2008年全国各地高考数学试题及解答分类总汇编大全(14空间向量与立体几何)

1、实用文案2008 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（ 14 空间向量与立体几何）一、选择题：1(2008 全国卷理 ) 已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（C ）A 1B2C 3D 233331. 解： C由题意知三棱锥A1ABC 为正四面体，设棱长为 a ，则 AB13a ，棱柱的高AO1a2AO2a2( 23 a)26 a （即点 B1 到底面 ABC 的距离），故 AB1 与底面323ABC 所成角的正弦值为AO12AB1.3另解：设 AB, AC, AA 为空间

2、向量的一组基底，AB, AC, AA 的两两间的夹角为 60011长度均为 a ，平面 ABC 的法向量为 OA1AA11 AB1AC, AB1 ABAA133OAAB12 a2 , OA6,AB311313OA1 AB12则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为3.AO AB11二、填空题：1(2008全国卷理 ) 等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 CABD 的余弦值为3 ， M ， N 分别是 AC， BC 的中点，则 EM ， AN 所成角的余弦值等于1361. 答案：1.设AB2，作CO面 ABDE，C6OHAB ，则 CHAB ，CHO 为二面角

3、 CABD 的平面角MCH3, OHCHcosCHO1 ，结合等边三角形ABCNE与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则ANEMCH3A11HoAN( ACAB), EMACAE ,22BDANEM1 (ABAC) (1 ACAE)1z1 题图（ 1）222故 EM ， AN 所成角的余弦值AN EM1CAN EM6M另解：以 O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，NE则点 A(1,1,0), B(1, 1,0), E( 1,1,0), C(0,0,2),AHM( 1,1 ,2), N(1 ,1 ,2 ) ,oyBD222222x1 题图（ 2）标准文档实用文案则 AN (3,1,

4、2), EM (1,3 ,2),AN EM1,AN EM3 ,2222222故 EM ， AN 所成角的余弦值AN EM1AN EM.6三、解答题：1（ 2008 安徽文） 如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 四边长为1的菱形，OA 底面 ABCD , OA2, M 为 OA的中点。O（）求异面直线AB与 MD所成角的大小；（）求点 B 到平面 OCD的距离。1方法一（综合法）M（ 1） CD AB, MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或其补角 ）作 APCD于P, 连接 MPA OA 平面ABCD ， CDMPB2 ADP4, DP=2 MDMA2AD 22 ， co

5、s MDPDP1, MDCMDPOMD23所以AB 与 MD 所成角的大小为3M（） AB 平面 OCD,点 A 和点 B 到平面OCD的距离相等，连接 OP,过点 A 作 AQOP 于点 Q， AP CD ,OA CD,CD 平面 OAP, AQ平面 OAP, AQCDA又 AQOP, AQ平面 OCD ,线段 AQ的长就是点A 到平面 OCD的距离BABC, 4DCQDPC OPOD 2DP 2OA2AD 2DP24 113 2， APDP2222OA AP222 ，所以点 B 到平面 OCD的距离为 2 AQ2OP32332方法二(向量法 )作 APCD 于点 P, 如图 , 分别以 A

6、B,AP,AO所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系A(0,0,0),B(1,0,0),2,0),D (2,2zP(0,2,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1) ,22O(1) 设 AB 与 MD 所成的角为, AB (1,0,0), MD(2 ,2, 1)M22ADP标准文档xBCy实用文案cosAB MD1 ,AB MD,32 AB 与 MD 所成角的大小为3(2) OP (0,222, 2), OD(,2)222 设平面 OCD的法向量为 n(x, y, z), 则 n OP 0,n OD 02 y 2z 0即22 2x y 2z 02 2取 z2 , 解得 n (0,4

7、, 2)设点 B 到平面 OCD的距离为 d , 则 d 为 OB 在向量 n(0,4, 2) 上的投影的绝对值 ,OB n2 OB (1,0, 2) , d.n32所以点 B 到平面 OCD的距离为2（ 2008 安徽理） 如图，在四棱锥OABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形，ABC,4OA 底面ABCD, OA 2, M 为 OA的中点， N 为 BC 的中点。（）证明：直线 MN 平面 OCD ；（）求异面直线AB与 MD所成角的大小；（）求点B 到平面 OCD的距离。2 方法一（综合法）（1）取 OB中点 E，连接 ME， NEOMME AB,AB CD， ME CDAD

8、又NE OC, 平面 MNE 平面 OCDMN 平面 OCDBNC（2）CD AB, MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或O其补角 ）作 AP CD于P, 连接 MP OA 平面ABCD ， CD MPEM2QADP, DP=24ADMDMA2AD 22 ， cosMDPDP1 , MDCMDPMD23所以AB 与 MD 所成角的大小为3PBNC（ 3） AB 平面 OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD的距离相等，连接OP,过点 A 作标准文档实用文案AQ OP 于点 Q， APCD,OA CD,CD平面OAP, AQCD又 AQOP, AQ平面 OCD , 线段 AQ的长就

9、是点 A 到平面 OCD的距离 OPOD 2DP 2OA2AD2DP 24113 2， APDP2222OA AP2222 AQ2OP32，所以点 B 到平面 OCD的距离为33方法二 ( 向量法 )2作 AP CD 于点 P, 如图 , 分别以 AB,AP,AO所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,2 ,0), D(2 ,2 ,0), O(0,0,2),M (0,0,1), N (12 ,2,0),22244(1) MN (12 ,2 ,1),OP(0,2 , 2),OD(2 ,2 ,2)44222设平面 OCD的法向量为 n( x, y,

10、z) , 则 n OP0,n OD0z2y2z0O2即22y2z0xM22取 z2 , 解得 n (0,4, 2) MN n (12 ,2 , 1) (0,4, 2) 044DMN 平面 OCDA(2) 设 AB 与 MD 所成的角为22, AB (1,0,0), MD (, ,1)22xBNC P yAB MD1,AB与MD所成角的大小为cos2,3AB MD3(3) 设点 B 到平面 OCD的交流为 d , 则 d 为 OB 在向量 n(0,4,2) 上的投影的绝对值 ,由 OB(1,0, 2) , 得 dOB n22n3. 所以点 B 到平面 OCD的距离为33（ 2008 北京文） 如

11、图，在三棱锥-中，= =2，=90°，=，.P ABCAC BCACBAP BP AB PC AC（）求证： PCAB；（）求二面角B- AP- C的大小 .3解法一：（）取AB中点 D，连结 PD， CD. AP=BP， PD AB. AC=BC. CD AB. PD CD D. AB平面 PCD.标准文档 PC 平面 PCD， PC AB.（） AC=BC, AP=BP, APC BPC.又 PC AC， PC BC.又 ACB 90°，即 AC BC，且 AC PC=C， AB BP， BE AP. EC是 BE在平面 PAC内的射影， CE AP. BEC是二面角

12、B- AP-C的平面角 .3在 BCE中， BCE=90° , BC=2, BE=AB 2 sin = BC6BEC.BE3二面角- -的大小为 aresin6BAPC.3解法二：（） AC=BC, AP=BP, APC BPC.又 PC AC. PC BC. AC BC=C, PC平面 ABC. AB 平面 ABC， PC AB.( ) 如图，以C为原点建立空间直角坐标系实用文案6 ，C-xyz.则 C（ 0，0， 0），A（ 0， 2， 0）， B（2， 0， 0） . 设 P（ 0，0， t ） , PB= AB 22 ， t =2, P(0,0,2).取 AP中点 E，连结

13、BE， CE. AC= PC, AB = BP , CE AP, BE AP. BEC是二面角 B-AP- C的平面角 .EEC(0, 1,1), EB( 2, 1, 1), (0,1,1), cos =EC EB23BEC.ECEB2 63二面角 B-AP-C的大小为 arccos3 .34（ 2008 北京理） 如图， 在三棱锥 PABC 中， ACBC 2，ACB 90 ， AP BPAB ，PC ACP（）求证：PCAB ；（）求二面角 BAPC 的大小；（）求点 C 到平面 APB 的距离D标准文档ABC实用文案4解法一：（）取 AB 中点 D ，连结 PD， CD APBP ，PD

14、AB ACBC ，CDAB PDCDD ，AB平面 PCD PC平面 PCD ，PCAB （）ACBC，APBP ， APC BPC 又PC AC，PC BCPE又 ACB90 ，即 ACBC ，且 AC PCC ，ABBC平面 PAC 取 AP 中点 E 连结 BE，CE CABBP ，BEAP EC是 BE 在平面 PAC 内的射影，CEAP BEC 是二面角 BAPC 的平面角在 BCE 中，BCE90， BC2， BE36 ，AB2sinBECBC6BE3二面角 BAPC 的大小为 arcsin6 PAB平面 PCD ，3（）由（）知平面 APB平面 PCD H过C作CHPD ，垂足为

15、 H D平面 APB平面 PCDPD ，ABCH平面 APB CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离C由（）知 PCAB ，又 PCAC ，且 ABACA ，PC平面 ABC CD平面 ABC ，PCCD 在 Rt PCD 中， CD1 AB2，PD3 PB6 ，22PCPD2CD 22 CHPCCD 23PD3点 C 到平面 APB 的距离为23 3解法二：（）ACBC，APBP ， APC BPC 又PC AC，PC BC标准文档实用文案ACBCC ，PC平面 ABC AB平面 ABC ，PCAB C 为原点建立空间直角坐标系 C xyz （）如图，以则 C (0，0，0)， A(0

16、，2，0)， B(2，0，0) 设 P(0，0，t ) PBAB22，zPt 2 ， P(0，0，2)E取 AP 中点 E ，连结 BE，CE HyxACPC，ABBP ，ABCEAP，BEAP CBEC 是二面角BAPC 的平面角E(011)， ， EC(0， 1， 1)， EB(2， 1， 1)，cosBECEC EB23 ECEB263二面角 BAPC 的大小为 arccos3 ACBCPC ，3（）C 在平面 APB 内的射影为正 APB 的中心 H ，且 CH 的长为点 C 到平面 APB 的距离如（）建立空间直角坐标系Cxyz BH2HE ，点 H222CH23的坐标为， 3333

17、点 C 到平面 APB 的距离为23 35 (2008 福建文 )如图，在四棱锥中，侧面PAD底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2, 底面 ABCD为直角梯形，其中BC AD,AB CD,AD=2AB=2BC=2,O为 AD中点。（ 1）求证： PO平面 ABCD;（ 2）求异面直线 PB 与 CD所成角的余弦值； （3）求点 A到平面 PCD的距离5. 解：如图， A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以CD (1,1,0), PB (1,1,1)PB CD6COS PB ,CD3PB CD所以异面直线所成的角的余弦值为：63(2)

18、设平面 PCD的法向量为 n( x, y, z) ， CP( 1,0,1), CD ( 1,1,0)n CP0xz0，所以；n CD0xy0令 x=1,则 y=z=1, 所以 n(1,1,1)又 AC(1,1,0)标准文档实用文案n AC2 3则，点 A 到平面 PCD的距离为：dn36(2008 福建理 )如图，在四棱锥P-ABCD中，则面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD2 ，底面 ABCD为直角梯形，其中, ,=2 =2=2,O为中点 .BC AD ABAD AD ABBCAD（）求证： PO平面 ABCD；（）求异面直线与所成角的大小；PD CD（）线段 AD上是否存在点Q，使得

19、它到平面PCD的距离为3？AQ2若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 .QD6本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分 12分.解法一：（）证明：在PAD中 PA=PD, O为 AD中点，所以 PO AD,又侧面底面, 平面PAD平面=,PADABCDABCDADPO 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD.（）连结 BO，在直角梯形ABCD中、 BC AD， AD=2AB=2BC,有 ODBC且 OD=BC, 所以四边形 OBCD是平行四边形，所以 OB DC.由（）知， POOB, PBO为锐角，所以

20、PBO是异面直线 PB与 CD所成的角 .因为 AD=2AB=2BC=2, 在 Rt AOB中， AB=1, AO=1,所以 OB2，在 Rt 中，因为2， 1，所以 1，POAAPAOOP在 Rt PBO中， tan PBO PG12 ,PBO arctan 2 .BC222所以异面直线PB与 CD所成的角是 arctan 2 .2（）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为3 .12设 ，则S DQCCD=OB= 2 ，QD xx ，由（）得2在 Rt中，PCOC2OP22,POC所以 PC=CD=DP,S PCD3 (2) 23 ,42由 Vp-DQC=VQ-PCD, 得 2，所以存在点

21、Q满足题意，此时AQ1QD.3解法二：( ) 同解法一 .标准文档实用文案( ) 以 O为坐标原点， OC、OD、OP 的方向分别为x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系, 依题意，易得(0,-1,0),(1,-1,0),(1,0,0),(0,1,0),O-xyzABCDP(0,0,1),所以 CD（110，），PB（1， 1，1）.所以异面直线PB与 CD所成的角是 arccos6 ，3( ) 假设存在点 Q，使得它到平面PCD的距离为3 ，2由( ) 知 CP ( 1,0,1),CD(1,1,0).设平面的法向量为n=(0,y0,z0).PCDxn CP0,x0z00,y0

22、 z0 ，则所以x0 y0即 x0n CD0,0,取 x0=1, 得平面 PCD的一个法向量为 n=(1,1,1).设 Q(0, y,0)( 1y1),CQ(1, y,0), 由CQ n31y3, 解 y=-1 或n，得3222y= 5 ( 舍去 ) ，21, QD3AQ1此时 AQ，所以存在点Q满足题意，此时.22QD37、 (2008 海南、宁夏理 ) 如图，已知点P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的对角线 BD1 上， PDA=60°。（ 1）求 DP与 CC所成角的大小； （ 2）求 DP与平面 AA D D所成角的大小。1117解：如图，以D 为原点， DA 为单位

23、长建立空间直角坐标系DxyzD1则 DA(10，0)， CC(0，01)， 连结 BD，BD AB 1在平面 BBDD中，延长 DP交BD 于H 1P设 DH(m， m，1)(m0) ，由已知DH，DA60 ，D由 DA DH DA DH cosDA，DH可得2m2m21 AB22 ，2 ，z解得m，所以 DH22122020 1 1DHC2cos，22A（）因为，BDH CC122P所以DH，CC45 D即 DP 与 CC 所成的角为 45 C（）平面 AA D D 的一个法向量是DC(01，0) AB2201101因为cos，22，xDH DC122C 1Cy标准文档实用文案所以DH，DC

24、60 可得 DP 与平面AA D D 所成的角为 30 8. (2008 湖北文 ) 如图，在直三棱柱 ABCA1 B1C1 中，平面 A1 BC侧面 A1 ABB1.（）求证：ABBC;（）若 AA1ACa ，直线 AC与平面 A1 BC 所成的角为，二面角A1BC A的大小为,求证：.28. 本小题主要考查线面关系、 直线与平面所成角、 二面角等有关知识， 考查空间想象能力和推理论证能力. （满分 12 分）( ) 证明：如右图，过点A 在平面 A1ABB1 内作 AD A1B 于 D，则由平面 A1BC侧面 A1ABB1, 且平面 A1BC侧面 A1ABB1 A1B，得 AD平面A1BC

25、. 又 BC 平面 A1BC所以 AD BC.因为三棱柱ABC A1B1C1 是直三棱柱 ,则 AA1底面 ABC,所以 AA1 BC.又 AA1 AD=A, 从而 BC侧面 A1ABB1, 又 AB 侧面 A1ABB1，故 AB BC.( ) 证法 1：连接 CD, 则由 ( ) 知 ACD就是直线 AC与平面 A1BC所成的角， ABA1就是二面角 A1 BCA 的颊角， 即 ACD ，ABA1=.于是在 Rt ADC中， sin = ADAD , 在 RtADA1中， sin AA1D AD AD ,ACaAA1asin=sin 1 , 由于与1都是锐角，所以1 .AADAADAAD又由

26、 Rt1知，1 1，故 .A ABAADAAB22证法 2：由 ( ) 知，以点 B为坐标原点，以BC、 BA、BB1 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .设 AB=c（ c a，则 B(0,0,0) ， A(0,c,0) ， C(a 2c2 ,0,0 ),A1 (0, c,a ) ，于是 BC(a2c 2 ,0,0) ，BA1（，c,a ）0,AC(a2c 2 , c,0)AA1c,a设平面 A1BC的一个法向量为n=( x,y,z),则由nBA10,cyaz0,得a2c2 x 0.nBC0,可取 n（ 0， a，c），于是n· AC =ac

27、 0， AC 与 n 的夹角为锐角,则sin=cosn AC(0,a, c) (a 2c2 ,c,0)c,=a 2c2(a2c 2 ) c 2a2c 2| n | | AC |标准文档实用文案BA1BA(0,a, c)(0,0, a)c,cos =a 2c2a 2|BA1 |BA|ac2所以 sin=cos=sin(),又 0，所以+=.2229. (2008湖北理 ) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1 C1 中，平面ABC侧面 A1ABB1.（）求证：ABBC；（）若直线 AC与平面 A1BC所成的角为 , 二面角 A1-BC-A 的大小为 的大小关系，并予以证明 .9. 本小题主要考查直棱

28、柱、 直线与平面所成角、 二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力. （满分 12 分）（）证明：如右图，过点A 在平面 A ABB内作11AD A1B于 D，则侧面 A ABB=A B, 得由平面 A BC侧面 AABB, 且平面 A BC1111111AD平面 A1BC, 又 BC平面 A1BC，所以 ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1 是直三棱柱，则 AA1底面 ABC，所以 AA1BC.又 AA1 AD=A, 从而 BC侧面 A1 ABB1，又 AB 侧面 A1ABB1，故 AB BC.（）解法1：连接 CD，则由（）知ACD 是直线 AC与平面 A BC1所成的角，ABA1 是二面角 A1 BC A的平面角，即ACD,ABA1 ,于是在 Rt ADC中， sinAD , 在 Rt ADB中， sinAD ,ACAB由 AB AC，得 sin sin，又0 ， ，所以 ，解法 2：由（）知，以点B 为坐标原点，以2BC、BA、BB 所在的直线1分AA=a, AC=b,别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设1=, 则(0,0,0),(0,0