2013年高考真题——理科数学(天津卷)解析版

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选才i题)两部分，共150分.考试用时120分钟.第 I卷1至2页，第n卷3至5页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上 ，答在试卷上的无效.考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2 .本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：如果事件A, B互斥，那么P(A B) P(

2、A) P(B)棱柱的体积公式 V=Sh,其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.如果事件A, B相互独立，那么P(AB) P(A)P(B)43球的体积公式V - R3.3其中R表示球的半径.一.选择题： (1)已知集合(A)(在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的A = xC R| | x| < 2A = xC R| x< 1,则 A B,2(B) 1,2(C) 2,2(D) -2,13x(2)设变量x, y满足约束条件 x620,0,0,则目标函数z =y- 2x的最小值为(A) -7(C) 1(3)阅读右边的程序框图 为1,则输出S的值为(B) 4(D) 2,运行相

3、应的程序，若输入x的值(A) 64(C) 512(4)已知下列三个命题：(B) 73(D) 585若一个球的半径缩小到原来的1 一，2,则其体积缩小到原来的1 ；8若两组数据的平均数相等直线x + y + 1 = 0与圆,则它们的标准差也相等；21 y 相切.2其中真命题的序号是(A)(C)(B)(D)(5)已知双曲线2 x2 a2 y b21(a 0,b 0)的两条渐近线与抛物线2 px( p 0)的准线分别交于A, B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, 4AOB的面积为33 ,则 p =(6)(8)(A) 1(C) 2(D) 3在4ABC中,10(A)10函数f(x)ABC,AB

4、 2, BC410(B)53,则 sin BAC3 10 (C)105(D)武 52x|log0.5x| 1的零点个数为(A) 1已知函数f(x)(B) 2x(1 a | x|).设关于(C) 3x的不等式f (xa)(D) 4f (x)的解集为A,若1 12, 2A,则实数a的取值范围是(A)15,0(B) 13,0(D)15八(C)2 ,02013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第II卷注意事项：1 .用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2 .本卷共12小题，共110分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)已知 a, b C R, i 是虚数单位.

5、若(a + i)(1 + i) = bi,则 a + bi =(10)的二项展开式中的常数项为(11)已知圆的极坐标方程为 4cos ,圆心为Q点P的极坐标为 4,-,则|CP = (12)在平行四边形 ABCD中，AD = 1, BAD 60 , E为CD的中点.若uuir uuu'AD BE 1,则 AB 的长为.'-(13)如图， ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD/AC.过点.A做圆的切线与 DB的延长线交于点 E AD与BC交于点F.若AB = AQ ' 匕AE = 6, BD = 5,则线段CF的长为.1 lai 一 .一一 .(14)设a + b

6、 = 2, b>0,则当a = 时，-匕取得最小值.2 1al b三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)已知函数 f(x) 2sin 2x 6sin xcosx 2cos2x 1,x R .4(I )求f(x)的最小正周期；(n )求f(x)在区间0,-上的最大值和最小值.(16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2, 3, 4;白色卡片3张，编号分 别为2, 3, 4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(I )求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概

7、率X,求随机变量X的分布列和数学期望(n)再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 (17)(本小题满分13分)如图，四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，侧棱 AiA,底面ABCD AB/DQ ABX AD, AD = CD = 1, AAi = AB = 2, E 为棱 AAi的中点.(I )证明 BiGXCE(n )求二面角Bi- CE- Ci的正弦值.所成角的正弦值为包,求线段AM的长.6(m)设点 M在线段 CiE上，且直线 AM与平面 ADDiAi(18)(本小题满分13分)223设椭圆。 1(a b 0)的左焦点为F,离心率为3,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截a b3得的线

8、段长为4 3.3(I )求椭圆的方程；(n )设A, B分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点.若uuir uuir uur uuuAC DB AD CB 8 ,求 k 的值.(19)(本小题满分14分)已知首项为3的等比数列a。不是递减数列，其前n项和为S(n N*),且及+ a3, S5 + as, S4 + 2a4成等差数列.(I )求数列an的通项公式；、一 一 1 ，一，一一，一.(n )设TnSn (n N*),求数列T。的最大项的值与最小项的值.Sn(20)(本小题满分14分)已知函数f(x) x2lnx.(I )求函数f(x)的单调区间；(n )证明

9、：对任意的t>0,存在唯一的s,使t f(s).(m)设(n )中所确定的s关于t的函数为s g(t),证明：当t>e2时，有2 In g(t) 1.5 Int 22013 <高笫学校招生全国统考试(天津卷)数学(理工类)参考解答选择聪:4胞看竹林本知识和从本运笄.好小做S分,满分40分.I)D12) AG) ii CS (>6) C7) H(X) A.境空达：木也与六基本知识和从本运算,短小收0分,满分30分.IX12) -< 1 n< 14)-223薛若卷I? S ,-u.：. ： , ；. . . Z. .一：工门工乙一一.；,丁？ 1; 丁I ) 解

10、：/ (I j2sin 2v cos <2cos2x sin sin 2x - cos2x, 儿小一:发小典概%.反认股#,汁以公式.住一件、离放空班机交货的分VI )一仃泣号为3-S； ”为事件人 一人”JJ.C； 7所以.取出偿4东。六中.台。编号为3的"的图.率为生7（II）帽 随班支廿*的厮仃M能奴勺为I. 2. 3. 4/>（'二】）-1：-工 F（.V-2） = Si. 4 .Cl 35U 35C，C1 4八工一3）二V一. ax 一=二二一.<- 7C： 7所以懑机货氧,V的分是I1一4P14r 11 .A彳。77_j阳机奎中X俏鼓学、汽&qu

11、ot;才-I XL . 2，3 " . 4 X 2 = 12 . 353577 5（ 小小版；，CU的条仃纹的也芭关礼二面角、宜浅叼丫面炉成的角,门线）中面幸不,押础小识.。吝短；，：4辫注。.体几何词题的方法.考外空间出发能力、龙rr傀力和推理-j.谒分二分.i力法i）加图,以史力为4点建京空间N/坐标系, 依超慧刊0.0）, ZJI0.0.2）. C（l.o.l）.<0, 2.2） , QL2.1）, £（J.L（H.，I）证明：5, £（：-".（）.-1）. （, 二（-1J-I）1小At；40段以月（7，CE.11）ft?： ac =（u

12、-2.-i）.式：回 BCE ffjij. :,J t. m （ii ;1; z >.m - B.C - 0.fx _ 2 v _ :=U.kh 上.1 由Ax. v - 2r-0.，、幼今；: = 1.二得一个注向。C£=0. r1 一1一。：ii力 m-（7.-2.D.J:<1）. <； 1CE. 乂 ccas。,叮存 4G，平面 CEC，故瓦-】）为艰面sc的一个力向!L55, 士 YN兆H 3 -夕7- 8 谛即'士 -" ss££；iCjC£力啊.不>8山。78、9-= 9J (H? .» s

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15、乙、XH；、18；叫八.、心/. i" lZ AD8 w'11 " U】D解：连套D£，过点“住V/1ER于直 ,可行1/15曲连接/T”,购AfAH为门线AM 1 j T-lfl! ADD.1所成的角.r厂设片 W=x,从而在-4"” 中.AHx.在 RtAC.pE中，CA=1. EQ=j2,钝 EH :&什Ix .在八中，乙4，二 I35L AE.ir AH: AE: 4 EH: -2AE EHC0i3SQ.得 12/=1/ +必、， 1893整理得5/7三56二。，线灯l=、5.所以线段儿”的长为应.（18）不小建主要考挖柳囚的标准

16、方灯和几何性度、直线的方程、向量的运以等坯础知 识.匕用代数方法I :旧的性质.号】EW界求解能力.以及用方程思想解决问 题的能力.满分13分.c 1）：设尸（-。0）.由£ =虫，知。、/£.过点FR与X柏事克的有线为入=5 a 3代入椭圆方程方空一与=|,博得”士邈,于是2役=逑，就褥gJI,又 优 />,433 ，a-"从而。=JL c=l,所以亚圆的方程为三 1=1.、2C 1（）蟆 设点Q" »） /”“心）,由尸（一10）用直线CD的方程为=女工+1）.y = k(x - 1).土方程讯 父 V- 泊£一整理行(2

17、+ 3/)/ - 6n + 3/-6 =。.求解可行工，l=-_竺：，kx、= 竺二因为Hr5,0). 6«，0).所以 2 d 27左AC- DB + AD CB = (% + 73, y -(<3 x2. - y2)-* (x. + 73, y)N3 - xt. - y,) 6 -2xx2 - 2y.y2 = 6-2%x1-2ft:(x, l)(x2 .1)= 6一(2.2Xg2A“.E f 卜 2P由已知得得八士7L 2 + 34-U9）木小题主要考查等用数列的数念，等比数列的概念、通项公式、商攻和公式， 教利的蛙本性及等区行知识.老近分类讨论的思想，考狂运算能力、分析问

18、乏和箕决问 枝伪能力.满分14分.（1）螃 设由匕攻处”的公工力g.因为工/.邑+%, S4成句Z数列.所%即%,=。-r足/=%.又4不是递减数/4列任勺=：,所以g=g.故等之故列他的通攻公式为a. =giJII）解；馋（I）得 S.”1 刀为奇效.JI 外为偶教.S.俎的增大而减小.历以l<£S：二。故节为偶数时. vs 3 250 v 3. 、31= -. S. '£236工随的博大而增大.所以3 = s.这邑<1 .故40 > S - 1- S-5. 5.3 47 512714什、总/-12S.6所以数列7J最人：1史的值为;,必小卬的值为（”）不小国史妾号行相散饺找2、后教的零步、u鼠的运行, 利用勺教研究语数的a 调性、不总式笔状础知识.君褥，效用恕化归思何.考杳抽能械括能力、琮合分析问 馥和第决词题的能力.满分M分.（I ）解：函数八外的定义域为（0一动.f x)= 2xlnx x = x(2 in 宜-1) 令 /(幻=。得 x 7uX7C )17J住Tr（x）一0,>“n极小价/一 ,