人教版八年级上册数学期中精选试卷易错题(Word版含答案)

1、人教版八年级上册数学期中精选试卷易错题(Word版含答案)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.已知：在平面直角坐标系中，a为工轴负半轴上的点，3为轴负半轴上的点.如图1,以A点为顶点、A3为腰在第三象限作等腰H/A45C,若。4 = 2, 03 = 4, 试求C点的坐标：(2)如图2,若点A的坐标为(26,0)，点8的坐标为(。,一加)，点。的纵坐标为，以 8为顶点，A4为腰作等腰RAA8Q.试问：当4点沿)'轴负半轴向下运动且其他条件都不 变时，整式2-2-56的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值：若发生变 化，请说明理由：如图3, E为轴负半轴上的一点，且OB =

2、OE, OFtEB于点、F，以0B为边作等 边A0BM,连接EM交OF干点、N ,试探索：在线段炉、EN和MN中,哪条线段等 于EM与OV的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(DC(-6,-2);(2)不发生变化，值为6： (3) EN=(EM-ON),证明见详解.2【解析】【分析】(1)作CQ_lOA于点Q.可以证明aAQC三aBOA,由QC=AD.AQ=BO,再由条件就可以求 出点C的坐标：(2)作 DP_LOB 于点 P,可以证明AO3 三8P。，则有 BP=0B-P0=m-(-n)=m+n 为定 值，从而可以求出结论2m+ 2-5/的值不变为-追.(3)作BH_kEB

3、于点B,由条件可以得出乙 1二30。,2=43=乙EM0 = 15。/E0F=4BMG=45。,E0=BM,可以证明ENO三3GM，则GM=0N,就有EM-ON=EM-GM=EG最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN= - (EM-2ON).【详解】(1)如图(1)作CQ工0A于Q.(1)2AQC=90。，ABC为等腰直角三角形，.-.AC=AB/zCAB=90°/ azQAC+zOAB=90% 2QAC+zACQ=90。， .-.Z.ACQ=zBAO/又, AC=AB .ZAQC=ZAO B, .AQC 三8O4(AAS), .*.CQ=AO/AQ.=BO/ vOA=2/OB=4

4、,.CQ=2,AQ=4,0Q=6,C(-6厂2).如图(2)作DPLDB于点P,ZBPD=9O。，45。是等腰直角三角形， AB=BD.乙 ABD=4AB0+4 OBD=90。,VZOBD+ZBDP=90%ZABO=Z_BDE又.AB=BD,ZAOB=4BPD=90。，.mAOB 三aBPDaAO=BBvBP=OB-PO=m-(-n)=m+n,2（-2有,0）,0A=26,.,.m+n= 26，当点B沿y轴负半轴向下运动时，A0=BP=m+n=2jT,二整式2”? + 2 - 573的值不变为-6.（3） EN=；（EM -ON）证明：如图（3）所示，在ME上取一点G使得MG=ON,连接BG并

5、延长，交x轴于H. OBM为等边三角形, .-.BO=BM=MO.ZOBM=ZOMB=ZBOM=60°/ .-.EO=MO.zEB M=105°xl=3 0°,vOE=OB,OE=OM=BM,43=4EM0=15。， ，乙 BEM=30。,乙 BME=45。， vOFlEB,.-.ZEOF=ZBME,mENO 三"GM, BG;EN,vON=MG, Z2=Z.3, ，4 2=15。， ZEBG=9O。，1 .BG=-EG, 2IEN二一 EG,2vEG=EM-GM,.EN=i(EM-GM)/21.EN= (EM-ON).2【点睛】本题考查了等腰直角三角形

6、的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外 角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.2.如图，Z BAD=Z CAE=90% AB=AD, AE=AC, AF±CB,垂足为 F.(1)求证： ABC合 ADE：(2)求N FAE的度数；【答案】(1)证明见解析；(2) ZFAE=135° ； (3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知条件易证N BAC=Z DAE ,再由AB=AD , AE=AC ,根据SAS即可证得 ABC合 ADE ；(2)已知/ CAE=90° , AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内

7、角和定理可得N E=45° ,由(1)知 BA8 DAE ,根据全等三角形的性质可得N BCA=Z E=45° ,再求得 Z CAF=45° ,由N FAE=Z FAC+Z CAE 即可得NFAE 的度数：(3 )延长BF到G,使得FG=FB ,易证 AFB合 AFG ,根据全等三角形的性质可得 AB=AG , Z ABF=Z G ,再由 BAC合 DAE ,可得 AB=AD , Z CBA=Z EDA , CB=ED ,所以 AG=AD , Z ABF=Z CDA ,即可得N G=Z CDA ,利用AAS证得 CGA CDA ,由全等三角形 的性质可得 CG=C

8、D ,所以 CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF .【详解】(1 ) / Z BAD=N CAE=90° r Z BAC+Z CAD=90° r Z CAD+Z DAE=90° r /. Z BAC=Z DAE ,BAC 和a DAE 中，AB = AD ZBAC = ZDAE , AC = AE/. BAC DAE ( SAS )；(2 ) / Z CAE=90° r AC=AE , Z E=45° r由(1)知a BAC合 DAE , Z BCA=Z E=45° f; AF±BC ,/. Z CFA=90&

9、#176; ,Z CAF=45° r/. Z FAE=Z FAC+Z CAE=45o+90°=135° ；(3)延长BF到G,使得FG=FB,; AF±BG ,< Z AFG=Z AFB=90° r在4 AFB和4 AFG中，BF = GF< ZAFB = ZAFG ,AF = AF ./. AFB合 AFG ( SAS ), AB=AG , Z ABF=Z G ,: BAC DAE zAB=AD , Z CBA=Z EDA , CB=ED ,/. AG=AD , Z ABF=Z CDA ,J Z G=Z CDA ,在 CGA和 C

10、DA中，ZGCA = ZDCA< ZCGA = ZCDA ,AG = AD: & CGA合 4 CDA ,/. CG=CD ,CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF , CD=2BF+DE .【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G,使得FG=FB, 证得 CG的 CDA是解题的关键.3.如图1,已知CF是08C的外角NACE的角平分线，D为CF上一点、,且。4=。8.图1(1)求证：ZACB=ZADB；(2)求证：AC+BCV2BD；如图 2,若NECF=60°,证明：AC=BCCD.(2)详见解析：【答案】(1)详见解析

11、；【解析】(3)详见解析.(3)【分析】(1)过点D分别作AC, CE的垂线，垂足分别为M, N,证明RtADAMgRtz!DBN,得出 NDAM=NDBN,则结论得证：(2)证明 Rt/XDMCgRtZXDNC,可得 CM=CN,得出 AC+BO2BN,又 BNVBD,则结论得 证；(3)在AC上取一点P,使CP二CD,连接DP,可证明4ADP乌BDC,得出AP=BC,则结论 可得出.【详解】CE的垂线，垂足分别为M, N,: CF是AA8C的外角乙4CE的角平分线, :DM=DN,在 RtADyAM 和 R3D8N 中,DA = DBDM = DN 'A RtADMRtADBA/（

12、 HL）,:.zdam=zdbn9：.ZACB=ZADB；（2）证明：由（1）知OM=OM在 RtADMC 和 Rt"NC 中,DC = DCDM = DN ' *ARtADMCRtAD/VC (HL),：.CM=CN9：.ACBC=AMCMBC=AMCN-BC=AMBN.又AM=8N,：.ACBC=2BN,: BN<BD,：.ACBC<2BD.(3)由(1)知NC4D=NC8D,在 47上取一点 P,使 CP=C。,连接DP,VZfCF= 60 ZACF= 60°.COP为等边三角形，:.DP=DC, NOPC=60°,/. NAP。=120

13、°,VZfCF= 60%，NBCD=120°,在/WP和"DC中，ZAPD = /BCD< /PAD = /CBD , DA = DB：.ADP/BDC (A4S),:.ap=bc99：AC=APCP.：.AC=BCCP9：.AC=BCCD.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平 分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.4.如图，在边长为4的等边aABC中，点D从点A开始在射线AB上运动，速度为1个单 位/秒，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DEJ_AC,连结 DF交射

14、线AC于点G当DF_LAB时，求t的值；当点D在线段AB上运动时，是否始终有DG=GF?若成立，请说明理由。聪明的斯扬同学通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半， 他想当点D运动到图2的情况时，EG的长是否发生变化?若改变，说明理由：若不变，求 出EG的长。4【答案】(1) -； (2)见详解；(3)不变.3【解析】【分析】(1)设AD=x,则BD=4-x, BF=4+x.当DF_LAB时，通过解直角4BDF求得x的值，易得t 的值：(2)如图1,过点D作DHBC交AC于点H,构建全等三角形：DHG丝aFCG,结合全等 三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系

15、求得DG=GF；(3)过 F 作 FHLAC,可证AADE乌CFH,得 DE=FH, AC=EH,再证4GDE丝GFH,可得 EG=GH,即可解题.【详解】解：(1)设 AD=x,则 BD=4-x, BF=4+x.当 DFJ_AB 时，V ZB=60%，NDFB=30。，ABF=2BD,即 4+x=2 (4-x ),4解得X=y,故tg(2)如图1,过点D作DHBC交AC于点H,则NDHG=NFCG.【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的 性质，本题中求证GDEgAGFH是解题的关犍.5.如图，八（0. 4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O

16、出发，沿x轴正半轴运 动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰RD4P8.设P点的 运动时间为t秒.01图2（1）若A8x轴，如图1,求L的值;（2）设点4关于x轴的对称点为A,连接48,在点P运动的过程中，NOA8的度数是否 会发生变化，若不变，请求出NOA8的度数，若改变，请说明理由.（3）如图2,当t=3时，坐标平面内有一点M （不与A重合）使得以M、P、8为顶点的 三角形和ZiABP全等，请直接写出点M的坐标.【答案】（1）4； （2） NOA8的度数不变，2048=45°，理由见解析：（3）点M的坐 标为（6, -4） , （4, 7） , （10, -

17、 1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明aAOP为等腰直角三角形，从 而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA = PA'=PB,由NR48+NP8A = 90。，结合三角形内角和定理即 可求得NO48=45。：（3）分类讨论：分别讨论当48Pg4A48P、4ABP4MPB、48PgZkMP8时，点M的 坐标的情况：过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及 全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）“8x轴，APB为等腰直角三角形，.N%8 = NP8A = N4PO = 45°,.40P为等腰直角三

18、角形，.Q = 0P=4.t=4-l=4 （秒），故t的值为4.（2）如图2, NOA8的度数不变，NOA8=45。， 点4关于x轴的对称点为A,：.PA=PA又 AP=P8,：.PA=PA' = PBf，NM/T = N%'A，ZPBAl = ZPAlB.又N%8+NP84 = 90°,/. N0VT+N%'4+N%'8+NP8A= 180°-(ZPAB + ZPBA)= 180。-90°=90%/. ZA4,B=45°,即 NOA8 = 45。：(3)当t=3时，M、P、8为顶点的三角形和ASP全等,如图 3,若48P

19、g/kM8P,则4P=PM,过点M作MDLOP于点。， ZAOP= ZPDM9 /APO=NDPM,：.AAOP/MDP (AAS), Q = 0M=4, 0P=P0=3,如图 4,若ABPgAMPB,则 A3 = AM，过点M作ME_Lx轴于点E，过点4作BG _Lx轴于点G ,过点3作BE _L)'轴于点尸， AP8为等腰直角三角形，则MP8也为等腰直角三角形，N8AP=NMP8=45。，PA = PB Z1 + Z3 = 9O° = Z2 + Z3, Z1 = Z2:.RlAOP = RtPGB:.BG = OP = 3, PG = AO = 4,8G_Lx轴，BQ，)

20、'轴 四边形BGOF为矩形，OP = BG = 3,则AF = OAOF = 43 = 1BF = OG = OP+PG = 3+4 = 1在R«ABF和RiPME中/8川=45。+ /1, NMPE=450 + N2，:./BAF=/MPE AB = PM R ABF = Ri PME:,ME = BF = 7, PE = AF = 的坐标为：(4, 7),如图5,若“BP咨AMPB,则=过点乂作ME_Lx轴于点。，过点4作BG _Lx轴于点E ,过点3作8尸_L )'轴于点F ,AP8为等腰直角三角形，则MPS也为等腰直角三角形，NBAP=NMP8=45。，PA

21、= PB Zl + Z3 = 90° = Z2 + Z3, Z1 = Z2 . RiAOP三RlPEB:.BE = OP = 3, PE = AO = 4 6EJ_x 轴，8F_L)'轴 .四边形BE。尸为矩形，：.OP = BG = 3,则AF = OAOE = 43 = 1BF = OE = OP+PE = 3+4 = 7在RABF和RPMD中 BF ± y 轴 .N4 = N2 N4+/=+NPMD NABF = NPMD AB = PM工 RiOABF = Ri PMD；MD = AF = 1, PD = BF = 1 .M的坐标为：(10, - 1).综合

22、以上可得点M的坐标为：(6, -4) , (4,7), (10, - 1).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题 要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出 结论.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)6.如图 1, ZiABC 中，AB=AC, NBAC=90。，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相 交于点F,且NCAD=L/ABE.求证：BF = AC：(2)如图2,连接CF,若EF = EC,求NCFD的度数:(3)如图3,在的条件下,若AE=3,求BF的长.【答案】(1)答案见详

23、解；(2)45°, (3) 4.【解析】【分析】(1)设NCAD=x,则NABE=2x, ZBAF=90° -x, ZAFB=180° -2x-(900 -x)= 90° -x,进而得 到NBAF=NAFB,即可得到结论：由NAEB=9002x,进而得到NEFC=(90°-2x) +2=45。x,由 BF=AB,可得：NEFD=NBFA=90，-x,根据NCFD二NEFD-NEFC,即可求解；设EF=EC=x,则AC=AE+EC=3+x,可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x,根据勾股定理列出方程， 即可求解.【详解】(1)设NCAD=x,

24、1VZCAD=-ZABE, NBAC=90&, 2AZABE=2x, ZBAF=90° -x,V ZABE+ZBAF+ZAFB=180° ,A ZAFB=180° -2x-(900 -x)= 90° -x,，NBAF =NAFB,ABF = AB；VAB=AC,ABF = AC；(2)由(1)可知：ZCAD=x, NABE=2x, NBAC=90&,，ZAEB=90°-2x,VEF = EC,AZEFC=ZECF, / NEFC+NECF=NAEB=90°-2x,AZEFC= (90°-2x) +2=45&#

25、176; -x,VBF = AB,AZBFA=ZBAF=(180" -NABE)+2=(180° -2x)+2=900 x,AZEFD=ZBFA=90° -x,A ZCFD=ZEFD-ZEFC=(90° -x) -(45° -x)=45° ；(3)由(2)可知：EF = EC, 设 EF=EC=x,贝lj AC=AE+EC=3+x,AAB=BF=AC=3+x,ABE=BF+EF=3+x+x=3+2xtVZBAC=905, AB2 + AE2 = BE2，：.(3 + x)2+32=(3 + 2x)2,解得：演=1, x2=-3 (不合

26、题意，舍去)ABF=3+x=3+l=4.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题 转化为代数和方程问题，是解题的关键.7. （1）已知中，乙4 = 90。，N8=67.5。，请画一条直线，把这个三角形分割成两个 等腰三角形.（请你选用下而给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来.只需画 图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）AAC B管用图备用图（2）已知48C中，NC是其最小的内角，过顶点8的一条直线把这个三角形分割成了两 个等腰三角形，请探求NA8c与NC之间的关系.3【答案】图形见解析（2）/ABC与NC之间的关系是NABC =

27、135。-二NC或NABC=3NC4或NABC=180° - 3N C或NABC=90。，z C是小于45°的任意锐角.【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形 性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及 角度，然后画上.（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形 的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系.试题解析：（1）如图（共有2种不同的分割法）.(2)设NABC=y , NC = x,过点B的直线交边AC于点D.在4DBC中，若 NC 是顶角，如图

28、,则 NCBD=NCDB=90。- -x , Z A = 180°-x-y. 2故 NADB=1800 -zCDB = 90°+-x> 90°,此时只能有 NA= ZABD ,2即 180°-x-y = y- I 903/. 3x + 4y = 540° r /. Z ABC = 135° - - Z C.4若NC是底角，第一种情况：如图，当 DB=DC 时，Z DBC=x.在AABD 中，N ADB = 2x , N ABD = y - x.若 AB=AD ,贝lj 2x=y-x ,此时有 y=3x ,/. Z ABC = 3

29、Z C.若 AB=BD,则 180°-x-y = 2x,此时有 3x+y = 180° , J N ABC = 1800 - 3N C.若AD=BD ,则180° - x - y=y - x ,此时有y=90°,即ZABC = 90° , Z C为小于45°的任意锐 角.第二种情况：如图，当 BD=BC 时，N BDC = x , N ADB = 1800 - x > 90。，此时只能有 AD=BD ,N A=N ABD =izBDC=-ZC<ZCf这与题设NC是最小角矛盾.22当NC是底角时，BD二BC不成立.3综上所述

30、，NABC与NC之间的关系是NABC=135° 二NC或NABC=3NC或NABC= 4180° -3NC或NABC=90° , NC是小于45°的任意锐角.点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索.本问对学生 运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力 都有较高的要求.第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，”分类讨 论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的 关系.本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨 论”

31、、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题.8.如图所示，已知AABC中，A8 = AC = BC = 10厘米，M、N分别从点A、点3同 时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米 /秒，当点N第一次到达4点时，M、N同时停止运动.（1） M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2） M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AAMV?（3）M、N在边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰A4MN,如果存在，请 求出此时M、N运动的时间？【答案】（1）10： （2）点M、N运动7秒后，可得到等边三角形AAMN； （3）当点M、N在8C边上运动时，

32、能得到以A/N为底边的等腰A4MN,此时M、N运动40 的时间为丁秒.3【解析】【分析】（1）设点M、N运动工秒后，M、N两点重合,xxl + 10 = 2x： （2）设点“、N运 动f秒后，可得到等边三角形AAMN,如图，AM=，x1=/,A7V = A8-8N = 10力根据等边三角形性质得1 = 10 27： （3）如图 ，假设A/U/N是等腰三角形，根据等腰三角形性质证MCH是等边三角形，再证 ACM合AABN （AAS）,得CM = BN,设当点M、N在3c边上运动时，M .N运动的时间）'秒时，AAMN是等腰三角形，故CM = y 10, NB = 30-2y,由CM =N

33、B,得y-10 = 30-2y；【详解】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，xxl + 10 = 2x解得：x = 10（2）设点M、N运动，秒后，可得到等边三角形AAMN,如图AM =tx=t ,AN = AB-BN = 10-2tV三角形ZVIMN是等边三角形r = 10-2r解得f = £.点M、N运动日秒后，可得到等边三角形A4MN.（3）当点M、N在8c边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图，假设AAMV是等腰三角形，AN = AM，：,ZAMN = ZANM ,.I ZAMC = ZANB, AB =

34、BC = AC,：.AAC8是等边三角形，/. NC = ZB,在A4CM和MBN中，AC = AB < NC = NB ,ZAMC = ZANBAACMw MBN （ A4S）,CM = BN,设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间）'秒时，AAMN是等腰三角形,CM = y-10, NB = 3U-2y, CM = NB , ' 10 = 302y40解得： >' = > 故假设成立.,当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰AAA/N.此时M、N40运动的时间为7秒.囱图【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定

35、和性质.理解等腰三角形的判定和性 质，把问题转化为方程问题是关键.9.如图，在等边三角形A8c的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点。，连接AD, BD,其中8D交直线4P于点E.（1）依题意补全图形：（2）若N%C=20°,求乙4E8的度数：（3）连结CE写出4E, BE, CE之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】（1）补图见解析；60。；（ 3 ） CE+4£二8E .【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2 ）根据轴对称的性质可得AC=AD , Z PAC=N PAD=20° ,根据等边三角形的性质可得 AC = AB , ABAC=60

36、°t即可得= 在4ABD中，根据等腰三角形的性质和三角形的 内角和定理求得ND的度数，再由三角形外角的性质即可求得NAEB的度数：（3 ） CE +AE = BE,如图，在 BE 上取点 M 使 ME = AE,连接 AM ,设N EAC = N O4E 二 x, 类比（2）的方法求得NAEB = 60, ,从而得到4ME为等边三角形，根据等边三角形的性 质和SAS即可判定4E3 4M8,根据全等三角形的性质可得C£ = 8M,由此即可证得CE + AE=BE .【详解】如图：(2)在等边 A8c中，AC-AB , Z 84c = 60°由对称可知：AC-AD t

37、 Z PAC-A PAD t：.AB = AD：.Z ABD 二 N D: z me=20°. Z PAD = 20°/. Z BAD = Z BAC+Z PAC +Z PAD =100° ZD = 1(180' - ZBAD)= 40°.，NAEB = ZD+ZPAD = 60°(3 ) CE +AE=BE .在BE上取点M使ME=AE ,连接AM ,在等边入8c中，AC-AB , ZBAC= 60°由对称可知：AC-AD t ZEAC= ZEAD t 设/EAC = /DAE = x .9：AD = 4c 二 48 ,Z&

38、#163;) = 1(1800 - ABAC- 2a ) = 60° -x?. ZAEB = 60 - x + x =60° .4WE为等边三角形.AM=AE , Z MAE=60° x/. Z BAC=Z MAE=60° r 即可得NBAM=N CAE.在AM8和44EC中，AB = AC< ZBAM = ZCAE , AM =AE/. aAMB/XAEC.：,CE=BM.：.CE +AE = BE .【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性 质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅

39、助线，把AE转化到BE 上，再证明CEnBM即可得结论.10.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2.线段垂直平分线. 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线M/V是 线段48的垂直平分线，P是MN上任一点，连结力、PB,将线段48沿直线MN对称，我 们发现以与P8完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点 到线段的距离相等.已知：如图，MNLAB,垂足为点C, AC=8C,点P是直线MN上的 任意一点.求证：PA = PB.分析：图中有两个直角三角形APC和8PC,只要证明这两个三 角形全等，便可证明%=P8.明

40、过程.定理应用：（1）如图，在ABC中，直线m、分别是边8C、47的垂直平分线，直线m、的交 点为O.过点。作O_L48于点H.求证：AH=BH.（2）如图，在48C中，AB=BC,边A8的垂直平分线/交47于点D,边8c的垂直平 分线k交水:于点E若N48C=120。，4c=15,则。£的长为.【答案】（1）见解析：（2） 5【解析】【分析】定理证明：先证明PACgaPBC,然后再运用三角形全等的性质进行解答即可：（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；（2）连接BD, BE,证明ABDE是等边三角形即可解答.【详解】解：定理证明：MNLAB,：.Z P

41、CA = N PCB = 900.又,.,AC=8C, PC=PC,：. PAC PBC (SAS), . PA = PB.定理应用：(1)如图2,连结04、08、0C. 直线m是边8c的垂直平分线, 08 = 0C, 直线是边4c的垂直平分线，/. 0A = 0C,/. 0A = 0B / OH LAB,（2）如图中，连接8D, BE.图 BA = 8C, Z/4BC=120，N A = N C=30%边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E, . DA = DB, EB=EC,：.Z A = N 08/4 = 30% Z C=Z EBC= 30°,：.Z B

42、DE=N 4+N DBA = 60°, Z BED=Z C+Z EBC= 60°, 8DE是等边三角形，：.ad=bd=de=be=ec9'：4C=15=4D+0E+EC=30E,DE=5.故答案为：5.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性 质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11.如图1是一个长为4。、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形, 然后用四块小长方形拼成一个"回形"正方形（如图2）图1图2（1）观察图2

43、请你写出（4+ /，）-、（。一）、4。之间的等量关系是:9（2）根据（1）中的结论，若x+y = 5,则xy=：4（3）拓展应用：若（2019-加尸+（?一2020尸=7,求（2019-（m一2020）的值.【答案】（1） （« + /?）2 = （a b）2 +4ab ； （2） 4, 4： （3） -3【解析】【分析】（1）观察图2,大正方形由4个矩形和一个小正方形组成，根据面积即可得到他们之间的 关系.（2）由（1）的结论可得（x-y） 2=16,然后利用平方根的定义求解即可.（3）从已知等式的左边看，左边配成两数和的平方来求解.【详解】解：（1）由题可得，大正方形的而积=5

44、+0）2,大正方形的面积=伍-b）2 + 4ab ,（a + b）2 = （a b）2 + 4ab ,(2) V (x + y)2 =(x- y)2 + 4xy ,o:.(x-y2 =(x + » 4町= 25-4x- = 16,4，x-y = 4或一4,(3) V(2019-m)2 + (in-2020)2 = 7 ,又(2019 -6 + m-2020)2 =(2019-m)2 + (m- 2020)2 + 2(20192020). 1 = 7 + 2（2019 - 2020）.（2019-2020） = -3故答窠为：3 + 6）2 =3-力2+4抽； 一4 -3【点睛】本题通

45、过观察图形发现规律，并运用规律求值，使问题简单化是解题关键.12.材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：m（a-b）2>0,将左边展开 得到422,法+ /尸之0，移项可得：2 2 21b.数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数6、，都存 在，n +2屈，并进一步发现，两个非负数？、”的和一定存在着一个最小值.根据材料，解答下列问题：/ 4 2（1）（2x）2+（5y）2>（x>0, y>0）；八 1 >xj（x > 0）：（2）求6%+，7a>0）的最小值：9（3）已知x>3,当X为何值时，代数式2X +

46、 ；一7 + 2007有最小值，并求出这个最小 2x-6值.【答案】（1） 20», 2； （2） 2炳；（3）当工=大时，代数式2、+ ；的22x-6最小值为2019.【解析】【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论：（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论：,9（3）把已知代数式变为2X-6 + ；- + 2013,再利用阅读材料介绍的方法，即可得到 2x-6结论.【详解】（1） V x > 0, y>o,：. （2x）2 +（5y）2 >2x2x-5y = 20xy ,Vx>0./1 2 + N 2x 一 = 2 ：x）X（2）当x>0时，2x,匚均

47、为正数，2x.6x +92小x ； = 2厉所以，6.v + -勺最小值为2y/5 9（3）当 x>3 时，2X, -一2x-6 均为正数， 2x-69 2x + 20072x-69= 2x-6 + 20132x 6之 2小（21一6）. J+2013 = 2 历 2013= 2019由（4一。20可知，当且仅当时，/ +/取最小值,99 当21-6 = 即不二大时，有最小值.2工一62Vx>399故当X= 时，代数式Zy + 37 + 2007的最小值为2019.22x-6【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法.13. (1)阅读下列文

48、字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的 方法是分组分解法例如：am + an + bm + bn = (am + bm) + (an + bn) = m(a + b) + n(a + b) = (a + b)(m + n).l = x2-(y2 + 2y + l) = x2-(y + l)2 =(A + y + l)(x-y-l).试用上述方法分解因式 + 2ab + ac + be + lr =(2)利用分解因式说明：5 + 5)2-(-1)2能被12整除.【答案】 (a+b)(a+b+c)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1) a?+2ab+ac+bc+b2可以进

49、行分组变成(a2+2ab+b2) + (ac+bc),则前边括号内的三项 可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分 解.(2)先利用平方差公式将5+5)2-(-1)2进行因式分解,之后即可得出答案.【详解】(1)原式=(/+2aZ?+) + (c+bc)=(6/+Z?)- +c(a + Z?)= (a+b)(a+b+c)(2) (n + 5)2-(n-l)2= (« + 5)+0? -1) (? +5)-(/j-l)=6( 2+ 4)= 12( + 2)5 + 5)2-5-I/能被I2整除.【点睛】本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给

50、的例子是解题关犍.14.阅读以下文字并解决问题：对于形如V +2ax+/这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成+ 的 形式，但对于二次三项式_?+6x-27,就不能直接用公式法分解了。此时，我们可以在 Y+6X-27中间先加上一项9,使它与胃+6工的和构成一个完全平方式，然后再减去 9,则整个多项式的值不变。即：x2 +6x-27 = (x2 +6x+9)-9-27 =(x+3)2 -62 =(x+3+6)(x+3-6)= (x+9)(x-3),像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配 方法.(1)利用“配方法”因式分解：x2+4xy-5y2.(2)若a+b =

51、 6, ab = 5，求： (+/，/+/的值.(3)如果,尸+一？皿劭_4c + i3 = 0，求。+Z?+c的值.【答案】(1) (x+5y) (x-y) ； (2)26,626： (3) 8【解析】【分析】(1)原式变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；(2)利用完全平方公式变形，代入计算即可；(3)已知等式左边配方后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a, b, c的 值，代入原式计算即可求出值.【详解】解：(1)原式=x?+4xy+4y2-9y2= (x+2y) 2- (3y) 2= (x+5y) (x-y)；(2)a?+b2= (a+b) 2-2ab=36-1

52、0=26,alb! (a2+b2) 2-2a2b2=626；(3) Va2+2b2+c2-2ab-6b-4c+13=0.，a2+b2-2ab+b2-6b+9+c2-4c+4=0，(a-b) 2+ (b-3) 2+ (c-2) 2=0,可得 a=b=3, c=2,则原式=3+3+2=8.【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次累，熟练掌握完全平方公式是解本 题的关键.15 .阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 近二 (1+无)2,善于思考的小明进行了以下探索：设a+bj= (m+nV2)?(其中a、b、 m、n 均为正整数)则有：a+by/2 =

53、m2+2n2+2mn y/2 > 所以 a=m2+2n2, b=2mn.这样小明 就找到了一种把a+b 6的式子化为平方式的方法.请仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b/= (m+nJJ) 2,用含m、n的式子分别表 示 a、b,得 a=, b=(2)若a+4 (m+n ) 2 (其中a、b、m、n均为正整数)，求a的值.【答案】(1) m2+3n2, 2mn； (2) 13.【解析】试题分析：(1)根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式：(2)根据题意, 4=2mn,首先确定m、n的值，通过分析m=2 , n=l或者m=l , n=2

54、,然后即可确定好a的 值.试题解析：.,a+bJJ=(m+nJJ)2,a+b y/3 =m2+3n2+2mn,Aa=m2+3n2 , b=2mn.故 a=m2+3n2 r b=2mn ；,a = nr + 3n2(2)由题意，得4 = 27777?V4=2mn,且m、n为正整数，A m=2 r n=l 或 m=l , n=2 , Aa=22+3xl2=7 或 a=l2+3x22=13四、八年级数学分式解答题压轴题(难)16 .阅读下面的材料，并解答后面的问题3 r- + 4x 1材料：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.X + 1解：由分母为X + 1,可设3x

55、76; +4x-l = (x + l)(3x + a) + .因为3(x + l)(3x + a) + = 3/+ax + 3x + a + b = 3x= X+l A+ 1X+ V2+ 4* 12这样，分式二就被拆分成了一个整式3x + l与一个分式二 的差的形式.X+lX+1问题：（1）请将分式21 3、+ 6拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差） x-1的形式： +(a + 3)x + a + b, 所以 3/ +4x-l = 3/ +(a + 3)x + a + %.a + 3 = 4所以， J解之，得a = 1 =一2所以31+41(x + l)(3x + l)-2x+1。+。= 一1【答案】（1）2x2 +3x + 6=2x +5+ -!- x-15-广+ 2r+ 2【解析】【分析】（1）仿照例题将2,d+3x + 6分解为（x-D（2x + a） +。，求出a、b的值即可得到答案;./7+ 10 = 9(2)将5/+9/-3分解为*2+2)(5/+加)+ ，得到.，求出 m、n,整 2m