专题13函数的图象-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)

1、第13题 函数的图象一.题源探究黄金母题函数/。)=卜的函数值表示不超过x的最大整数，例如3.5 =-4, 2.1 = 2.当工S(2.5,3时，写 出函数/W的解析式，并作出函数的图象.3, 2.5 x 2-2, -2a-1一 1, -1AO0. 0xlL 1a22, 2a0,选项B错误.1 + 1故选：A.【命题意图】识别辨析函数的图象，实质 就是分析函数的性质，主要观察以下几点：函数的定义域；函数图象的最高点（最大值）和最低点（最 小值）：与坐标轴的交点（即/。） = 0或x = 0的 点）；图象的对称性（函数的奇偶性）；函数图象在某段上的变化趋势（即函数 的单调性）：图象的变化规律（即

2、函数的周期性）：函数图象的凸凹性.【考试方向】高考试题的考查角度有两种： 一种是给出函数解析式判断函数图象；一 种是函数图象的应用.图象的判断以及函 数图象的应用、数形结合的数学思想方法 及利用函数图象研窕函数性质、方程、不 等式等问题仍将是高考的主要考查内容， 备考时应加强针对性的训练.【学科素养】直观想象【难点中心】本类试题主要考查基、指、 对函数图像与性质、二次函数函数的图象 与性质、函数与方程、分段函数的概念.解 答此类问题，关键在于能利用数形结合思 想，通过对函数图象的分析，转化得到代 数不等式.这类题能较好的考查考生数形 结合思想、转化与化归思想、基本运算求 解能力等.这类题目一般

3、比较灵活，对解 题能力要求较高，故也是高考中的难点， 解决这类问题的方法一般是利用间接法， 即由函数性质排除不符合条件的选项.(1)运用函数性质研究函数图像时，先要 正确理解和把握函数相关性质本身的含义 及其应用方向：(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、 对称性、单调性、最值、零点时，要注意 用好其与条件的相互关系，结合特征进行 等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正 负转化，周期可实现自变量大小转化，单 调性可实现去“ / ”，即将函数值的大小转 化自变量大小关系三.理论基础解题原理考点一 由式定图：即根据函数的解析式确定函数的图象此类问题实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：函数的定

4、义域；函数图象的最高点（最大值）和最低点（最小值）；与坐标轴的交点（即/（x） = 0或工=。的点）；图象的对称性（函数的奇偶性）；函数图象在某段上的变化趋势（即函数的单调性）；图象的变化规律（即函数的周期性）；函数图象的凸凹性.解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：定性分析法，也就 是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；定 量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相 关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.塞点利用函数的图象研无方程根的不数当方程与基本函数

5、有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程/（x） = 0的根就是函数/（X）图象与x轴的交点的横坐标，方程/*） = g（x）的根就是函数/*）与g（x）图象交点的横坐标.考点三函数图象变换设函数.v = /（x）,其它参数均为正数（1）平移变换：“X + 4）： 的图像向左平移。个单位；的图像向右平移。个单位+X）的图像向上平移。个单位；/（的图像向下平移。个单位（2）对称变换：/（-V）：与/（叼的图像关于轴对称；/（X）：与/（X）的图像关于x轴对称-/（-%）：与“X）的图像关于原点对称（3）伸缩变换:f（k.x） ：图像纵坐标不变，横坐标变为原来的?k： 收缩0k：0k：拉伸 收

6、缩K（4）翻折变换:川力/（附=,4）40/（7）,XO、-/3 J（x）v。即X轴上方的图像不变，下方的图像沿X轴对称的翻上去。考点四 二阶导函数与函数的凹凸性:（1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况,若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数（2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢（3）与导数的关系：设了（X）的导函数为f（x）（即/（x）的二阶导函数），如图所示：增长速度受每一 点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随x的增大而增大，即/（x）为增函数

7、=/（工）20；上凸函数随X的增大而减小，即/（X）为减函数=/（X） 0 ；四.题型攻略深度挖掘【考试方向】高考试题的考查角度有两种：一种是给出函数解析式判断函数图象；一种是函数图象的 应用.图象的判断以及函数图象的应用、数形结合的数学思想方法及利用函数图象研究函数性质、方程、 不等式等问题仍将是高考的主要考查内容，备考时应加强针对性的训练.考向1由式定图【2020年高考浙江】函数产xcosx+sin.v在区间5,河上的图象可能是【温馨提醒】这类题里也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循,解答这类题型可以从多方面入【答案】A解析】因为f

8、(x) = xcosx+sinx,则 f (一x) = -xcosx-sinx = -f (x),即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且工=4时，y = /rcos7r + sin4 = -7r （）+, x 0 , X +8, X -O0忖函数图象的变化趋 势，利用排除法，将不 合题意选项一一排除.【温馨提醒】对方程 解的个数（或函数零点 个数）问题，可利用函数 的值域或最值，结合函 数的单调性、草图确定 其中参数范惘.从图象 的最高点、最低点，分 析函数的最值、极值： 从图象的对称性，分析 函数的奇偶性：从图象 的走向趋势，分析函数的单调件、周期性等.

9、【2018吉林长春一模】已知定义在R上的奇函数“幻满足f(x+7r) = f(x),当 x G 0, m时，/(%) = V%,则函数g(x) = (x-7r)f(x) - 1 在区间一至，3扪上所 有零点之和为()A. n B. 27r C. 37r D. 47r【答案】D【解析】f(x + nJ = /(-x) = -/(x) = T = 2n, g(x) = (x - rr)f (x) 1 =。n f（X） = 3，作图如下:【温馨提醒】（1）函数性质研究函数图像 时，先要正确理解和把 握函数相关性质本身的 含义及其应用方向.（2） 在运用函数性质特别是 奇偶性、周期、对称性、 单调性、

10、最值、零点时,四个交点分别关于（n，0）对称，所以零点之和为2 X2tt= 4冗，选D.考向3图像与解析几何相结合【如18贵州遵义航天中学一模】已知P是圆（X-if +/= 1上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为e,若|QP|=d,则函数d=/（d）的大致图象2x【解析】对于A, /（x） = e为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题 In x意；对于C, /（外=一一在（1, +巧上单调递减，不符合题意； X 1对于D, /（x） = L在（L + 8）上单调递减，不符合题意；叶风故选：B一函数模型来分析解决 问题.考向5图像的对称性【2018江西新余一中二模】已知），=/（2

11、犬一1）为奇函数，），=/。）与=8（力 图像关于y = x对称，若玉+=。，贝！1g（再）+义（电）=（）A. 2 B. -2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】y = /（211）为奇函数，故y = f（2工一1）的图象关于原点（0,0）对 称，而函数y = /（x）的图象可由y = /（2xl）图象向左平移;个单位，再保持 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故y = /（X）的图象关于点（-1,0）对 称，又y = /（x）与）g）图象关于y = x对称，故函数）g（x）的图象关于 点（0,1）对称，. x1+x2=0 ,即司=一/，故点（Xi，g（x），（x2，g（x2），关

12、 于点（0,-1）对称，故g（x） + g（9） = 2,故选 B.【技能方法】（1）运用 函数图象解决问题时， 先要正确理解和把握函 数图象本身的含义及其 表示的内容，熟悉图象 所能够表达的函数的性 质.（2）在研究函数性质特 别是单调性、最值、零 点时，要注意用好其与 图象的关系，结合图象 研究.考向6图像的与不等式恒成立相结合【技能方法】函数象 是函数的一种表达形 式，它形象地揭示了函 数的性质，为研究函数 的数量关系提供了“形” 的直观性.归纳起来， 图象的应用常见的命题 探究角度有：1、确定方 程根的个数；2、求参数 的取值范围；3、求不等 式的解集：4、研究函数 性质.|x| +

13、2,x 1XV设。wR,若关于x的不等式/（X）2 5 + 在R上恒成立，则。的取值范围是 乙【答案】-2,2|x| + 2,x2x其图象与X轴相交于点（-2。,0）,在区间（Y-2。）上我减函数，在（_2。,讨） 上为增函数，若不等式/（、” +。在R上恒成立，则函数f（x）的图象在 g（x）上的上方或相交，则必有0）之g（0）,即时工2,可得1WK2.考向7图像的与立体几何相结合【技能方法】本题主要 考查函数图象的识别和 判断，解题的关键是认 识到P的轨迹为以A为2017江西南昌二中高二下第一次阶段性测试】如图，已知正方体力BCD- 力lAGA的棱长为1,动点p在此正方体的表面上运动，且P

14、A = x（0 V X V福）， 记点P的轨迹的长度为f（x）,则函数了（幻的图像可能是（）球心，PA为半径的球而 与正方体的交线，定性 分析“交线”的长度变 化规律即以而所在对角 线的长度夜，体所在对 角线的长度行为临界 值。【答案】B【解析】P的轨迹为以4为球心，P/为半径的球面与正方体的交线，当0 Vr 1时, f (r) =3xAx27rx = x,此时由一次函数的单调性和图象可知轨迹为直线， 排除C, D,且当r = 75时，其轨迹长度为手，排除A,故选B.五.限时训练*提升素养L (2020湖北省高三)函数.v = (2-2-)sinx在一兀汨的图象大致为【答案】A【解析】设X）=

15、 （2r- 2-）sinx,贝ijx） = （2-，2）sin（T）= x）, 故为-九，可上的偶函数，故排除B./(0) = 0,排除 C、D.故选：A.2. （2020湖南省邵阳市高二期末）已知函数图象f(x) =12x+l,xe -1,0)cos 0,l，现给出下列四个函数及其对应的小T）图像；一/（1一工）：|/（刈：/（Ixl）.其中对应的图象正确的是（）A. (iXg)B.C.D. 【答案】D2x + Lx-1,0),【解析】棋据虺意，函数/(力=cos x,xe0J5,其图象草图如图:对于二.y = /(x-l)的阳象用以有y = /(x)的图象向后移1个单位得到，二Mi而：对于二，y = 一/(I x)的图象与y = /(x)的图象关于点g, 0)对宿 二错误：对于口，y=l/(x)l,其图象可以由/(X)的佟|象保留X轴上方不变，将X轴下方的图象翻转到X轴上方得到, 二正确：对于二，y = /(UI),其图象可以由Ax)的图象只保留y轴右侧图象不变，作它关于y轴对称的图象得到, 二错误：则二二正确：故选：D.由z -2T/O121 ,=一 厂+./3. (2020江西省信丰月考)已知/(X)4 cost, /为f(x)的导函数，则/(幻的