数学建模作业影院座位选择

1、影院座位选择摘要看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题。本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一个多目标规划问题。本文先建立了模型1,采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。而后就“怎样选择一个好位子”的问题，建立模型2,分析了讲堂中央部分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。模型2作了巧妙的假设，提出了"基本视效”的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值&g

2、t;大的座位满意度高，反之，满意度低。模型2的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。因此模型也更加可信。关键词多目标规划视角仰角几何基本视效matlab一、问题的背景一看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。在师范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。问题的提出有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90

3、°,垂直70°,考虑双眼余光时的视角大约为水平180°,垂直90o观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。经医学实验得知：10。以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。20。以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。*0°30。，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30。之外视力就下降很低了。但是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。即虽然图像内容是二维平面的，但结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图

4、像时，会令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。由上面的分析，在敬文讲堂看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么&

5、quot;曲项向大"，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。考虑到讲堂的400个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约2*0个座位，两侧约各200个。由于敬文讲堂，只有一个小的投影屏幕，宽度远小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位差很多，又考虑到中央的近200个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的讨论都只限于中央的座位。下图为敬文讲堂剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为三、模型的建立模型1:寻找最优位置显然，最优的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所

6、以这个模型所选择的范围就缩小了，只用考虑一列14个座位。1）模型的假设A.假设敬文讲堂的座位面为与水平面夹角为的倾斜面（如下图所示）B.不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度相同。C.不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。D.只从中间部分的座位选择。*.忽略观众头顶到眼睛的距离。F.忽略观众两眼间的距离。*.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。2）参量变量HhH1D*1l*屏幕上边缘到地面的高度屏幕的高度最后一排距地面的高度观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角近似座位面与

7、水平面所夹的二面角第一排座位与屏幕的水平距离最后一排座位与屏幕的水平距离观众眼睛到屏幕的水平距离观众所处的座位面上的点到水平面的距离观众眼睛到水平面的距离观众平均坐高观众眼睛所在位置构成的直线经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有14排X13列，座位与座位之间左右间隔米，前后间隔1米。并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为米）：H4h*D18d4a*130*an3/143）模型的求解因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题便转化成一个平面几何问题。为达到"视角尽可能大，仰角尽可能小"的目的，就是在线上选择合适的点使得角（+）尽量大，但角尽

8、量小。由于和的变化范围都在-90-90之间，所以可以用函数arctan来衡量角的大小。如图所示，tan=HL,tan=业）且。所以=arc*,sisi*1si=arctar!+h-H（注意，L+h>H时为正），那么，问题进一步转化为s1.HL+h-H一一，H-L一一，arc*a*-+arctan；一尽量大，而ar*ta*7尽量小。而后一目标可简化为s1s1s*-L_s1尽量小，即士一尽量大。s1H-L用数学语言写为：f1(s)=s1*f2(s)=ar*tanHL+arctan业s*s1F（s）=*1（*1）,f2（s1）在解的可行域R内，求多目标的极值问题可记为:m*xF(s1)这是一个

9、典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用“化多为单”的方法。下面就用"主目标优化法”对模型进行求解。所谓"主目标法"就是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优化，而使其他的目标降为约束条件。进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。查资料知，当仰角不大于20°时,短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。也就是说，视角

10、大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来白舒适感更重要。所以f*(*1)为主要目标，f1(s*)降为约束条件f2(s1)<tan(2*)o0那么问题转化为一个非线性规划：max*2(s1)ds*D*1(s1)<tan(*0)0在求f2(s1)极值时，利用f2'(s1)=0,即：(ar*ta*H-L)'(arctarL+h-H)'=0s1s1HL*p-s1201 (*L)1(Lh2H)s12s12*HHLh八0s12(H2*$12(Lh2H)将L=(*1-d)*tan+a=(s1-4)*3/14+,*=4,h=*，代入整理得3(s14)14s1*J)140*.1

11、j3(s14)1*s12»)214用*at*ab解得s1=<4*-L*+*-H回出f=(arcta*)(arctan)'的图像(见下图)s1s1H-ll+h-*由图像看出f*(s)=arctan+a*ctan的导数值恒负s1s1-0*1-*084*810*21*16进一步，算出各排的视角值排数12*4567视角*31.*2*排数891*11121314视角*510.*5以及各排的仰角值排数*2*4*67仰角*3.*1310.*42排数8910111*1314仰角:*7.*614*09*7视角是依排数递减的，再由约束条件*2(s1)<tan(20),0所以应该坐在第

12、*排中央的位子。这是一个有效解。即在所有可行解中找不到比它更好的解4)模型的分析*-LL+h-*f=(arctan)'(*rctan)'在求导时没有在4,17的区间内出现理想s*1零值，主要跟敬文讲堂的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。所以由敬文讲堂的这种设置，看电影时最好应该坐在第5排中央，这是一个有效解。下面关心此模型用在正规电影院的情形。广州最豪华的飞扬影城设计采用国际标准，屏幕高10米，宽14米。而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到最后一行的坡度高达4.*米。它的其他数据与敬文讲堂相

13、同，套用此模型解得从一到十四排的视角为：排数123456*视角*7*343.*76*排数8*10111213*视角*93*.516*9.*51仰角为:排数1234567仰角,4*60.*91*4*.432排数8910111213*4仰角,*24.*52得到在此电影院观影，最优位置为第*4排中央的位置，这主要是由它宽大的屏幕决定的，坐的靠后，反而观影满意度高，而影院也大力宣传：”最后一排的观众感觉尤其奇妙，由于坡度高，会产生一种空中看电影的感觉”。这点验证了模型的合理性。上述数据摘自新快报文章-到天河城”空中看电影"»。模型2:寻找好位置最优位置只有一个，去抢座位看电影的同学

14、能竞争到那个位子可谓十分不易，那么下面我们就来进一步分析，在抢不到最优位置的情况下，再选择哪里的位子可以达到一个也算不错的观影效果下图为敬文讲堂俯视图:幕屏区位座中轴面敬文讲堂俯视图这样，问题就不能只考虑垂直的情况，还要考虑水平的情况，具体的说，就是如果最佳位置已有人坐了，而它旁边和后面的位置都还空着，那么是坐在最佳位置的后面还是坐在最佳位置的旁边，可以更好的享受这次观影呢同样，在考虑水平的情况时，根据人的视觉感受，坐的太偏离屏幕中心，需扭转颈部才能达到更好的观影效果，因此，和水平情况的讨论结果相同，水平视角越大越好，斜角越小越好。于是，问题就变成一个空间立体几何问题，考虑到对称性，我们只讨论

15、最中间一列位置和它左边区域的位置。而同时讨论水平视角、水平斜角、垂直视角、垂直仰角，就是说有四个目标要优化，无疑使问题得讨论非常复杂，在衡量目标的主次上也会比两两比较困难。所以，为化简问题，我们将四个目标化简为1个-"基本视效"。定义为：人直视屏幕时，屏幕在人的视野中所占比例。1）模型的假设A.人的观影感受只与视觉感受与颈部舒适度有关。B,忽略人头顶到眼镜的距离，忽略人两眼之间的距离。C.人的有效视野为椎定为20。的正4棱锥，人只能看见以其眼睛为锥定，锥角为20。的4棱锥范围内的事物。且忽略围墙和屋顶的阻挡作用（如下图所示）*.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于

16、矩形的上面一条边的垂直地面的中垂线上。2）比模型1增加的参量、变量wWs*SSL2屏幕宽一排座位的总宽度观众眼睛到讲堂中轴面的距离屏幕所在的区域屏幕所在的平面观众眼睛所在的平面视线*棱锥在平面的投影与区域重合部分的面积视线锥在屏幕所在平面的投影面积观众眼睛距屏幕中截面的高度基本视效值SS测量得*=3米W=7米3)模型的解释此模型将人的视线看成光线，于是眼睛被看成一个特殊的光源，只能射出一个正4棱锥形的光束，锥角固定为2*o那么，看电影的问题就转化成投影问题。即光源垂直地向屏幕所在的平面？发射光线，最终在？平面上得到一个正方形光区，那么屏幕与光区重合部分在光区中所占比例越大，基本视效越好。依据此

17、思想，建立3维直角坐标系，分析此问题。如上图，以屏幕的中心为坐标原点O,建立O;i,j,k单位右手标架。使向量i,j张成平面？，空间中任一点A(s*,si,L2)关于单位右手正交基i,j,k的分量就为三元有序实数组(s2,si,L2)。其中s2的几何意义为观众眼睛到讲堂中轴面的距离，si的几何意义为观众眼睛到屏幕的水平距离，L*的几何意义为观众眼睛距屏幕中截面的有向高度。观众的眼睛P在平面上移动，由模型1的假设面可以参数化：r=r(s2,s1)=(*2,s1,*-h/*-(s1-d)ta*),那么当观众眼睛在面上移动时，以P为定点的4棱锥在空间内做平移运动，图中阴影部分为4棱锥在？平面的投影与

18、区域的重合部分，则随点P的运动，阴影与投影部分的面积及其二者的比例比值k也会发生变化。L2。且投影点只在I、IV象限运动。以4)模型的求解为使基本视觉效果达到最好，则只需在面上找一点P,使得其对应的k值最大。左图为s2oL2平面图：空间内一点P(s2,s1,*2)在该平面的投影点为(s2,L2),由于只考虑讲堂最中间一列位置和它左边区域的位置，所以0s*,4si17,P点为顶点的上述4棱锥在此平面截出一个正方形，其边长为*si*t*n(10户*si,其到屏幕上、下、左、右边的距离为:,L2+*.5,|,s2+其中,L2=(si-d)*a*+*-h/2+(*-h)=(si-4)*3/14+1.*

19、由此可以给出阴影部分面积计算方法：图中标明了4个变量x1,x2,y1,y*,为正数，表示分别表示投影点到阴影部分,左、右、上、下4边的距离：xi=*in|,*six2=mins2+*.5,*siyi=min,*si*2=m*nL*+,*s1阴影部分的面积为=(xi+x2)(yi+y2)当s2时当s2>*.5时阴影部分的面积为=(x2-x*)(yi+y*)4棱锥在屏幕所在平面的投影面积为S=(*si)、，S则基本视效k=一Sp用Matlab软件可计算出有14排x*3列，282个座位的k值，下表为中央一列和他右侧共98个座位的基本视效值，表格安排与座位安排相同：*094*.57094*480

20、00*752*.01835200*0.*63*14*.6*28*.31938*.1299300*.83951*0.*1902*53100*0.*2*04*6250*7*.6*7*.50618*.224340*89*7*.33705*58*20*.*1705*883*.2*831*2*.3*9*6*.12943*7*34*.1*43*.283*9*24*50.*5077*0*70.*077*.2*9*.131*7*.*832*5并画出14排x*3列，*82个座位k值的三维图形，可更直观的看出各个座位的观影适合程度，图形中方格的分布与敬文讲堂俯视图中座位的分布相同。其中越突出的地方越适合观影：从上

21、面表格及图形可看出，前9排靠近中央的座位都比较适合观影，其中3到7排中央3列的座位观影满意度更佳。因此在敬文讲堂看电影时，可优先选择这些位子。且最佳的那*5个位子满意度相差不多，选择时不必过度苛求。而对于相对较偏的位子，靠后坐一些可以得到比坐在前排可好的视觉效果。5）模型的分析我们定义"基本视效”这一标准来衡量座位的优良是有其合理性的。因为观众在观看电影时，视野中屏幕所占的比例越大，视觉效果越好，它与专业上所说的视角越大，视效越好是同理的，只不过一个用的是角度的度量，一个用的是比例系数的度量。当观众的基本视效较小时，他总会通过扭转颈部的方法使基本视效最大化。例如，坐在第一排的观众没有

22、谁是不仰头看电影的，而坐在边上的观众也都不是直视前方的。因此，这一模型就是将视角和仰角整合成一个变量，"基本视效”值k小既意味着视角不够大，也暗含着，你需要更大地扭转颈部来达到满意的视效，从而要影响观影的舒适度。这样，模型就很好地把一个多目标规划变成了一个单目标的规划。而假设人的水平和垂直有效视角均为20°,将人的有效视觉区域看成一个4棱锥，虽然看似荒唐，但对问题的解决上是不存在太大影响的，因为这是一个比较问题，只需比较座位之中哪个的"基本视效"最大。而采取20°,而不是其他角度，是与医学上认为，2*。以内能正确识别图形等信息，并称为有效视野相

23、符合的，后来带入程序也验证采用其他角度建立模型，得到的结果并不满意。从模型2的结果，光看中央一列的基本视效*值，正好是第*排达到最优，与模型1的结果一致，可以说相互作了验证，模型是合理的。四、参考文献1刘来福，曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社2席少霖，赵凤治.最优化计算方法.上海科学技术出版社3范玉妹，徐尔，周汉良.数学规划及其应用（第2版）.冶金工业出版社4欧阳崇森.实用最优化技术.湖北科学技术出版社5清源计算机工作室.Ma*lab基础及其应用.机械工业出版社五、心得体会经过了两周的奋战，终于完成了这篇凝聚了自己心血的论文。一周的选题，大海捞针，头晕眼花，一周的写论文，反复推敲

24、，辛酸苦辣。最后近20页沉甸甸、思想不是*trl+C力口Ct*+V的论文，还是带给自己非凡的满足感。选题时阶段，无论何时何地，都在想眼前的东西，可不可以建模分析一下，道边的垃圾桶、教九楼的电梯、耳中的音乐、超市发的商品价格最后选择了看电影的题目，还算比较适合自己的能力。初次接触这种多目标规划的题目，首先联想到了微观经济学中学到的"效用函数”的概念，后来查找资料，真的有类似的分析方法-权重法。但仔细思考，发现此种方法的主观性太大，不易把握，所以换了一个角度思考，使得模型的准确性更高。特别是模型*的建立，将它转化成一个单目标规划，依据了医学的一些基本原理，提出了大胆的假设，可以说尽量少的

25、掺杂主观成分。开始，模型2是用圆锥形来做的，后来在计算上过于复杂，因而改用4棱锥。在角度的选择上也费了不少心思，最后还是发现用医学上的有效视野的角度数最合适。模型的结果还是和平时的经验比较符合的，因此对于模型2这个灵感迸发，还是十分满意的。写论文过程中，每晚对着电脑，有一种探索的感觉，不知道模型是否合理，所有努力是否会付之东流，只是一步步地前进着，期待着一个满意的结果。其中也出现了反复，因为忘了一种的情况的讨论，而怀疑整个模型的正确性，一时间万念俱灰，因为打错了一个字母，对着短短的程序发了一下午呆，欲哭无泪。所以作完了这次论文，也使自己充分领悟了细心的重要性。总之，感谢这学期开设的数学模型课，让我们体验到了数学的魔力与探索的乐趣，让我对着家教的学生可以讲出数学的万般用处，感谢老师和助教的辛勤辅导，让我们的建模和建算机能力都有了提高。最后对于论文中众多的不足之处，还恳请老师指正。附录：附Matl*b程序如下:模型1程序：建立M-文件functionf=f(s)f=(3*(s-4)/14-3.*)/(sA2+(3*(s-4)/A2)-(3*(s-4)x)+atan(x-4)*3/14+-1.*).反)func*iony2=y2(x)y2=atan(x-4)*/14+)./x)s=4:1:*7;y=y(*);y=y.*180/*.1*Colu*ns1through731.*27Col