，只要求会求些较简单的二重极限对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限注意注意：在多元函数中，：在多元函数中，洛必达法则不再适用洛必达法则不再适用，但如果通过换元后，但如果通过换元后的一元函数照样可用的一元函数照样可用例例求求yyxxy1)0,2(),()1lim（xyxyxxy1)0,2(),()1lim（211)0,2(),(limeexyx),(),(lim),(),(1limyxgyxfyxgeyxf（型1211)0,2(),(limeeyxyyx或或用重要公式用重要公式原式原式例例求求xyxyyx1sinlim)0,2(),(xyxyyxsinlim)0,2(),(

22、xyxyyxsinlim)0, 2(),(22)0, 0(),(1coslimyxxyyxyyyxsinxlim)0, 2(),(2222)0, 0(),(1sinlimyxyxyx）（100020无穷小的性质无穷小的性质04222zzyx),(yxzz 22xz求设设确定确定两边对x求偏导数：0422xzxzzxzxxz2再对上式对再对上式对x求偏导数：求偏导数：（按商的求导公式按商的求导公式）.)2()2()2()2()2(2222zzxxzzxzxzxz对于一阶偏导数，还可用公式法对于一阶偏导数，还可用公式法zxFFxzzFxFzzyxzyxFzxzx242,24),(222令22(,)

23、f xyx y22x2x y 2( ,)f x x y例例1.000),(222222 yxyxyxxyyxf讨论讨论是否处在点,)0 , 0(1) 连续；连续；(2) 偏导数存在；偏导数存在；(3) 可微可微.解解 (1) ),(lim00yxfyx)sin,cos(lim0 f sincoslim0 )sin(coslim0 = 0 = f (0,0)处处连连续续在在)0 ,0(),(yxf(2) )0 , 0(xf0)0 , 0()0 ,(lim0 xfxfx0000lim20 xxxx0)0 , 0( yf同同理理.)0 , 0(),(处处偏偏导导数数存存在在在在yxf0)0 , 0(

24、)0 , 0()0 , 0(),(lim0 yfxffyxfyx(3)？)0 , 0(),(fyxf 令令22yxyx 0 如果考虑点如果考虑点),(yxP 沿着直线沿着直线xy 趋近于趋近于)0 , 0(， 则则22)(0limyxxyxy )0 , 0()0 , 0(yfxfyx ,22yxyx 22)(0)(0limlimyxxyxyxy ,21 220)(0limlimxxxxxxy ),()0 , 0()0 , 0(oyfxfzyx 即即 f (x, y) 在点在点)0 , 0(处不可微处不可微. 0lim0 )0()( o例例2 证证令令,cos x,sin y则则22001sin

25、limyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f )0 , 0(xfxfxfx)0 , 0()0 ,(lim0 , 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf故函数在点故函数在点 (0, 0) 处连续处连续 ; ,)()(22yx 下面证明：下面证明：)0 , 0(),(在点在点yxf可微可微 .yfxffyx)0 , 0()0 , 0( yx1sin x 00令令则则 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22 yxyxxy)0 , 0(),(, 0 yx且且可微可微在点在点,)0 , 0(),(yxf. 0),(d)0,0( yxf注注 此题表明此

26、题表明, 偏导数连续只偏导数连续只是是可微的可微的充分条件充分条件.而非而非必要条件必要条件.例例1.1. 求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组ABC ),(yxfx09632 xx ),(yxfy0632 yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12 A,0 B,6 C,06122 BAC5)0,1( f,0 Axyxyxyxf

27、933),(2233 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12 A,0 B,6 C,06122 BAC)0,3( f6,0,12 CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0 A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12 CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 重复是学习之母重复是学习之母弗莱格弗莱格 世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间高尔基高尔基 谢谢大家对我的支持！ ！祝大家考试取得好成绩！得得由由01 xy,21 C因此方程满足初始条件的特解为因此方程满足初始条件的特解为221121xxy 二、一阶线性微分方程的应用二、一阶线性微