数学;15.5《几何体的体积》教案(2)(沪教版高三上)

1、15.5几何体的体积（2）锥体的体积上海市第二中学赵磊一、教学内容分析锥体的体积是学习祖咂原理与柱体体积之后，对几何体体积的进一步探索.其中三棱锥体积在这之中又尤为重要，起着承上启下的作用.推导三棱锥的体积要用到前一课时的内容；同时，n棱锥乃至圆锥的体积公式又是建立在三棱锥体积之上的.所以处理好三棱锥的体积问题，是这堂课的重中之重.二、教学目标设计学生通过具体实验感知三棱锥体积公式，通过严谨证明确认三棱锥体积公式，通过对新知识的应用推广得到 n棱锥的体积公式，通过具体实仞初步应用锥体体积公式能应用割补法求体积以及体积法求点到面的距离，在这个过程中，提高分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力.三、

2、教学重点及难点 三棱锥体积公式及其探求.四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入1、复习祖附I原理：体积可看成是有面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等2、柱体体积公式： V榭i=Sh3、问题：锥体的体积公式是什么？会不会和柱体的体积有什么联系？实验：如图取一个三棱锥教具（无底面AB。，一个与之同底等高的三棱柱教具（无底面ABC（教具可用硬板纸制作），以及黄沙若干.用三棱锥盛满黄沙，倒入三棱柱容器中，发现倒三次正好把三棱柱容器填满从这个实验中，学生猜想三棱锥的体积公式为V三棱锥=Sh3这个实验的结果到底是一个美丽的巧合还是

3、一个必然的结果？、学习新课问题1:从猜想的三棱锥体积公式为V三棱锥= 1Sh看，体积只和三棱锥底面积和高有关，而与3底面三角形的形状无关.那么，上述实验中的三棱柱不变，三棱锥变成与原三棱锥O-ABC等底等高的三棱锥P-DEF,结果是否会不变呢?解决此问题，即要证明等底等高的三棱锥的体积相等已知三棱锥O-ABC和P-DEF的底面积都是S,高都是h.求证：三棱锥 O-ABC和P-DEF的体积相等.证明：把两个三棱锥的底面都放在平面上，任意作平面 ,设平面截三锥O-ABC所得的截线为三角形 A B' C',其面积为 S;平面 截三树t P-DEF所得的截线为三角形D'E

4、9;F',其面积为险.如果三棱锥的顶点。和P与平面的距离为hi,那么推得：OA'OB'OC' hA'B'B'C'C' A'hO O J h和C C一 一1,于是得 A'B'C': ABC,相似比OAOB0chABBCCAh是h1 ,同理可得D 'E'F ': DEF ,相似比也是 h1 .由相似形的性质得 S e）2hhS hS2g（h2）2.即 s1h1 2I 1因为任意平行于底面的平面截两个三棱锥时，所得的截面面积相等，所以由祖咂原理得 三棱锥O-ABC和P-DE

5、F的体积相等，即等底等高的三棱锥的体积相等111问题2：为什么三棱锥的体积公式恰巧为V三棱锥二-Sh,而不是S'Sh?324观察实验中的三棱锥 O-ABC正好含在三棱柱 OPQ-ABC中，于是我们通过连接OB OC把三棱柱 OPQ-AB彷的三棱锥 O-ABC找出来，发现三棱柱 OPQ-ABC1由三棱锥 O-ABC和四棱 锥O-BCQP1成的.进一步的，连接 BQ那么此时比较明显的有：VOPQ-AB=VO-ABC+WOPQ+V)-BCQ由于等底等高的三棱锥的体积相等，故有:VO-ABC=*-OPQ =V O-BPQ=Vo-BCQ因此，V三棱锥= 1Sh3请学生叙述如果连接 PC怎样证明？

6、平面几何中求面积时，我们经常会用到割补法.同样的，立体几何求体积也会用到此法上述的证明方法，本质上就是把一个三棱锥补成三棱柱后，再加以证明，是求体积的“补” 法.推广1：四棱锥的体积公式呢？如果也采用三棱锥探求体积的方法，是否可行？三棱锥体积的证明中用到了一个三棱锥非常个性化的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点.这是其它任何棱锥所不具备的特征 .那么，我们已经知道，并且证明了三棱锥的体积，四棱锥中有没有三棱锥呢?通过连接AG可得：Vp-abc=Vp-abc+VP-acd1=(S AAB(+Sa AC)h= - SBch其中h是P到底面ABCD勺距离，即四棱锥的高推广2: n棱锥的体积公式

7、呢?基本上可由学生自行完成.课本P39也讲述的非常清楚.总结：V棱锥= 1Sh 3三、巩固应用例：在正方体 ABCD-A B' C' D'中，已知棱长为 a,求:(1)三棱锥B' -ABC的体积；(2)这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；(3)B到平面AB' C的距离？(用2种方法答)解：(1)由正方体棱长为 a,得Saabc= a2 ,高h=a.2所以 Vbz -abc= - SA ABC, h= 一 , a 2, a= a .332631a.(2)因为 V正方体=a ,用F以 Vbz -abc - V正方体=6方法一：如图，过 B作BCL面AB&

8、#39; C于0,则A AB' C的重心.连A0并延长交B' C于M因为 AB ' =B' C=CA=.''2 a,所以 AM= - v12 a= a,0A= AM=- a.22222在 RtAAOB中,BO=v AB 0A =.a-a 方法二：设B到面AB' C距离为h,因为AB ' =B' C=CA=''2 a, 所以 S A AB C= * 3( 2 2 a) 2 = * 3 a2 ,止匕 一, a , h=VB-AB c= V b，-abc = , a a= a )32326.这为我们求解故h=2a即B到面AB' C的距离为13a.方法二充分运用了三棱锥的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点 顶点到底面的距离提供了捷径，称之为体积法四、课堂小结1、割补法求体积2、 V 棱锥=lsh33、体积法求点到面的距离五、作业布置课本P41练习15.5(2)六、教学设计说明数学是源于生活的.选用实际的实验操作能使学生对V棱锥=-Sh有一个形象的、具体化3的认识.数学是严谨的.发现规律之后，需要的是严格的证明，证明的两个层次，老师要加