2021年全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

1、2021.03.07*欧阳光明*创编全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容欧阳光明(2021.03.07)一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶 点距离的平方和最小的点-重心。三角形内到三边距离之积最大的点-重心。4、几何不等式。5、简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线 的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲

2、线 的集合中，圆的周长最小。6、几何中的运动：反射、平移、旋转。7、复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。*欧阳光明*创编2021.03.072、第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。国数迭代，求n次迭代，简单的函数方 程。3、n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系

3、数方程虚根成对定 理。7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法， 同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函 数，孙子定理，格点及其性质。二、立体几何1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。2、正多面体，欧拉定理。3、体积证法。4、面，会作截面、表面展开图。四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。2、二元一次不等式表示的区域。3、三角形的面积公式。4、圆锥曲线的切线和法线。5、圆的嘉和根轴。五、其它抽屉原理。容斤原理。极端原理。集合的划分。覆盖。数学竞赛中涉及的重要定理1、 第二数学归纳法：*欧阳

4、光明*创编2021.03.07有一个与自然数n有关的命题，如果：(1)当n=l时，命题成立；(2)假设当n<k时命题成立，由此可推得当n = k+l时，命题也成立。那么，命 题对于一切自然数n来说都成立。2、 棣美弗定理：设复数 z=r(cosO+isin0),其 n 次方 zAn = rAn (cos(n0)+isin(n6),其中 n 为正整数。3、 无穷速降法：证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设X为最小的解。从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小 性相矛盾。所以，方程无解。4、同余：两个整数a, b,若它们除以整数m所得的余数相等，则称a, b对于模m同余， 记作

5、a三b (mod m),读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余。比如26三14 (mod 12)【定义】设m是大于1的正整数，a,b是整数，如果ml(a-b),则称a与b关于模m同余，记作a三b(modm),读作a同余于b模m.。有如下事实：(1)若a=0(mod m),则mla; (2)a=b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相 同.5、欧几里得除法：即辗转相除法。详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类:*欧阳光明*创编2021.03.07从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模 n的一个完全剩余系。例如，一个数除以4的余数只能是0, 1, 2

6、, 3, 0, 1, 2, 3和4, 5, -2, 11是模4的完全剩余系。可以看出。和4, 1和5, 2和-2, 3和 11关于模4同余，这4组数分别属于4个剩余类。7、高斯函爹f(x)=ae-(x-b)A2/cA2 其中 a、b 与 c 为实数常数，且 a > 0.8、费马小定理：假如P是质数，fi(a,p)=l,那么aA(p-l)三1 (mod p)假如p是质数，目a,p互 质，那么a的(p-l)次方除以p的余数恒等。(P 函数的值：通式：(p(xhx(l-l/pl)(l-l/p2)(l-l/p3)(l-l/p4)(l-1/pn),其中 pl, p2.pn为x的所有质因数，x是不为

7、。的整数。(p(l)=l (唯一和1互质的数就是1 本身)。若n是质数p的k次累，(p(n)=pAk-pA(k-1 )=(p-1 )pA(k-1),因为除了 p的倍数 外，其他数都跟n互质。欧拉沃I数是积性函数若m,n互质，(p(mn)=(p(m)(p(n)。特殊性质：当n为奇数时，(p(2n)=(p(n),证明于上述类似。10、孙子定J此定理的一般形式是设m = ml , mk为两两互素的正整数，m =ml, .mk , m = miMi, i = 1, 2, . , k o 则同余式组 x=bl(modml), x 三 bk(modmk)的解为 x 三 M'lMlbl + + M&

8、#39;kMkbk ( modm ) o 式中 M'iMi 三 12021.03.07*欧阳光明*创编(modmi) , i= 1, 2,k o11、裴蜀定理:对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式)：若a,b是整数，目*欧阳光明*创编2021.03.07(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。它的一个重要推论是：即b互质的充要条件是存在整数x,y使axby=l.11、梅涅劳斯定理：如果在AABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D, BD CE AFE、F

9、且D、E、F三点共线，则灰百百二112、梅涅劳斯定理的逆定理：如果在AABC的三边BC、CA、AB或其延长线上BD CE AFM13、瓦定理:有点D、E、F,且满足皮直屈=1,则D、E、F三点共线。设。是AABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N：AM .BN 产、M, 贝莉丽西一14、塞瓦定理的逆定理:设M、N、P分别在AABC的AM BN CP边AB、BC、CA上，目满足加两无二,贝JAN、BP、CM相交于一点。15、广勾股定理的两个推论：推论1:平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。推论2:设AABC三边长分别为a、b、c,对应边上中线长分别为ma、mb、men . -yllb

10、2 +2c2 -a2)J2a2 +2.2 f?贝：ma=2; mb=216、三角形内、外角平分线定理：*欧阳光明*创编2021.03.07BD _ AB 内角平分线定理：如图：如果/1=/2,贝幅丽=就外角平分线定理：如图，AD是AABC中/A的外角平分线交BC卑）延长线与D,则有 DC=ACD17、托勒密定理：口上二四边形ABCD是圆内接四边形，则有AB CD+AD BC=AC18、三角形位似心定理：如图，若4ABC与ADEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P19、正弦定理、在AABC中有sin力一 sin 8 - sin C - - （R为ABC外接圆半径）余弦定理：a、b、c为AABC的边，则有：a2=b2+c2-2bc cosA; b2=a2+c2-2ac cosB; c2=a2+b2-2ab cosC;20、西姆松定理：点P是AABC外接圆周上任意一点，PD±BC, PE±AC, PF±A