专题一二次函数中的三角形的综合问题2020年中考数学冲刺难点突破二次函数问题(解析版)

1、20202020年中考数学冲刺难点突破二次函数问题专题一二次函数中的三角形的综合问题1、如图，动直线 y=kx+2 (k0)与y轴交于点F,与抛物线 y=m 相交于A, B两点，过点 A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C, D,连接CF, DF,请你判断 3DF的形状，并说明理由.【答案】ACFD是直角三角形.见解析。【解析】yX2+1 =kx+2, 4x= 2ki2v & 9 1,xi = 2k-2廊下!，X2=2k+2版不I, .OD = 2k+2在阡I, OC=2vV + l-2k,DC2= (2k+2庐11+2灰阡I-2k) 2= 16 (k2+1),CF2= 22+ (2 也二卜

2、J 2k) 2= 8k2 - 8kvfca+ 1+8 ,DF2=22+ (2k+2M + i) 2=8k2+8kv4二 + 1+8,.-.dc2 = cf2+df2, ./ CFD=90,故4CFD是直角三角形.2、如图，已知直线 y= - x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过y=ax2+bx+c经过A, B两点，点P是 线段AB上一动点，过点 P作PCx轴于点C,交抛物线于点 D.(1)若抛物线的解析式为 y= - -x2+x+4,设其顶点为 M,其对称轴交AB于点N.求点M、N的坐标;是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由;(2)当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，

3、使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.【答案】 M (1,呈)，N (1, 3);见解析；(2)见解析. 二【解析】解：(1) y=-*+x+4=-； (x-1) 2个，顶点M的坐标为(1, ),当 x= 1 时，y= 1+4 = 3,.点N的坐标为(1,3);不存在.理由如下:设点 P 的坐标为(m, - m+4),则 D (m, -；m2+m+4),PD =-二m2+m+4 - (- m+4) = - m2+2m,1. PD / MN . 当PD=MN时，四边形 MNPD为平行四边形，即一三m2+2m=；,解彳导:m = 1

4、或3 (m= 1舍去)， 点 P (3, 1),由 N (1, 3),PN =+ (3 - 1 尸-2yMMN ,，平行四边形 MNPD不是菱形，即：不存在点 P,使四边形 MNPD为菱形；(2)当/ BDP = 90时，点P (2, 2),则四边形BOCD为矩形,.D (2, 4),又 A (4, 0) , B (0, 4),，抛物线的表达式为：y= - ：x2+x+4；Mi7当/ PBD=90时，APBD为等腰直角三角形,则 PD=2xp=4, .D (2, 6),又 A (4, 0) , B (0, 4),把A、B、D坐标代入二次函数表达式得:故：二次函数表达式为：y= - x2+3x+

5、4 .4 2 ,3、如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0,8）,点C的坐标为（6,0）,抛物线y x bx9经过点A、C,与AB交于点D.（1）求抛物线的函数解析式;（2）点P为线段BC上一个动点（不与点 C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP,连接PQ, 也CP = m, ACPQ的面积为S.求S关于m的函数表达式；4 o 当S取大时，在抛物线 yx bx C的对称轴l上，右存在点F,使4DFQ为直角三角形，请直接9写出所有符合条件的点 F的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y4x2933Fi 逆，F2 c，4 下3224，、一-x 8 ; (2)S二 33

6、 1272,232c / 7_一 m 3m ；存在,10,F43 1272,22020【解析】(1)将A(0,8), C(6,0)代入抛物线的解析式得 AB 6,BC 8,AC、AB2 BC2 10,AQ CP m如图，作QM AB于M, QNBC 于 N,则 MQ/BC42-6 6b c 09-m b 解得4 c 4故抛物线的函数解析式为y 4x2 -x 8;93MQ m810AMQ ABCAM MQ AQ AM 一 一 一，即一AB BC AC 634AM m, MQ m 55QNBMABAM6 3m511332SCPQN m(6 - m)m3m22510故S关于m的函数表达式为 S m2

7、 3m ；10 S m2 3m -(m 5)2 -10102由二次函数的性质得：当m 5时，S取得最大值，最大值为1523 八4AM -m 3, MQ m 455Q(3,8 4),即 Q(3,4)4 24一 x x 8的对称轴为x9)933则可设点F(-,n) 2”AD/x 轴点D与点A关于对称轴对称3D(2 ,8),即 D(3,8)2DQ/y 轴，且 DQ 8 4 4由两点之间的距离公式得， DF2(3 3)2 (n 8)29 (n 8)22423_ 2292QF (。3) (n 4) (n 4) 24当DQ DF时， DFQ为直角三角形 _3则点F纵坐标与点D纵坐标相等，即n 8,因此，F

8、(-,8) 2当DQ DF时,DFQ为直角三角形3则点F纵坐标与点Q纵坐标相等，即n 4 ,因此，F (, 4)2当DF QF时，DFQ为直角三角形由勾股定理得，DF2 QF2 DQ2,即9 (n 8)2 9 (n 4)2 4244综上，存在这样的点 F ,所有符合条件的点 F的坐标为F(-,8)或F (3,4)或F212 47)或 222,2Fil，*4、已知抛物线y= - I2- =x+2与x轴交于点A, B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与 x轴交于H点,分别以OC、OA为边作矩形 AECO.(1)求直线AC的解析式；(2)如图2, P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动

9、点M,当四边形AOCP面积最大时，求|PM - OM|的最大值.(3)如图3,将9OC沿直线AC翻折得 CD,再将9CD沿着直线 AC平移得 “9口.使得点A、C 在直线AC上，是否存在这样的点 D,使得那ED为直角三角形？若存在，请求出点 D的坐标；若不存在， 请说明理由.2020【答案】（1） y=x+2; （2）点M坐标为（-2,巳）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM - OM|有最大值运; 33&（3）存在，D坐标为：（0, 4）或（-6, 2）或（一，与）.【解析】（1）令 x= 0,则 y=2,令 y=0,则 x=2 或6, A （ 6, 0）、B （2, 0）、C （0,

10、2）,函数对称轴为：x= - 2,顶点坐标为（-2, -）, C点坐标为（0, 2）,则过点C的直线表达式为：y = kx+2,将点A坐标代入上式，解得：k=-,则：直线 AC的表达式为： 产x+2;33（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H.四边形AOCP面积=AAOC的面积+AACP的面积，四边形 AOCP面积最大时，只需要 9CP的面积最大即可，设点 P 坐标为（m, -m2- -m+2）,则点 G 坐标为（m,2m+2）, Szac PG?OA工 m2-：m+2-三 m& Sa.m33-2） ?6=-m2-3m,当m=-3时，上式取得最大值，则点 P坐标为（-3,巨）.连接OP交对

11、称轴于点M,此时，|PM-OM|有最大值，直线 OP的表达式为：尸一:x,当x= - 2时，尸1 即：点M坐标为（-2,勺，|PM-OM|的最大值为：?尸.（一争义斗弓尸 官（3）存在.,.AE = CD, / AEC = /ADC = 90, / EMA = / DMC , /.A EAMA DCM (AAS),，EM=DM, AM=MC, 设：EM = a,则：MC = 6- a.在 RtDCM 中，由勾股定理得： MC2=DC2+md2,即：(6a) 2=22+a2,解得：a二则：MC二坦,过点D作x轴的垂线交x轴于点N,交EC于点H.在RtADMC中J DH?Ma工MD RC , 35

12、2即：dhmT = N2,则：DH=3, HCG皿V，即：点D的坐标为（一脑事;三），点D坐标为（一目+等J期+ E=）, wlo5 Van 5 vin设：AACD沿着直线AC平移了 m个单位，则：点A坐标（-计垩,N 1D而点E坐标为（-6, 2）,则月零+与口=36,省百密=推尸+嘱一 2尸予f -言+ 4 ,ED ,=营+孤+ C ）善/田声+嗝若ED为直角三角形，分三种情况讨论:当TE+AE昵ED亡时，36+mW-咨+ 4=M +强+三，解得：m2 ,此时D （反+垩,超+2） ，Vinifio 5 ，ss Vin s Via为（0, 4）;当4fD加+EDTE12时，36+F +驾+

13、巧=心一等：+ 4 ,解得：m=史史，此时D（+处,也+千=）VLG 5VT1D5互 V1C 5 嫉而为（6, 2）;当启归工+后口亡二月p七时，m=一箸+ 4+限+矍+姿=36,解得：m= S或m=,此时D/ 国.2E ”口 】航、& / 八八、f /319x（一$ +高丁+ 而）为（6, 2）或（一丁 T）。综上所述：D坐标为：(0, 4)或(-6, 2)或(一，炉)555、已知函数yi = ax2+bx, y2= ax+b(abw).在同一平面直角坐标系中 (1)若函数yi的图象过点(一1, 0),函数y2的图象过点(1, 2),求a, (2)若函数y2的图象经过yi的顶点,求证：2a+

14、 b=0;-3当1x .2a+b=0; - y1= ax(x- 2), y2=a(x 2), 1 y1-y2= a(x2)(x 1),3 1x2,x-20,(x-2)(x-1)0 时，a(x-2)(x- 1)0,即 y1y2；，当 a0,即 yiy2.6、如图所示，二次函数 y=x2+bx + c的图象与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C, OB=OC.点D在函E是抛物线的顶点.数图象上，CD/x轴，且CD = 2,直线l是抛物线的对称轴, (1)求b, c的值;(2)如图，连结BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标;(3)如图，动点P在线段OB上，过点P作

15、x轴的垂线分别与 BC交于点M,与抛物线交于点 N.试问:抛物线上是否存在点 Q,使得4PQN与祥PM的面积相等，且线段 NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.【解析】(1)根据二次函数的对称轴公式，将抛物线上的点代入，即可求出 c的值；(2)求F的对称点，代入直线 BE,即可；(3)构造新的二次函数，利用其性质求极值.解：(1).CD/x轴，CD = 2, .抛物线对称轴为直线 l: x=1.2=1, b=- 2,OB=OC, C(0, c).点 B 的坐标为(一c, 0),0= c2+2c+c,解得 c= - 3 或 c= 0(舍去),c= - 3.(2)设点F的

16、坐标为(0, m),对称轴为直线l: x=1,，点F关于直线的对称点 F的坐标为(2, m).直线 BE 经过点 B(3, 0), E(1, 4),，用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x 6.点 F在 BE , m=2X2-6=- 2,即点 F 的坐标为(0, -2)(3)存在点Q满足题意.设点 P坐标为(n, 0),贝 U PA=n+l, PB=PM=3-n, PN = n2 +2n+3作 QR PN ,垂足为 R, 11- Sapm= Sapqn, - 2(n+1)(3 n)= 2(n2+2n+3)QR,QR=1.点Q在直线 PN的左侧时，Q点的坐标为(n- 1, n2-4n), R

17、点的坐标为(n, n2- 4n), N点的坐标为(n, n22n 3).，在 RtAQRN 中，NQ2= 1 + (2n-3)2, n=3 时，NQ 取最小值.此时Q点的坐标为2, - 145 .1点Q在直线PN的右侧时，Q点坐标为(n+1, n2-4).同理，NQ2 = 1 + (2n1)2,，n= 2时，NQ取最小值.此时q点的坐标为2, - 145.综上所述：满足题意的点q的坐标为2, 145和2, -15.7、如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=ax22ax3a(a0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在AABC的内部(不包括 那BC的边界)，求m的取值范围；(3)

18、点P是直线AC上的动点，若点 P, C, M所构成的三角形与 4BCD相似，请直接写出所有点P的坐标.【解析】(1)将点A, C的坐标代入函数表达式，即可求出b, c的值，通过配方法得到点 M的坐标；(2)点M是沿着对称轴直线 x= 1向下平移的，可先求出直线 AC的表达式，将x= 1代入求出点 M在向 下平移时与 AC, AB相交时y的值，即可得到 m的取值范围；(3)由题意，可得/ MCP=90,若4PCM与ABCD相似，则要进行分类讨论， 分成APCMs BDC和4PCM s CDB两种，然后利用边的对应比值求出点P坐标. -9+3b+c= 1, b=2,解：(1)把点A(3, 1),

19、C(0, 4)分别代入二次函数 y=x2+bx+c,得解得c= 4,c= 4,二次函数的表达式为y=- x2+2x+4,配方得y=- (x1)2+5, .点M的坐标为(1, 5);3k+n= 1,n= 4,(2)设直线AC的表达式为y= kx+n,把点A(3, 1), C(0, 4)代入，得k= 1, 解得n = 4,，直线AC的表达式为y=x+4.如答图，对称轴直线x=1与9BC两边分别交于点 E, F.把x=1代入直线 AC的表达式y= - x+4,解得y=3,则点E坐标为（1, 3）,点F坐标为（1 , 1）,1 5- m3,解得 2vmv 4; 第4题答图(3)如答图，连结 MC,作M

20、Gy轴并延长交AC于点N,则点G坐标为(0, 5).1 . MG = 1, GC=5-4= 1 ,mc=，mg2+gg2 =铲+ 12 =也，把y= 5代入y= - x+ 4,解得x= - 1,则点 N 坐标为(一1, 5),NG = GC, GM = GC,2 .Z NCG = Z GCM =45,，NCM = 90,由此可知，若点 P在AC上，则/ MCP = 90,则点D与点C必为相似三角形对应点,(I )若有 APCM st BDC ,则有MCCPCDBD. BD=1, CD=3,CP =MC BDCDV2m 近3=3CD = DA = 3, .DCA = 45,若点P在y轴右侧，作P

21、Hy轴, . /PCH = 45。，CP著，PH =乎逆=3， 1 一一 1111 11把 x= 3代入 y= - x + 4,斛得 y= -,P1 3，5 ；同理可得，若点 P在y轴左侧，则把x=3代入y=-x+ 4,解得y = 13，1 13 l P2 -z, -7 ; 33MC BD(n)若有pcmscdb,则有怎=/，CP DC. CP = ?/225 =3卡，PH=32J2=3,若点P在y轴右侧，把x= 3代入y=-x+ 4,解得y= 1;若点P在y轴左侧，把x= 3代入y=x+ 4,解得y= 7.13(3, 1), P4(-3, 7).，所有符合题意的点 P坐标有4个，分别为P1

22、1, 11 , P2 -1 13 , Pa(3, 1), P4(3, 7). 333 39、如图所示，抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A, B两点，B点坐标为(3, 0),与y轴交于点C(0, 3).(1)求抛物线的表达式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点 P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE + EF 的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点； 当4BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标; 若4BCD是锐角三角形，求点 D的纵坐标的取值范围.原图备用图32+3b+ c=0,b=- 4,解：(1)由题意得解得c= 3.c= 3.，抛物线的表达式为 y

23、= x2- 4x+ 3.(2)方法1 ：如答图，过 P作PG / CF交CB于G,由题意知/ BCO=Z CFE = 45, F(0, m), C(0, 3),. CFE和AGPE均为等腰直角三角形，2,22 c- EF= 2 0F= 2(3-m), PE=/PG,2-22设 xp=t(1 vt3),则 PE= pG= 2(-t+3-t-m)=(- m- 2t+3),.t2-4t+3=t+m,22 . PE+ EF= j-(m 2t+3)+ j-(3 m)=兴2t2m+6)=业t+m3)=-m(t2 4t)= m(t2)2+4表，当 t=2 时，PE+EF 最大值 472.方法2:(几何法)由题意知直线 BC的表达式为y=x+3, OC=OB=3,OCB = 45.同理可知/ OFE = 45,， CEF为等腰直角三角形，如答图，以 BC为对称轴将 4FCE对称得到 任CE,作PH LCF于H点，则PF+ EF=PF = $2PH.又 PH = yc yp= 3 yp.当yp最小时，PF+EF取最大值，.抛物线的顶点坐标为 (2, 1),当 yP= 1 时