2020年4月普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学试题+Word版含答案【KS5U+高考】

1、绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏模拟卷）（二）数学注意事项:1.本试卷共160分，考tO寸间150分钟.2.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位 置上.1 .已知复数 z= a+bi(a, bCR),若(z+ z )(z z )=8i,则 ab 的值为.v . 一,12.已知集合 M = y|y=2 x+ 1, xCR, N = x|x3>13 .某人打同一款游戏通关的时间分别为x, 9, 10, 11, 9（单位：min）,已知这组数据的平均数为10,则方差为 .4

2、.某马戏团有大猩猩 2只，猴子3只，现从中任选3只去外地参加表演，则大猩猩和猴 子都被选中的概率为 .! UI -II II IWEK一母产,nd Wh海（第5题）5 .根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为.6 .已知等差数列an满足a5=2, an=11,则a8 - a2 =.1 ln x7 .函数f（x）=A/1的定义域为 ,1 ln x18 .设向量 a, b 满足回=|b|=1, a b=-,则 |a+ 2b| =.9 .已知Fi, F2是双曲线 弓 一丁匕 =1（0<m<2）的左、右焦点，若点 P在双曲线上，且m 4 mPFi, PF2是一元二次方程 t25t+5=0

3、的两根，则 m的值为.10 .已知P(s , t)在函数f(x) = :1 x2的图象上运动，则出2+ (t 2) 2 + R (s-1) 2+t2的最小值为.11 .对任意的 长0, 2 ,不等式+-42-. >|2x1|恒成立，则实数 X的取值范围 ssin cos u是.12 .用扇形铁皮卷成一个圆锥筒 (假设扇形半径可变化)，已知扇形面积为定值 S,要使卷 成的圆锥筒体积最大，则该扇形的半径R为.2 (x1) 2, 0<x< 2,13 .设当x> 0时，f(x)=1 x>2若函数y=f(|x|)m有4个不同的零点，x则实数m的取值范围是 .14 .在4AB

4、C中，D为BC边上的一点，且 AD平分 ABC的面积，若 90°>/BAD>90° -C, AC>AB,则/ BAC的取值范围为 .二、 解答题：本大题共 6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知向量a= (sin x, cosx), xC&兀.1- 7t(1)已知b=(1,43 ),若a, b所成的角为 '，求x的值；(2)已知 c= (V3 , 1),记 f(x)=(a+c) (a2c),求 f(x)的值域.16.(本小题满分14分)如图，在平行四边形

5、ABCD中，已知直线 BC，平面ABE, F为 CE的中点.(1) 求证：直线AE/平面BDF;(2)若/AEB=90°,求证：平面 BDF，平面BCE.(第16题)17 .(本小题满分14分)如图，正方体 ABCD AiBiCiDi是一个棱长为2的空心蔬菜大棚，由8个钢结构(地面没有)组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖.已知 E 为柱AAi上一点(不在点A, Ai处)，EA=t.菜农需要在地面正方形 ABCD内画出一条曲线l将P为地面正方形菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点ABCD内的曲线l上任意一点，设 % 3分别为在P点观测E和Di

6、的仰角.(i)若请说明曲线l是何种曲线，为什么？(2)若E为柱AAi的中点，且“< 3时，请求出点 P所在区域的面积.(第i7题) x y 一18 .(本小题满分i6分)已知椭圆C: a2=i(a>b>0)的长轴端点分别为 Ai, A2,椭圆C的离心率为e=3 ,两条准线之间的距离为9.(i)求椭圆C的标准方程；兀 兀(2)设P是曲线C上的一点，/ FAiA2=-，过A2作A2R，AiP于点R,设A2R4 3与曲线C交于点Q,连接PQ,求直线PQ的斜率的取值范围.19 .(本小题满分16分)设f(x)= aexa, g(x)= axx2(a为与自变量x无关的正实数).(1)证

7、明：函数f(x)与g(x)的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；(2)是否存在实数k,使得f-Ta ln x- 1>k对任意的xC +°°恒成立？若存axx2在，求出k的取值范围，否则请说明理由.20 .(本小题满分16分)若对任意的nCN*,存在一个常数 M,使得anWM成立，则称 M、r- .，一 ，,、-*an + an + 2 ,、 .为an的一个上界；若对任意的 nCN , an+1W2 成立，则称数列an为“凹数列”.(1)求证：任意一个正项等比数列 bn为“凹数列”；构造一个正项“凹数列”Cn,但数列Cn不是等比数列，并给出证明；(2)设

8、无穷正项数列an的前n项和为Sn,若1为&的一个上界(nC N*),且数列an为 “凹数列”，“十 2*求证：0Wanan+Wn(口十船(nCN ).绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏模拟卷）（二）数学n （附加题）注意事项：1 .附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3 .答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21 .【选做题】本题包括 A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域 内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.2x2+y2= 1, S变换将曲线

9、C2：x 9A.选彳4-2:矩阵与变换（本小题满分10分）已知T变换将曲线Ci：x2 +y2=1变换为单位圆41变换为双曲线x2-y2=1,求st对应的矩阵.B.选彳44:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中,已知直线尸cos与圆O:P =8sin。相交于 A, B两点，求 OAB的面积.C.选彳45:不等式选讲（本小题满分10分）已知实数x, v, z为正实数，求证:1 2 z 一_|_二x y 3【必做题】第22, 23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设P, Q为抛物线C: y2=4x上的两点，点P, Q的

10、纵坐标之和为 4.(1)求直线PQ的倾斜角；(2)已知M是抛物线C上的动点，过 M作垂直于x轴的直线，与直线 y=x交于点A, 点B满足诵 =2IMA ,连接OB(其中O为原点)交抛物线C于点N,试问：直线 MN是否过 定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.，、一，,、一 一 ， ， ，a n23.(本小题满分10分)设a, bCR, aw 0, a+ b>0,数列cr的通项公式为 cr=" (arr*1,. 一、一.Sn + 1rbr)(1 wrWn+1), nC N.令cr的各项之和为Sn+1,fn(a,b) = =.一，、，.a+bn 一 r ，一一(1)计算：f

11、i(a, b), f2(a, b), f3(a, b),验证不等式fn(a, b)>对 n= 1, 2, 3成立；a b(2)证明不等式：fn(a, b)> 一2 n,并给出等号成立的充要条件.2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学I参考答案及评分标准1.2 【解析】 由 z= a+bi,得 z =abi,因为(z+ z )(z z )=8i,所以(a+bi+abi)a+bi(abi) = 4abi = 8i,所以 ab= 2.12. y|y>1【解析】因为 M = y|y>1, N = x|x- > 1 = x|x> 1,所以 M

12、C N = y|y>1.33. 0.8【解析】x+9-l- 10+11 + 9因为这组数据的平均数为10,所以0 =10,解得x=11,所以这 5 个数据的方差为 1 (11 - 10)2+ (9 - 10)2+ (10 - 10)2 + (11 - 10)2 + (9 -10)2 = 0.8. 54. 【解析】 记2只大猩猩分别为 A, B, 3只猴子分别为 C, D, E,运用枚举法 得从中任意选3只构成的基本事件有 10个，其中大猩猩和猴子都被选中的有 9个，所以大猩 猩和猴子都被选中的概率为 .105. 55 【解析】i=1时，运行结果为 S= 0+12=1, i=2; i=2时

13、，运行结果为 S= 1 + 22=5, i=3; i=3 时，运行结果为 S= 5+32=14, i = 4; i = 4 时，运行结果为 S= 14 + 42 = 30, i = 5; i = 5时，运行结果为 S= 30+52=55, i=6,退出循环，所以输出的 S的值为55.6. 36【解析】 设公差为d,因为a5 = 2, an= 11,所以6d = an- a5= 9,所以a8 a2=(a8 + a2)(a8 a2) = 2a5 6d = 36.7. 1，e 【解析】 要使函数f(x) =9户有意义，则产产e. 1 In x1 In x(1 + In x) ( In x 1) w

14、0,1 In xw 01< In x<1(1 + In x)( 1 In x) > 0,>01 In xw0& x<e,所以函数f(x)=A /1 + ln x的定义域为1, e f 1 in xe8. 事【解析】|a+ 2b|=4|a+ 2b|2 =.a2+4a b + 4b2 =52+4 =衣.9. 当【解析】因为PF1, PF2是一元二次方程t25t+5 = 0的两根，所以|PF1 PF2|v2、心= 52-4X 5 =邪.因为点 P 在双曲线 m2 -42m2 =1(0<m<2)上，所以 |PF1-PF2|=2m,所以 2m =，5 ,

15、即 m=¥ .10. 乖【解析】 函数f(x) = W-x2的图象为圆x2+y2=1在x轴上方的部分(包含x轴上的点),#2+ ( t-2) 2 +4(S-1) 2 + t2表示点P到点M(0,2)的距离与点P到点N(1, 0)的距离之和，即，s2+ (t-2) 2(s-1) 2+t2 = PM+ PN>MN =V5 . 141.4, . 2 八 2 八、L cos2 0 4sin2 011. 4, 5【斛析】乔 +COS2-0=sin20cos20(Sin 0+ cos0)=5+Q+-COS21>5+2、, 4sin2 0X - 27 cos a=9,当且仅当cos2

16、(4sin2 9sin2 9 cos2 9 '即 cos2 0=, sin20=(时取等号,33所以 |2x1|W9,解得4<x< 5.【解析】 由题意知，圆锥母线长为 R,设圆锥底面的半径为r,高为h,22271Jh 7U f 99 7UV =-=V Vr2r2 = v333R=r2+h2=R2,且1 271r r=s R = -S.圆锥筒的体积2何J g2-r2 一 出2r2-右6，令 r2=tC 0, S , u= S2r2/r6= S2t押，令 u'= S 3"t2N 晒3 *7兀 7一 ，L SSSS S”倚仁布6 0-,当°<而

17、时,u >0当瓦 <巴时,u <0所以当且仅当ts S=131'即r2=J31时'u取得最大值'即这个圆锥筒的体积最大'此时扇形的半径313. m|0<mW1或2w m<2 【解析】 函数y= f(|x|)m有4个不同的手点等价于 y=f(|x|) 的图象与直线y=m的图象有4个不同的公共点.因为f(|x|)为偶函数，且当x>0时，f(x) =2 (x1) 2, 0<x< 2,1 x>2所以可以作出函数y=f(x)的图象如图所示，由图可知若函数 y=f(|x|)1 + x，x '3m有4个不同的手点时

18、，则头数 m的取值氾围是m|0<mW1或2 w m<2.14. 90 ,180 )【解析】 设/BAD = a, / CAD = 8 因为 / BAD >90C,所以 介 90° -C, 浮 90°B.因为 AC>AB,所以 B>C,所以 0 < 侨 o,因为 90°>Z BAD,所以 0°<3<a<90° , 所以 sin 介sin(90 - C)=cos C, sin 产 sin (90 二 B)=cos B.因为 D 为 BC 边上的一点，且 AD1 1一.平分 ABC 的面积，

19、即 S；aabd= Saacd,所以 2 c AD sin a= 5 b AD sin & 所以 c sin a= b sin 8 所以 c cos C< b cos B.在 ABC 中，由正弦定理得 sin C cos C< sin B cos B,所以 sin 2C< sin 2B. 因为 其 90°-B,所以 B<90°-为90°,因为 C<B,所以 C<90° ,所以 2B, 2CC(0°, 180°).因 为 sin 2C< sin 2B,所以 |2C 90| 刁2B 90&

20、#176; |,所以(2C 90°)2> (2B - 90)2,所以(2C+2B 180)(2C2B)>0.因为 B>C,所以 2C + 2B180y 0,所以 B+C<90°,所以/ BAC 的取值 范围是90 °, 180 ).15.【解答】(1)因为向量a= (sin x, cos x), b=(1, - V3 ), a, b所成的角为 ,兀小八、cos - , (2 分)3所以 a b= sin x一事 cos x= J (sin x) 2+ ( cos x) 2 N12+ ( V3)2所以 2sin xf =1,所以 sin x

21、/ =1 .(4 分) 332因为 xC 一兀，兀所以 x-3 £ -435, 235,所以 x3 =_ f 或 x-3 =6 , (6 分)所以x= K或x=2 .(7分)(2) f(x)=(a + c) (a-2c) = a2-a c-2c2 = (sin x)2+(cos x)2-(V3 sin x-cos x)-2(m )2 +(1)2 = 7(5 sin x-cos x) = 7 2sin x一6,(9 分)因为xC 兀，兀所以x6 e -7T, 5T , (11分)“一兀所以一iwsin x 6 < 1, （13 分）所以f（x）的值域为9, 5.（14分）16.【

22、解答】（1）如图，连接AC,设ACABD = G,连接FG.由四边形ABCD为平行四边形，得 G是AC的中点.又因为F是CE的中点，所以在 ACE中，FG / AE.因为 AE 平面BDF, FG 平面BDF ,所以 AE/平面 BDF.（7分）上（第16题）(2) 因为/AEB=90°,所以 AEXBE.又因为直线 BCL平面 ABE, AE 平面ABE所以AEXBC.又 BCABE=B, BC, BE 平面 BCE,所以直线 AEL平面BCE.由 知，FG/AE,所以直线 FGL平面BCE.因为直线 FG 平面BDF,所以平面 BDF，平面BCE.（14分）17.【解答】(1)如

23、图(1),连接 PA, PD,则/ EPA= a, / DPD= 0岛(第 17 题(1)因为a=&所以tan a= tan & （2分）AE DD1 -, t 2 一,2人所以"PA ="DP '所以 PA =PD ，所以 PD = f PA, （3 分）人 2一令 f = Q1 ,则 PD=入 A.（4 分） 如图(2),建立平面直角坐标系,则 A（0, 0）, D（0, 2）,设 P（x, v）,则 x2+ （y2） 2 =电书2 , （5 分）22 九2化简得x2+y一口 =百二，所以P点的轨迹，即曲线l是在正方形ABCD内的一段圆弧.(7分

24、)(2)由(1)知当E为柱AAi的中点时,.一c2(1)中圆的万程为x2+ y+3 32，（8 分）因为 K 3,所以 tan a<tan 3,所以些也所以，2PA PD '"" PA PD,所以 PD2PA, （10 分）什 c22所以点P在圆弧x2+ y + 23外，(12分)所以点P所在区域的面积为4已兀4631 2 2/3 108+63 8兀八、2 x3 x 3 427.（14 分）J,a 3，两条准线之间的距离为 9,得 瑁=9, c ，a18.【解答】(1)由椭圆C的离心率为e=b2+c2,(2分)令 c= 2k, a= 3k(k>0),贝U

25、 b=75 k,、2a2代入-7 =9,彳导k=1, cx2y2所以a= 3, b=45 ,所以椭圆C的标准方程为+ =1.(4分)95(2)设直线AiP的斜率是k,则kC1, J3 , (6分)设P, Q的坐标分别是(Xi, yi), (X2, y2),则直线AiP的方程是y=k(x+3),22-+y-= 1 ,由9 5消去y,得y=k (x+3),(9k2+5)x2+54k2x+9(9k25) = 0, (8 分)3 (5 9k2)xl=5+9k2 '解得(10分)30kyi=5Z9?.同理，得3 (95k2) x2=9+5k230ky2=9T藐'(12 分)30k30k_

26、2一-2所以= 154 (k-； ), (15 分)ky1 y25+9k 9+5kPQ一x1一 x2 3 (59k2) _3 (9 5k2)5+9k29+5k2因为g(k)=k 1在1, V3 上单调递增， k所以 kpQC 0, 5213 .(16 分)19.【解答】(1)因为 f(0) = ae0-a = 0, g(0) = 0,所以 f(x) = aex- a, g(x)=ax- x2 的图 象存在一个公共的定点0(0, 0).(2分)因为 f' x)= aex, g'x)=a2x,所以 f' (0)a, g' (0)a,所以在定点 0(0, 0)处有一条

27、公 切线，为直线y=ax.(4分)(2)假设存在实数k,使得f 丹 + a 一皿x1>k对任意的xC +°0 恒成立， axx21即存在头数 k,使得k<exx ln x-x对任息的xC 5, +°° 恒成立.(5分)1 一令 h(x) = exx In x x, xC +°°,1则 h x) = ex In x 2, xC , +00, (6 分)1令 m(x) = ex In x 2, xC ,则 m'x)=ex1 = xe , x 7., +°0, (8 分)x x '21令 y=xex-1,则 y

28、= ex(1+x)>0 在 xC (2 ,十)上恒成立，一,1，、一、，所以y= xex 1在xC 2, +°°上单倜递增.(10分)1e 2因为专 一 1 = -2- <0 1 侵1>。，1所以存在唯一头数xoC 2，xC 2, +°0 恒成立.(16分) ,使得xoexo1=0,即m x0) = 0,且xo=e xo,12所以 h x。在 xo处取得取小值 h x0) = exoIn xo2 = exo In e xo2= exo+xo2>e +2 -2 = Ve -2 =e 耒 >o, (12 分)1所以h(x)在xC 2, +

29、00上单倜递增，1In 2 1所以 h(x)>h 2 =Ve + 2- .(14 分)1 In 2-1因为k<ex x In x-x对任息的xC 2,恒成立，所以 kw& +21 ,所以存在 kC 8, m+ In 2； 1, 使得f(? + a m x - 1> k 对任意的2 axx20.【解答】（1）设正项等比数列bn的公比为q,则bn+1 bn+ bn+22= bnq bn+ bnq2 _2(q1)2=_ bn '2< 0,所以正项等比数列bn为“凹数列”.（2分）设Cn= dn+en,其中dn , en分别为两个正项等比数列，公比分别为q1,

30、q2,且q1 w q2,显然 Cn>0( nCN*),Cn+ Cn+2Cn + 12(dn+ 1 + en+1)一(dn+en) + (dn+2+en + 2)dn+ dn+2dn+12+ (en+1en+ en+2一2) =(q2 1) 2en:2 <0,dnq1 一2dn+ dnq1,2en+ enq2enq2-2一(q1一1)2dn -2+所以正项数列Cn为“凹数列”.（4分）n N*),卜面证明：正项数列Cn不是等比数列.右金是等比数列，则(dn + 1 + en+1)2 = (dn+en) (dn+2+en+2)(所以 dn + 1 + en+1 + 2dn+16n+1

31、= dndn + 2 + 6n6n+2+ dn6n+2 + dn + 26n ( In N ),因为数列dn, en分别为两个正项等比数列，所以 d2 + 1 = dndn+2, e2 + 1 = enen + 2,所以2dn+ 1en+ 1 = dnen+ 2 + dn+2en,所以 2dnenqq2= dnenq2 +dnenq2 ,因为 dnenW0,所以 2q1q2=q2 + q2 ,所以(q2q1)2= 0,所以 q2=q1，与 q1wq2矛盾，所以数列Cn不是等比数列.(6分)(2)若存在一个常数 kC N*,使得 a>a2>a3Aak,但 ak<ak+1, (7

32、 分)心an+an + 2*_ 八ak+ak+2, _将 an+1< -2(nC N )中的 n 换成 k, 得 ak+1w2, 进一*步得 ak+1akWak+2 ak+1.由不等式的传递性得，ak+1<ak+2, （8分）同理可得， ak+2<ak+3<ak+4<<an<，所以 ak<ak+i<ak+2<ak+3<ak+4<<an<，所以数列an从ai项到ak项递减，从ak项开始向后递增，所以 ai + a2+ ak-i+ak+ak+i + + an>nak.(10 分)因为正常数k是固定的，且ak&

33、gt;0,所以当n足够大时，必有 ai+a2+ an>1(n>k),与题设a+a2+anWi矛盾，所以an不可能从某一项开始递增，所以 an-an+i>0(n N*).(i2 分)令 bk = ak-ak+i(k N*), ak= bk+ak+i(kC N*),由 ak+i akW ak+2ak+i,得 bk> bk+i, bk> 0(kCN*),所以 inai + a2 + a3+ an= (bi + a2)+a2+a3+ an= bi + 2a2+a3+ an= bi+2(b2+a3) + a3+ an=bi+2b2+3a3+ an= bi+2b2+ (n i

34、)bn i + nan=bi+ 2b2+ (n i)bn i + n(bn+ an+i)= bi+2b2+ (n i)bn i + nbn+nan + iRbi+2b2+ (n i)bn i + nbnbn+ 2bn+ + (n i)bn + nbn-,c ,， n ( n+ i)= i + 2+, + (ni)+nbn=?bn,2所以bn</,、 对一切nCN成乂.n (n+ i)综上，对一切 nCN*, 0<an-an+i<一2成立.(i6 分) n (n+ i)2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏模拟卷）（二）数学n （附加题）参考答案及评分标准x221. A.

35、【解答】因为T变换将曲线C1： 4+ y2= 1变换为单位圆x2+y2= 1,X - 2-X以 所y = y，1所以T变换对应的矩阵为M = 2.（3分）0 1因为S变换将曲线C2： X -y2 =1变换为等轴双曲线x2-y2=i, 94所以xx =2，所以T变换对应的矩阵为，yy =5，,（6 分）1所以变换ST对应的矢I阵为NM = 30B.【解答】 以极点为坐标原点，极轴为将直线 p=cos.2兀 e- 4即 x+y2 = 0,（3分）01.（10 分）2x轴,建立平面直角坐标系,化为普通方程得pcos 0Gos 4 + psin Osin "将圆O: p= 8sin。化为普通

36、方程得 x2 + y2 8y=0,即 x2+（y4）2= 16.（6 分）因为圆心 0（0, 4）到直线x+ y2=0的距离为d= |0 +联 2| =寸2 ,所以 AB=2M2d2 =2毡6（亚）2 =2标,（9 分）所以 OAB的面积为2 AB d= 2 X 2g xV2 = 2书.（10分）i 2 z 3 i 2 z 3 2z _C.【解答】因为头数x, y, z为正头数，所以x +- +3 >3*J- y -3 = 3 j3xy，(3分)6- z十y- 5十X - 46 b z yL53分63z- 3+2- y+1- X以所6- z +y- 5+X- 4因为中的等号不同时成立,所以93255.(10 分)22.s2【解答】（i）设P 4，j2、Q 4, t(swt),因为P与Q的纵坐标之和为4,所以s+t=4.t s 45 FT4 4(3分)一，_ ，-，一 一 TT又直线PQ的倾斜角不等于2 ,所以直线PQ的斜率为所以直线PQ的倾斜角