【高考数学大题精做】专题04立体几何的探索性问题(第三篇)(解析版)

1、【高考数学大题精做】11 / 27第三篇立体几何专题04立体几何的探索性问题对应典例探索位置问题典例1线定，面动”探索线面平行问题典例2线动，囿定”探索线血平行问题典例3探索线线垂直问题典例4探索线回垂直问题典例5探索卸卸垂直问题典例6探索二面角问题典例7【典例1】【2020届江苏巅峰冲刺卷】如图，在四棱锥 PABCD 中，PA，平面 ABCD, Z ABC=Z BAD = 90°, AD = AP = 4, AB=BC=2, M 为 PC的中点.ii C(1)求异面直线 AP, BM所成角的余弦值；4.，一(2)点N在线段AD上，且AN=入若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为一，

2、求入的值.5【思路引导】(1)先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量Buu和向量AP的坐标，再利用线线角的向量方法求解uum(2)由AN=入设N(0,入0)(094)则MN =(-1,入一1, 2),再求得平面PBC的一个法向量，利用| 2 2|.5 (1)2，5uuuu ir直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 -,由|cos MN, m > |= |UUUu mr | 5| MN |m|解.(1) 因为 PA，平面 ABCD,且 AB, AD?平面 ABCD,所以 PA±AB, PA±AD.又因为/ BAD = 90。，所以PA, AB, AD两两互相垂直.分别以

3、AB, AD, AP为x, v, z轴建立空间直角坐标系，则由 AD= 2AB = 2BC = 4, PA=4 可得D(0, 4, 0), P(0, 0, 4).A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0),又因为M为PC的中点，所以M(1, 1,2).所以uuuuBM =(1,所以uuircos ap，uur1,2), ap = (0, 0, uuu uuur uuuu、 AP BM BM > = uuur uuuuu| AP |BM |4),(1) 0 14 .6所以异面直线 AP, BM所成角的余弦值为 立3(2) 因为 AN= N 所以 N(0, '

4、; 0)(0 <4)uuuu 则MNuuuuur= (-1, 1, 2), BC=(0，2，0)， PB =(2，0，4).ur设平面PBC的法向重为 m = (x,y,z),v w m 则 v muuvBC 0 日“ 2yuuv 即PB 0 2x4z令 x= 2,解得 y= 0, z= 1,IT所以m = (2, 0, 1)是平面PBC的一个法向量.4因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 -,5uuuu LT所以 |cos MN，mUULUT LT,|MN m|= -1uutuu-ur- | MN |m| 2 2|4(1)2,55 '解得 H 1C0, 4,所以入的值为1.

5、【典例2】【2020届江西省赣州市高三上学期期末考试】如图，在平行四边形 ABCD中，AB 2,AD 4, BAD 60 ,平面EBD 平面ABD,且EB CB,ED CD .(1)在线段EA上是否存在一点 F ,使EC 平面FBD ,证明你的结论；(2)求二面角 A EC D的余弦值.【思路引导】(1)容易判断出点F为EA的中点，根据中位线定理得到 OF /EC ,再根据线面平行的判定定理证明即可；(2)根据题目给出的数据，找出两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角 A EC 的余弦值.【详解】(1)存在点F ,点F为EA的中点证明：当点F为EA的中点时，连结 AC交BD于

6、O,平行四边形 ABCD ,，O为AC的中点，连结 OF ,则 OF/EC , FO 平面 BDF , EC 平面 BDF ,，EC 平面 FBD .(2) . EB CB AD 4,ED CD AB 2, BAD 60BD 2石，BE2 BD2 ED2，BC2 BD2 DC2 , . . BD ED, BD DC又.平面EBD 平面ABD, ED 平面ABCD , BD 平面ECD , 以DB为x轴，DC为y轴，DE为z轴，如图建系： D xyz则 D(0,0,0) , A(2卢 2,0), C(0,2,0) , E(0,0,2) , BQQQ)uuur _uuir_ AC ( 2j3,4,

7、0) , AE ( 273, 2,2)uuir_DB (2、/3,0,0)为平面ECD的一个法向量,r令平面ACD的一个法向量为nV uuv-n AC23x4y0 v uuvn AE2、.3x2y2zr平面ACD的一个法向量为n(x, y, z),取 x 2, yV3，zV302,73,73 ,令二面角A EC D为,由题意可知 为锐角,. l05r uuur贝U cos| cos n, DBr uuur_In DB |4、, 3-4uuur1 2_| n | | DB | 2 .3 ,10【典例3】【北京市昌平区2020届高三期末】(I)求证：CDXPD；(I)求证：BD，平面PAB；(I)

8、在棱PD上是否存在点M,使CM/平面PAB,若存在，确定点 M的位置，若不存在，请说明理由【思路引导】(I)由题意可得 CD，平面FAD,从而易得CDXPD;(I)要证BD,平面PAB,关键是证明BD AB ;(I)在棱PD上存在点M,使CM /平面PAB,且M是PD的中点.(I)证明：因为PAL平面ABCD, CD 平面 ABCD ，所以CDXPA.因为CDXAD, PA ADA,所以CD,平面 PAD.因为PD 平面PAD,所以CDXPD.(II)因为 PAL平面 ABCD, BD平面ABCD，所以BDXPA.在直角梯形ABCD 中，BC CD1 -AD2 ，由题意可得AB BD 5/2B

9、C，所以2AD2AB2 BD2,所以BDAB .因为PAIAB A,所以BD平面PAB.(I)解：在棱PD上存在点M,使CM /平面PAB,且M是PD的中点.证明：取PA的中点N,连接MN, BN,1因为M是PD的中点，所以 MNP AD. 2一 .1因为BC P - AD所以MN P BC . =2'=所以MNBC是平行四边形，所以 CM / BN.因为CM 平面PAB, BN 平面PAB.所以CM / /平面PAB.在三棱锥 P ABC中，PB 平面 ABC, AB【典例4】【2019届陕西省西安中学高三下学期第十二次重点考试】BC, AB=PB=2, BC=2j3, E、G 分别

10、为 PC、PA 的中点.(1)求证：平面BCG 平面PAC；AN(2)假设在线段 AC上存在一点N,使PN BE,求CN的值；NC(3)在(2)的条件下，求直线 BE与平面PBN所成角的正弦值【思路引导】(2)由N为线段AC一点,(1)由BC PA, BG PA,得PA 平面BCG ,即可得到本题的结论;uuur可设为ANUULTAC_uuur,2V3 ,0),得 PN(2 2 ,273 , 2),又由，PNBE可确定 的取值,uuu r从而可得到本题答案；(3)求出平面PBN的法向量n (x, y,z),然后套入公式sin uBE nr| ,即可得|BE| |n|到本题答案【详解】(1) 因

11、为PB 平面ABC, BC 平面ABC,所以PB BC ,又 AB BC, ABI BP B,所以 BC,平面 PAB ,则 BC PA,又AB PB 2, PAB为等腰直角三角形， G为斜边pa的中点，所以 BG PA,又BG BC B ,所以PA 平面BCG，因PA 平面PAC ,则有平面BCG 平面PAC；uur uur uur(2)分别以BA,BC,BP为x, y,z轴，建立空间直角坐标系,那么_uuir_uurA(2,0,0), C(0,2 73,0), P(0,0,2), BE (0j3,1)，因此 AC(2,273,0)，uurPA (2,0, 2),设uuurANuur-AC

12、( 2 ,2避,0),那么uur,PN (2 2 ,273 , 2),由PNuur uuuBE，得PN BE 0，解得uuir因此AN1 uur1AC ,因此3ANNC(3)由(2)uuur知PN4(32<3甘，2)'设平面rPBN的法向量为n(x, y, z),则2zr uuurn PNr 0,nuurBP0,02.3y 2z令x褥，得y2,r 0,因此n (品2,0),uurBE设直线BE与平面PBN所成角为，那么sin,21uuu-TBE n【典例5】【浙江省丽水市2020届模拟】如图，在四麴t P ABCD 中，PA 底面 ABCD , AD / BC , ABC 90

13、, AB(1)求证：CD 平面PAC;(2)在PC上是否存在点H,使得AH 平面PCD?若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由.【思路引导】(1)由题意，利用勾股定理可得 DC AC J2，可得AC 2 DC 2 AD 2 ,可得AC DC ,利用线面垂直的性质可得 PA CD ,利用线面垂直的判定定理即可证明DC,平面FAC;(2)过点A作AHPC,垂足为H,由(1)利用线面垂直的判定定理可证明AH,平面PCD,在RTAFAC2 2中，由PA=2, ac J2,可求PH -PC ,即在棱PC上存在点H,且PH PC ,使得AH,平面 33PCD.【详解】解(1)由题意，可得DC AC 7

14、2,AC 2 DC 2 AD 2 ,即 AC DC ,又PA 底面ABCD ,PA CD ,且 PAI AC A,DC 平面 PAC ；(2)过点A作AH PC ,垂足为H ,由(1)可得CD AH ,又 PCI CD C ,AH 平面PCD.在 RtzXPAC 中，.PA 2, AC 72PHPAPAPC即在棱PC上存在点H ,且PHPH 2 PC .32一 PC ,使得AH 平面PCD .3【典例6】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】直四棱柱ABCDA1B1clD1 中，AB BC 2, ABC 90 ,E、F 分别为棱 AB、B1cl 上的点，AE 2EB ,GF 2FB.求证:

15、(1) EF /平面 AAC1C ；(2)线段AC上是否存在一点 G,使面EFG 面AACiC .若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由 【思路引导】(1)以A为原点，AD1, AB1, AA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系：根据向量的坐标可得uuiruuur 1 uuuurEF AA - AC1,由此可证 EF/平面 AACiC； 3(2)将问题转化为线段 AC上是否存在一点 G,使EG AC,则问题不难求解(1)如图所示：以 A1为原点，AD1, ABi, AA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系:42则 A(0Q0), Bi(0,2,0), Ci(2,2,0),设 A(0,0,

16、a),则 E(0, 一 ,a), F (2,2,0),33uuir2 2 uuuruuur所以 EF (-,-, a), A1A (0,0, a), A1C1 (2,2,0), 3 3uuruur1 uuuur uur uuruuur因为EFA1A- ACi,所以EF，AA,AC1共面，又EF不在平面AACiC内,3所以EF /平面AAC1c(2)线段AC上存在一点G,使面EFG面 AACiC ,且 AG证明如下：在三角形 AGE中，由余弦定理得 eg Jag2AE-22 AGAEcos8162 2,24,282.2 99332 93'所以 AG2 EG2 AE2,即 EG AG,又A

17、1A 平面ABCD , EG 平面ABCD ,、所以 AiA EG ,而 AG AA A ,所以EG 平面AAC1c ,因为EG 平面EFG ,所以EFG 面AAC1C,【典例7】【山东省临沂市2019年普通高考模拟】如图，底面 ABCD是边长为3的正方形，平面 ADEF，平面ABCD, AF / DE, AD IDE, AF = 2旄，DE =3.6 .(1)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；(2)在线段AF上是否存在点 M,使得二面角M-BE-D的大小为60 ?若存在，求出公业 的值；若不存在， AF说明理由.【思路引导】(1)以D为坐标原点，射线DA,DC,DE分别为x轴，y轴，z轴

18、的正半轴，建立空间坐标系，求出A,C, B, E,F uur uuu uuu坐标，进而求出 CA, BE,EF坐标，求出平面 BEF的法向量坐标，按空间向量线面角公式，即可求解；(2)设M (3, 0, t), 04&2而，求出平面 MBE的法向量坐标，利用 CA是平面BED的一个法向量，按空间向量面面角公式，即可求出结论.【详解】(1)因为DA, DC, DE两两垂直，所以以 D为坐标原点,射线DA, DC, DE分别为x轴，y轴，z轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D-xyz,如图所示.则A (3, 0, 0),F (3, 0, 2而)，E (0, 0, 376), B (3, 3,

19、 0),一 一一一 uuu 一 一一C (0, 3, 0), CA= (3, 3, 0),uuuBE =(-3,一3,uurEF =(3,0,设平面BEF的法向量为v uuv n BE v uuv n EF3x1 3y1 3、.6z13x1, 6z10r , 取 xi= J6,得 n =( 5 2J6, 3)uLU ruuu r |CAn| 所以 |cos CA,n | 4ur-4 |CA|n|3.6_J|3.2 ,3913所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为H13(2)假设存在点 M在线段AF上满足条件,设 M (3, 0, t), 02花,LUIUL, -、则 BM =(0，-3, t

20、),uuuBE = (3, 3, 3v6 ).设平面MBE的法向量为M z.、m =(X2, y2, Z2),v uuuv m BMv uuv m BE3 y2 tz23x2 3'203、.6z2 0令 y2=t,得 m= ( 36-t, t, 3).uuu易知CA= (3, 3, 0)是平面BED的一个法向量,所以|coslt uuu| 9. 6 6t |mg 11 3、2 , (3 6 t)2 t2 9整理得2t26而t+15=0,解得Y6或t=5622(舍去)，故在线段AF上存在点M ,使得二面角M-BE-D的大小为60°,此时AMAF【针对训练】1.【2020届盐城市

21、高三年级模拟考试】如图，在直四棱柱 ABCDAiBiCiDi中，底面四边形 ABCD为菱形，AiA= AB = 2, Z ABC= - , E, F分别是BC, AiC的中点.i2 / 27(i)求异面直线EF, AD所成角的余弦值;(2)点M在线段AiD上,AMAiD.若CM/平面AEF,求实数入的值.【思路引导】uuu uur uuir(i)由四棱柱 ABCD ABCiDi,证彳# AiA AE,AA AD ,进而彳#到 AE AD ,以 AE,AD,AA为正交基底建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算，即可求解 EF, AD所成角的余弦值；(2)设M (x, y,z),由点M在线段AD上，

22、得到AMADUULUi，得出向量CM则坐标表不，再求得平面 AEF的一个法向量，利用向量的数量积的运算，即可得到的值。试题解析：因为四棱柱 ABCD AiBiCiDi为直四棱柱，所以 AiA,平面ABCD .又 AE 平面 ABCD , AD 平面 ABCD ,所以 AiA±AE, AiA± AD .独田I在菱形ABCD中/ ABC=；,则AABC是等边三角形.因为E是BC中点，所以BCXAE.因为 BC / AD,所以 AE ±AD .以芯，AD,为正交基底建立空间直角坐标系.则 A(0, 0, 0), C审，1, 0), D(0, 2, 0),1).A1(0,

23、 0, 2), E(也 0, 0), F(亨，也(1)丽=(0, 2, 0),祥=(李,|从而 cosv 丹6，£了 > =故异面直线EF, AD所成角的余弦值为(2)设M(x, y, z),由于点M在线段AD上，且播=入,则由向=渥b,即(x, y, z2)=入(0 2, 2).则 M(0, 2 % 2 2 入)Q&=(巾，2 入一1 , 2- 2 入)设平面 AEF的法向量为n=(x0, y0, z0).因为虑=(G 0, 0),疝= ('J 1),由 n 城=0, nA?=0,得 X0= 0, 1 y°+ z0= 0.取 y0= 2,则 Z0=

24、- 1 ,则平面 AEF的一个法向量为 n=(0, 2, - 1).由于CM /平面AEF,则nfM=0,即2(2:1)(2 2入/0,解得 入 =：.2 .【四川省棠湖中学 2020届高三月考】如图，在四棱锥 P-ABCD中，AD /BC, ADC= PAB=90 , BC=CD= 1 AD . E为棱AD的中点，异面直 2线PA与CD所成的角为90° .(I)在平面PAB内找一点M,使得直线 CM /平面PBE,并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【思路引导】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间

25、想象能力、分析问题的能力、计算能力.第问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值解：(I)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB , DC,相交于点 M (MC平面PAB),点M即为所求的一个点理由如下：由已知，BC / ED,且 BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而 CM / EB.又EB 平面PBE, CM 平面PBE,所以CM /平面PBE.(说明：延长 AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线 MN上任意一点)(I)方法一：由已知，CDXPA, CDXAD ,

26、 PA AD=A ,所以CD,平面PAD.从而CDXPD.所以 PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以 PDA=45 .设 BC=1 ,则在 RtAPAD 中，PA=AD=2.过点A作AH，CE ,交CE的延长线于点H ,连接PH.易知PAL平面ABCD ,从而PAICE.于是CEL平面PAH.所以平面PCEL平面PAH.过A作AQ，PH于Q ,则AQ，平面PCE.所以 APH是PA与平面PCE所成的角.在 RtAAEH 中， AEH=45 , AE=1 ,所以AH=22 .在 RtAPAH 中,PH= JPA2_AH = 3夜, 2所以 sin APH=AH- = 1.PH 3方法二：由已

27、知，CDXPA, CDXAD , PA AD=A ,所以CD,平面PAD.于是 CDXPD.从而 PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以 PDA=45 .由PAXAB ,可得 PA,平面 ABCD.24 / 27设 BC=1 ,则在 RtAPAD 中，PA=AD=2.uuur uuir ,作Ay，AD ,以A为原点，以AD , AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所小的空间直角坐标系A-xyz,则 A (0,0,0) , P (0,0,2), C(2,1,0), E(1,0,0),uuuuuu所以 PE = (1,0,-2), EC= (1,1,0),uuuAP= (0,0,2)设平

28、面PCE的法向量为n=(x,y,z),uuuuuuuun PE 0,x 2z 0,由uuur得设 x=2,n EC 0,x y 0,解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为%则sinuuuu |n AP|uurAP222 ( 2)2 12所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为3 .【河南省郑州市 2019届高中毕业年级第一次(1月)质量预测】已知四棱锥中P ABCD ,底面ABCD为菱形,ABC 60 , PA 平面 ABCD , E、M 分别是 BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为 业5，点F在PC上移动.(I)证明：无论点 F在PC上如何移动，都有平面

29、 AEF 平面PAD ;(I)求点F恰为PC的中点时，二面角 C AF E的余弦值.【思路引导】(I)推导出AE±PA, AEXAD,从而AE,平面PAD,由此能证明无论点 F在PC上如何移动，都有平面AEFL平面 PAD.(I)以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C - AF - E的余弦值.(I)连接AC底面ABCD为菱形,ABC 60 ,. ABC是正三角形,. E是BC中点， AE BC又 AD PBC，.一 AE AD PA平面 ABCD , AE平面ABCD, PAAE ,又 PA AE AE平面PAD ，又AE平面A

30、EF，平面AEF 平面 PAD .(I)由(I)得，AE , AD , AP两两垂直,以 AE , AD, AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系, AE 平面 PAD ，AME就是EM与平面PAD所成的角,在 Rt AME 中，sin AME 叁5 ,即5AEAM设 AB 2a,则 AE73a ，得 AM又 AD AB 2a,设PA 2b ,则 M0,a,b所以 AM . a2 b272a，PA AD 2a,则 A 0,0,0 ,B 73a, a,0 , C 73a,a,0 ,D 0,2a,0 , P 0,0,2a ,E .3a,0,0uuuv -uuv . 3a所以

31、 AE 岳,0,0 , AF-2a2,auuuv ,BDV3a,3a,0 ,设v x,y,z是平面aef一个法向量，则v粤八3ax 0n AE 0vV uuuV nV3ax ay 八取z a，得 n 0，2a，an AF 0az 022uuv又 BD 平面 ACF , BDJ3a,3a,0是平面ACF的一个法向量,v uuiv cosn, BDv uuv n BD v uuuv n BD6a25a 2,3a15.二面角CAF E的余弦值为叵5* *4.12020届四川省巴中市高三第一次诊断】如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA PD , PA AB , N是棱AD的中点.

32、(2)在BC上是否存在点E ,使得BN平面DEP ?并说明理由【思路引导】(1)先证明AB 平面PAD ,可得平面ABCD 平面PAD ,由面面垂直的性质可证 PN八平面ABCD(2)取BC中点E ,连接PE , DE ,根据平行四边形可得 BN,DE线线平行，即可证明线面平行【详解】(1)由底面ABCD是矩形，知 AB AD , AB PA又 PA AD A, PA, AD 平面 PADAB 平面PAD又AB i平面ABCD平面ABCD 平面PAD由PA PD , N是棱AD的中点得：PN A ADQ平面ABCD I平面PAD AD , PN 平面PADPN 平面ABCD(2)在BC上存在点

33、E ,使得BN 平面DEP，且E为BC的中点.证明如下：如图取BC中点E ,连接PE , DE在矩形 ABCD 中，ND/BE , ND BE四边形BNDE是平行四边形BN/DEQ BN 平面DEP , DE 平面DEPBN平面 DEP.5.【湖北省2019届高三1月联考测试】如图所示，在四锥 P ABCD 中，AB PC , AD /BC , AD CD ,且 PC BC 2AD 2CD 2J2，PA 2 .PA 平面ABCD ;(2)在线段PD上，是否存在一点 M ,使得二面角 M AC D的大小为60 ?如果存在，求 PM 的值； PD如果不存在，请说明理由.【思路引导】(1)推导出AB

34、AC, APAC, ABPC,从而AB，平面PAC,进而PAAB,由此能证明 PA，平面ABCD ；(2)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点 M,使得二面角 M - AC-D的大小为60。，圾 4-2J3.PD【详解】(1) .在底面 ABCD 中，ADPBC, AD CD且 BC 2AD 2CD 2 2AB AC 2, BC 272 AB AC又. AB PC, AC PC C, AC 平面 PAC , PC 平面 PAC AB 平面 PAC 又 PA 平面 PAC AB PAPA AC 2 , PC 2 & P

35、A AC又 PA AB , AB AC A, AB 平面 ABCD, AC 平面 ABCD PA 平面 ABCD(2)方法一：在线段 AD上取点N ,使AN 2ND 则MN PPA又由(1)得PA 平面ABCD MN 平面ABCD又. AC 平面 ABCDMN AC 作 NO AC 于 O又. MN NO N , MN 平面 MNO, NO 平面 MNO AC 平面 MNO 又. MO 平面 MNO，AC MO又 AC NOMON是二面角M AC D的一个平面角1 x AP 2 2x, ONANxAD22PM设 x 则MNPD这样，二面角MAC D的大小为60即 tan MONMNON2 2x

36、PMPDx 4 2 .3，满足要求的点 M存在，且或 4 273PDtan60,3方法二：取 BC的中点E ,则AE、AD、AP三条直线两两垂直可以分别以直线 AE、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系uuv、几PM设PD uuuv AMx 0,1 则 MN 1 x AP 22x, AN xAD &x且由（1）知AP 0,0,2是平面ACD的一个法向量uuv 一 0,也x,2 2x , ACV2, V2,0uuv设AQ a,b,c是平面ACM的一个法向量uuv uuuv -a bAQ AM 2xb 2 2x c 0_则 uuv uuv l lV2xAQ AC .2a 、2b 0

37、c b2x 2uuv-令b 2x 2,则AQ 2x 2,2x 2,，2x，它背向二面角uuv又.平面ACD的法向量AP0,0,2 ,它指向二面角这样，二面角MAC D的大小为60uuv uuiv 即 cosAP, AQuuv uuv AP AQuuv uuivAP AQ2 2x. cc 1222 cos60 2 .1 2 2x 2 2x 、，2x2即x 4 2,3，满足要求的点M存在，且PM 4 2J3PD6 2020届广东省东莞市高三期末调研测试】如图，在四棱锥 S ABCD中，已知四边形 ABCD是边长为J2的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点。，点P在SD上，且VS

38、AC的面积为1.(1)若点P是SD的中点，求证：平面 SCD 平面PAC；(2)在SD上是否存在一点P使得二面角P AC D的余弦值为5 ?若存在，求出点P的位置；若不 存在，说明理由.【思路引导】(1)利用等腰三角形 兰线合一 ”证明SD 平面PAC ,进而证明平面SCD 平面PAC ; _ uuruur(2)分另1J以OB,OC,OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 O xyz,设spsd，利用平面的法向量求二面角，进而计算得到 即可【详解】(1)二点S在底面ABCD上的射影为点 O,，SO 平面ABCD,.四边形 ABCD是边长为 近 的正方形，. AC 2,1 二角形 SAC 的面

39、积为 1,.-. - 2 SO 1,即 SO 1, . . SC J2,2CD，点P是SD的中点,526 / 27 .CP SD,同理可得 AP SD,又因为 API CP P,AP,CP 平面 PAC,SD 平面 PAC ,. SD 平面 SCD, 平面SCD 平面PAC(2)存在，如图，连接OB，易得OB,OC,OS两两互相垂直 分别以OB,OC,OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 O xyz,则 A 0, 1,0 ,C 0,1,0 ,S 0,0,1 ,D1,0,0，假设存在点p使得二面角P ACD的余弦值为恒,5U不妨设spuuu SD,点P在SD上，01,uuu又 SD 1,0,

40、 1 ,uurP ,0,1,uuuuuurAP ,1,1, ACSP ,0,r设平面PAC的法向量为n0,2,0 , r uur n AP 0 x y 1x, y, z，则 r uuur ，.二 n AC 0 2y 0r令z，可得x 1，平面PAC的一个法向量为n 1,0,uuu5又平面ACD的一个法向量为 OS 0,0,1，二面角P AC D的余弦值为 ,uuu r c costOS, nuuu rOS n1 0，30 / 271解得 一或 1 (舍)3所以存在点P符合题意，点P为棱SD靠近端点S的三等分点7.12020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试】如图，在三锥A BCD中，顶

41、点A在底面BCD上的投影O在BD上，AB AD 金,BC BD 2, CBD 90 , E为CD的中点.(1)求证：AD 平面ABC;(2)求二面角B AE C的余弦值；BP(3)已知点Q为AE的中点，在棱BD上是否存在点P,使得PQ 平面ABE,若存在，求的值；若BD不存在，说明理由.【思路引导】(1)由题知：AO 平面BCD ,所以平面ABD 平面BCD BD,因为BC BD ,所以BC，平面ABD , 所以BC AD .又根据勾股定理得到 AD AB ,所以AD 平面ABC.(2)首先以O为坐标原点，分别以 OE, OD , OA为x轴，y轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 找到相应点的坐标，再分别求出平面ABE和平面ACE的法向量，带入公式计算即可 .uuir11uuir r1(3)首先设P(0, y0,0) , PQ (-, y0,-),根据PQ 平面ABE,得到PQ /n ,即可求出y0 ,再222BP计算占即可.BD【详解】