2020高考数学总复习：解析几何

1、高考数学总复习第六讲：解析几何高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题，1个填空题，1个 解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右.其命题一般 紧扣课本，突出重点，全面考查.选择题和填空题考查直线，圆，圆锥 曲线，参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线 中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查 直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识，这 点值得考生在复课时强化.一、圆锥曲线的几类基本习题一.弦的中点问题具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为(xi,yi), (X2,y2),代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，

2、消去四 个参数。例1给定双曲线x2 1。过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点P1及P2,求线段P1 P2的中点P的轨迹方程。22分析：设 R(X1,y1), P2(X2,y2)代入方程得 x； ' 1 , x2 弓 1。两式相减得，、/、1 ,、/、C(xx2 )(x1x2)一(y1y2)(y1y2)0。2又设中点P (x,y),将x x2 2x , y y2 2y代入，当x x2时。2y yi y2 2x , 0 o2 x1 x2又 k j， x1 x2 x 2代入得 2x2 y2 4x y 0。当弦P1P2斜率不存在时，其中点 P (2, 0)的坐标也满足上述方、8Y 12 4

3、" J2程。因此所求轨迹方程是监口2 1。7722例2已知椭圆土匕1 ,通过点(1,1)引一弦，使它在这65点被平分，求此弦所在的直线方程。略解：有 (x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2)0 ,代入得651 2( y y2) 3 5( x1 x2)0,得 k y5。从而直线方程是5x 6y 11 0。此题将椭圆变为双曲线、抛物线都是同一方法。二.焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 22例3设P(x,y)为椭圆与 4 1上任一点，E( c,0), F2(c,0)为焦a b点，PF1F2,PF2F1。(1

4、)求证离心率e 2;cos2(2)求 tg,tg_2的值；(3)求 |PFi|3 PF2I3的最值。(1 )设|PFi| n ,|PF2 2 ,由正弦定理得1sinsin2c sin(r1sinsinsin( sin sin、 cosL 2_ocos2(2)coscos sinsin e3222 ,采用合分比定理得cos-cos sinsin 2222tg2tg-coscos，sin sin22L.eo1 e(3) (a ex)3 (a ex)3 2a3 6ae2x2。当x。时，最小值是2a3;当x a时，最大值是2a3 6e2a3。三.存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，

5、分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。22例4 已知椭圆C的方程勺 上1,试确定m的取值范围，使 43得对于直线y 4x m,椭圆C上有不同两点关于直线对称。分析：椭圆上两点（x"）,诲,），代入方程，相减得3( xi X2)(XiX2)4( yi y2)(yi y2)yi y2y k,yiy2xi X214，代入得y 3x。p , y 3x 又由y 4x m解得交点（m,3m)。交点在椭圆内，则有2_2(m) ( 3m) I o/曰 2 i3得i3m i3例5 为了使抛物线（y i）2 x i上存在两点关于直线y mx对称，求m的取值范围。略解：两点所

6、在直线y m2与y mx联立求出交点2（修，比马，代入抛物线内，有（口 i）2 口二i ,解得 2m 22m2m2 m 0。四.两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用ki - k21来处X1 , x2理。例6 已知直线l的斜率为k ,且过点P( 2,0),抛物线C:y2 4(x 1),直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。(1)求k的取值范围；(2)直线l的倾斜角 为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线 互相垂直。分析：(1)入抛物0,得(4k2 4)xXi X24k2 4k2y1y2 k2(X12)(X22) 4 ,焦点为 O(0,0)。由 koA . koByyX1X24 1,

7、得 k k2 122 f arctg或22 arctg 。两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点 F,求直线l的倾斜分析：左焦点F(1,0), 直线y=kx 代入椭圆得(3k2 1)x2 6x 3 0 ,X23X1X22,Xi3k2 1YlY23k23k2 1由AF BF知上1 。将上述三式代入得kx1 1 x2 130 或 150 。二、直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题基本知识点:(1)求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组， 进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办 法。(2)注意韦达定理的应用。弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦 AB

8、,若A、B两点 的坐标分别是A(X1, y) B(X2, y2)则AB(X1 X2)2 (y1 y2)222V1 k X1 X2.(1 k2)(x1 X2)2 4x1x21k2 a(3)注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。(4)有关中点弦问题<1>已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。<2>有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。(5)有关圆锥曲线的对称问题若A, A'是关于直线l的对称点，则应抓住 AA'的中点在对称轴l上及k， kl 1这两个关键条件，同时要记住一些特殊

9、的对称关系，如关于坐标轴 对称，关于点对称，关于直线 y= ±x+b对称。(6)圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。【例题选讲】例1.已知抛物线y2=2px(p>0)。过动点M (a, 0)且斜率为l的 直线l与该抛物线交于不同的两点 A、B(1)若|ab| 2p,求a的取值范围。(2)若线段AB的垂直平分线交AB于Q,交x轴于点N ,试求三角形MNQ的面积解：(

10、1)直线l的方程为y x a,将y x a代入y2px,得x2 2(a p)x a2 0设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(xi, yi)、B(x2, V2),则ABppp(p- 48(2)设Q(x3, y3)由中点坐标公式得Xi X2X32a P(xi a)(X2 a)y32 PQM 2 (a pa)2 (p 0)2 2p2又三角形MNQ为等腰直角三角形S MNQ2QM2例2.如图，已知梯形ABCD中，|AB| 2CD ,点E分有向线段AC所成的比为,双曲11线过C、D、E三点，且以 A、B为焦点，求双曲线的离心率。(2000年，全国高考)解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建

11、立直角坐标系xOy，则 CD±y轴，因为双曲线经过点 C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称c1依题忌，记点A( C, 0),点c(2, h),-0),其中c为双曲线的半焦距，c #B，h是梯形的高由定比分点坐标公式，得点E的坐标为Xe8 cc 11 2TT-117一 c19yE0 h1111i89h设双曲线的方程为七1 b2则离心率e由点C、E在双曲线上，得1 c24 a249c2361a2h2b2164361(1)14/口 c2代入(2)得9h2 由(1)得2 b2离心率e 星 3小结：此题涉及解析几何的最根本问题：如何建立坐标系，这也 是对学生基本能力

12、的考查，坐标系是一种工具，如果用得好，可以 给解题带来方便，但考试时我们不可能对各种情况进行讨论，一般 而言，可从对称的角度去考虑。抛物线方程y 2 p(x 1) (p 0),直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且OALOB,求p关于t 的函数f(t)的表达式。(3)在(2)的条件下，若t变化，使得原点O到直线AB的距离不大于 旦,求p的取2值范围。(1997年上海高考)(1)证明：抛物线的准线为 p 1: x 1 - 4由直线x+y=t与x轴的交点(t, 0)在准线右边，得 p 一一t 1 上，而 4tp

13、 4 04x y t由 2消去y得22x (2t p)x (t p) 0一. 2.2(2t p) 4(t p)p(4t p 4) 0故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(x1, y。，点 B(x2, y2)2x1 x2 2t p, x1x2 t pOA OB, koA koB 1则 x1x2 y1y20又 yy2(t x1)(t x2),2xx2 V1V2 t (t 2)p 0p f(t)t2又p 0, 4t p 4 0得函数f(t)的定义域是(2, 0)(0,)2(3)角军：因为原点。到直线x y t的距离不大于 空，2即t-.22即 1 t 1结合(2)得 t 1, 0)(0,

14、12一 t_4又f(t) (t 2) 4t 2t 2令 u t 2, u 1, 2)(2,34f(t) g(u) u - 4在1, 2)上是减函数，在(2, 3上是增函数 u从而 g(u) (g(2), g(1) (0, 1八1或g(u) (g(2), g(3) (0,-当t 1, 0)时，p (0, 1一，1当t (0, 1时，p (0,-9.2,且离心率e43例4.已知椭圆的一个焦点为F1(0,2J2),对应的准线方程为y满足：2, e, 4成等比数列 33(1)求椭圆方程;(2)是否存在直线I,使l与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段MN恰被直线x 1平分，若存在，求出I的倾斜角的范围；

15、若不 2存在，请说明理由。(1 )解：依题意e包23a2 c 注 22c 442.2a 3, c 2V2, b 1又Fi(0,2&),对应的准线方程为y椭圆中心在原点，所求方程为 x2 -y2 1二平分29(2)假设存在直线1,依题意l交椭圆所得弦MN被x直线1的斜率存在设直线1: y kx my kx m2 y2 消去y,整理得 x2 19(k2 9)x2 2kmxm2 9 01与椭圆交于不同的两点 M, N.22.2-24km 4(k9)( m 9) 0即 m2 k2 9 0 (1)设M (x1，y1)，N(x2, y2)x x2km 12 k2 92k2 9 m 2k把(2)代入

16、(1)式中得:(k2 9)24k2(k29) 0k <3 或 k2直线1倾斜角 (一,-)(,) 32235.2 x 已知椭圆E：五 a2yy 1 (a b 0) , AB是它的一条弦，点 M(2, 1)是弦AB的中 点， b2若以M(2 , 1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线线AB交于点N(4, -1),且椭圆的离心率e与双曲线离心率C和直e1之间(1)求椭圆E的离心率e;(2)求双曲线C的方程。满足eei=1 ,解:设MN交椭圆于点A(x1, y1),B(X2, y2)(1)因为点 M(2 , 1),点 N(4 , -1)所以MN方程为y x 32.2a b 0X12 a2

17、 aX222b22c2,3a b" b2准线方程为:2 2a2c222acy x 3 .2 22 22.2b x a y a b即x 2c(2)因为 ee1=1双曲线C的离心率e1 后，焦点M(2, 1),准线l： x 2c,点N(4,1)在双曲线上MN edN i 1:.22即(4 2)( 1 1)24 2c解之 c 3, 1: x 6设双曲线C上一点P(x, y)22则 (x 2) (y 1)2x 6化简得双曲线C的方程：22(x 10) (y 1)32例6.已知抛物线y2=x上有一条长为l的动弦AB,求AB的中点M到y轴的最短距离。解：设中点M的坐标为(x, y),利用对称性可

18、设A(x+u ,y+v) , B(x-u , y-v) ,依题意有2(yv)xu(1)(yv)2 xu(2)222(2u)2(2v)2l2(3)(1) (2)得 2y2 2v2 2x22v x y (4)因为(1) (2)得 4vy 2uu2 4v2y 4(x y2)y2(5)将(4) (5)代入(3)得：2222 l4(x y )y (x y )422 l2(x y )(4y1)4此即M点的方程l244(y2(-)2421y 4令t y2r 1一，4)于是x f(t)l_2当且仅当(-)2十，即-时取等号4故当-44)即11时取等号成立1时 Xmin4 时 f(t)1f(4)(t14)l 2

19、()24 t(-)2 F4(t匕)4t1,4t14t2l4tf(t)f(t)19)，4当且仅当-时取等号41Xmin f(-)41 l2综上可得XminJ_ 2 l21)一(0 l 41)三、解析几何中减少计算量的常用方法在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上， 如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运 用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。一.充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几 何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面 几何知识，这往往能减少计算量。例1.已知直线2x y6 0, x2

20、y80及xy0,求它们所围成的三角形的外接圆方程。，一 * 一1,由 x y。， 2x y 6解：由直线2x y 6 0与x 2y 8 0的斜率分别为2和万，得此 两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。0及x ；y 08 0,可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为A(2, 2)、B(8, 8)。所求三角形的外接圆，即为以 A (2, 2 )和B(8, 8 )为直径端点的圆，其方程为 (x 5)2 (y 5)218评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而 先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将 会大大增加计算量。例2.已知点P (5, 0)和圆O: x

21、2 y2 16,过P作直线l与圆O 交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。解：点M是弦AB中点， OMP 90 , 点M是在以OP为 直径的圆周上，此圆的圆心为 |, 0),半径为5 ,所以其方程为(x |)2 y2 (5)2,即 x2 y2 5x 0。同时，点 M 又在圆 x2 y2 162 2的内部，x2 y2 16,即0 x所以所求的轨迹方程55为 x2 y2 5x 0(0 x 16)评注：此题若不能挖掘利用几何条件OMP 90 ,点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并 且比较麻烦。例3.求与x轴相切，圆心在直线3x y 0上，且被直线y x截得的 弦长

22、等于2J7的圆的方程。解：因圆心在直线3x y 0上，故可设圆心O'(a, 3a)又 圆与x轴相切，r 3a|,此时可设圆方程为(x a)2 (y 3a)2 (3a)2(运用已知条件，找出a、b、r间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。)又圆被直线y x截得的弦长为277。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用a表示出来，便可利用勾股定理求得a弦心距d|a 3a|,2.一 2|a|(显V (77)2(3a)2,解得 a 1当a 1时，3a3, r 3,圆方程为24 24(x 1) (y 3)9当a 1时，3a 3, r 3,圆方程为24 24(x

23、1) (y 3)9评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三 角形，而用弦长公式，将会增大运算量例4.设直线3x 4y m 0与圆x2 y2 x 2y 0相交于P、Q两 点，O为坐标原点，若OP OQ ,求m的值。解：圆x2 y2 x 2y 0过原点，并且OP OQ ,1PQ是圆的直径，圆心的坐标为 M( - , 1)一 1又M( 3，1)在直线3x 4y m 0上，3 ( 2) 4 1 m 0, m ：即为所求。评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OP OQ , PQ 是圆的直径，圆心在直线3x 4y m 0上，而是设P(x1, y/ Q(x2, y2)再由OP

24、 OQ和韦达定理求m,将会增大运算量。二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解, 这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到例5.已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线y x 1相交于P、Q两点，且OP OQ, |PQ|詈，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为ax2 by2 1（a b0）,直线y x 1与椭圆相交于 P（x1，y）、Q（x2，y2）两点。,、, y x 1. ，一由方程组y22 消去y后得ax by 1(a b)x2 2bx b 1 0XiX2-2-, x1x2 a b由kOP koQ 1 ,得 y1y2x1x2(1)又P、Q

25、在直线y x 1上，y1 x1 1,(2)y2 x2 1,(3)yy2 (x11)(x21) x (x1 x2)1把(1 )代入，得 2x1x2 (x1 x2) 1 0 ,即也工里1 0 a ba b化简后，得a b 2(4)由 |PQ| -10 ,得(x x2)2 (y1 y2)2 - 22x2)2 4x1x2,4/ r5(x1 x2) 一, (x14(2b )2 4(b 1)5a b a b4把（2）代入，得4bkAB kOM评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的 8b 3 0,解得b g或b 3代入（4）后，解得a0或a 12 23 1由 a b 0,得 a -, b

26、- °22所求椭圆方程为322 y2 1评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了 计算。AB为不平行于对称轴且不过原2例6.若双曲线方程为当a点的弦,M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为kAB、kOM ,则kAB kOMb22a解：设x1，y1），X2， ¥2)X1X2y1y2)2'2又A、B分别在2 y b21上,则有2 X1 -2 a2 X22 a2 y_ b22 y2_ b2由得2X12X2-2 a2 y220,2即4X12 y22X2Y1y2 y1y2X1X2 X1X2bl2 ) a策略，简化了计算三.充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避

27、免求曲线的交点，因此也可以减少计算。例7.求经过两已知圆Ci： x2 y2 4x 2y 0和C2： x2 y2 2y 4 0 的交点，且圆心在直线l : 2x 4y 1 0上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：22_, 22_、-x y 4x 2y (x y 2y 4) 0即(1 )x2 (1 )y2 4x 2(1 )y 40,其圆心为C (二一,一1) 11又C在直线l上，2 1 4 1 0 ,解得 1 ,代入所设 圆的方程得x2 y2 3x y 1 0为所求。评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。四、线段长的几种简便计算方法近几年的高考数学试题，都有运算量大的特点，解析

28、几何部分显 得尤为突出，而在解析几何题中，又着重体现在求线段的长。若求 线段长的计算方法不当，就会大大增加运算量，直接影响高考成 绩。经笔者多年摸索，找到几种计算线段长的简便方法，写出来， 供大家参考。一.充分利用现成结果，减少运算过程般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是:把直线方程y kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如 ax2 bx c 0的方程，方程的两根设为Xa , Xb ,判别式为,则|AB| V1 k2 |xA xB|<1 k2 ；(Xa Xb )2 4Xa , Xb Ji k2 ,。记住 了结果，在计算|a|:; 中，直接代|AB|记k2 就能减少配方、开方等运算

29、过程。冏例1 求直线x y 1 0被椭圆x2 4y2 16所截得的线段AB的 长。解：把y x 1代入椭圆方程x2 4y2 16得到5x2 8x 12 0.一 2一 一一 84 5 12 304 ,304贝 U|AB| .1 1 -4.385二.结合图形的特殊位置关系，减少运算1.求直线与圆的相交弦因圆比较特殊，故求弦长不采用方法一，可用下面的方法，使运算简单。设直线方程为y kx m ,圆的方程为(x a)2 (y b)2 r2 ,圆心为(a,b),直线与圆相交于 A、B,圆心到直线的距离为d ' b, v1 k2贝U|AB| 282 d2 。例2 求圆x2 y2 2x 4y 3 0

30、截得直线x y 1 0的线段长。解：由原方程得(x 1)2 (y 2)2 (2五)2,圆心为(-1 , -2),则d|( 1) 11从而截得线段长|AB| 2V8" 2灰。1 12 .求过圆锥曲线焦点的弦圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。22例3 如图1, Fl、F2是椭圆x- - 1的两个焦点，AB是经过259F1 的弦，若 |AB| 8,则 |F2A| |F2B| 解：由定义可知|FA| |F2A| 10,|EB| IF2BI 10,则 |F1A| |F2 A| |F1B| |F2B| 20。又由图可知|FA| |PB| |AB| 8 ,因此

31、IF2AI |F2B| 12。注：此题如果不结合图形用定义，就很难计算出结果。图1图23.运用两种曲线组合构成的特殊位置关系，巧妙简化运算例4 已知圆F的方程x2故 arctg -或 arctg 。注：如果此题直接计算三段|AB|, |CD|, |BC|的长，而不结合图形 得关系式|AD|BC| 4 ,会加大运算量。三.将二元运算转化为一元运算，可简化运算1.用三角形相似比，把平面上两点间的距离转化为数轴上两点间 的距离 y2 2y 0 ,抛物线的顶点在原点，焦 点是圆心F,过F引直线l与抛物线和圆依次交于 A、B、C、D四 点，设l的倾斜角为，当 为何值时，线段|AB|, |BC|, |CD

32、|成等差 数列。解：依题意知圆心 F(0,1),半径为1,抛物线的方程：x2 4y, |BC| 2 (如图 2)。|AB|, | BC | , |CD|成等差数列，|AB| |CD| 2|BC| 4 ,即 |AD| |BC| 4 , |AD| 6。设l的方程为：y kx 1 ,代入x2 4y得x2 4kx 4 0。由 |AD| V1 k2 - ,16k2 16 6,解得 k tg,2例5 直线l与x轴不垂直，与抛物线y2x 2交于A、B两点，与椭圆x22y22交于C、D两点，与x轴交于点M(x0,0),若|AC| |BD|,求xo的范围。解：设直线l方程为y k(xXo),又设 A(Xi, y

33、i)、B(X2, y2)C(X3,y3)、D(x4, y4)。y k(x由2y xxo)2，得到k2x2_ . 2(2k xo1)x,2 2k xo2当1(2k2xo 1)24k2xo 8k222 24k , (k xo1 o(1)由韦达定理得xx22k 2xok2由y2 xk(x xo),2y2 2得到(1_ 2、22_ 222k )x 4k kox 2k xo2 o。 216k16k24 2-2-22-xo 4(1 2k )(2k xo 2)8k2x02 8 O ,(2)有 x3x44k%2-01 2k要使|AC|BD|,只需 AB的中点与 CD的中点坐标相同即可。由x1x2x3k22(1

34、 xo)(xo 1).(3)把（3）分别代入（1）、（2）可求得X0的范围为（-2, -1 ）。注：此题如果不转化，就找不到关系 xi X2 X3 X4,花费再多时 间都难以解出。2.利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例6点A （3, 2）为定点，点F是抛物线y2 4x的焦点，点P在抛物线y24x上移动，若|PA| | PF |取得最小值，求点P的坐标解：抛物线y2 4x的准线方程为x 1 ,设P到准线的距离为d ,则|PA| |PF|二|PA| d。要使|PA| |PF|取得最小值,由图3可知过A点的直线与准线垂直时，|PA|PF|取得最小值，把y 2代入y2 4x,得P

35、（1, 2）四.利用直线参数方程t的几何意义，简便运算利用直线参数方程t的几何意义，计算直线上经过同一点的两条 线段的长。例7 过点A （-2, 4 ）引倾斜角为135o的直线交抛物线y22 px（ p 0）于 P1P2两点,若|AP1|,|P1P2|,|AP2|成等比数列，求P的值。解：设直线的参数方程为2 tcos135o,y 4 tsin135o ,代入 y2 2 Px(p 0),得t2 2V2(4 p)t 8P 32 0,ti t22亚4 p),11t2 8P 32 0。由参数 t 的几何意义，得 |APi |tl|, |RP211t2 til, |AP211t2|。根据题意得 |t2

36、 11121tll |t2|, . 2(ti t2)4tit2 tit2,(ti t2)2 5tit2 ,于是2,5(4 p)25(8p 32)，即 p2 3p 4 0 ,又p 0 ,得 p io五.利用极坐标，简便运算在过原点的几条线段成一定角的关系中，用极坐标会使运算简便。22例8 P、Q是双曲线xy当i(0 a b)上的两点，若OP OQ , a b求证:i2|OQ|2i2|OP|2为定值b2o解：将x cos , y sin代入2 x2 a¥ i(0 有工2 cos2 sin设 P( 1, ),Q( 2_112) ? |OP|2|OQ|2直。上面五种方法及例证充分说明，灵活掌

37、握求线段长的简便算法，会加快你的解题速度，从而提高数学成绩，以利高考。五、典型例题例1 已知点 T是半圆 O 的直径 AB上一点，AB=2、OT=t (0<t<1),以AB为直腰作直角梯形 AA B B ,使AA垂直且等于 AT,使bb垂直且等于 BT, a B交半圆于P、Q两点，建立如图 所示的直角坐标系.(1)写出直线A B的方程；(2)计算出点P、Q的坐标；(3)证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点 Q.直线讲解：通过读图，看出a',b'点的坐标.(1 )显然 A' 1,1 t , B1,1 t ,于是A B的方程为y tx 1 ;22

38、(2)由方程组x y 1,y tx1,2解出 P(0,1)、Q(产R,tv)；1 t 1 t(3 ) k PTk QTi t21t2t1 i21t21t（it2） r由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点 P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.需要注意的是，Q点的坐标本质上是三角中的万能公式，有趣吗？2例2 已知直线l与椭圆二 a2b21gb0)有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.讲解：从直线l所处的位置，设出直线l的方程,由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l的方程为 y kx m(k 0).代

39、入椭圆方程b2x2 a2y2 a2b2,得2 22222、22b x a (k x 2kmx m ) a b .化简后，得关于x的一元二次方程,2, 2 , 2、 222 22, 2(a k b )x 2ka mx a m a b 0.于是其判另 U式(2ka2m)2 4(a2k2 b2)(a2m2 a2b2) 4a2b2(a2k2 b2 m2).由已知，得=0 ,即a2k2 b2 m2.在直线方程y kx m中，分别令y=0 , x=0 ,求得R( m,0),S(0,m). kmyx , k ,令顶点P的坐标为(x, y),由已知，得 k解得 x y m. m y._ 22代入式并整理，得

40、=I 1,即为所求顶点P的轨迹方程.x y22方程a. 3 1形似椭圆的标准方程，你能画出它的图形吗？ x2 y222c c例3已知双曲线 冬 与1的离心率e3,过A(a,0), B(0, b)的直 a2 b23线到原点的距离是擀C, D 且 C, DA11的距离 a b(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点 都在以B为圆心的圆上，求k的值.讲解：:(l)巳 2 J3",原点到直线AB:a 3abab,： 22x a b1, a、3.故所求双曲线方程为二y2 1. 3(2 ) 把y kx 5代入x2 3y23中消去22(1 3k )x 30kx

41、78 0.设C(x,y1),D(x2,y2),CD 的中点是 E*.),则X(ok BEXi X215 kZZ 221 3ky011.Xoky0kx5521 3kXo ky° k 0,即1不0,又 k 0,故所求k= 士方.为了求出k的值，需要通过消元，想法设法建构k的方程.例4已知椭圆C的中心在原点，焦点Fi、F2在x轴上，点P为椭 圆上的一个动点，且/ F1PF2的最大值为90° ,直线l过左焦点Fi与椭圆交于A、B两点，3BF2的面积最大值为12.(1)求椭圆C的离心率;(2)求椭圆C的方程.讲解：(1)设严1| r1，|PF2| r2，|F1F2| 2c,对PF&#

42、174;由余弦定理，得122,、2_22222口卜 4c * 口) 2rj2 4c 4a 4c 4a 4ccos F1PF2 1 12r/22盯22rj22( r1 -.21 2e2 0 ,解出e二2(2)考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i)当k存在时，设l的方程为y k(x c)22椭圆方程为勺 1, A(X1,y1),B(X2,y2) a b由e 亘得a2 2c2,b2 c2.2 .于是椭圆方程可转化为X2 2y22c2 0将代入，消去y得x2 2k2(x c)2 2c2 0,整理为X的一元二次方程，得.22. 22 . 2(1 2k )x 4ck x 2c (k 1) 0 .则X

43、1、X2是上述方程的两根.且| X2xi |2 2c 1 k2AB 边上的高 h | F1F2 |sin BF1F22c|k|1 k2也可这样求解：c 1S 2 |FiF2 | |y1y211 1-2 2c(- 21H 2 )2k 71|k|22c1 . c | k | | XiX212 2c21 k2 | k|c c c21 2k2 2c2 1 14 k4 k22.2c2_ 2.2c .k2 k41 4k2 4k4ii)当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得22y_2c,|AB| 2c,S-2c 2c2-由知 S的最大值为 五c2由题意得 扬2=12 所以C22a 12 - 26. 2b2故

44、当/IABF2面积最大时椭圆的方程为：工 工112. 2 6 2下面给出本题的另一解法，请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：x my c(这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.)椭圆的方程为：1 匕1,A(x1,y1), B(X2,y2) a b由e乌得：a2 2c2,b2 c2,于是椭圆方程可化为： 2x2 2y2 2c2 0把代入并整理得：(m2 2)y2 2mcy c2 0于是MR是上述方程的两根.I AB | (x1 x2)2 (y1 y2)21 m2 | y2 AB边上的高h 上, - 1 m2从而 S l|AB|h 1 2 2c(1 m2)2c22m2 21

45、 m22技2 I1技2.m2 1 2m2 1y |2 4m c 4c (m1 m 2m 22)2 2c(1m2)当且仅当m=0取等号，即Smax2 2c2(- 2c2.21 m2m 2)2由题意知.2c212,于是 b2 c2 6.2,a122 .故当AABF2面积最大时椭圆的方程为:2X12. 22y 1.6 22例5已知直线y x 1与椭圆与 a2 y b11(a0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x(1 )求此椭圆的离心率；(2 )若椭圆的右焦点关于直线l 此椭圆的方程.2y的对称点的在圆4上，求讲解：(1 ) 设 AyA(X1,y)B(X2,y2)则由 x2x2 y b21

46、,/ 2-2、 2(a b )x2a2x2, 2a b0,根据韦达定理，得2a2Xi X2 a by23 X2)2b2a2 b2 ,线段AB的中点坐标为2 a""2 a2由已知得42 a b2b2: b20,2222、a 2b 2(a c )2c2故椭圆的离心率为(2)由(1 )c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0),设 F(b,0)l:x 2y 0 的 对一 y0(X0, y0),则X0l x0 b y01 且-0200,220 1b 234角牛得xo且丫。-b55由已知得 x2 y2 4, (3 b)2 (4 b)2 4, b2 45522故所求的椭圆方程为上工1 .8

47、4例6 已知。M: x2 (y 2)2 1,Q是x轴上的动点，QA, QB分别切。M于A, B两点,(1)如果|AB|返，求直线MQ的方程;3(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.讲解：(1)由1AB 1 ：,可得|MP| j|MA|2 (ABf(232)2 3，由射影定理，得 | MB |2 |MP | | MQ |,得 |MQ | 3,在 RtNOQ 中,|OQ | 小 MQ |2一|MO |2 ，32 22 疾,故 a 45或 a45 ,所以直线AB方程是2x V5y 2 痣 0 或 2x5y 2 岳 0;(2)连接 MB , MQ ,设 P(x,y),Q(a,0), 点M , P, Q在

48、一直线上，得 上上,(*)由射影定理得|MB |2 |MP | | MQ |, a x即Jx2 (y 2)2 Ja2 4 1,(*)把(*)及(* )消去a,并注意到x2 (y 4)2 9y 外适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读 者反思其中的奥妙.2例 7 如图，在 RtMBC 中，/CBA=90 ,AB=2 , AC=:。DO ±AB于O点，OA=OB , DO=2 ,曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程;(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设DMDN试

49、确定实数的取值范围.讲解：(1)建立平面直角坐标系，如图所示.I PA |+| PB |=| CA |+| CB |222 2=为淤(5)2五动点P的轨迹是椭圆.2, b 1, c 1.2曲线e的方程是y2 1 .(2)设直线L的方程为ykx 2 ,代入曲线E的方程x2 2y2 2,得一 22 一 一(2k1)x 8kx 6 0设 M 1 ( Xi, y1),N(x2, y2),则X1X2(8k)2 4(2k 1)8k2/，2k 1XiX262.2k2 13i) L与y轴重合时,| DM |DN |ii) L与y轴不重合时,由得k2又DMDNXD XMXDXNX1X2 X2X10,X2Xi0,.0<<1 ,X2)2