2020年高考数学(文)冲刺之突破专题03突破立体几何解答题的瓶颈(含解析)

1、突破立体几何解答题的瓶颈 把握考点 明确方向时间20192018201720162015I卷线囿平行的判 定；点到平面距 离线面垂直的判 定；三棱锥的体 积卸卸垂直的判 定；四棱锥的侧 面积卸卸垂直的判定； 四面体的体积面面垂直的判定；三 棱锥的侧面积n卷线面垂直的判 定；四棱锥的体 积线面垂直的判 定；点到平面距 离线囿平行的判 定；四棱锥的体 积线面垂直的判定； 五棱锥的体积线囿平行的性质；四 棱锥的体积出卷卸卸垂直的判 定；四边形的面 积卸卸垂直的判 定；线面平行的 判定卸卸垂直的判 定；四面体的体 积线面平行的判定； 四面体的体积导图助思快速切入思维流程建模平行模型 垂直接型 翻折底型

2、-I三雄锥体枳顶点也换委面体体积分别转换-知识整合易错题示知识整合1 .柱、锥、台、球体的表面积和体积侧面展开图表向积体积直棱柱长方形S=2S底+S侧V= S 底 h圆柱长方形S= 2-2+2lV= 2 l俅源翱网ZXXK由若7个三角形构成S= S底+ S侧V= qS底 h3圆锥扇形S= 2+ lV= 2 h3棱台由若小个梯形构成S= S上底+ S下底+ S侧V= 3(S+ VsST + S，)h圆台扇环S=42+ 兀 K+r )l + 2V=兀 r2+rr + r 2)h 3球S= 4 一 AB,平面AB LADBP=DQ=AB=AC=3(2)一 AD = BC=3j2/ACM = 90。”

3、面 ABC QE - 1 Vq-abp 的值.ACD 平囿 ACD，平囿 ABC.2I DA一l 作 QEACBP=DQ = 22 QE,平标准答案阅卷现场的体积.证明：由已知可得，/ BAC=90, BA，AC.又BAXAD,所以AB,平面ACD垂直模型.又AB?平面ABC,所以平面ACDL平面ABC.第问第(2)问(2)由已知可得，DC = CM=AB=3, DA = 32.又 BP = DQ = 2DA,所以 BP=272. 3作QELAC,垂足为E,则QE触1DC. 3由已知及(1)可得DC,平面ABC,所以QEL平面 ABC, -QE = 1.因此，三棱锥Q-ABP的体积为Vq-ab

4、p= X QEXSaABP= X 1X 1X3X22sin 45 3321.第(1)问踩点得分说明证得ABL平面ACD得2分.写出AB?平面ABC得1分，此步没有扣1分，写出结论平面 ABC,平面ACD得2分.第(2)问踩点得分说明写出AD = 3/2或BC=3/2得1分.计算出BP = 2+ ? = v3,在AACG 中，AC= v5, CG=2, AG= vi3,可得 cos/ ACG= 4+5-13 一 2X2/512=,即有 sin/ACG=, ，5，5则平行四边形 ACGD的面积为2x v5 x-2= = 4，52. (2019?新课标I )如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1

5、的底面是菱形，AA1 = 4, AB= 2, Z BAD = 60 ,E, M, N分别是BC, BB1, AID的中点.(1)证明：MN/平面 CiDE;(2)求点C到平面CiDE的距离.【解析】解法一：证明：(1)连结BiC, ME, , M, E分别是BB1, BC的中点,1 ME / B1C,又 N 为 A1D 的中点，ND= 2A1D,由题设知 A1B1/DC,B1C/A1D, . ME /ND,四边形MNDE是平行四边形，MN / ED,又 MN?平面 CDE,二. MN/平面 C1DE .解：(2)过C作C1E的垂线，垂足为H,由已知可得 DEBC, DEXC1C, DEL平面

6、C1CE,故 DEXCH ,.CHL平面C1DE,故CH的长即为C到时平面 C1DE的距离,由已知可得CE=1, CC1 = 4, .C1E= V17,故 CH =4V1717 ，点C到平面C1DE的距离为4 V1717D月1B3. （2019?新课标H）如图，长方体 ABCD -AlBlClDl的底面 ABCD是正方形，点E在棱 AA1上,BEXEC1.（1）证明：BE,平面 EBiCi；(2)若AE = A1E, AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.【解析】（1）证明：由长方体 ABCD - A1B1C1D1,可知B1C1,平面 ABB1A1, BE?平面 ABB1A1,B1C1 B

7、E,BE EC1, B1C1AEC1 = C1,BE，平面 EB1C1;(2)由(1)知/ BEB1 = 90 ,由题设可知 RtAABERtAA1B1E, ./AEB = / A1EB1 = 45 , AE = AB=3, AA1 = 2AE=6, .在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AA1/平面 BB1C1C, ECAA1, AB,平面 BB1C1C, .E到平面BB1C1C的距离d = AB = 3,1 四棱锥 EBB1C1C 的体积 V= 1x3X6X3=18.34. (2018?新课标 n)如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB= BC=2v2, PA= PB = PC= AC

8、= 4, O 为 AC 的中点.(1)证明：PO,平面ABC;(2)若点M在BC上，且 MC=2MB,求点C到平面POM的距离.【解析】(1)证明：AB=BC=2v2, AC=4,，AB2+BC2=AC2,即 ABC 是直角三角形,又。为AC的中点，OA=OB=OC,.FA=PB=PC,POAA POBA POC, . / POA= / POB = / POC = 90 , POXAC, POXOB, OBA AC=0, . POL平面 ABC；(2)解：由(1)得 POL平面 ABC, PO=，?2 ?觉=23,在.COM 中，OM=，？?+ ? - 2?9?45235? 1 x?a COM

9、= - X -234X ? ?反.3设点C到平面POM的距离为d.由 Vp OMC = VC POM? X ?么?=31;X ?么？? ? 3解得4 v5 d=4/，点C到平面POM的距离为5. (2018?新课标出)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧？?在平面垂直,M是?异于C, D的点.(1)证明：平面AMD，平面(2)在线段AM上是否存在点【解析】(1)证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦？?？在平面垂直，所以ADL半圆弦?在平面，CM?半圆弦？?在平面, CMXAD,M 是？?？异于 C, D 的点.CM DM , DMAAD=D, . CM,平面 AMD, CM?平面 CMB , 平面

10、 AMD，平面 BMC;(2)解：存在P是AM的中点，理由：连接BD交AC于O,取AM的中点P,连接 OP,可得 MC/ OP, MC?平面BDP , OP?平面BDP ,所以MC /平面PBD.6. (2018?新课标I )如图，在平行四边形(2) Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且 BP = DQ=2DA,求三棱锥3ABCM 中，AB = AC=3, / ACM = 90 ,以 AC 为折痕将4 ACM折起，使点 M到达点D的位置，且 ABXDA.(1)证明：平面 ACDL平面ABC;Q -ABP的体积.【解析】(1)证明：二.在平行四边形 ABCM中，Z ACM = 90 , A

11、BXAC,又 ABLDA.且 ADA AC= A,ABW ADC, AB?面 ABC, 平面 ACD,平面 ABC;(2) ,.AB=AC=3, Z ACM = 90 ,，AD = AM=3 v2 ,2 _BP= DQ= -DA = 2 v2,3由(1)得 DC，AB,又 DCCA, DC,面 ABC,三棱锥 Q-ABP 的体积 V= 1? 1?33=与 x k ? ? ? 与?= ：rXXX3X3XX3 = 1. 33333237.（2019?北京）如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA，平面 ABCD,底面ABCD为菱形，E为CD的中点.（I ）求证：BD，平面PAC;（II）若/ ABC=

12、60 ,求证：平面 PABL平面 PAE;（出）棱PB上是否存在点 F,使得CF /平面PAE?说明理由.【解析】（I）二四棱锥 P - ABCD中，PAL平面ABCD,底面ABCD为菱形, BDXPA, BDXAC, FAP AC = A, . .BD，平面 PAC.(n)二,在四棱锥 P - ABCD中，PAL平面ABCD,底面ABCD为菱形,E 为 CD 的中点，/ ABC =60 ,AB AE, PAX AE, PAA AB = A, . .AE，平面 PAB, .AE?平面 PAE,.平面 PABL平面 PAE.解：(出)棱PB上是存在中点F,使得CF/平面PAE.理由如下：取AB中

13、点G,连结GF, CG,在四棱锥 P-ABCD中，PAL平面ABCD,底面 ABCD为菱形，E为CD的中点,CG /AE, FG / PA, . CGnFG=G, AE A PA= A,平面 CFG /平面 PAE, CF?平面 CFG , CF / 平面 PAE .8. （2019?江苏）如图，在直三棱柱 ABC-AlBlCl中，D, E分别为BC, AC的中点，AB=BC.求证：（1） AiBi/平面 DECi;（2） BEXCiE.【解析】证明：（1）二.在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，D, E分别为BC, AC的中点, .DE/AB, AB/AiBi, . DE/AiBi,. DE

14、?平面 DECi, AiBi?平面 DECi,AiBi/平面 DECi.解：（2）二.在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，E是AC的中点，AB=BC.- BE AAi, BEX AC,又 AAin AC = A, . BE,平面 ACCiAi,. . CiE?平面 ACCiAi,BEXCiE.模拟演练提升素养1.【垂直与平行】(2020?江苏模拟)将正方体 ABCD - AlBlClDl沿三角形AlBCl所在平面削去一角可得到 如图所示的几何体.(1)连结BD, BDi,证明：平面 BDD1,平面 AlBCl;(2)已知P, Q, R分别是正方形 ABCD、CDDiCi、ADD1A1的中心(即

15、对角线交点)，证明：平面 PQR /平面 A1BC1.甲乙【解析】证明：（1）连接AC,二.正方体 ABCD - A1B1C1D1,AA1 / CC1, A, A1, C, C1 共面,.正方体 ABCD-A1B1C1D1,DD1,平面 A1C1D1,A1C1 在平面 A1C1D1 内， DD11A1C1,.正方体 ABCD-A1B1C1D1, 四边形ABCD为正方形，AC BD,.正方体 ABCD - A1B1C1D1, .AAU平面 ABCD, BD在平面A1C1D1内，AA1 1 BD, ACA AA= A且都在平面 AA1C1C捏， BDL平面 AA1C1C,i A1C1 在平面 AA

16、1C1C 内，.BDXA1C1,BDnDD1 = D，且都在平面 BDD1内，AlCl,平面 BDD1, i A1C1在平面 A1BC1内， 平面 BDD1,平面 AiBCi；(2)连接 AiD, BD, ClD, .P, Q, R分别是正方形 ABCD, CDD1C1, ADD1A1的中心, .P, Q, R 分别是 BD, CiD, AID 的中点，PQ / BCi, BCi在平面AiBCi内，PQ不在平面 AiBCi内，PQ /平面 AiBCi,同理可得PR/平面AiBCi,又PQ A PR= P且都在平面 PQR内，2.【体积问题】(2020?莆田一模)如图，四棱锥P-ABCD的底面是

17、菱形，AB = AC=2, PA= 2v3, PB=PD.(i)证明：平面 PAC，平面ABCD;(2)若PAX AC, M为PC的中点，求三棱锥 B- CDM的体积.【解析】(i)证明：设BD交AC于点O,连接PO,在菱形ABCD中，ACXBD,又 PB=PD,。是 BD 的中点，POXBD,1 . ACnPO=O, AC?平面 PAC, PO?平面 PAC,2 .BD,平面 PAC,又BD?平面ABCD,故平面 PAS平面 ABCD ;(2)解：连接 OM, M为PC的中点，且。为AC的中点，OM / PA,由(1)知，BDXPA,又 PAXAC,则 BDXOM , OMXAC,又 ACA

18、BD = O, . OM，平面 ABCD ,11丁丁又？?=? 2?= 2 x2v3 X1 = v3,_11-x v3 Xv3 =3OM= 2?= v3, 1 ?-?= ?-?= ?z ?=3三棱锥B-CDM的体积为1 .在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BB1的中点.AEC1的距离.3.【距离问题】(2020?平顶山一模)如图, (1)求证：截面AEC也侧面AC1； (2)若 AA1 = A1B1= 1,求 B1 到平面【解析】(1)证明：设O, Oi分别为AC, A1C1的中点，AC1与A1C相交于F.ABC-A1B1C1是正三棱柱，侧面 A1C，底面ABC. O是正三角形 ABC边A

19、C的中点，OBXAC.OB，侧面 AC1. OO1/BB1, OO1=BB1, E, F 是中点，EBOF是平行四边形.EF / OB, EFL侧面 AC1.又EF?平面AEC1, 截面 AECd侧面AC1;,一、 4_ _/ C1c Fi T-o(2)解：= AA1 = A1B1= 1, . ? ?= V12+(2)2=三，？?= Vi2 + 12 = v2,1 v3-7v6.AEC1 的面积为 一 X X -y2 =.2 24又 A到平面B1BCC1的距离为 B1EC1的面积为一 X X 1 =-.2224设B1到平面AEC1的距离为d,: ?-? = ?)-?1?,1v61v3 1V2-

20、 x ?x - = - x x ?= . 亚即，B1到平面AEC1的距离为-44.【折叠问题】(2020?深圳一模)如图，四边形 ABCD为长方形，AB=2BC=4, E、F分别为AB、CD的中点，将 ADF沿AF折到 ADF的位置，将 BCE沿CE折到 BCE的位置，使得平面 ADF，底面AECF,平面 BCE，底面 AECF,连接 BD.(1)求证：BD/平面 AECF;(2)求三棱锥B- ADF的体积./1【解析】(1)证明：作 D MXAF于M,作B NXEC于点N,AD，=D F=2, B C=B E=2, /AD F=/CB E=90 ,M, N 为 AF, CE 的中点，且？ ？

21、?？ =?v2,平面 AD FL底面 AECF,平面 AD FA 底面 AECF = AF ,D MAF, D M?平面F,. D M，底面 AECF,同理：B N,底面 AECF ,，D M/B N,，四边形D B NM是平行四边形，B D / MN,.B D ?平面 AECF, MN?平面 AECF, . B D /平面 AECF .(2)解：设点B到平面AD F的距离为h,连结NF,D M / B N, D M?平面 AD F, B N?平面 AD F,B N/平面 AD F,B到平面AD F的距离与点N到平面AD F的距离相等，. N 为 CE 中点，EF=2, NFXCE, AF /

22、 CE, NFXAF,平面 AD FL底面 AECF = AF, NF?底面 AECF, NFL平面 AD F,点N到平面 AD F的距离为 NF= v2,点B到平面AD F的距离h= V2,AD F= ；?么? ?= 1X2 X 炎=2-2 3331 Sa AD F= 2X2X2 = 2,三棱锥 B-ADF的体积 Vb，5.1与函数交汇】(2020?吕梁一模)如图正方形 ABCD纸片的边长为5v2,中心为O,正方形EFGH的中心也是 O, AEH, BEF, CFG, DGH分别是以EH, EF, FG , GH为底边的等腰三角形，沿虚 线剪开后，分别以 EH, EF, FG, GH为折痕折

23、起 AEH , BEF , CFG, DGH ,使得A、B、C、D 重合于点S,得到四棱锥 S- EFGH,设正方形EFGH的边长为x.(1)用x表示四棱锥 S-EFGH的体积V (x);(2)当V (x)最大时，求四棱锥 S- EFGH的表面积.【解析】(1)连接OA交EH为M ,则?= 5 , ?= 2；所以四棱锥 S- EFGH 的高为？ = (5 - ?2 - (?2 = v25 - 5?(0 ?箕 5)所以？(?= 1?v25- 5? 3(2)解法一：？?(?= 1?3V25 - 5?= 1v7 25?- 5?. 33设 f (x) = 25x45x5 (0vx5),贝U f (x)

24、 = 100x3- 25x4,由 f (x) = 0 得，x= 4.所以当x= 4时，f (x)由最大值，也即 V (x)有最大值.?此时四棱锥 S- EFGH的表面积为？+ 2?(5- ?) = 10?= 40解法二：?(?= 1?v25- 5?= 5v?。- 4?卢富，(4?+20-4?)5 =咚5 3665，3当且仅当x= 4时，体积取最大值，此时四棱锥S- EFGH的表面积为？ + 2?(5- ? = 10?= 40 .6.【内接问题】(2020?江苏一模)如图，在圆锥 SO中，底面半径 R为3,母线长l为5.用一个平行于底O为顶点挖去面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为。1,半径为r,现

25、要以截面圆为底面，圆锥底面圆心一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V.(1)将V表示成r的函数；(2)求小圆锥的体积 V的最大值.【解析】(1)在 ASAO 中，？?=，？?？ ?=，52 - 32 = 4,由 SNOic/dA SAO 可知，史=?所以？?= 4 ? ? ?3所以？?= 4- 4?所以？?(?= 3?4 - 3?)= 9?(3?- ?), 0?箕3.(2)由(1)得？?(?= 4?(3?2?- ?), 00,所以V (r)在(0, 2)上单调递增；当 r C (2, 3)时，V (r) 0,所以V (r)在(2, 3)上单调递减.所以当r=2时，V (r)取得最大值？?(2)= 理9 ，一八 16?答：小圆锥的体积 V的最大值为 97.2BC =【折叠问题】(2020?淮南一模)如图在梯形 ABCD中，AD/BC, AD DC , E为AD的中点AD2CD = 4,以BE为折痕把 ABE折起，使点 A到达点P的位置，且PBXBC.(I )求证：PEL平面BCDE ;(II)设F, F分别为PD, PB的中点，求三棱锥 G-BCF的体积.【解析】(I )证明：由题意可知BCDE为正方形,BC BE,且 BEXAE,即 BEXPE,又 PELBC,且 PBA BE= B, . BCL平面 PBE,. PE?平面 PBE, BCXPE,