备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题36到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式

1、专题 36 到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式考纲要求：1、掌握放缩法证明数列不等式的理论依据一一不等式的性质：2、掌握放缩的技巧与方法.基础知识回顾：放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：a + a1等差数列求和公式：Sn- -n，an= kn m（关于n的一次函数或常值函数）2fn2等比数列求和公式：snq = 1，an=k qn（关于n的指数类函数）q -3错位相减：通项公式为“等差 等比”的形式4裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：1在数列中，“求和看

2、通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手2在放缩时要看好 所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）3在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列 与可裂项相消的数列进行靠拢。4若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是 微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不 等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：1裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的

3、特点，即作差的两项 可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）2等比数列：所面对的问题通常为“Sn:常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足q q0,1，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手,，常1 1ai数可视为二 J 的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公1 -q式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即314可猜想该等比数列的首项为1，公比为1，即通项公式为2 2124（4丿注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4） 与数

4、列中的项相关的不等式问题: 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即and-a：f n或a口 ：f n（累乘时要求不等式两侧an均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为an,另一侧为求和的结果， 进而完成证应用举例：类型一：与前n项和相关的不等式例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列a an n 的前n项和Sn满足:Sn= t(S-令V)(t为常数，且t-0t-0，t =1).(1)求；an!的通项公式;(2)设 0Fn2Sn久，若数列为等比数

5、列，求t的值;(3)在满足条件（2）的情形下，设c4an1,数列 的前n项和为Tn，若不等式12k兰2n-7对任意的neN *恒成立，求实数k的取值范围.4 n-人tn7k【答案】(1)务t(2)2(3)321 1-5 -【解析】试题分析：（1）由凡与关系求通项.注意分类讨论：当和 T 时，&=42n2，:务是等比数列且公比罡匚二23而b1 2tb t (2t+1)24 1+谚二2) t4(2t2+t+1),解得 ,得=1当n2n2f f宙(1 )S)SK K= = -ta-taK K+t+t, ,(1-M_L= J+ 丫相减得 d =匀因此曲是等比数列，且公比是匚所臥_ /*虬=片心

6、先代入化简得口 ,由埶列12k12k2n-7g =-爲,所以只需朿2最大值，利用相邻两项关系束数列2n-72T2T单调性.确定最大0=(门2+ tn(2)由(1)知,1 -tt2n- tn 12t2n 11 -t若数列 4 为等比数列，则有b2bib3?b3二t4(2t2t 1)?1 1再将匸代入bn，得bn=（2）bn1&为等比数列lq-)1 +w = 4 + /i-212k12k由不等式4 +兀恒成立，得 於 恒成立,2-7设厂丁，由二当科鲨彳日寸，当4g寸”弋而心,1,2,|H，1OO?.对数列fajN *和U的子集T,若T T = =：,定义Sr = 0；若T t1,t2,M

7、t，定义Sr =%卫2III - atk.例如：T=43,66,时，S =a a3+a66.现设aj nN*是公比为3的等比数列，且当T=T=2,42,4时，Sr =30 .（1）求数列 8的通项公式;（2）对任意正整数k1k100，若T42,IHK，求证：STa(3)设CJUDUScSD求证.Sc+ S 2SD【答案】（1）an =3n（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式;义和的大小关系：设A A 二二痧c（CD）,B二D（CD）,，则AClBf,因此由SC_SD=SA_SB,因此AUB中最大项必在A中， 由 （2） 得由 4

8、,知“萨+1例2.记U（2） 根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和;（3） 利用等比数列和与项的大小关系，确定所定-7 -SA_2SB=. SC_Sc-p_2(SD_ScD)=Q - Sc-、D_2SD.试题解析： (1)由已知得an=a1-3nJ, n N*.于是当T =2,4时,Sr=a2+a4=3aj+273 =30aj.又Sr=30，故30ai= 30，即ai= 1.所以数列an的通项公式为a3nJ,N*.(2)因为T 1,2，H|,k,a3nJ0,n N*,1所以Sr_ ai a2ak= 1 3 l|I 3k = -(3k-1)：3k.2因此，Sr：ak1.3)下面分三种情况证

9、明.1若D是C的子集，贝J +SD=S=SC C+S+SO O =2SD.2若C是D的子集，则S Sc c+S+ScaDcaD= = S Sc c+S+Sc c=2S=2Sc c2S2SD D. .3若D不是C的子集，且 O 不是D的子集.令E E = = C CClC.Q, F = Z)riCV VC C则Ef)F = 0.设力是E中的最大数J为尸中的最大数则Zr王卫工S (2)知JS Ss saak+1k+1于是3戸二吗兰5；玄理c所以J lcAIk.Ik.又U,故lk-l2 + 1.所以耳-魯沦2(尙-耳心十1,即*C +CCDCCD + 1 -综合得，Sc SCiD_2Sp.类型二、与

10、通项运算相关的不等式S SD D,进而由S Sc cSSDfDf得S SE ESSF F. .、11例3.设函数f (x) ln( 2x)，数列an满足：a 1, anf (an)(n N*)-22 I12 2宁-n1(1)求证:x1A时，f(x)： ： ：x2(2)求证:1:an叮(nN*)；2(3)求证:n:Z-ai，1)ai，13(n N *)i 48【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试題分析；(1)借助导数运用画数的单调t生进行推证；(石运用数学归納法进行推证j O)运用不等式的縮放进行推证.试题解析；解：F(x) = /(x)-x = |ln(2x

11、) + l-x, 则F(x)二学，又“学可得尸(刘心2葢2即F(R在百严当昇=1时，吗=1占Cd成立.假设用=*(仕炉)时，1,当n n = = k+(kek+(ke寸，+1=/() = ilo() + l)jtr根擔归纳假由 得：2即：- -aat+1t+1l,l,即n n = = k+k+时命题成立.2综上所述对eV命題成立巧 -3/(x)x,可得：亍亍= =( (砧砧 臥乩臥乩从而产生严，又又印-故印-ai：印-和寸 E 乳-話，则有：n11aai1 a1aa；w 齐乳例4.已知Sn是数列的前n项和，且对任意nN N,有为艇数故 F(x),/(x) - 447是以-为首项，为公比的等比数

12、列，当二时，bn=0，不是等比数列；（0,.芬432【解析】4*、 站一 4试題分析:1）SA*4且乂工孑时，数列耳是汰亏T为首项I A为公比的等比数列时，3A_43S S不是等比数列2）先对实数乂的取値进行分类建立不等式最后再解不等式加決整合即可*试题解折：解：当科=1时，（1一兄）绳=7址+3 ,所以.呜=3.当菲工2时，由（I 一桶=一如+ |虫匕且（1 一町昭知“心+”当山 4 时，备畚詁（心 2）,所以岸二分弓，即叫=（亦 1）旷-11 -设存在旳阿，出成等比数列，则(” +小4小.(2/+1).4“卜(2+1)、4刊整理得(2r+l)(2+l) 4r+r-lj= (2s + l)由

13、奇偶性知严+加=0,所以/2r + l)(/+l) =(2j + l)S即=这与rtrt盾，所以不存在这祥的尸$器帶0.- 07所以O32343兄(兄一4，汎一斗递願年匕口成豈；综上所述 氏硝方法、规律归纳：常见的放缩变形:1 1 1J n2点n(n _1 )，(2)2 (Jn +1- 妬)= 22 2( s/n - Jn T )Q Qn nUn +7n T注：对于1-还可放缩为：1一Jn - 2, n王2, n乏N *、nn2-4“JLJL一4j且心壬旳数列血是叹少为苜项，久为公比的尊比数列，当y y不是辭匕数死3乳 一43由 知，毎二券,从 而 幼二寻/I无.护p2 211(zj(D 当乳

14、工 4 时.乞=务十若=応心+罕?b 3A-4(斗.当2才一2(-3)笃対偶数时，斗lm-1lm-1 E 2K成AZ 试题解折：因为*1 -=：3叫.1 + 3(2用+1)二301刪 +6卅+弓-1n _ 2,k _2,k, n N【答案】(1)bn= -2 -3nn2-(2)Sn=2-匸-2 -32(3)当n为偶数时，=3( 1 +6n+3 =f即也=站小又毎二円=6 ,所以乞=2(2)=-O-2H-、所以曲曲十=TJ:T：当殍为奇数时，可令*2k*2kg g 矿矿则=砥_1二吗十(咳十码)+(%-2十幻-1)= 1 +(-3)+ .当兀为偶数时，可令n n = = 2k2ki ikeNke

15、N则必二召二巧十(旳十角)+ 十(叫4十】十叫二-】十(3)假设存在正整数n，使得S2n 1- bn- S2n成立,22n因为S2n卅=2(n+1),S2n=2 n 2(3),所以只要2(n +1 $ 2(3$ 2 n22(3$n2即只要满足 ：nS-2，和：2(3) +2(n+1),对于只要n 2就可以；对于，2当n为奇数时，满足-2 3n+2A(n +1)，不成立，2n2+2 n 1当n为偶数时，满足2 3n+2 a (n +1),即卩22-n令Cnn22n -132因为=亠-匸=存0即Cn 2 : Cn，且当门=2时,n22n -13n-15 -所以当n为偶数时，式成立，即当n为偶数时，

16、S2n1.bn.S2n成立.2【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列1an?中, 求证：数列bn1为等差数列； 设Cn二bnbn “cosnn,n N*，数列 芯？的前n项和为Tn，若当n N*且n为偶数 时，Tn tn2恒成立，求实数t的取值范围；设数列:a/?的前n项的和为Sn，试求数列1S2n-Sn?的最大值【答案】见解析1,二296【解析】试砸分析：根据题竜，由数列的递推公式分析可得弘与耳的关系式，由等差数列的定 冥分析可得答案；(2)根据砸意，求出数列数列陽的前川项和为兀的表达式，SeJV*且科为偶数时，设 = 2m)求岀的7；表达式，分析可得答案：(3)由

17、2)的结论求出仏饥仏饥即可得心-打的表达式，谡M严砥-孔=1丄4丄+ -T 丄巴,由数列的酗特征分析数列就变化的规律，分析V* +1K+ 22n2n J J 2 2可得答案.试题解析:证明；_20_20_20( +42)_琨+21V跖=帀心+1孔碍+邛五匚1)*(仏+42厂血+1 包+4219小bn20，其2122*只要使一n n mtn对n X且n为偶数恒成立,21 1即使t对n为正偶数恒成立，2 nfG -nmax4 2=1，.t一1，故实数t的取值范围是1, V;101=n，aIn :n21 -nn2111+lll+-1 -nn 1n 22n1 + III1nn 1n22n21 1 1

18、1叫小二二川并廿2n 2仏占如超亠込 + 12 + 1二数列色是公差为 1 的等差数列;20由可知，耳=- =1 ,故% % = =科科* *细+1因为陽= =匕扎秤哄匕扎秤哄HE所決兀=5+勺+ Tq 二一站亠+毎為一鸟 4 十 6-+ +（7 7咖小咖小当旳EN*且用为偶数日寸,设科=2 曲期丘 A 广则耳讥耳讥= =册册+AA -M4 +丛+（-1）加如二為（一妨+為）+0 斗（一妬+鸟）+虬（一瓦 Z +毎比 1）2（毎 + 如+T- + Z（2M）= 4（ + 2 +m） =2ffi2ffi2 2+ + 2m2m二flfl2 2+n ,2要使Tn空tn2对n二丁二丁且n为偶数恒成立,

19、1设Mn= S2n-Sn=10I1贰101?i 11J2n?220由得 0 =丁-17 -( (1 1 1 11)1Mn+_Ml2_+_1 1 1 10 1=10 - - I =- _ 2n+1 2n +2丿2(2n +1)(2n + 2) 210 1.当n=1时，Mn1Mn0，即M1：M_3如2当n_2时，Mn1Mn：0，即M2M3M4|(,f1 1 )29二(Mn hax =M2=10汇一1=6，(3 4丿6因此数列S2n Sn的最大值为.6【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明(1)的关键是分析得到bn 1与an的关系式.3【江苏省徐州市2018届高三

20、上学期期中考试】已知数列的前项和为，满足几=2务-1,応矿.数列阳满足皿应+5 + 1血5+1)，応旷，且%.(1)求数列和 的通项公式；(2)若，数列的前项和为 ，对任意的E,都有；：，求实数的取值范围；(3)是否存在正整数 ,使， (I)成等差数列，若存在，求出所有满足条件的 ，-,若不存在，请说明理由.【答案】( (1)(2)上“ (3)不存在【解析】试题分析；(1)根据千咬与通项关系得他关系，结合等比数列崖义可得通项公式，先对 条件变形得新数列対一个等差数列，根据等差数列通项公式得曲J的通项公式； 先根協错位相濾去求出T Tn n, ,化简可得工1恒成立，再根据数列单调性可得2n-n-

21、 1最小値为零，即得实数喩取值范围，制艮据条件化简得 2 沪再利用奇偶分析法研究方程解的情况试題解析：(1)当傑=1时，St=21-l-a1J所畑T当沌土 亦f FS Sn n= =2fZn _ 1, 5fi-l = 2碍1-1丄两式相屁得叫 i = 2 叫 tl,从而数列険为苴项创项创 T T公比的等比数列， 从而数列狙訂的通项公式为尙=即 t .由皿*-( + 1)虬=九+ 1)两边同除以 X + 1)7得 Etl 4 = 1从而数列华豹百项血公差dl的等差数列所以半 从而数列泊的通项公式为 =沪.(2)由(1)得，于早】汇i* 】1； H 少- 一i ;；-:才-. ；-:2是,所以 一

22、.X】/ x. J- :! X J.，_ 门X. j :* J：X: :弓弓1 _ 7n-T = 1 + 2 + 22+ - + 2n_ 1- n x 2n= - ?i x 2n两式相减得，所以 n：由(i)得n 因为对，都有，即：,1 -1 ：-1 -：j恒成立，所以- 恒成立,记记 - -所以二 2；汀時;|因为rVnn亠从而数列为递增数列，所以当时取最小值，于是 (3)假设存在正整数()，使成等差数列，则，-19 -即，若 为偶数，则为奇数，而 为偶数，上式不成立若为奇数，设尹曲d厂)，则=二卜=二 卞；7=厂于是2k2k2 2-2k-2k+1=晋一1,即2(以k)十1二家1,当，一二，

23、一二时，丘_二，此时m m、与 矛盾；当皿3 2时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立-综上所述，満足条件的实数对伽珂不存在.点睛：用错位相减和应注意的问题要善于识別蠅目理，特是等比数列公匕伪员数的劑初 佗)在写出乍乍与 9的表达式时应特别注童将两式“错项对芥以便下一步淮确頁出“编 的表达式；(引在应用e昔位楓减法拥口时，若等比数列的公比为细，应分公比等于1和不等于1两手懵况 求解.14-已知数列 0、：bh，其中，aiai =-=-,数列：aj满足2h 1 a h-1 an，h_2,h N*，数列满足 d= 2,0i= 20.(1)求数列a/f、bn ?的通项公式；*111 m 8(2)

24、是否存在自然数m，使得对于任意nN ,n_2,有1-:-恒b1b2bn4成立？若存在，求出m的最小值;bn, n 为偶数n+4n*3+4(2n_1),门为奇数【答案】(1)b2n； (2)存在，m = 16;(3)=2：3-+3(21 ),n 为偶数43【解析】试题分析：(1)根据题设条件用累乘法能够求出数列 an的通项公式.b1=2,bn+1=2bn可知 bn是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出bn的通项公式.( (2)bn=2n.假设存在自然数m满1(3)若数列匕满足Cn= nan,n 为奇数，求数列心心的前n项和Tn.1 1 1 1 1 1 1足条件，先求出112n =2n：2，将

25、问题转化成bib2bn2222-21 -_2可求得m的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn,然后写成分段4函数的形式。试题解析:又a1=1?所以anan Aan 2a3a?曰12anan_2 an:a231n1 n-2 n -32 111n 1n n -14 32n n 1当n = 1时，上式成立,因为 d=2,bn 1=20，所以心心是首项为2,公比为2的等比数列,故bn=2n.由1） = 2,则,111t1 111虽虽 S S耳2 222假设存在自然数衲，使得对于任意有1 +丄十丄+十丄心恒成立，即 勾乌叽叽 4 42一补弋呼恒成立,由斗王2,解得16-244所以存在自然数

26、心使得对于任意応打32=有1 +丄+丄+丄 心，叵成立，此 fl 寸，稱的瓦瓦瓦4最小值为16，（3）当n为奇数时，111 人=+丁 + +（b2+b4*b2）a13a3nan丿_|_2 4n 1 22242心4 1 42 2F+1n+X _i i=匸4+4（27）.221443当n为偶数时,（）由n 1 a：n -1 a.，anan J111 1 1 1Tn =+ +-+ ( b?+ 匕4 + +bn )戶3as(n 1冋二o4n二2 4 n| 亠12222- 2nJ-1 ,n 为奇数 珂243- 2n-1 ,n 为偶数43点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用 裂项相消法

27、、错位相减法、分组求和等。5.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列1 1*满足一 一n N,为常数.Snan 1(1)是否存在数列fan?,使得=0?若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在,说明理由.(2) 当=1时，求证： 丄丄_1.anan出1Q(3)当时，求证：当n一3时，0：an：23【答案】(1)不存在，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析rn、4 1 -42 2+n n+, )2 22 21-42宁4八.因此Tn的求和方法有公式an*的前n项和为Sn,且11-1 .当n _2anan 1，两式相减得anan 1an 1-1anan12anan 1 -1an

28、 1an -12anan 1丄an12an丄丄=1丄1,anan 1an1当n=1时，-S1a2=1，即丄丄aa?-1，综上，an丄an 1【解析】试题分析；加 4 得到检验可知不存在:靛要求的数列； 利用务=-必亠(心2),得到丄叫化简可得结论卡O)利用放缩飯函数的应用，证明不养式。 耳+1_1旳_1试題解析:则鬲=乌=耳=0已N心2),所以不存在数列阿使得A=0.(1)若久=0,则丄+丄即即 力1环方面宀曲帀二O10。(1-4) 2 0,故0-所泪心时碍_ 2 陥_2(仏+心一2込込, ,下同证1+常一2SS+ + a-2a-2 2%2%十盘1-2口心+4c尺一丄%_i-26【江苏省泰州中

29、学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列，其中I，设数列 的前项和分别为(1)若数列.:都为递增数列，求数列.:的通项公式；(2)若数列满足：存在唯一的正整数 ，使得，称数列为“坠点数列”.若数列“坠点数列”，求、若数列 为“坠点数列”，数列 为“：坠点数列”，是否存在正整数，使得几+1=几，若存在，求用的最大值；若不存在，说明理由【答案】(1)兀力也叫期；.(2)2n nr rn n 4 5当川二2时，用杓=2%,两式相减得总=上先一也殳,角_2心曲一2條_21.所臥当科3时，.=咳一纽+4因为 一加心 +=(%1 -1) + $ 0 ,又宙 + =0,所以经Mu2(3)证1:由丄+

30、丄兀总时1詁陆“)得恥-25 -【解析】T数列仙拭b点炳递増数列，由連推式可得询t+i % = 2 J】=-j2iiJhn+3=2b2brtrt J Jn nE JV出，则数列伍訂为等差数列,数列仇诙第二项起构咸等比数列心吩亲；襄T数列SJ満足：存在唯一的正整数皿，使得% % % %亠亠且-叫I,擞列必为1, 3, 5, 7;5, 7, 9, 11,即前41页为首项初b公差为2的等差数列，从第五 项开始为首项5,5,公差為2的等差数列，故 2亠囂瓷& ：b=4bb=4bn n 脚=2b2bn n,b,bn n = =2-S而数列坊&坠点数列”且 =-1,數列】 中有旦只有两个员

31、项假设存在正整数叫使得几H+严臨，显然狀工 J 且九対奇数，而 g中各项f劫奇 数，二吨为偶数.人卄】 训寸.7 = -11 21+ +2= + Z-1=2-3.=2-3.当wi皀邸齐2m-3（m4- l）a,故不存在佗 使得九+i=臨成立.址.当7 = -1 + 214- - +2m3+ 2-1= -3 0,显然不存在猊，使得人+】=陰成立.iii.当屯Vmfl寸，7 = -1 + 214 +（4-2m_a） 4- 22 = = 2 2m m l l- - 3 3? ?当2 - 3 （w 4-1）3时才存在叫使得MR+I=珞成立所以碍些6+当寸q构i吉召为1, 3,1, 3,5,7,9ff幼

32、Jg-1,2,4,8, -lfif32, ,此时p=3.qp=3.q = = S S? ?所以聪的最大值为&7.【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集A = &,a2,., an 1 = ai：比：an, n - 4具 有 性 质P:对 任 意 的k 2乞k乞n , i 1 -，使得ayFa冋成立.（1） 分别判断数集 讣2,4,6与1,3,4,7 1是否具有性质P，并说明理由;（2） 求证：a2a1 a2 a3；（2）若an= 72，求n的最小值.【答案】（1）不具有（2）见解析（3）8.【解析】【试题分析】（1）直接运用題设提供的条件进行验证艮呵；（

33、2）运用题设条件中定义的信息可 得印二毘+勺远同理可得创乞雄耳兰划，将上述不等式相加得：曲+码+佝眩2（碣+咼+码） 可荻证2+ + j （ 3 ）借肋（2 ）的结论可知阳兰如如 g g 2所以.2jfl34lfl4S,aS,a5 532 i&4SnS , ,因此掏 成数集=口2.4.55.18.36,72（ = 12 36 9 J&迢竝）,经检验盒盒具有性质巴故用的最小值为8.解；因2 = 1 + 114=2 + 2|6 = 2+4,所扶12屯6具有性质厂因为不存在叫马巨134使得3=叫+勺所決134,7不具有性质只（2）因为集合Aa,a2,aJ具有性质P,所以对而言，存在a

34、i,a :a1, a2,.,af,使得 二a aj,又因为1=印：a2：a：a4:：an,n _ 4,所以aiaj a3，所以 印二q a岂2a?，同理可得a3 2a2,a2ai，将上述不等式相加得：a2a3a2a1a2a3，所以 乞2aia?- a3.（3）由（2）可知a2_ 2q ,a3_ 2a2，又a 1，所以a2乞2, a3乞4, a4乞8, a16, a6乞32, a?乞64 : 72，所以n_8，构成数集A = 1,2,4,5,9,18,36,72 / orA = ,2,3,6,9,18,36,72 1，经检验A具有性质P，故n的最小值为8.点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信

35、息的信息迁移题。求解第一问时，直接运 用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可；解答第二问时，先运用题设条件中定义的信 息可得aaia乞2a3，同理可得a3- 2 a2, a2- 2再将上述不等式相加得：a2a3a - 2 a1a2a3即可获证a 2a1a2a3；证明第三问时，充分借助（2）的结 论 可 知a2a1,a2a2， 又 印=1， 所 以a?乞2住咗4 a4 2a8 , a乞可1得6a 8,，因2时 ,_ _flfl1?依麒义可朋列是等差數列 5（2）依擔趣设条；.fSn= . S2 n T二n, Sn= n，所以Sk斗；(k+1Xk + 2)Y_3k + 2|2S2 k2一飞1k2

36、丿-29 -然，k =1,2满足条件，当k _4时，因为k2-3k-2=k k-3 -2_4 4-3-2=2-2=20,集合为臼,2二(3)设等差数列：a*的公差为d，则a* =曰亠n -1 d,bn= a*，所以，即数列fbn是公比大于0,首项大于0的等比数列，记公比为q q0 以下证明：bbn_bp，bk，其中p,k为正整数，且p k = 1 n，因为bbn- bpbk二bibqj -bqki、b q：一丄1 q -1，所以p 1k 1qp一1一0,qT 一0，所以b1bn_ bpbk，当q =1时，b1bn二bpbk，当0：q：1p1_0,k1_0,所以qp一1乞0,qk一1乞0，所以b

37、i_ bpbk， 综 上bibn- bpbk， 其 中n(b +bn =(b +bm )+(b +bn +. + (b +bn )- abnb2bnb3bn/ gbb +b2+. + bn兰b +bn-2 .9.已知数列an的前n项和为S,数列bn,6满足(n+1) bn=an+1_S,(n+2) 6n苑归_蛍，其中门N*.2n(1)若数列an是公差为2的等差数列，求数列Cn的通项公式;(2)若存在实数 入，使得对一切nN*，有bnW入WCn,求证：数列an是等差数列.【答案】( (1)Cn=1. (2)见解析.【解析】试題分折；(1)由題意得，根据等差数列的通项公式求得弧弧 即可的通项公式下由(理+1)毎=如趣，递推化简,得到 J =2十瓦，因対一切施M ,都有乞兰兄玉 Gn n 2 2得到為心=八 得到5+1)心匹，再利用等差数列的性氐 印可得到数列唧为等差数列。H H试题解桁:1)因为忌公差为2的等差数列,所以ai + 2(JJ1) ,R= ai 4-nn1f从而(JI+2)所以0 :3k-2，所以心牛t 彳寻B(JJ+B(JJ+1JS Saa(JT+1) (n-F 2)也+L=Gr+1)