中学数学教学论

1、参考书：1前苏联 斯托利亚尔著：数学教育学 丁尔升等译 人民教育出版社2荷兰 弗赖登塔尔著：作为教育任务的数学 陈昌平等编译 上海教育出版社3美 D.A.格劳斯主编：数学教与学研究手册陈昌平等译 上海教育出版社4德 Rolf Biehler等主编：数学教学理论是一门科学唐瑞芬等译 上海教育出版社5前苏联 克鲁捷茨基著：中小学数学能力心理学李伯黍等译 上海教育出版社6中 张奠宙等著：数学教育学 江西教育出版社前言：数学教育学的概念、研究意义、研究方法一、 数学教育学的概念较早的认识是前苏联教育家斯托利亚尔在数学教育学中给出的：数学教育学如何教？教学方法。教什么？教学内容。近期的认识是美国教育家T

2、om Kieren 在文章“数学教育学三角形”中给出的：我国较一致的认识是：数学教育学是研究数学课程论、数学教学论、数学学习论的一门实践性很强的理论学科。中学数学教学概论 Î 数学教学论 Î 数学教育学。二、 数学教育学的研究意义1 指导数学教育研究2 指导数学教学实践三、 数学教育学的研究方法1 历史的研究方法2 理论的研究方法3 实验的研究方法4 个案的研究方法四、 数学教育学的研究现状1 探索数学教育的特殊规律2 强调知识的发生、发展过程3 重视知识的应用4 重视数学文化的价值5 重视学生的个性发展6 重视学生的认知规律的探索和利用第一章 中学数学教学目的第一节 制定

3、中学数学教学目的的依据一、制定中学数学教学目的的依据党的教育方针社会发展的需要普通中学的性质与任务数学的特点中学生的年龄特征二、在制定中学数学教学目的时应考虑的几个要求可操作性要求多样性要求时间性要求第二节 中学数学教学目的初中：（中华人民共和国教育部2001年颁布）获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；具有初步的创新精

4、神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分的发展。高中：（中华人民共和国教育部2002年颁布）高中数学教学应该在9年义务教育数学课程的基础上进一步做到：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何、概率统计、微积分初步的基础知识、基本技能，以及其中的数学思想方法。在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。努力培养学生的数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中

5、的数量关系和数学模式作出思考和判断。激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辨证唯物主义的世界观。一、正确理解基础知识与基本技能中学数学教学的基础知识与基本技能是指进一步学习各门数学理论课程、学习相邻学科、参加生产劳动和实际工作所必备的、最初步、最基本的知识与技能。基础知识不是绝对的。二、提高学生的数学能力能力是“直接影响活动的效率、使活动顺利完成的个性心理特征”。能力与知识有紧密的联系。“数学能力是一个结构复杂的心理构成物。它是一个含有多种多样心理方面的、许多特性的独特的综合，一个完整的心理品质

6、，并且是在数学活动的过程中形成的”。这是前苏联心理学家克鲁捷茨斯基在中小学数学能力心理学中给数学能力下的定义。我国中学数学教学目的中提到的数学能力包括思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力、探究能力、建模能力和交流能力。运算能力是指进行运算的能力。中学数学中的运算不但包括数值的计算，而且包括各种代数运算，初等超越运算，微分、积分的初步运算，概率中的运算，集合与逻辑的简单运算以及大量的数据处理。运算能力的强弱依赖于运算知识的掌握程度，运用运算知识的熟练程度以及思维能力和运算操作能力等方面的因素，它体现在运算的准确、合理和敏捷的程度上。思维能力是指正确、合理地进行思考、推理、论证的能

7、力。它包括逻辑思维，如形式逻辑思维、辩证逻辑思维，也包括非逻辑思维，如动作思维、形象思维和直觉思维。思维能力是一个公民必须具备的能力，它对学习数学有重大意义，就是在日常生活中也是不可缺少的。空间想象能力是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和构造的能力。三、培养学生的应用能力与创新意识创新意识以应用意识为前提，没有应用，也就没有创新。应用的领域相当广泛，可以是在数学各分支中的应用、也可以是在相关学科中的应用，还可以是在实际生产与日常生活中的应用。创新的领域也相当广泛，在上述各方面都可以创新。在数学自身的创新，许多教师都能够重视，如用一题多解与一题多变来培养学生的创新解法，但在相关学科

8、和生产生活中的创新却重视不够，而这两方面的创新更为重要。四、培养学生的情感与态度任何教学都有教育性，向学生传授知识的过程必然是对学生进行教育的过程。懂得了这一点，广大教师就可以在教学过程中有意识地教育学生。同时，数学自身存在着大量的思想教育因素，只要教师能够深入挖掘这些因素，是能够受到好的教育效果的。如通过数学的美培养学生对数学的兴趣，通过数学与其它学科、生产以及生活的广泛联系培养学生刻苦的精神与顽强的毅力，通过严谨的形式推理培养学生言必有据、一丝不苟、坚持真理、修正错误的实事求是的科学态度，通过数学解题培养学生积极主动、独立思考、勇于创新的意识。第三节 建国以来中学数学教学目的的回顾1951

9、年：、形数知识。本科以讲授数量计算，空间形式，及其相互关系之普通知识为主。、科学习惯。本科教学须因数理之谨严以培养学生观察、分析、归纳、判断、推理等科学习惯，以及探讨的精神，系统的好尚。、辩证思想。本科教学须相机指示因某数量（或形式）之变化所引起之量变质变，籍以启发学生之辩证思想。、应用技能。本科教学须训练学生熟悉工具（名称、记号，定理、公式、方法），使能准确计算、精密绘图、稳健地应用它们去解决（在日常生活，社会经济、及自然环境中所遇到的）有关形与数的实际问题。”1956年：“教给学生有关算术、代数、几何和三角的基础知识，培养他们应用这些知识解决各种实际问题的技能和技巧，发展他们的逻辑思维和空

10、间想象能力”。1960年：“使学生获得数学的基础知识，掌握计算、作图和测量等技能，并且能够把这些知识和技能技巧运用到生活、生产和学习其它科学方面去；通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想象力，向学生进行共产主义的思想政治教育，培养学生的辩证唯物主义观点”。1963年：“使学生牢固掌握代数、平面几何、立体几何、三角和平面解析几何的基础知识，培养学生正确而且迅速的计算能力，逻辑推理能力和空间想象能力，以适应生产劳动和进一步学习的需要”。1980年：“使学生切实学好从事现代化生产和进一步学习现代科学技术所必需的数学基础知识，具有正确迅速的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，从而逐步培养运用数学来

11、分析和解决实际问题的能力。通过数学教学，向学生进行思想政治教育，激励学生为实现社会主义四个现代化学好数学的热情，培养学生的辩证唯物主义观点”。1989年：“使学生切实掌握现代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，包括直观的空间图形和统计的初步知识，进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点”。2000年，初中为“使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和基本技能，进一步培养运算能力，发展思维能力和空间

12、观念，使他们能够运用所学知识解决简单的实际问题，并逐步形成数学创新意识。培养学生良好的个性品质和初步的辨证唯物主义的观点，”高中为“使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力，以及创新意识；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点。”2001年：前面已叙。第四节 发达国家中学数学教学目的简介一、香港1通过数学来提高构思、探究、推理及传意的能力，利用数学来构想和解决日常生活问题和数学问题的能力；2运用数学、符号及其他数学对象的能力；3建立数学感、符号感

13、、空间感、度量感及鉴别结构和规律的能力；4对数学采取积极的态度，从美学和文化的角度欣赏数学。二、日本使学生加深理解有关数量和图形的基本概念、原理和规则；获得数学地表达和处理问题的方式，促进数学地思考问题的能力；帮助学生欣赏数学地观察和思考的方式，进而培养学生愿意应用数学的态度。三、韩国1通过调查日常生活中各种现象的数学体验，使学生理解数学概念、原理和规律，以及他们之间的关系；2通过练习和运用基本数学知识到日常生活中，使学生能够以数学观念进行观察、分析、组织、思考和解决问题；3培养学生对数学的持久兴趣及关注，使学生获得积极的学习态度，进一步发展学生应用已有知识和技能合理解决各类问题的能力。四、台

14、湾1引导学生认识数学在生活中的作用，以提高学习的兴趣；2辅导学生获得数、量、形的基本知识及技能，以提升数学素养；3培养学生应用数学方法解决问题的习惯与能力；4启发学生思考、推理与创造的能力；5培养学生主动学习的态度及欣赏数学的能力。五、美国1平等原则：数学教学项目应该促进所有学生的数学学习；2数学课程原则：数学教学项目应该用内在一致和综合的课程来强调重要及有意义的数学；3施教原则：数学教学项目应该依靠能够教会学生理解和应用数学的能胜任和敬业的教师；4学习原则：数学教学项目应该使所有学生能够理解和应用数学；5评价原则：数学教学项目应该包括监控、强化、评估所有学生数学学习并改进教学的评价；6技术原

15、则：数学教学项目应该使用技术来帮助所有学生理解数学并为越来越技术化的社会中应用数学做好准备；7建立有能力做数学的信心；8学生学会以数学方式沟通。六、英国1培养学生数学学习及应用的态度；2培养学生数学应用的能力及信心；3培养学生欣赏数学本质及过程，欣赏怎样用数学观点来解释现实世界，欣赏数学美及数学史；4培养学生口头或书面数学交流以及阅读和理解数学的能力；5使学生获得在数学和其他学科及就业中进一步学习所必需的数学基础知识、技能及态度；6培养学生在数学应用及发展中的模式化、一般化和解释结果的能力；7培养学生更为一般性的学习及思考技能；8培养学生适当使用计算器、计算机及各种软件来学习数学的能力；9培养

16、学生逻辑地辩论及对严格性的理解；10 使学生获得解决数学问题时广泛使用的策略。七、澳大利亚1培养学生处理日常事物的信心及能力；2培养学生参与数学的积极态度；3培养学生独立及合作使用数学解决问题的能力；4培养学生学会数学交流；5培养学生学会反映现代数学的技巧及工具；6培养学生体验数学发展的过程。八、新加坡1发展数学对数字的、几何的、代数的和统计的概念的理解；2选择合适的方式进行计算，比如心算、机算等；3能进行估计和近似，并对测量的结果和结论的合理性做出迅速的判断；4将测量的体系用于日常生活和解决问题中；5用几何的工具；6收集和分析数据；7用书面的、几何的、图表的和数表的形式，来表达、解释和应用信

17、息；8用数学的语言、符号和图表，来有效地理解、表达和交流数学的概念；9识别、应用二维和三维图形中的空间关系；10 在给定的情境中适当地识别数学的序列；11 在不同的情境中能够识别出模式的结构并进行一般化；12 在熟悉和不熟悉的情境中，包括日常生活中，能应用和解释数学的概念；13 逻辑地思考和对结论进行推理，并将这些过程应用到数学情境中；14 分析问题，并用适当的策略去解决问题、证明和解释结果，学会逻辑清楚地表达数学的观点和解决数学问题的方法；15 认识到数学各部分内容之间的联系以及数学在其他学科中的应用；16 通过调查、研究性活动来发展探究性思维；17 通过大量的活动来欣赏和学习数学。上述目标

18、分为三类：一类是实用目标；一类是学科目标；一类是文化目标。实用的目标包括（1）以数学方式解决日常生活中遇到的问题；（2）提供将来大部分职业所必需的数学训练；（3）为将来升读理科及有关学科所必需的数学奠定基础。学科的目标包括（1）数、符号及其他数学对象的运算能力；（2）数感、符号感、空间感及结构与规律的认识；（3）推理与逻辑思维；（4）数学构造与解决问题的能力；（5）以数学方式表达与交流。文化的目标包括（1）欣赏数学之美；（2）认识古今数学在各地文化中的角色及其他学科的关系。上述目标的共同特点为：（1）更加关注人的发展，关注学生数学素养的提高；（2）面向全体学生，从精英转向大众；（3）关注学生的

19、个别差异，而不是统一的模式；（4）更加注重联系现实生活与社会。第二章 中学数学教学内容第一节 选择中学数学教学内容的标准1社会作用标准：教学内容应该是现代社会生活、生产和科学技术普及需要应用的知识；2教育作用标准：教学内容应该是培养形成学生良好的个性品质，发展学生的数学思维和数学能力有重要意义的知识；3后继作用标准：教学内容应该是后继学习和走向社会所必需的知识；4可行性标准：教学内容应该是学生能接受的，在教学计划规定时间内能完成的知识。第二节 中学数学教学内容1学习内容：分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域。“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不

20、等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。“实践与综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数

21、”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择恰当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择恰当的程序和方法解决用符号所表达的问题。空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形

22、想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件作出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化，能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。应用意识主要表现在：认识带现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试

23、着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其他实际背景，并探索其应用价值。推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。2 课程结构：内容结构表3 教学内容的安排体系（1） 教材体系要符合学生的思维特点和认识规律（2） 教材体系要符合数学学科的系统性（3） 教材体系要符合逻辑系统性。第三节 发达国家和地区的中学教学内容简介1美国：数与运算，模式，函数与代数，几何与空间感，测量，

24、数据分析，统计和概率。2英国：数，外形空间和度量，数据处理，代数。3澳大利亚：数，空间，测量，概率和数据，代数。4新加坡：算术，测量，代数，图形，统计，几何，三角。5香港：树与代数，测量，形状与空间，数据处理。6日本：数与代数表达，几何图形，量的关系。7韩国：数与运算，字母与表达，概率与统计，几何图形，测量，模式与函数。8台湾：数的概念，代数，平面几何，坐标几何，资料的整理与几率。上述内容的共同点为：（1）知识的选择考虑到了全体学生的需要，使数学课程为学生的发展和成为未来的合格公民服务。（2）知识范围有所扩展，选择更多与学生生活密切联系的内容。（3）知识的选择符合现代社会的需要，让学生学习现代

25、社会所必需的、有用的数学。（4）考虑数学学科本身的发展，将现代数学中新的内容和新的技术引入数学课程之中。第三章 中学数学教学改革第一节 改革的必要性改革是现代社会对数学教学的要求改革是数学发展的必然改革是解决当前中学数学教学中存在的问题的有效途径1 中学数学教学思想跟不上时代2 中学数学教学内容仍然是传统的数学教学体系模式3 中学数学教学质量达不到现代教育的要求第二节 国外教学改革概况近代化运动（十九世纪末二十世纪初）代表人物为德国数学家克莱因与英国数学家贝利。克莱因的代表著为高观点下的初等数学，他主张用近代数学的观点改革中学数学教学内容，把函数思想作为数学教学内容的核心，加强函数与微积分的教

26、学，重视图象，用几何变换的思想方法改造传统的几何。贝利的代表著为实用数学，他强调应用，强调理论与实际的结合。改革重点是教学内容，如初等函数知识成为中学数学的固定内容，几何变换的知识在几何中得以充实，教材的实践性得到加强，解析几何在某些国家的多数中学占主要地位，微积分也出现在某些国家的教材中。这次改革对中学数学教学的影响是深刻的，对今天的改革也具有指导意义。数学教育现代化运动（二十世纪六十年代）代表人物为美国教育家布鲁纳。他在1959年“全国科学院”召开的课程改革会议上发表了“教育过程”的总结报告，提出了四个新的思想：（1）学习任何学科，务必使学生理解该学科的基本结构；（2）任何学科的知识都可以

27、用某种方式教给任何年龄的学生；（3）让学生像原来科学家那样来亲自发现所要学习的结论；（4）激发学生学习积极性的首要条件不是考试，而是对数学的真正兴趣。这次改革的主要特征为：（1）增加现代数学内容；（2）强调结构；（3）采用演绎法，强调公理思想；（4）废弃欧几里得几何；（5）削减传统计算。改革的有益成果：（1）出现了一批对数学和数学教育有远见、有洞察力、有影响的数学教育工作者，在一些国家中建立了中学、高等学校数学教师以及学习理论家之间的合作机构来研究课程的发展。（2）大多数国家的中学数学课程形成一个统一的整体。强调结构和原理，克服了传统数学教学只强调机械计算的毛病。（3）在国际上形成了数学教育工

28、作者活跃的联络网。（4）使教师更加集中注意教育的成果。改革的主要缺点：（1）增加的现代数学内容份量过重。（2）只强调理解，忽视了必要的基本技能训练；强调抽象理论，忽视实际应用。（3）只面向成绩好的学生，忽视了适应不同程度的学生的需要。（4）对教师的培训不够。新世纪改革运动1 课程目标的改革2 课程内容的改革3 数学教学与评价的改革：（1）数学教学改革的特点，第一，强调学生在教学过程中的主动参与，教师在教学过程中更多地是充当学生学习活动的促进者、学习环境的营造者；第二，充分注重学生的个体差异；第三，注重让学生在多样的学习活动中体验数学；第四，注重计算器与计算机等先进技术的应用。（2）数学学习评价

29、改革的特点，第一，评价主体的多元化；第二，评价内容的多元化与开放性；第三，评价方式的多样性。4国际数学课程改革给我们的启示：（1）义务教育阶段的数学课程要面向全体学生。（2）设计与实施最有价值的数学，既具有基础性、发展性、现实性的知识基础性是指数学作为一门学科有自己独特的内容与目标，如计算、图形的认识与推理、数据的收集、处理与分析等；发展性是指数学教育不仅要关注学生的数学知识的获得，更应关注学生的情感、认知、思维和一般能力的发展；现实性是指学习数学就意味着能够做数学。（3）重视对学生情感态度、价值观的培养。（4）提供现实而有吸引力的学习背景。（5）数学教学应注重自主探索与合作交流。（6）数学学

30、习评价目标的多元化与评价方法的多样化。（7）充分重视现代信息技术在数学课程中作用。第三节 我国教学改革简介全面学苏时期 群众性数学教育时期 总结时期 教学内容现代化时期 义务教育时期 面向新世纪的课程改革运动人人学有价值的数学人人都能获得必需的数学不同的人在数学上得到不同的发展第四章 中学数学逻辑基础一、概念是反映事物的本质属性和特征的思维形式。其中本质属性是指这类事物所特有的，而其他类事物所没有的性质。正确的概念是科学抽象的结果。概念与语词紧密相连。概念的内涵是指概念所反映的这类事物的共同的本质属性的总和。概念的外延是指概念所反映的这类事物的全体。内涵是概念质的方面；外延是概念量的方面。概念

31、的关系是指概念外延的关系。根据概念的外延有无重合之处，可将概念间的关系分为相容关系和不相容关系。概念间的相容关系是指两个概念的外延至少有一部分重合。根据重合的多少还可以进一步分为同一关系、属种关系、交叉关系。概念间的不相容关系是指属于同一个属概念的两个种概念的外延没有重合。根据它们与属概念的关系还可以进一步分为矛盾关系、反对关系。二、概念的定义下定义是揭示概念内涵的逻辑方法。在中学数学中最常见的定义形式是“叫做”，其中叫做前面的叫定义项，后面的叫被定义项。被定义项的形式通常是“临近的属 + 种差”，既选择与被定义概念最接近的属概念加上在该属概念下，被定义概念与其他种概念的本质差别。临近的属概念

32、不唯一，在同一属概念下，种差也可以不同。中学数学中，定义除“叫做”形式外，还有语词定义、外延定义、发生定义、关系定义、公理定义等。概念下定义遵循规则：（1）定义项与被定义项的外延必须全同；（2）定义不得循环；（3）定义项中不得用未定义过的名称；（4）定义项中一般不含有负概念，所谓负概念是指反映对象不具有某种属性的概念；（5）定义项中不得含有能够推出的本质属性。原名：不能用别的概念来定义，且又用来定义其他概念的概念叫做基本概念，或者简称为原名。在中学数学中，数、量、点、直线、平面、集合等都是原名。三、概念的划分:将一个概念所指的事物，按着某种属性分成若干小类，也就是将一个属概念分成若干种概念.划

33、分与把整体分成部分是不同的。划分遵循规则：（1）划分后的各子项应互不相容不重；（2）划分后各子项必须穷尽母项不漏；（3）每一次划分必须遵循同一标准标准唯一。二分法是将被分概念一贯地、逐次地分成两个矛盾概念，一直到不能再分为止。它是一种非常重要的划分方法。一、判断的意义判断是对思维对象有所断定的思维形式。它有两个基本特征：有所断定和有真假之分。 按着判断的量可将判断划分为全称判断、特称判断和单称判断；按着判断的质可将判断划分为肯定判断和否定判断；按着判断的关系可将判断划分为定言判断、选言判断和假言判断。 在数学中常用的判断形式有：全称肯定判断：所有S是；全称否定判断：所有S不是；特称肯定判断：有

34、些S是；特称否定判断：有些S不是；定言判断：S是P；选言判断：或者P或者Q；假言判断：如果P那么Q。二、命题及其基本形式可以判断真假的语句叫做命题。不能判断真假的语句不是命题。根据命题的形式可以将命题分为简单命题和复合命题。没有逻辑联结词的命题叫简单命题；把简单命题用逻辑联结词连接起来就构成复合命题。无论在什么情况下都为真的命题称为恒真命题，通常用1表示；相反，无论在什么情况下都为假的命题称为恒假命题，通常用0表示。命题相等：如果两个命题A和B同真同假，那么称命题A与命题B相等。记为AB。也称为命题A与命题B等价。三、命题的基本运算否定（非）：设P表示一个命题，若否定P，则得命题“非P”，记作

35、P，这个式子叫做命题P的否定式。否定一个命题与将一个命题换质不同。合取（与）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“与”将其连接起来构成一个新命题“ P与Q”，记作PQ，这个式子叫做命题P与Q的合取式。析取（或）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“或”将其连接起来构成一个新命题“ P或Q”，记作PQ，这个式子叫做命题P与Q的析取式。命题演算中的“或”与日常生活中的“或”不完全相同。蕴涵（如果，那么，或者若，则）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“如果，那么，或者若，则”将其连接起来构成一个新命题“如果P，那么Q，或者若P则Q”，记作PQ，这个式子叫做命题P与Q的蕴涵式。蕴涵式在逻辑上的用法与

36、在生活中的用法也不同。等价（当且仅当）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“当且仅当”将其连接起来构成一个新命题“ P当且仅当Q”，记作PQ，这个式子叫做命题P与Q的等价式。 等价式与等价关系不同，前者是用两个命题构造一个新命题；后者是指两个命题之间的关系。四、命题演算复合命题的真假值可以由组成它的简单命题的真假值通过真值表演算获得。命题演算中常用的等价式。数学中命题一般都可以写成假言式，即若P则Q的形式，其中P叫做命题的条件，Q叫做命题的结论。如果把它叫做原命题，通过对P或者Q的否定可以得到它的逆命题：若Q则P，否命题：若P则Q，逆否命题：若Q则P。这四种命题的关系是：PQQP，QPPQ。已

37、知其中一个，可以用命题演算获得另外三个。逆命题的制作：若原命题只有一个条件和一个结论，那么将它们互换即可；若有m个条件和n个结论，那么把条件的全部或者部分和结论的全部或者部分互换，可以得到ååCi=1j=1mnmi在中学数学中一般只关心两类逆命题，把条件的全部和结论的全部Cnj个逆命题。互换的逆命题和把相等的条件和结论互换的逆命题。在制作逆命题时，要注意：（1）分清原命题的条件和结论；（2）互换条件和结论后要适当修饰词语；（3）如果原命题的条件或者结论是由多个判断组成的选言判断，只能把它们看成是一个条件或者结论。否命题的制作与逆命题的制作相类似，需要注意的是对含有量词的命题

38、的否定，常用的等价式有："xP(x)º$xP(x)，$xP(x)º"xP(x)。逆否命题的制作有三种方法；（1）PQ到QP再到QP；（2）PQ到PQ再到QP；（3）利用逻辑等价式推导。如：为了使命题更加简洁，需要将几个有关联的命题合并成一个命题。如3是质数和7是指数就可以合并成一个命题3和7都是质数。合并命题也可以利用命题演算达到。第一节 推理与证明一、推理的意义和方法推理是从一个或几个已知判断获得一个新判断的思维形式。其中已知的判断叫做推理的前提，获得的新判断叫做推理的结论。推理常用的逻辑联结词有：“因为，所以”，“由于，因此”等。按照推理所表现的思维

39、进程的方向性可以把推理划分为归纳推理、演绎推理和类比推理。按着推理的繁简可以把推理划分为简单推理和复合推理。复合推理是由几个简单推理组成的。1 归纳推理归纳推理是从特殊到一般的推理，既由几个单称判断或特称判断得到一个新的全称判断的推理。它可以进一步划分为完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理是考察一类事物的每一个对象，肯定或否定它们具有某一属性，从而得到这类事物都具有或都不具有这一属性的一般性结论的推理形式。采用完全归纳推理应注意：（1）研究对象的数量不宜太大，且要确知全部对象为何；（2）研究的属性应是这些对象所固有的、共同的本质属性。不完全归纳推理是考察一类事物的部分对象具有或者不具有某

40、一属性，从而作出这类事物都具有或都不具有这一属性的一般性结论的推理形式。它所得到的结论不一定可靠，但它确是我们认识和研究的重要推理之一。2 演绎推理演绎推理是从一般到特殊的推理。用演绎推理获得的结论，只要前提可靠，结论就一定可靠。在演绎推理中，非常重要的一种是三段论。所谓三段论是从某类事物的全称判断和一个特称判断得出一个新的，较小的全称或特称判断的推理形式。如：菱形是平行四边形， 大前提四边形ABCD是菱形， 小前提四边形ABCD是平行四边形。 结 论在大前提和小前提中都出现的（如菱形）叫中项，一般用M表示；在大前提和结论中都出现的（如平行四边形）叫小项，一般用S表示；在小前提和结论中都出现的

41、（如四边形）叫大项，一般用P表示。在三段论中，大前提是全称肯定判断，结论就是特称肯定判断；大前提是全称否定判断，结论就是特称否定判断。既：M是P，S是M，则S是P；M不是P，S是M。，则S不是P。逻辑表示为：（MP）SM（SP），（MP）SM（SP）。可以用真值表证明它们都是恒真命题。像三段论这样的蕴涵式恒真命题都可以作为推理规则。3 类比推理类比推理是从特殊到特殊的推理。既根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，进而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理形式。类比推理与不完全归纳推理一样，虽然获得结论不一定可靠，但确实我们认识和研究的重要推理之一。一般说来，相同或类似的属性越多，可靠程度

42、越大。二、证明的意义与方法在一门科学理论中，根据某个或某些命题的真实性来确定另一个命题的真实性的逻辑方法叫做证明。它由论题、论据和论证三部分组成。根据直接证明论题还是间接证明论题可以将证明方法划分为直接证法和间接证法。直接证法是根据已知概念、真命题和本题的题设及推理规则直接证明本题结论的证明方法。间接证法是不直接证明论题，而是通过证明反论题的虚假性，或者通过证明论题的等价论题，来确定论题真确性的证明方法。它可以进一步划分为反证法和同一法。当证明论题PQ时，不直接证之，而是把Q作为前提，加进原论题的前提，并根据已知真命题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的前提相矛盾的结论，或推出自相矛盾的结

43、论，从而确立论题的真确性，这种证明方法叫反证法。同一法是通过证明论题的等价论题来证明原论题的证明方法。根据思维时推理的顺序可以将证明方法划分为分析法和综合法。分析法是执果索因，由结论出发不断寻找论据，直至条件；综合法是由因导果，由条件出发，不断寻找结论，直至原论题的结论。在中学数学中常用的证明方法还有逆证法和普通归纳法。第五章 数学思想方法与中学数学教学第一节 何谓数学思想方法数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识上被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。中学数学常用的数学思想

44、有：数形结合思想、化归思想、分类思想、函数思想、极限思想、模型思想、统计思想、最优化思想等。数学方法是指在数学地提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种方式、手段、途径等，其中包括变换数学形式。中学数学中常用的方法有：穷举法、换元法、消元法、配方法、待定系数法、参数法、归纳法、反证法、分析与综合法、逆证法等。数学方法在实际运用时往往具有过程性与层次性的特点，并且层次越低，可操作性越强，层次越高，内涵越丰富。数学思想与数学方法是紧密联系在一起的。一般说来，强调指导思想时称数学思想；强调操作过程时称数学方法。第二节 数学思想方法与中学数学教学一、基本的数学思想方法1化

45、归“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较容易解决或者已有固定解决程式的问题，且通过问题B的解决可得原问题A的解决。化归的一般原则是：化归目标简单化原则；和谐统一性原则；具体化原则；标准形式化原则；低层次化原则。化归的策略是：通过寻找适当的映射实现化归；通过语义转化实现化归；通过一般化与特殊化实现化归。2抽象抽象一般有两种理解：一种认为抽象是指从事物中区分出个别的非本质的属性特征和共同的本质特征的过程和方法（动词性）；另一种认为抽象是指用来形容那种偏离具体经验

46、较远，因而不太容易理解的对象的一种程度词（形容性）。数学的抽象性是取它的形容性。数学的抽象是非常特殊的，具体表现在它的内容、程度和方法上。高度抽象不仅是数学的基本特征，也是数学发展的重要方法，同时也是数学应用（数学化）的基本方法，所有这些表明，具体抽象具体是数学教学的基本原则。3公理化所谓公理化方法，是指从尽可能少的一组原始概念和一组公理出发，运用逻辑推理规则，将一个数学系统建立成为一个演绎系统的方法。如欧几里德几何就是一个用公理化方法建立的系统。在逻辑上，公理的选取要满足相容性、独立性和完备性。4 结构方法所谓结构是指在一个非空集合中，引进运算或变换，或元素间的某种关系。布尔巴基学派把数学的

47、基本结构划分为三类：代数结构运算，来自数量关系；序结构先后，来自时间观念；拓扑结构连续，来自空间观念。二、中学数学中的数学思想方法及其对教学的启事1 从中学数学教学内容分析数学思想方法用字母代替数的思想方法；集合的思想方法；函数、映射、对应的思想方法；数形结合的思想方法；最优化的思想方法；统计思想和数据处理方法；分类讨论的思想方法；2 如何贯彻数学思想方法的教学充分挖掘教材中的数学思想方法有目的、有意识地渗透、介绍相应的数学思想方法第六章 中学数学教学原则第一节 教学原则概述根据教育、教学目的和对教学过程规律性的认识而制定的指导教学工作的基本要求。其中教学规律是指教学内部所包含的矛盾联系。基本

48、要求是指教学原则所反映和处理的矛盾不是无限多的非基本的或局限的矛盾，而是一些基本的矛盾关系，带有普遍性，它制约着教学过程的各个方面和自始至终的整个过程。教学原则不同于教学规律、教学原理。第二节 中学数学教学原则一、严谨与量力相结合严谨性是数学的特点之一，其内涵主要是数学逻辑的严格性及结论的精确性，主要表现在：（1）概念（除原名）必须定义，（2）命题（除公理）必须证明，（3）每个数学分支所包含的概念和命题按着一定的逻辑顺序构成一个体系，（4）概念的陈述过程与命题的论证日益符号化、形式化。数学的严谨性具有相对性。中学生的实际情况是：（1）对数学语言的理解和运用存在困难，（2）推理不严，（3）思考不

49、慎密。严谨与量力相结合：（1）教学内容是科学的，思维要符合逻辑要求，（2）对数学严谨性要求只能逐步适应，严谨的程度应是学生力所能及，而又必须经过努力才能达到。二、具体与抽象相结合数学的研究对象是现实世界的量的关系和空间形式，其内容是极其丰富的，但为了在比较纯粹的状态下研究，才不得不把研究对象的所有其他特性抛开，而只抽象出数量关系和空间形式，这就是数学的抽象性。中学生抽象思维的局限：（1）过于依赖具体素材，（2）抽象与具体割裂，（3）抽象能力弱，（4）对抽象结论间的关系掌握不好。具体与抽象相结合：（1）从具体到抽象，再从抽象到具体，循环往复，才能认识不断提高和深化，（2）恰当使用具体材料。三、巩

50、固与发展相结合知识的掌握包括四个层次：感知、领会、巩固、应用。巩固是指巩固知识，在这方面，记忆起着重要的作用，提高记忆力的基本途径为：（1）使学生加深对知识的理解，（2）将逻辑记忆与形象记忆结合起来，（3）通过对照、比较、系统整理促进记忆，（4）记忆与再现结合起来。发展是指发展思维能力。发展思维能力可以从以下几方面考虑：（1）明确思维的目标和方向，（2）为思维加工提供充足的原材料，（3）发展思维形式，（4）教给学生正确的思维方法。巩固与发展相结合：（1）面向全体学生，让学生领会基本的数学思想方法，（2）复习题的选配要着眼于发展学生的思维和培养学生的能力。第七章 中学数学教学方法第一节 中学数学

51、教学中常用的教学方法一、教学方法与数学教学方法对于教学方法的本质，我们从以下几个方面认识：教学方法不同于教学工具或手段；教学活动的双边性；教法和学法相互联系和作用。教学方法是指在教学活动中，为达到教学目的，完成教学任务，实现教学内容，运用教学手段而进行的，在教学原则指导下的，一整套方式组成的，师生相互作用的活动。数学教学方法就是根据数学学科的特点，在数学教学活动中，为实现教学目的，完成教学任务，运用适当的教学手段而进行的，师生相互作用的活动。二、中学数学教学中常用的教学方法1 讲授法讲授法是教师通过语言，系统地讲述教学内容的一种教学方法。特点：教师作系统、概括、重点深入的启发性讲解，学生集中注

52、意力倾听教师的讲述，并认真思考教师提出的各种问题，适当地记笔记。优点：保持教师讲授知识的主动性、流畅性和连贯性，时间易掌握，教学进程易控制。 缺点：难以及时准确地了解学生对知识理解、掌握的情况，不宜因材施教。对教师的要求是：讲授知识应科学、系统、深刻，具有启发性、针对性，语言要通俗易懂、生动活泼、直观形象、引人入胜。对学生的要求是：具有较强的理解能力，能够长时间地保持注意力的集中，善于从老师的讲述中选择要点记下笔记。2 问答法（谈话法）问答法是教师通过问答、谈话的方式进行提问、启发学生积极思考，从而使学生自己获得新知识的一种教学方法。特点：师生的对话。优点：突出教学的双边活动，有利于促使学生积

53、极思考，努力进取。缺点：时间不易掌握，运用不好会影响教学计划的完成。对教师的要求：设计好问题系统，善于应变，善于引导，面向全体学生，防止形式主义谈话，同时应鼓励学生互相提问和向教师提问。对学生的要求：积极参与，积极应答，不怕出错，有错就改。3 指导作业法指导作业法是在教师指导下，通过学生独立作业来掌握知识的一种教学方法。 特点：充分体现学生是学习的主体。优点：可以培养学生的研究能力和养成认真钻研课本的好习惯。缺点：时间不易掌握，运用不好会影响教学质量。对教师的要求：课前准备一套由易到难、适合学生情况的问题。对学生的要求：积极思考，独立完成作业，具有一定的钻研能力。4 教具演示法教具演示法是教师

54、通过展示各种实物、模型、图片、直观教具或者幻灯、录象、计算机演示等，让学生通过观察获得感性认识的一种教学方法。特点：将抽象理论具体化。优点：使抽象理论具体化，有利于培养学生对数学的兴趣和抽象能力。缺点：教具如果制作的不好，会分散学生的注意力，影响教学质量。对教师的要求：制作教具要突出主题，大小适当。对学生的要求：认真观察，具有一定的观察能力和抽象概括能力。第二节 数学教学方法的改革与发展趋势一、数学教学方法改革与发展的特点和主要趋势确立综合发展的观念重视教学活动的最优设计心理学的研究成果被广泛运用于数学教学中各派教学理论呈现出相互渗透、相互影响的趋势二、介绍几种现代数学教学方法引导发现法：是教

55、师根据教学内容的特点以及学生的基础，将教学内容划分为若干个“再创造”的发现过程，引导学生通过阅读、观察、实验、思考、讨论等积极主动的思维活动，亲自去探索和发现数学的概念、定理、公式和解题方法的一种教学方法。这种教学方法的教学模式是：创设问题情境推测结论、探索解法交流和小结运用。单元教学法：是知识结构为标准，将教学内容组织和划分成单元，并按教学单元进行教学的一种教学方法。这种教学方法的教学模式有两种：一种是将一个单元的教学过程分为四个步骤来完成，这四个步骤是自学探究、重点讲授、综合练习、总结巩固；另一种是将一个单元的教学内容分为六种课型来完成，这六种课形是自学课、启发课、复习课、作业课、改错课、

56、小结课。分层教学法：针对教学班内不同水平的学生，提出相应的教学目标，创设相应的教学情境，使得各层次的学生都能够经过努力得到最优发展的一种教学方法。运用这种教学方法一般可以采用以下策略：激发学习动机、提高参与意识、及时反馈调控、适时动态评价。运用分层教学法应注意：客观地把握学生的层次，科学地制定教学目标，灵活地选择教学方法，有效地组织教学环节。研究法：教师先根据教学内容和教学目的，提出富有思考性的题目和研究要求，然后放手让学生思考、探索、研究，得出初步的认识、理解、判断和概括，最后再由师生共同归纳、总结的一种教学方法。研究法对教师和学生的要求都很高，它要求教师有较高的数学素养和教学组织能力，要求学生有一定的自学、阅读能力，还要求教学内容有丰富的思维素材和研究、探索的“空间”，班级有比较浓厚的探索气氛等等。第三节 教学方法