辅助函数在高等数学中的应用

1、第卷第期南通航运职业技术学院学报年月删础肛辅助函数在高等数学中的应用赵彤（南通航运职业技术学院基础部，江苏南通）摘要：文章对高等教学中辅助函数的应用作了一定的研究，主要分析了构造辅助函数的方法以覆在证明不等式和中值问题方面的重要应用关键词：构造；辅助函数；不等式；中值问题中图分类号：文献标识码：文章编号；（）人们在活动中，遇到妨碍其目的实现的障碍时，就会考虑借助于某种媒介物去克服这个障碍。解高等数学题也一样，我们常常借助于辅助函数去克服解题中的困难，往往能达到意想不到的效果。本文就证明不等式和中值问题方面对辅助函数的重要应用作一些介绍。构造辅助函数证明不等式在高等数学中，有关不等式的习题占了很

2、大比重。证明不等式的方法也有很多种，其中利用辅助函数证明不等式是非常重要的手法之一。结合不等式的特点，构造辅助函数，利用函数的单调性（可以利用一阶导数的符号来判断）证明不等式叫。例证明：当一÷号时，。卜詈成立。证：构造辅助函数，“，则，（）。（）因为是算函数，故只需证明在，）上坟）导调递减构造辅助函数（）竺一詈，则。竺堕堕坚号笋。一切砷（，这是因为当时工等，（）要证厂；一血，先词擘，詈）上半，争。，。所以（）在【，争上单调递减，（），（争，即警争，半，争，故有厂。；，因此在，争上【）单调递减。又因为【）是偶函数，故一詈，）在“）上单调递增。综上，当一争细叫他墒叫掣，出。詈时，有【），

3、即。一手成立。倒设连续函数（）不恒为零，【，】且），则涉及到有关定积分的证明问题，一般可以将定积分的积分上限看作变量构造辅助函数。收稿日期：作者简介：赵彤（一），男，江苏南通人，南通航运职业技术学院基础部副教授，硕士。万方数据第期赵彤：辅助函数在高等数学中的应用删脚叫脚洫对笙铲一脚司注意到。，（）：，（），（砷。，（）血，（。）。励。丝：！÷生一，（）眇（曲出血譬（一们）一。（）攀（；一。）一睡一伽（），（）掣一（一口），。（）一一一口），（因为，所以（）。所以心）单调递增，矿（，所以静）单调递增，酏）（。于是，）领），所以单调递增。综当，有只）珂曲，原不等式得证。构造辅助函数证明中

4、值问题微分方程法构造辅助函数翻对于证明至少存在一点；（，），使得，（）巾（，（），）的中值问题，可以通过构造辅助函数的方法证明。具体的方法是将结论中的转成，得到一阶微分方程，求出该方程的通解，再解出通解中的任意常数巾（弘）力，则即为要构造的辅助函数。构造辅助函数（）掣一（一口）虹一口），则”：拼：壁一。一酢叫在一点，使存（）一半。鲁例设函数，）在闭区间【，】上可微且满足，（）一矿（）出，求证：在（，）内至少存证：将结论中的转成，得到，（咖七触），解微分方程得到通解为，因此，构造辅助函数）弧，阿衔）。，由积分中值定理，至少存在一点口，使得矾对出；矿（功，又，（）一可出。从而坝）欹），即至少存在一

5、点口，爿，使得（）颤），又目）弧），（）一等。由罗尔中值定理，至少存在一点（，），使得（即，即，（），（）卸，得到例设弛）差】上连续，在（神）内可导以由，（）出寻（一），求证在（如）内至少存在证：首先构造辅助函数，将结论中的转成，得到，）妖，解微分方程得到通解为）斗，一点，使得，（）颤）。（年江苏省第七届高等数学竞赛试题）。解得帆“）。因此，构造辅助函数）（肛），“）矿）批）。构造辅助函数舛），出一去一口），易得巾（）击（），由罗尔中值定理。至少存在一点（，），使得巾（），从而，“）一。万方数据南通航运职业技术学院学报年考察函数）扩一），荆，（），由罗尔中值定理，至少存在一点（，），使得（），

6、从而（）一“）一，（）“）一。常数分离法构造辅助函数】具体方法是将要证明的中值问题的结论中的常数部分分离出来，令常数部分为，作恒等变形，使等式两端分别为。以曲和，“）的表达式。若等式两端关于端点的表达式对称，则把其中一个端点设为，相应的函数值设为），所得的关于如）的表达式即为所需构造的辅助函数。例设删始）在【，上连续，在（，）内可导，证明：至少存在一点（。，），使得口，（）（）（）一厂（）。对称，们加掣芋掣一。臀恐里常数翕已经分离慌令瑶差铲吐变形为等生：掣黼两边关于端点证明：构造辅助函数（曲：丛堕一，则。）在。，上连续，在（。，）内可导，且曲：），由罗尔中值定理，至少存在一点（。，），使得（）

7、：，从而，鱼竽一女，即矿（国一，（毋矿（）一可）结束语辅助函数法是高等数学中一个重要的解题方法，应用非常广泛，同时构造辅助函数的方法和技巧也都很丰富。笔者从事高等数学教学多年，对辅助函数应用的心得远不【：以上这些，限于篇幅，本文就证明不等式和中值问题这两个方面进行了讨论。参考文献：【华东师范大学数学系数学分析北京：高等教育出版社，【王文专科高等数学竞赛十五讲【北京：中国矿业大学出版社，册（，叩加阳：，）曲也，撕血缸由讥血铀博印小：芏仕；万方数据辅助函数在高等数学中的应用作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：赵彤， ZHAO Tong南通航运职业技术学院,基础部,江苏,南通,

8、226006南通航运职业技术学院学报JOURNAL OF NANTONG VOCATIONAL & TECHNICAL SHIPPING COLLEGE2005，4(4)0次参考文献(2条)1.华东师范大学数学系 数学分析 19912.王文 专科高等数学竞赛十五讲 2001相似文献(10条)1.期刊论文 陈运明.Chen Yunming 高等数学中辅助函数的构造及应用 -长沙通信职业技术学院学报2002,1(2)辅助函数在高等数学中有着广泛的应用,但是要在具体应用中恰到好处引入一个辅助函数并不是一件容易的事,特别对于初学者来说更是困难,本文从两个定理的证明入手定性的分析了在解题时构造辅

9、助函数应该考虑的问题以及构造方式.2.期刊论文 徐礼卡.XU Li-ka 构造辅助函数解决问题的个案及教学分析 -株洲师范高等专科学校学报2007,12(5)通过对一个案例进行教学分析,提出高师数学教育应该在培养学生的函数思想观念、提高用构造辅助函数法解决数学问题的意识和能力方面体现教育价值.可以在整个微积分教学过程中抓住契机,通过设计用辅助函数解决诸如方程、不等式、求值问题的情境来达到培养的目的.使得作为未来教师的数学教育专业大学生能充分认识到函数思想观念、构造辅助函数解决相关问题的意识和能力,应从初中、高中、大学的数学教学中逐步得到深化和提高.辅助函数在高等数学中有着广泛的应用,但要在具体

10、应用中恰当的构造辅助函数使问题得到较好的解决,是学生在学习过程中经常遇到的一个难题,本文总结了三种常见的构造辅助函数的技巧.在中值定理的证明中构造辅助函数是关键,怎样构造出辅助函数是中值定理证明中的难点. 本文通过对定理条件和结论的分析,给出了构造辅助函数的规律和方法.给出以Rolle定理为基础,用不同构造辅助函数的方法来证明Lagrange定理,强调了证明Lagrange定理过程中辅助函数构造的思维过程.6.期刊论文 聂洪珍.张翠萍 关于构造辅助函数证明微分中值定理的进一步探讨 -鞍山师范学院学报2003,5(4)微分中值定理是微分学的基本理论,其中Lagrange定理和Cauchy定理的证

11、明关键是构造辅助函数.文中就如何构造辅助函数、辅助函数是否惟一等问题作进一步探讨.7.期刊论文 邓卫兵.DENG Wei-bing 利用参数变导法构造辅助函数 -重庆工商大学学报（自然科学版）2005,22(4)微分学中有3个著名的中值定理,其中Lagrange中值定理的证明,引入了辅助函数,然后由Rolle中值定理来证明Lagrange中值定理,这个突如其来的辅助函数很难理解和接受.利用参数变异法引入辅助函数,给出了一种辅助函数的"统一"构造法,并利用这种方法解决了一些具体问题.8.期刊论文 李延.扬秀玲 构造辅助函数的典型方法 -中国科教创新导刊2010(2)解决微分学的许多问题,涉及辅助函数的构造.本文针对微分中值等式的证明,提出了三种具有一定规律可循的构造辅助函数的方法.9.期刊论文 安震 浅析高等数学中构造辅助函数的解题思想 -太原城市职业技术学院学报2008(6)构造辅助函数的解题思想在高等数学中应用非常广泛,文章针对不等式的证明、方程根的论证以及存在性的证明,通过典例,介绍了几种构