高中数学立体几何向量法归纳

1、向量方法部分学海无涯teachermyAJ0DfZC1_、基本概念1、空间直角坐标系以单位正方体OABC DAEC 的顶点O为原点，分别以射线 OA, OC, 0D的方向为正方 向，以线段OA, OC, O的 长为单位长，建立三条数轴：X个空间直角坐标系O为坐标原点，X轴,y轴,Z轴叫坐标轴，通过每两个坐 标轴的平面叫坐标平面学海无涯空间直角坐标系-Oteachermyhxyz竖轴纵轴3、直线的方向向量teachermyh2. 空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（x,y，z）叫做点M在此空间 直角坐标系中的坐标，记作M （x，y，z） 其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的 纵坐标，z叫做点M的

2、竖坐标点M (X, Y, Z)若Q 7,则称Q是直线/的方向向量4、平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂 直于平面a,称这个向量垂直于平面a,记作n丄a, 这时向量n叫做平面a的法向量.n学海无涯5、平面法向量的求法teachermyh设a=( XiM，zd、b=(x2,y2,z2)M平面a内的两个不共 线的非零向量，由直线与平面垂直的判定定理知，若 n丄a且n丄b,则n丄a.换句话说，若na = 0且nb = 0, 则n丄a.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据n-a = Ofin b = 0可列出方程组厂 x2x+y2y +

3、z2z=03、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好)，便得到平面法向量n的坐标.学海无涯例、已知A(2, 1, 1), B(-2, 7, 0), C (6, 4,面ABC的法向量解：平面ABC的法向量为：卅=AB 二(-4,6,-1), AC = (4,3,-2)4x-6j+z = 0 得 Jz = 4兀 j 4x + 3j - 2z = 0=令z = 12得 h = (3,4,12)ermxtlfecom学海无涯平面4C的法向量w = (3,4,12)例、在棱长为2的正方体ABCDAiBCp中,0是面苟 AC的中心，求面0A D的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系0-xyz (如图)

4、， 则0 (1,1,0), (0, 0, 2) , 5 (0, 2, 2),设平面OAD的法向量的法向量为n=(x5y,z),由 o =-1,2) , ODX = (-1， 1, 2)得解得x-y+ 2z = 0一兀 + y + 2z 二 0取z=1得平面OAD的法向x = 2zy = 0量的坐标n=(2,0,1)5、两法向量所成的角与二面角的关系2世兰:设m、分别是二面角两个半平面a、卩的法向量,由几何知识可知，二面角aL卩的大小与法向量m、%夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为teachermy二基本公式:1、两点间的距离公式（线段的长度）AB = AB = j（兀 2 一兀J +（

5、丁2 一 丁1）2 +（乞 一 NY2、向量的长度公式（向量的模）a2+ y2 + z学海无涯3、向量的坐标运算公式teachermyh若 q =Z? = (x2,y2,z2)那么6Z/? =(X1X2,必丁2，勺勺)加=（右，2yp血）a.b = xix2 + yiy2+ziz2学海无涯teachermyh4、两个向量平行的条件abox=2y2, zl =2z2(2e/?)或f II 云兀J7!Zxab兀2 y i5、,两个向量垂直的条件 Q 丄方 O 西兀2 +歹1歹2 + Z&2 = 0学海无涯6、中点坐标公式兀： y :Z =7、重心坐标公式xl + x2teachermyh2_ X

6、+2=Zi + Z22X + 力3Zi + + S3学海无涯8、直线与直线所成角公式teachermyh门 IABCDICOS U =IABI-ICDI9、直线与平面所成角公式（PM ul M ea 为2的法向量）10、平面与平面所成角公式cosI I I n21（“1 $为二面角两个半平面的法向量）学海无涯11、点到平面的距离公式teachermyh7 PM-n d二（PM为平面仅的斜线，为平面仅的法向量）12、异面直线的距离公式z ABnd 二n（A,B为异面直线上两点，为公垂线的互向向量 学海无涯基本应用teachermy点到直线的距离点到平面的距离直线到直线的距离直线到平面的距离利用向

7、量求角利用向量求距离平行到平面的距离学海无涯teachermyh利用向量证平行 利用向量证垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直学海无涯四、基本方法teachermy1v平行问题设直线人加的方向向量分别为a.b,平面羽0的法向量分别为u.v,贝!I2、垂直问题teachermyh设直线人加的方向向量分别为a,b9平面 的法向量分另!为“川，则线线垂直/丄m 丄乙oa不=0；线面垂直/丄aoau0a= Xu ；面面垂直仅丄#丄v ow v = 0.学海无涯teachermyh3、角度问题设直线2,加的方向向量分别为方,平面。，0 的法向量分别为u.v,则ab两直线5所成的角为川弓翻奇 直

8、线/与平面2所成的角为0 (0綁4),血0=二Ln 1/平面&与平面0所成的角为& (OW05), cos器.4、距离问题teachermyh(1)点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。(2)点到直线的距离、直线到平面的距离、平 面到平面的距离转化为点到平面的距离求 解。学海无涯teachermy五、典型例题g1题型一：线线角G例： 心AABC中，ZBCA = 90,现将AABC沿着平面ABC的法向量平移到AA1B1C1位置，已知 BC = G4二CG，取AQ、的中点卩、耳,求30与A好所成的角的余弦值.AA学海无涯题型一：线线角解：以点C为坐标原点建立空间 直角坐标系

9、C-xyz如图所示， 不妨设cq=i则A(1,O,O),3(0,1,0),硝,0,1), 9(歸，D AFC-j,0,1)，昭 U，l)所以BD月AF所成角的余弦值为a/30locs佃亜十需鬻遵题型二=线线垂直teachermyh/例.在三棱iABC-ABC中，底面是正三角形， AA丄底面ABC, AC丄AB求证：BC丄AB解.建立如图空间坐标系不妨设底面边长为2,高为力,A&, 0,0), B(0,1,0), C(0,-l, 0).A 祐,0, h), B0丄力),。(0, -1, h). ab(-A1,/i),AC 二(-A-l-Zi), 二(0-2, h) 0 =丽疋=3_1_心2 =2

10、.茁丽= 0 + 2 方2 =0.力 C丄 A学海无涯彳 题型五：线面垂直peachermyhj例在正方体AC】中，E为DD的中点，求证：DB/面A&E证明：如图建立坐标系D-xyz,Cx t&4Z) = 2则 A(2,0,2),q(0,2,2),E(0,0,l)/.疋=(-2,2,0)，乔二(-2,0,-1) 珂=(1丄1).设平面AE C的法向量石=(x, y, Z),则L AjC, = 0 即 C2x + 2y = 0丫-2x-z=0解得五二(1,1-2)/. D&丄五，DB II平鬲精决例:在正方体4BCQ-4NCD中.E, F分别是CCD的中点. 求证：AFL平面 证明:如图取丽，旋

11、,而吩别为兀轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2. &A(2,0, 0),B(2, 2, 0),A(2, 0, 2) E(0,2,l),F(l,l,0)AT = (-1,1, -2), DB = (2,2,0), D = (0,2,1) 丽軌(-1,1, -2) (2,2,0) = 0.乔旋=(一 1,1, -2) (0,2,1) = 0EF :.7CF 丄丽，丽丄DE,又DBDE = D.:.AF 丄平面BDE 或先求平面BDE的法向量云再证明AFUn 学海无涯题型六：面面角teachermyh例、已知，ABCD是一直角梯形，ZABC = 90,SA丄平血SA = AB =

12、 BC = 1,AD =丄,求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。 十2一Z解:建立直角坐系A- xyz如所示，A 0,0,0), C e l,l,0),D(0；,0), 5(0,0,1)2i易知，面SB4的法向量nx=AD = (0,-90)9112mCD = (l,-,0),5D = (0,-,-l)y一丨五11忌1 一丁，设平面SCD的法向量= (x,y,Z),由石丄CD丄丽，得： 送=0Y v解得：五2 =(1,2,1) COS AE 丄 Df, D4 丄 Df 亠叮丄平面AED =平面丄平面4ED练习如图，直三棱柱ABC-AQG中，teachermyhCA = CB = LABC

13、 A = 90,棱AA=2, 中点，求：(1) 3N的长；(2) cos 的值;M、N分别是4Q、AA的证明：43 丄 CMo练习ZtAAGGteachermyh已知长方体4G中，AB = BC = 2, AA=4, E、F分别 是AS 坊的中点，求异面直线BE、CF所成角的大小。XX学海无涯X练习如图，|teachermyh已知正方体ABCD - A,BXCXDX中，E暑C中点，点F在AA上，且Af:FA = l:2,求: 平面的法向量；teachermyhcgl ABCD-AXBXCXDX为直四棱柱，底面ABCD是直角梯形， ZDAB=ZADC=90, AD CD = a, AA = AB

14、 = 2a (1)求异面直线AC】和QC所成角； 求AC和底面Bcq所成角；teachermyh练习如图所示，已知FA丄正方ABCD所在平面，点、N分别2PC, AM =- AB, PC = 3NC3 求证：面PAD丄面PCD(2) SPA = AB,求二面角N-DM-C的大小。teachermyh例.已知：直三棱柱ABC-AQC的侧棱AA二4,底面AABC中，AC = BC = 2,ZBCA = 90卫为AB的中点。求CE与AB】的距离。 解：如图建立坐标系C 可运贝UC(OQO), E(1丄0)，4(2Q0), Bx (0,2,4).后=（1 丄 0）,両=（224）,设C皮AR的公垂线的

15、方向向量为五=(忑 z) 则HCE = 0 艮卩 jx+y = 0H ABX = 02x + 2y + 4z = 0CE与的距离二IHeCAI_2V3h Tz取 x=1，z 则 y=j，z=1，所以 “ =（1厂 口） 在两直线上各取点CM/ CA = (1,0,0),题型十：点到平面的距离teachermyh7C垂直于ABCD所在的平面，且GC二2,求点B到平面EFG的距离. 解:以乔,CB,笛勺方向为X轴,Y轴,Z轴的正方向Z建立空间坐标系，贝IG(0,0,2), 3(0,4,0), 4(4,4,0),D(4,0,0), E(4,2,0), F(2,4,0).GE = (4,2, -2),

16、GF = (2,4,-2)设平面EFG的法向量为川0 =(如”乙)，则有：BYFE AnQ GE = 0GF=02x + y z = 0 x+2y 乙=0. n0 = (1,1,3)，又 GB = 2(0,4,-1) = (0,4, -2)学海无涯I迅呼丨=害加 即点3到平面EFG的距离为咅严练习teachermyh已知正方体ABCD-的棱长等于8, E为中点, 求点D1到平面AEC的距离。练习teachermyh在直三棱柱ABC-40C中，底面是等腰直角三角形,ZACB = 90,狈IJ棱D、E分别是CCA.B的中点点E在平面上的射影是AAJBC的重心G,练习teachermyh如图已知4BCD为边长为4的正方形，点E、F 分别是AB、4D的中点，GC垂直于AECD所在平面,且GC二2,求点E到平面GEF的距离。练习在棱长为4的正方WABCD-AXBXCXDX中，O是正方形 ABxCxDx的中心，点P在棱CC上，且CC=4CP求直线4P与平面B