创设美的数学情境

1、创设美的数学情境，构建领悟学习模式 福建省福清三中 王钦敏（本文曾获福建省初等数学会教育教学论文评选一等奖）在基础教育中，基础知识和基本技能的教育是首要任务，但是这种教育不能以时下流行的死记硬背和高强度训练的方式来进行，而且，基础教育无可推托地必须肩负起培养创新意识和实践能力这一重要的任务。在数学科的教育教学活动中，由于学科本身的高度抽象性使得在培养学生学习兴趣方面有着巨大的困难，兴趣的缺乏引起好奇心的丧失和对数学美的漠视，直接影响了双基教学和能力培养的效益，对培养探索创新的精神更是一种无可逾越的障碍。因此，基础教育中的数学课程设计和教育教学必须完全实现从“传授知识和高强度的解题训练”的传统模

2、式到“以激励学习为特征的，以学生为中心”的实践模式的转变。如何激发学生的学习兴趣强化他们探索研究的动机呢？又如何让学生在学习中初步培养他们的创新意识和创新能力呢？在历史上，为数众多的数学家对自已的数学思维活动和研究动机都作出了细致的文字叙述，本世纪初法国数学家彭加勒有一段极端而鲜明的文句：“科学家研究自然，并非因为这样做有用。他所以研究它，是因为他从中得到乐趣；而他之所以能从中得到乐趣，那是因为它美。如果自然并不美，就不值得去了解它，生命也就没有存在的价值。”同是法国数学家的阿达玛则对数学思维做过精辟的论述：“在我们用下意识所形成的大量组合中，大多数是乏味的和没有用的，它们无法作用于我们的美感

3、，它们永远不会被我们注意到；其中只有若干组合是和谐的，因此同时是美的和有用的，它们能够激起我们特殊的几何直觉，这些几何直觉把我们的注意力引向这些组合，使它们能够被我们意识到。”这两段论述在教育教学的方法和策略上给了我们重要的启示：追求数学美是研究数学中最主要的一种心理动机，数学发现中扮演着最重要角色的不是逻辑思维而是直觉思维或者说是灵感之类的顿悟式的思维。通过对数学美和数学发现的深入考察，我们认为，陶醉在美的数学情境中所出现的数学美感是我们获取有价值的数学发现的最主要向导，而在数学学习中必须倡导由直觉思维和逻辑思维相混合的领悟学习模式。 （一）通过对数学美的本质和审美特性的研究，我们认为，数学

4、美的本质是人的本质力量通过宜人的数学思维的呈现，数学的审美特性是主客体的高度统一。显然，大自然是使数学和美联合起来的基础。“大自然是一切欢乐的源泉，离开了大自然就无所谓美。”在大自然中，万事万物在现象上看是杂乱、变易和丑陋的，但是，通过持久的观察和理性的发掘，这些杂乱无章变易无常的现象下面却潜藏着和谐有序的规律，一些部分的那样一处秩序和结构，它们由于我们天性的原始组织，或是由于习惯或是由于爱好，适于使灵魂产生快乐和满意。在大自然中，有着数不清的数学现象，引导学生走进大自然，他将有可能发现各种各样美妙的曲线和直观的几何图形，甚至还有可能发现一些不易觉察出来的代数关系，而这些现象能够涉及到基础教育

5、中所有的数学理论。也就是说，我们可以在大自然这一本大书中运用已知的一些数学知识找到许多有趣的数学现象，从而充实我们数学课堂的研究素材，这是素材收集的一个重要也是极有意思的途径，在以前，学校的数学教育远远地脱离了孕育一切科学知识的母亲大自然。收集素材资料有非常多的途径，在我们的日常生活中，在各种繁复的社会现象中，在数学家们的传记里，在无数的资料刊物书籍中，在浩如烟海的互联网中，处处可以找到和所要研学的内容相关的素材，我们还可以通过数学自身理论的合情推演和理化生等学科内容获取新问题的素材。在课堂上，可以通过自由发言或板书等方式把这些素材有机地组织起来，也可以采用现代教育技术，使这些素材生动、直观、

6、清晰地展现在学生面前，独运匠心，发挥学校教师和众多学生的群体力量，我们完全可以使数学课堂趣味化、直观化和历史化，也就完全有可能创设出美的因而也是启人思扉且发人深思的数学问题情境。置身于这样的情境之中，师生的思维活动必将被迅速地引发，每个人都会想着这些数学现象是和哪些自己已知的知识有联系，可以采用哪一个数学思想方法来思考它。必须通过回顾与联想唤醒学生的知识技能和思想方法中与问题情境相关的内容。不同的观察者会联想到不同的数学内容，还可能有一些人有着非常独特的想法，一定要有一个宽松的气氛和自由发表见解的时间，让想说的人完整地说出他们自已想说的。在这样的一种氛围中，学生脑中存有的知识技能、思想方法和问

7、题素材产生了交互映射式的关联，这种关联是人的思维和外界数学素材不断融合的过程，它是充满着好奇色彩的，所以同时也是人的主观思想感情和数学抽象物不断亲融的过程，而当学生慢慢地感觉到问题情境内在的组织性或秩序，感受到众多素材里潜伏着的那种统一时，将会体验到美的满足感，并将产生出强烈的探究欲望。创设情境就是一个提出数学问题的过程。从当前国际数学教育发展的主流来看，“问题解决”已成为大多数国家数学教育的核心内容，数学问题这个概念的内涵也在不断地变更不断地丰富。在美国、英国、日本、瑞典和德国的数学教学大纲中，都明确地把能够数学地解决日常生活的实际问题作为数学教育的重要目标。戴再平教授对数学问题有以下的论述

8、：（1）对学生来说不是常规的，不能靠简单的模仿来解决；（2）可以是一种情景，其中隐含的数学问题要学生自己去提出、求解并作出解释；（3）具有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；（4）不一定有终极的答案，各种不同水平的学生都可以由浅入深地作出回答；（5）解决它往往需伴以个人或小组的数学活动。历史上经过实践已经证明了数学学习是不可能完全去重复数学家进行数学发现的全过程，这里提出的创设问题情境，事实上是在将数学家原创性的发现过程进行浓缩，并将数学发现所需的契机或机遇无代价地展现。诚然，一个有品味的数学问题情境是得来不易的。在有限的几个学时数下，如何能够开展那些收集素材的工作呢？我们认为，

9、这些工作完全可以在寒暑假和周末时段里进行合理的安排，而且，针对各章节内容的不同特点可以在教师的适当指导下进行一次或两次的收集，而不必在上每节课之前都安排这些工作。所创设的数学情境最重要的是具有很强的启发性，它能使相当多的学生在感知的过程中自然地在脑海直觉到要研究的某种数学概念的轮廓，能让学生提出各种各样的数学问题。在学习、研究和创造过程中，概念的产生和问题的发现都是极为重要的，是一个数学发现的过程。新的数学概念和知识还没有被学生掌握之前，它已潜伏于所展示的数学素材之中，当学生脑中已掌握的知识技能和思想方法被适时地激活后，他们的数学思维活动将围绕着这些素材而展开，持续的观察、比较、分析和判断，大

10、胆的尝试、联想、想象和猜想，使得认识由此及彼由表及里地不断积聚不断深化，最终出现了“恍然大悟”或者说是“豁然开朗”的心理状态，在数学学习中我们把它称之为“数学领悟”。数学理论的创建有其异常独特的一面，那就是一旦在公理化体系框架确立之后，其内部的发展往往会暂时和现实世界断开联系，而仅凭着其自身内部的约定自由地演绎推广，一直到理论发展到比较成熟的时候，才回到现实世界里通过实践加以验证和应用，所以无论是在整个理论演绎过程中，还是在具体的解题过程中，也都必须在已知结论的基础上不断地感悟，不断地创新。数学领悟的实质是数学逻辑思维和数学直觉思维交互辩证运动的过程，众所周知，数学直觉思维是人脑对数学对象、结

11、构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断，在一定程度上，它是逻辑思维的凝结或简缩。由于数学知识的严谨性、抽象性和系统性的特点，在数学学习中人们常常认为只有严格的逻辑思维才是最有用的，事实上，由于直觉思维是数学研究和数学发现的最主要的工具，在任何一种有实效的数学学习中都是不应被忽视的，法国科学院院士狄多涅认为：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他所要处理的数学对象有一个可靠的直觉”。虽然说直到现在直觉思维的产生机制还未被研究清楚，但是每一个有过数学沉思的人都会或多或少地体验到直觉思维的存在，它也是数学学习过程中学生发现活动的最重要、最有实际意义的发现形式。我们这里所提出的领悟的概念，则是一

12、个综合意义上的数学思维活动，它有逻辑，也有直觉，可以使用观察、比较、分析、综合、抽象和概括等基本思维方法，可以运用归纳、演绎和类比进行推理，同时它也非常注重使用联想、想象、灵感、猜想等诸多自由的带发散性质的思维方式，它可以是分层渐进的，也可以是顿悟的。在过去，我们将数学思维过程分离成各种独立的思维形式，有助于对他们进行单独深入的研究，也有助于使教育教学的目标明确化，但是，实际中的数学思维具有综合性多样性，许多时候还有着成功的或然性和不可解释性。它是凭着对基础知识逻辑结构高度纯熟而培养出的一种精细的感觉将计划多方位整体地推进，疑团往往是在长久的努力思考后于不经意间象闪电一样迅速地被解开了，一些毫

13、不相干的概念被神奇地撮合在一起的时候，呈现在大脑中的金色关系网就象一幅完全被展开的新美的图案，所以，“领悟”一词最好地概括了有效的数学学习过程中思维的整体特征，是一个值得加以深入详尽研究的模式概念。领悟是在学习者内心深处进行的，是个体的思维体悟。领悟学习模式在强调学生是学习主体的同时，非常重视课堂上的数学交流，认为师生间和同学间的交流有启发、引导和促进的作用，数学交流主要包括三个方面：（1）数学思想的表达。把自已的思想通过直观的或非直观的、口头的或书面的、普通语言的或数学语言的形式表达出来；（2）数学思想的接受。以听、读、看、摸等方式接受来自他人的思想；（3）数学思想载体的转换。把数学思想从一

14、种表达方式转换成另一种表达方式。由于领悟的过程有着明显的层次性，所以我们有可能通过相互间的交流达到分层领悟的目的，让每个学生都能充分发挥自已的潜能，循序渐进地学习而不至于负担过重。课堂上的自由发言将成为一种习惯，每个学生都能随时地发表自已的看法和自已的领悟结果，共同学习共同进步，既发挥了群体学习的优势，又能让他们的思想在交流中成熟。各个学生领悟出的道理是从不同的角度与层次进行，因而结果也将是多样化的甚至是五花八门的，让他们自由地展示，数学的魅力也正是在这种丰富多样的思维中得以体现，我们大力提倡创新式的发散思维，也恰可发挥群体学习的最重要的好处，众所周知，大多数人认为课堂授课制的一个致命缺陷正是

15、在于学生太多，但是，有一个缺陷就会产生一个优势。 （二）以赫尔巴特、凯洛夫为代表的“传统学习”模式注重师讲生听，坚持知识传授强调技能训练；以布卢姆为代表的“掌握学习”模式注重教学目标为中心的知识掌握，强调以教学评价为导向的反馈矫正；以布鲁纳为代表的“发现学习”模式强调知识的发现过程。但总起来看，这些教学模式仍是一种以学习基础知识为宗旨的静态式的知识型教学策略。以传授和掌握知识为目的、以范例为模仿对象进行大量的习题训练为手段是这一漫长历史时期的主要教学特征。如果说在20世纪我们呼唤知识“知识就是力量”，那么，在21世纪我们将呼唤悟性“悟性就是财富”。在数学教育史上，从20世纪50年代的“新数”运

16、动到70年代提出“回到基础”的口号，再到80年代的“问题解决”和当前我国的数学教学实际，都严重地忽视了学生的学习兴趣、学习心理动机和对学习的价值判断，而这些问题在数学的教与学中因为数学科学表面上的抽象和枯燥其重要性是其它任何学科的教学所不能比拟的。一直到90年代，人们才渐渐地在“问题解决”的课题中加入了更深的内涵，开始强调运用数学和数学的应用，也开始重视数学的交流和数学的思想方法，能注意到学生学习的信心问题等。提倡“创设美的数学情境，构建领悟学习模式”在某种角度上是基于这个思路的一种充实和发展。建构主义认为，人的认识本质是主体“构造”的过程，所有的知识都是我们自已的认识活动的过程，我们通过自已

17、的经验来构造自已的理解，而我们的经验又受到自已认知结构的影响。在数学中，“是我们自已的注意、选择与构造为现实提供了结构。”当前这种能动反映论的观点受到人们极大的重视，而我们所提出的“领悟学习模式”与此不谋而合。“悟”是东方思维方式的基本概念，虽然佛家空宗的“空无理论”和道家“玄之又玄”的思辨哲学里的许多内容我们现在已无法明确解读，但是印度禅学的直觉体验以及庄子对“道”的心灵体悟的思维方式在近现代却得到了人们更多的研究和诠释。而在数学家对自身的数学发现过程的记述中，在对数学直觉思维的研究中，同样也有关于灵感、顿悟和直觉的内容。可以说，西方思维强调具体分析，而东方思维强调整体感悟，但二者相资以用，

18、分析然后有综合，感悟然后有细化，并不能将某一方完全丢弃。这里领悟概念的界定是对东西思维方式融合的一个尝试。不能否认基础教育中数学学习有其独特的一面，这就是学习者必须要建立起一个比较系统的知识体系结构，但是，它不是最重要的目标，不是最终的目标，更不能是唯一的目标。当我们的教育把升学率做为评估时的一个最重要指标的时候，师生唯一关注的是如何答对高考试卷上的一个个问题，在数学教学中实现这个目的完全可以通过死记硬背和高强度解题训练来完成，而且，成绩的好与坏在很大程度上与训练的强度正相关。这是一种简便的可操作性很强的教育方式，然而，这种教育方式是悖谬的，一方面，在人类所掌握的知识量极速膨胀的今天，知识搜寻

19、也越来越方便越多样化，这个强烈的时代特征使得在基础教育中培养学生的资料搜索能力要比记忆能力更重要；另一方面，在科学的学习和研究中，发现问题要比解决问题更重要更困难，对人的实践能力和创新能力也都提出了更深层次的要求。在纷繁复杂的现实世界里，许多时候是问题和结论都不能明确下来，20世纪最伟大的数学家希尔伯特对提出数学问题的重要性的体会比任何人都强烈，我们都知道由他在20世纪初着手提出的23个数学问题至今仍在影响着数学的发展。在创设情境的环节中，学生要运用已掌握的数学知识和数学思想方法去观察自然界和社会中和数学相关的现象，去收集大量的资料，并学会从数学的角度发现和提出问题，这将大大有益于学生的实践能力和创新意识、创新能力的培养。我们强