【KS5U解析】吉林省吉林市普通中学2020届高三第二次调研测试数学（文）试题 Word版含解析

1、吉林市普通中学20192020学年度高中毕业班第二次调研测试文科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的运算即可求出【详解】因为，所以故选：d【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题2.是虚数单位，则( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据复数的运算，利用复数的除法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，复数，故选a.【点睛】本题主要考查了复数的化简、运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，合理、准确运算是解答的关键

2、，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ）a. 数据中可能有异常值b. 这组数据是近似对称的c. 数据中可能有极端大的值d. 数据中众数可能和中位数相同【答案】b【解析】【分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有b错误故选：b【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们概念是解题基础4.“”

3、的一个充分条件是（ ）a. 或b. 且c. 且 d. 或【答案】c【解析】对于或，不能保证成立，故不对；对于或，不能保证成立，故不对；对于且，由同向不等式相加的性质知，可以推出，故正确；对于或，不能保证成立，故不对，故选c.5.若，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由，求得，再由，即可求出【详解】由，求得，而，所以故选：b【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题6.已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意

4、义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点a处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选b.【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，下列函数模型中拟合较好的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线【详解】如图，作出a，b，c，d中四个函数图象，

5、同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此d是正确选项，故选：d【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好8.函数最小值是（ ）a. b. 1c. 0d. 不存在【答案】a【解析】分析】先求出函数的定义域和导数，判断出单调性，即可求出最小值【详解】函数的定义域为，所以函数在上递减，在上递增，故故选：a【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，属于基础题9.我国宋代数学家秦九韶（12021261）在数书九章（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，

6、为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形三边长，求三角形面积，即.若的面积，则等于（ ）a. 5b. 9c. 或3d. 5或9【答案】c【解析】【分析】把已知数据代入面积公式解方程即得【详解】由题意得，整理得，或5，即或3故选：c【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知代入面积公式解方程即可得10.如图，正方体中，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）a. 直线b. 直线c. 直线d. 直线【答案】c【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断【详解】首先四个选项的直线都不在平面内，由中点及正方体的性质知，直线，都与平面平行，剩下的只有不与平面平行实际上过

7、作 的平行线，这条平行线在平面内且与相交（它们都在平面内）故选：c【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理11.已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）a. b. c. 2d. 3【答案】a【解析】【分析】由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，即，故选：a【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础12.已知，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与比较【详解】首先，最大，其次，

8、故选：b【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等本题中是与比较的二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置.13.直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是_.【答案】2【解析】【分析】根据直线过圆心可得，再根据基本不等式即可求出的值【详解】即为，所以圆心为由题意可得，即，所以当且仅当时取等号故答案为：2【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最小值，涉及圆的标准方程的应用以及点与直线的位置关系的应用，属于基础题14.若椭圆：与圆：和圆：均有且只有两个公共点，则椭圆的标准方程是_.【答案】【解析】【分析】根据圆和椭圆

9、的对称性可知，圆与椭圆交于长轴的两端点，圆与椭圆交于短轴的两端点，即可求出的值，进而求出椭圆的标准方程【详解】根据圆和椭圆的对称性可知，圆与椭圆交于长轴的两端点，圆与椭圆交于短轴的两端点，所以，故椭圆的标准方程是故答案为：【点睛】本题主要考查圆与椭圆的对称性的应用，以及椭圆标准方程的求法，属于基础题15.如图，在中，点，分别为的中点，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据 为直角三角形，利用勾股定理可求出，以及以为基底，表示出，由数量积的运算即可求出的值【详解】因为，所以，而点，分别为的中点，所以为的重心，即有故答案为：【点睛】本题主要考查数量积的运算和三角形重心性质的应用，解题关键是选择合适

10、的基底，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题16.在三棱锥中，两两垂直，且，.若以为球心，为半径做一个球，当球面与所在平面相切时，_.【答案】【解析】【分析】当球面与所在平面相切时，点到面的距离为球的半径，根据等积法，即可求出【详解】依题意可知，点到面的距离为球的半径所以，在中，即有故答案为：【点睛】本题主要考查三棱锥的体积求法以及等积法的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区

11、500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书1004010科普类图书3020030其他图书201060（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；（2）根据统计数据估计图书分类错误的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式，分别求出文学类图书总数以及正确分类的图书数，即可求出；（2）根据古典概型的概率公式，分别求出图书分类错误的数量以及图书总数，即可求出【详解】（1）由题意可知，文学类图书共有本，其中正确分类的有100本所以文学类图书分类正确的概率（2）图书分类错误的共有本，因为图书共有500本，所以图书分类错

12、误的概率【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，意在考查学生的数据处理能力，属于基础题18.已知数列是首项为2的等比数列，若成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据成等差数列，列出方程解出公比，即可求得的通项公式；（2）因为，并项求和，即可求出【详解】（1）是等比数列，且成等差数列，即解得（舍去）或，（2）【点睛】本题主要考查等差数列的定义应用，以及并项求和法求数列的和，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题19.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，是棱的中点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解

13、析】【分析】（1）要证，可证平面由平面知识可证得，又平面可推出，即得平面，于是；（2）根据等积法，即可求出【详解】（1）证明：平面四边形是矩形为中点，且，与相似，平面，平面平面，平面，（2）在中，所以由（1）知平面由于四边形是矩形，所以【点睛】本题主要考查利用线面垂直的判定定理，性质定理证明线线垂直，以及利用等积法求三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题20.已知中，角，所对的边分别为，且满足.（1）求的面积；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得，从而可把用角表示出

14、来，由三角函数性质求得最大值【详解】解：（1）在中，（2）当时，取最大值.【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理本题关键是，这样可把表示为角的函数，从而求得最值21.设函数（为自然对数的底数）.（1）求函数在点处切线方程；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解；（2）要证，即证，亦即，利用导数判断出函数在上的单调性，即可证出【详解】（1），切线的方程为，即（2）令，有时，单调递减【点睛】本题主要考查导数几何意义的应用以及利用导数证明不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题22.如图，已知直线是抛物线的准线.过焦点的直线交抛物线于，两点，过点且与直线垂直的直线交抛物线的准线于点.（1）求抛物线的标准方程；（2）求的最大值，并求出此时直线的方程.【答案】（1）（2）的最大值为，