一般周期的函数的傅里叶级数

1、第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数(14)(14) 一一 . 以以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开式傅里叶展开式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 二二 . 定义在任意有限区间上定义在任意有限区间上 函数的傅里叶展开式函数的傅里叶展开式 一一. 以以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(z)变量代换lxz将F(z) 作傅里叶展开 f (x) 的傅里叶展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则在函数的连续点处其傅里叶

2、展开式为:10sincos2)(nnnlxnblxnaaxfnaxlxnxflbllndsin)(1其中定理定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 令lxz, 则,llx,z令)(zF, )(z lf则)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以)(zF且它满足收敛定理条件, 将它展成傅里叶级数:10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的连续点处 )(xf变成是以 2 为周期的周期函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 zznzFandcos)(1其中zznzFbn

3、dsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 连续点处 )xlxnxflldcos)(证毕. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的连续点处)lxnsinl20l如果 f (x) 为偶函数偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 无论哪种

4、情况 ,).()(21xfxf在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数收敛于l20l如果 f (x) 为奇函数奇函数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 把展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇奇周期延拓, 则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2oyx(2) 将 作偶偶周

5、期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k则有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 此式对0 x也成立,8) 12(1212kk由此还可导出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x12) 12(1kk据此有2oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二. 定义在任意有

6、限区间上的函数的傅里叶展开法定义在任意有限区间上的函数的傅里叶展开法方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里叶级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦正弦或余弦余弦级数)(zF奇奇或偶偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦正弦或余弦余弦级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(zFz55例例3. 将函数

7、)155(10)(xxxf展成傅里叶级数.解解: 令,10 xz设)55( )10()()(zzzfxfzF将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n则它满足收敛定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x机动 目录 上页 下页 返回 结束 为正弦 级数. 内容小结内容小结 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n当f (x)为奇 函数时,(偶偶)(余弦余弦)2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里叶系数时哪些系数