第二讲lagrange插值 - 主要知识点

1、12 插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性；插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性； LagrangeLagrange插值插值( (含线性插值、抛物插值、含线性插值、抛物插值、n n次次LagrangeLagrange插值公式）；插值公式）； 插值余项；插值余项； 插值方法：（插值方法：（1 1）解方程组、（）解方程组、（2 2）基函数法。）基函数法。3 设已知某个函数关系设已知某个函数关系 在某些离散点上的在某些离散点上的函数值：函数值：根据这些已知数据来构造函数：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式的一种简单的近似表达式, ,以便于计算以便于计算点点 的函数值的函数值 ，或

2、计算函数，或计算函数的一阶、二阶导数值。的一阶、二阶导数值。( )f xx0 x0yy1y1nyny1x1nxnx,0,1,ixx in( )yf x( )yf x4多项式插值定义多项式插值定义 在众多函数中在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数多项式最简单、最易计算，已知函数 个互不相同的点处的函数值个互不相同的点处的函数值 ，为求，为求 的近似式，自然应当选的近似式，自然应当选 次多项式次多项式n使使 满足条件满足条件( )1yf xn在nixfyii, 1 ,0),()(xfy 2012( )nnnP xaa xa xa x( ),0, 1,niiP xyin0,111( ),(

3、 ),(33),1(,)(0,1, )( ),( )nnnf xpxx xxnxyinypxyf x称为被插函数称插值多项式 条件称插值条件称插值节点 这种求函数近似式的方法称为插值法几何上 其实质是用通过个点的多项式曲线当作曲线的近似曲线.如图所示)(xPn5插值多项式插值多项式的几何意义的几何意义6定理：定理：(唯一性唯一性) 满足满足 的的 n 阶插值阶插值niyxPii,., 0,)( 多项式是唯一存在的。多项式是唯一存在的。7存在唯一性定理证明存在唯一性定理证明设所要构造的插值多项式为：设所要构造的插值多项式为： nnnxaxaxaaxP 2210)(由插值条件由插值条件 niyxP

4、iin, 1, 0)( 得到如下线性代数方程组：得到如下线性代数方程组： nnnnnnnnnyaxaxayaxaxayaxaxa1011110001001118存在唯一性定理证明存在唯一性定理证明( (续续) )此方程组的系数行列式为此方程组的系数行列式为 nijjixx0)(范得蒙行列式范得蒙行列式 ！当当 jixx 时时， ;, 2 , 1ninj, 2 , 1D 0， 因此，因此，P Pn n( (x x) )由由a a0 0, , a a1 1, , , a an n唯一确定。唯一确定。nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111 9一、解方程组法：一、解方程组法： 类似插

5、值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为数为 ，将，将 个节点个节点的函数值代入多项式里，便得到的函数值代入多项式里，便得到 个等式，得到一个个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。到所要求的插值多项式。二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机求解的方法，下面将具体介绍。求解的方法，下面将具体介绍。nnnxaxaxaaxP 2210)(1n1n10拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 拉格朗日

6、（拉格朗日（LagrangeLagrange）插值公式的基本思想是，）插值公式的基本思想是，把把p pn n( (x x) )的构造问题转化为的构造问题转化为n+1n+1个插值基函数个插值基函数l li i(x)(i(x)(i=0,1,=0,1,n),n)的构造。的构造。 11x0 x1(x0 ，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可见可见 是过是过 和和 两点的直线。两点的直线。12抛物插值函数抛物插值函数x0 x1x2p2(x) f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。 13nnnxaxaaxP 10)(要求：无重合节点，即

7、要求：无重合节点，即jixx ji 设连续函数设连续函数 在在a, ba, b上对给定上对给定n n + 1 + 1个不同结点：个不同结点：分别取函数值分别取函数值其中其中试构造一个次数不超过试构造一个次数不超过n n的插值多项式的插值多项式使之满足条件使之满足条件 i = 0, 1, 2, niinyxP )( )yf x14 已知函数已知函数 在点在点 上的值为上的值为 ，要，要求多项式求多项式 ，使，使 ， 。其几何。其几何意义，就是通过两点意义，就是通过两点 的一条直线，的一条直线，如图所示。如图所示。01,x x0011(,), (,)A xyB x y( )yf x01,yy100

8、()p xy1( )yp x111()p xy15一次插值多项式一次插值多项式 16由直线两点式可知，通过由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为的直线方程为 它也可变形为它也可变形为 显然有：显然有：1000110( )yyyyxxp xxx010110100)(,)(xxxxxlxxxxxl17记记可以看出可以看出的线性组合得到，其系数分别为的线性组合得到，其系数分别为 ，0y1y01( ), ( )lx l x0 x1x称称 为节点为节点 , 的线性插值基函数的线性插值基函数1001( )xxlxxx0110( )xxl xxx011010110( )xxxxL xyyxxxx18线性插

9、值基函数线性插值基函数满足下述条件满足下述条件01( ), ( )lx l x1001ix0 x1x0( )lx1( )l x并且他们都是一次函数。并且他们都是一次函数。注意他们的特点对下面的推广很重要注意他们的特点对下面的推广很重要19 我们称我们称 为点为点 的一次插值基函数，的一次插值基函数， 为点为点 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为值为1 1，而在另外的插值点上取值为，而在另外的插值点上取值为0 0。插值函数。插值函数 是这两个插值基函数的线性组合，其组合是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称

10、系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（作为拉格朗日（LagrangeLagrange）插值。）插值。0( )lx1( )l x0 x1( )p x1x20 线性插值只利用两对值及求得的线性插值只利用两对值及求得的 近似值，误差较大。近似值，误差较大。 p2(x)是是x的二次函数，称为二次插值多项式。的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。21012,x x x以过节点以过节点 的二次函数的二次函数为插值函数。为插值函数。2( )L x用基函数的方法获得用基函数的方法获得2( )L x其中其中12001

11、02()()( )()()xxxxlxxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxlxxxxx( ,)(0,1,2)iix yi 设被插函数在插值节点设被插函数在插值节点处的函数值为处的函数值为012,yy y20 01 12 2( )( )( )( )L xy lxy l xy lx22 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式，而三个插值点可求出二次插值多项式。，而三个插值点可求出二次插值多项式。当 插 值 点 增 加 到当 插 值 点 增 加 到 n + 1 个 时 ， 我 们 可

12、以 利 用个 时 ， 我 们 可 以 利 用Lagrange插值方法写出插值方法写出n次插值多项式，如次插值多项式，如下所示：下所示：23已知已知n+1个节点处的函数值个节点处的函数值iy0y1yixnx0 x1xny求一个求一个n次插值函数次插值函数( )nL x满足满足( )(1,2, )niL xyin24构造各个插值节点上的基函数构造各个插值节点上的基函数 满足如下条件满足如下条件( )(0,1, )il xin1000010000010 xix1x2xnx0( )lx1( )l xn( )lx25求求n n次多项式次多项式 ， k k = 0, 1, = 0, 1, , n n ik

13、ikxlik, 0, 1)(iinkkkinyxlyxP )()(1则则 i = 0, 1, 2, n即即 满足插值条件满足插值条件 根据根据 的表达式，的表达式， 以外所有的结点都是以外所有的结点都是 的根，的根，( )klx( )klx( )klxkx( )npx260111( )()()()()()kkknlxxxxxxxxxxx nkjjjxx0)( 又由又由 ，得：，得： )()()(11110nkkkkkkkxxxxxxxxxx 因此令因此令()1kklx27knknkjjjkjknkknyxxxxyxlxP 000)()()()()()()()()(11101110nkkkkkk

14、knkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl nkjjjkjxxxx0从而得从而得n n 阶拉格朗日（阶拉格朗日（LagrangeLagrange）插值公式：）插值公式：28)1( nf在在a , b内存在内存在, 考察截断误差考察截断误差( )( )( )nnR xf xL x设节点设节点, baCfn bxxxan 10，且，且 f 满足条件满足条件 ,0)( 0)()(10 xx ),(10 xx 存在存在 使得使得 。且且推广：若推广：若0)()()(210 xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10 ),(10 使得使得0)( )(x 10, xx)

15、,(10 xx罗尔定理罗尔定理 : 若若 在在 连续，在连续，在 充分光滑，充分光滑，29注：注： 通常不能确定通常不能确定 x , 而是估计而是估计 , x (a,b) 将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。1)1()( nnMxf niinxxnM01|)!1( 当当 f(x) 为任一个次数为任一个次数 n 的多项式时，的多项式时， , 可知可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项多项式是精确的。式是精确的。0)()1( xfn0)( xRn30例：例： 已知特殊角已知特殊角 处的正弦函数值处的正弦函数值123,222分别为分别为求正弦函数的一次、二次插值多项式

16、，并用求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用插值函数近似计算插值函数近似计算 ，并估计误差，并估计误差解：一次插值函数为解：一次插值函数为,6 4 3 11264( )226446xxL x5sin1831误差为误差为1( )sin( )()()()()2!64264fR xxxxx在所求点的函数值为在所求点的函数值为155sin()0.776141818L误差为误差为15( ) 55()()()182!186184fR(,)6 3 知知150.00762()0.0131918R 32二次插值多项式为二次插值多项式为2()()()()()()123436364( )222()()()()()()64