高中数学平面向量习题及答案-平面向量题库

1、第二章平面向量、选择题B . DE与CB共线).D. AD与BD相等1. 在厶ABC中，AB= AC, D , E分别是 AB, AC的中点，则（A. AB与AC共线C. AD与AE相等2. 下列命题正确的是（A .向量AB与BA是两平行向量B. 若a, b都是单位向量，则a = bC.若AB = DC，则A, B, C, D四点构成平行四边形D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同第1页共9页第#页共9页3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3, 1） , B（ 1 ,3）,若点C满足OC=：-Oa + '- Ob，其中：，弋r，且+ 1 = 1,则点c的轨迹方程为（

2、A. 3x+ 2y11 = 0B . (x 1)2+ (y 1)2= 5C. 2x y= 0D. x+ 2y 5= 04.已知a、b是非零向量且满足（a 2b）丄a, （ b 2a）丄b,则a与b的夹角是（jiA.-6C.三35兀D .65.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点 A, C），则AP =（A. X AB + AD ),氏（0,1）B . X AB + BC ),C. X AB AD ),X (0,1)D. X AB BC ),6.A ABC 中，D ,E, F分别是AB, BC, AC 的中点，贝U DF =(第2页共9页第#页共9页EF + EDB . EF

3、 DE第#页共9页第#页共9页C.EF + ADD. EF + AF7.产面向量a与b的夹角为60 ° | b| = 4, ( a+ 2 b) ( a 3b) = 72,则向量第#页共9页模为（第#页共9页C. 6D . 12-OA ,&点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 OA OB = OB OC = OC则点O是厶ABC的（A .三个内角的角平分线的交点B 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点D.三条高的交点9. 在四边形ABCD中，AB = a + 2b,BC = 4a b, CD = 5a 3b,其中a, b不第3页共9页第#页共9页共线，则四边形 AB

4、CD为（A 平行四边形B 矩形C.梯形D .菱形10.如图，梯形ABCD 中,|AD|= |BC|, EF / AB / CD 则相等向量是(；A. AD 与 BCOA 与 OBC. AC 与 BDEO 与 OF).（第10题）二、填空题第#页共9页第#页共9页11. 已知向量 OA = (k , 12) , OB = (4, 5) , OC = ( k , 10)，且 A, B, C 三点共线,12. 已知向量 a = (x+ 3, x2 3x 4)与 MN 相等，其中 M( 1, 3) , N(1, 3)，则13. 已知平面上三点 A, B, C 满足 | AB | = 3, | BC |

5、 = 4, | CA | = 5,则 AB BC +BC CA + CA AB 的值等于 .14. 给定两个向量 a= (3, 4), b= (2, 1)，且(a+ mb)丄(a b)，则实数 m等于.15. 已知A, B, C三点不共线，O是厶ABC内的一点，若 OA + OB + OC = 0,贝U O是厶ABC的.16. 设平面内有四边形 ABCD和点O, OA = a, OB = b, OC = c, OD = d,若a+ c=b+ d,则四边形ABCD的形状是三、解答题17. 已知点 A(2, 3) , B(5, 4) , C(7, 10)，若点 P 满足 AP = AB + 入AC

6、 (入 R)，试求入为何值时，点P在第三象限内？18.如图,BC的中点，且MN与AD交于F，求DF .(第18题)已知 ABC, A(7, 8) , B(3, 5) , C( 4, 3) , M ,第4页共9页19.如图，在正方形 ABCD中，E, F分别为AB, BC的中点，求证：AF丄DE（利用向量证明）.（第19题）20 .已知向量 a= ( cos 0, sin ®，向量b= ( J3 , 1)，则| 2a b|的最大值.第5页共9页第6页共9页参考答案一、选择题1. B解析：如图， AB与AC , AD与AE不平行,向.2. A解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对.若A

7、B = DC，可能A, B, C, D四点共线，故C不对两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对.3. D解析：提示：设 OC = (x, y) , OA = (3, 1) , OB = ( 1, 3)，用 OA = ( 3、丄，圧),OB = ( ', 3 )，又:OA + ' OB = (3 '-, :+ 3 -),任任xPn. (x, y) = (3a P, g+ 3旬，二丿门，又口+ 0= 1,由此得到答案为 D .y = a+304. B解析： (a 2b)丄a, (b 2a)丄b,(a 2b) a = a2 2a b= 0, ( b 2a) b=

8、 b2 2a b= 0,1 a2= b2,即 | a| = | b| . | a| 2= 2| a| b| cos 0= 2| a12cos 0.解得 cos 0=.2 a与b的夹角是n.35. A解析：由平行四边形法则，AB + AD = AC，又AB + BC = AC，由 入的范围和向量数乘的长度，入 (0, 1).6. D解析：如图， AF = DE ,DF = DE + EF = EF + AF .(第6题)7. C解析：由(a+ 2b) ( a 3b) = - 72,得 a2-a b 6b2=- 72.而| b| = 4, a b= | a| b| cos 60 = 2| a| ,

9、 |a|2 2| a| -96=- 72,解得 | a| = 6.& D解析：由 OA ob = ob oc = oc OA，得 OA ob = oc oa,即 OA ( OC - OB) = 0,故BCOA = 0,BC丄OA，同理可证AC丄OB ,O是厶ABC的三条高的交点.9. C解析： AD = AB + BC + CD =- 8a- 2b= 2 BC , AD / BC 且 | 疋 |工 |BC|.四边形ABCD为梯形.10. D解析：AD与BC , AC与BD , OA与OB方向都不相同，不是相等向量.、填空题11.解析：A, B, C三点共线等价于 AB , BC共线,A

10、B = OB - OA = (4, 5) - (k , 12) = (4-k , - 7),BC = OC - OB = ( - k , 10) - (4, 5) = ( - k - 4 , 5),又A , B , C三点共线，2 5(4- k) =- 7( -k -4) , k =三.312. - 1.解析： M( - 1 , 3) , N(1 , 3),MN = (2 , 0),又 a= MN ,x+3=2x=-1x2-3x-4=0 解得=-诫x=4第8页共9页x= 1 .13. 25.解析：思路1：t阴=3，岡=4, ABC 为直角三角形且/ ABC = 90° 即 AB 丄

11、BC，二 AB BC = 0, AB BC + BC CA + CA AB=BC CA + CA ABS'=CA ( BC + AB )=(CA)2 =-CA=25.思路 2：v |ab| =3,BC=4, CA = 5, / ABC= 90°机3:cos/ BCA=BCCA 5CA cos/ CAB =45根据数积定义，结合图(右图)知 AB BC = 0,- lb4BC CA = BC CA cos/ ACE = 4 x 5 x ( 一 ) = 16,5CA AB = FA 3AB cos/ BAD=3x 5 x (=9.AB BC + BC CA + CA AB = 0

12、169= 25.14. 233解析：a + mb= ( 3+ 2m, 4 m), a b= (1, 5)./ (a+ mb)丄(a b), ( a+ mb) (a b) = ( 3+ 2m) x 1 + (4 m) x 5= 0= m=23315.答案：重心.解析：如图，以OA , OC为邻边作口AOCF交AC于:（第15题） . . . .点 E,则 OF = OA + OC，又 OA + OC =- OB , OF = 2OE =- OB . O 是厶 ABC 的重心.16. 答案：平行四边形.解析：t a+ c= b+ d,. a b= d c,. BA = CD .四边形ABCD为平行

13、四边形.三、解答题17. 1.解析：设点 P 的坐标为(x, y)，则 AP = (x, y) (2, 3) = (x 2, y 3).第10页共9页第#页共9页第#页共9页AB + AAC = (5, 4) (2, 3) + 入(7, 10) (2, 3):=(3,1 ) + A5, 7)=(3+ 5人 1 + 7 A .AP = AB + 入AC ,(x 2, y 3) = ( 3+ 5 入 1 + 7 A .I"3桝即尸5+5扎_3=1+7&y =4十7 丸A（第18题）要使点P在第三象限内，只需解得AV 1.4 +<018. DF = ( - , 2).4解析：

14、A(7, 8) , B(3, 5) , C(4, 3),AB = ( 4, 3) , AC = ( 3 , 5).又D是BC的中点， AD =丄(AB + AC)=丄(一4 3, 3 5)2 21 119. 证明：设 AB = a, AD = b,贝V AF = a+ b, ED = b a.(第19题)2 2AF ED = (a+ b) ( b a) = b2 a2 + a b.22224又 AB 丄 Ad，且 AB = AD , a2= b2, a b= 0.AF ED = 0,. AF 丄 ED .本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.20 .分析：思路 1: 2a b= (2cos . 3 , 2sin 0+ 1),| 2a b| 2= (2cos 0 , 3 )2+ (2sin 0+ 1) 2= 8+ 4sin 0 4,3 cos 0.nnn又 4sin 0 4 3 cos 0= 8( sin 0cos cos Osin ) = 8sin( 0)，最大值为 8,333 | 2a b|2的最大值为16,. |2a b|的最大值为4.思路2:将