2020届高考数学(理)一轮必刷题专题45立体几何中的向量方法(解析版)

1、考点45立体几何中的向量方法1.（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为2的正方形，侧面 PAB,底面ABCD , E为PC上的点，且BE_L平面APC（1）求证：平面PAD_L平面PBC ；（2）当三棱锥P - ABC体积最大时，求二面角 B-AC-P的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）昱.3【解析】（1）证明：.侧面 PAB_L底面ABCD,侧面PAB。底面ABCD = AB ,四边形ABCD为正方形,BC_LAB, /）面 ABCD, BC 1 面 PAB,又 AP u 面 PAB ,AP .L BC ,BE _L平面 AP

2、C , AP u 面 PAC , AP _LBE ,BCQBE=B, BC,BEU 平面 PBC,AP _L面 PBC ,APu面 PAD,，平面PAD _L平面PBC .（2）VP SBC VC -PB1 11= _M_XPAX PBMBC =_MPAM PB, 3 23求三棱锥P - ABC体积的最大值，只需求 PAPB的最大值.令 PA=x, PB = y ,由(1)知，PA_l PB ,而VP於BC1=.xy3d 22<1 XJ.32当且仅当 x = y=J2,即PA = PB=J2时，一 一，2V P _BC的最大值为3如图所示，分别取线段 AB , CD中点O , F ,连接

3、OP , OF ,以点O为坐标原点，以 OP , OB和OF分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系 O - xyz.由已知 A(0, -1,0), C(0,1,2),P(1,0,0),所以 AP =(1,1,0), AC =(0,2,2),令I =(x, y, z)为面PAC的一个法向量，则有x y = 02y 2z =0. n=(1,-1,1)易知m =(1,0,0)为面ABC的一个法向量,面角b-ac-P的平面角为e , e为锐角贝U cos 二2.(湖南省长沙市第一中学 2019届高三下学期高考模拟卷一数学理)如图所示，圆 O的直径AB =6, C 为PAX PC.(1)证明：AP

4、，平面PBC圆周上一点，BC = 3,平面PAC垂直圆。所在平面，直线 PC与圆。所在平面所成角为 60°,(2)求二面角P-AB - C的余弦值【答案】(1)见解析.(2).【解析】(1)由已知可知 AC_LBC,又平面PAC_L平面圆O,平面PACR平面圆O = AC , BC，平面 PAC，二 BC _LPA,又 PA_LPC, PCr)BC=C, PC 匚平面 PBC , D 平面 PBC ,PA_L 平面 PBC .(2)法一：过P作PH _L AC于H ,由于平面PAC _L平面L。，则PH _L平面L O ,则ZPCH为直线PC与圆。所在平面所成角，所以 PCH =60

5、，过 H 作 HF _L AB 于 F ，连结 PF，则 PF _L AB ,故/PFH为二面角P- AB- C的平面角.由已知 /ACP=/ABC =60> /CAP=/CAB=30",在 RtMPC 中，PH = AP sin30、AC cos30* sin30=343- = -,22 4.2一AP2 9.39.3由 AP = AH AC 得 AH =，在 RtiAFH 中，FH = AH sin 30 =，AC 489_, PH 42,3. 31故 tan/pFH =- =-o ,故 cos/PFH =±,HF9 3378即二面角P-AB- C的余弦值为避177

6、法二：过P作PH _L AC于H ,则PH _L平面L O ,过H作HF /CB交AB于F ,以H为原点，HA、HF、HP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 则 H (0,0,0) , A 英3,0,0 , B 1 -33 ,3,0 , P0,0, 9 j,I 4 J I 4 J I 4 J.一 T 9 973 - 9 ” L从而 AP=,0, - , AB =( 473,3,0),I 44J ')设平面PAB的法向量n=(x, y,z),网心¥x+4z=0得 IzxAB n = a3x 3y=0 y =在L L令 x =1,从而 n =(i,J3,问,而平面ABC的法

7、向量为 信=(0,0,1),即二面角P- AB- C的余弦值为. 213.(四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理)如图，在四锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且 PA = AD=2, /PAD =/BAD =120©, E, F 分别为 PD , BD 的中点，且 EF =.2BC(1)求证：平面 PAD_L平面ABCD;(2)求锐二面角 E AC D的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)叵5【解析】(1)过P作POLAD,垂足为 O,连结AO, BO,由/ PAD=120 ,得/ PAO=60 ,在 RtAPAO 中,PO=PAsin/ PAO=2sin60=

8、-3,. / BAO=120 , . BAO=60 , AO=AO ,PAOA BAO ,BO=PO=8, E, F分别是PA, BD的中点,EF=,2EF >APBD的中位线,. PB=2EF=2锐二面角E-AC-D的余弦值为由.54.（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥S-/IFCD中，=再0/那心4。_L平面若HS,二面角再D-S为EO'E为ED中点. . PB2=PO2+BO2,POXBO, . ADA BO=O , . . PO,平面 ABCD ,又PO?平面PAD, .平面PAD，平面ABCD .(2)以。为原点，OB为x轴，OD为y轴，

9、OP为z轴，建立空间直角坐标系，A (0, 1, 0), P (0, 0,志),B ( 73, 0, 0), D (0, 3, 0),.e(。, 3,乌,f (立 3,0), ae*=(0-史),AF =("，0), 2 2222 222口/口十._ 一 八、，日 T易得平面 ABCD的一个法向量 m= (0, 0, 1),11: 3n AE y z = 02 2设平面ACE的法向量n= (x, y, z),则，3 1n AF = x y = 022I取 x=1,得 n=(1, -73, 1),H 4B C(1)求证：CEL%；设锐二面角的平面角的大小为0,则cos 0 =|cos

10、m, n >|二(2)求A日与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) gt4【解析】(1)证明：作SA中点F,连接EF E为SD中点一 1.:T Iv. II,卜门1，也.得平行四边形.匚; |AD 1 平面/IH5.乙”1E为二面角的平面角"三一建、二后一口.£工.M5(2)作AB中点O,由(1)知工且也5OJ_AB三三SO .1, 平面月£?8如图建立空间直角坐标系X设附二工,则 S（0. o, c（l, L 0）, 0（-1. 2, S门' （乙 1.叮；：.：J: v<i设平面SCD的法向量7 = O，yZ ,得令r =工

11、，则7 = （1,工。，二J一 一 nAH 2"人；i .，门 . 一 ” 回.7】"】：%4、用 AB与平面5。所成角的余弦值为 三一.45 .（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以A, B,C, D, E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形,AF =2j3FD , /AFD =90：且二面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是30”(1)证明：AF _L平面 EFDC ;（2）求直线BF与平面BCE所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；-2(2)4【解析】(1) ,面ABEF为正方形牙_L FE又 ZAFD =90，汗 _l D

12、F，而 DF c FE = F ,DF 仁面 EFDC , EF u 面 EFDC, AF，面 EFDC(2) : AF u ABEF，则由(1)知面 EFDC _L 平面 A FFE,过 D 作 DG _L EF ,垂足为 G，二 DG _L平面ABF；urn以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向,GD为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系由(1)知 /DFE 为二面角 D AF -E 的平面角，故 ZDFE =30 ,又 AF =2j3FD，则 DF = 2 ,GF =a/3, |AF =4后二 B(-373,473,0 ), E(373,0,0), F(x/3,0,0 ).由已知，AB

13、/EF ,二AB平面EFDC ,又平面ABCD平面EFDC = DC ,故 AB/CD , CD/EF .由 BE/AF ,可得 BE _L平面 EFDC ,C /CEF 为二面角 C BE -F 的平面角，NCEF =30，.二 C (-273,0,1 ).- EC=(60,1 ), E B= (0,4 73,0 ), BF =(4m,-4 石,0 ).设n =(x, y, z )是平面BCE的法向量，则EC = 0.3x，即 I f二二043y二可取 n =(1,0, -73 )则 sin 8 = cos < BF, n > =BF SBF一， m 、，2二直线BF与平面BCE

14、所成角的正弦值为 246 .（湖南省师范大学附属中学 2019届高三考前演练（五）数学（理）在五边形 AEBCD中，BC _L CD , CD/AB, AB=2CD=2BC, AE _L BE , AE = BE （如图）.将 AABE 沿 AB 折起，使平面 ABE，平 面ABCD ,线段AB的中点为0（如图）.（1）求证：平面 ABE，平面D0E；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小【答案】（1）见解析（2） 45。【解析】（1）由题意AB=2CD, 0是线段AB的中点，则OB = CD.又CD/AB,则四边形OBCD为平行四边形，又 BC _LCD ,则AB_L 0D ,因

15、 AE = BE , OB =0A ,则 E0± AB .EO Pl DO = O ,则 AB，平面 EOD.又AB 1平面ABE ,故平面 ABE，平面 EOD.（2）由（1）易知OB, OD, OE两两垂直，以 O为坐标原点，以 OB, OD , OE所在直线分别为 X, y, Z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 O -xyz ,EAB为等腰直角三角形，且 AB=2CD=2BC ,则 OA =OB =OD =OE ,取 CD = BC =1,，DE =(0, 1,1)，二1,得平面ECD的一个法向量 n = （0,1,1），则 O (0, 0, 0), A (-1, 0, 0),

16、 B (1, 0, 0), C (1,1, 0), D (0, 1, 0),E (0, 0, 1),则 CD =( 1, 0,0)设平面ECD的法向量为n =（x, y,n CD=0j -x = 0, _ zn DE =0, l-y +z = 0,因OD,平面ABE.则平面ABE的一个法向量为 OD = （0,1,0）,设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为 0,则cosu=cos(oD, n、=|0 0 1 10 1 |1.112 12因为 6 e(0,900),所以 4 =450,故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为 45°.7.(河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理

17、) 如图，已知四棱锥中，四边形ABCD为矩形，AB = 2j2,BC=SC = SD=2, BC _LSD.【答案】(1)见证明;2 1313(1)求证：SC _L平面SAD;1=()设AE = EB ,求平面SEC与平面SBC所成的二面角的正弦值【解析】(1)证明：BC _LSD , BC _LCD则 BC _L平面 SDC,又 BC/AD则AD _L平面SDC, sc U平面SDCSC _AD又在 ASDC 中，SC=SD=2, DC=AB =2 应，故 SC2+SD2=DC 2则 scisD ,又 sdAad =D所以SC _L平面SAD(2)解：作SO,CD于O,因为BC_L平面SDC

18、, 所以平面ABCD _l平面SDC,故SO_L平面ABCD 以点。为原点，建立坐标系如图.基则 S(0,0,应),C(0 ,五,0), A(2, -&,0),B(2, 72,0)“i T 1 T设 E(2,y,0),因为 AE = EB 2所以 y 十五=-(V2-y),A y即 E(2, -,0)233一 一4.21SC=(0, 2- J2),CE =(2,-二一,0),CB=(2,0,0) 3设平面SEC的法向量为n=(x,y,z),平面SBC的法向量为m=(a,b,c)/n=02y -、,乎0.二 4 444/2, 令 z=3,贝 U y =3 , X=2y/3CE n=0 2

19、x-4y=03.in=(2,23,3)m=(0,i,i) ur r cos <m,n>=SC m=0 CBm=0=Wb-、. 2c-02a = 0，令 b = 1,则 c=1, a = 0ur r mgn ur r = |m|n|3 .1318 8g.213所以所求二面角的正弦值为2-13138.(陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理)如图，在三柱ABC -A1B1C1中，AB_L平面BB1C1C ,E是 CG 的中点，BC=1, BB1=2, /BCC1=60°.（1）证明：BE _LAE ；（2）若AB =夜，求二面角ABiEA的余弦值.【答案】（1）证明见解析

20、；（2） 叵.3【解析】解：（1）证明：连接BC1, BE ,因为在/?（'（；中，BC =1 , CCi =BB =2 , /BCC1 =60° .所以 BC _L BC1 .1所以BECC1 =12，因为 B1E = Jec2 + BC2 -2 父 EC1义 B1c1cos120 二 旧.所以 BE _LBE ,又 AB _L平面 BB1C1C，且 BE u 平面 BB1C1C ,所以 BE .LAB , ABCBE = B,所以BE，平面ABE,因为AE=平面ABE,所以 RE _LAE .（2）以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，,Ai（-iJ3,V2）,则 a（o

21、,o,a/2）, Bi（-1,73,0）,所以 B1 = -,-,0ab1 =（-1,73, -72）, Ae = i-,-V2 ,I22 J222；r、一. 一.，一 T .设平面ABiE的法向量为n=（x,y,z ）,设平面ABE的法向量为m = （a,b,c）,则事n AAB1 n = 0.3x - y =0x3y . 2z-0取 n=（i,V3,T2）,皿 BiE m -0 则 1 .AiE m =0 3aSa -y =0-,3b-2.2c-0取 m=（1,j3,0）所以 cos n,m =mpfnl| 2MA/6_63即二面角A Bi E A的平面角的余弦值为 9.（河南省重点高中2

22、019届高三4月联合质量检测数学理）在四棱锥 “日中，底面-虹口为平行四边形，平 面PHD1平面ABCD, APAD是边长为4的等边三角形，打。月，营是血的中点.（1）求证：hepd；匹若直线疑与平面所成角的正弦值为4 ,求平面与平面前所成的锐二面角的余弦值 出【答案】（1）见证明；（2）6【解析】（1）因为是等边三角形，E是，山的中点，所以 又平面PAD L平面/WCD ,平面PAD门平面ABCD二八口 , PE c平面PAD所以PE 1平面ZIBCD.所以PE工吟 PE 1EE又因为 HU1PH, PBrPE = P所以BC_L平面PEE.所以BCVBE.又因为BC/AD ,所以/ID_L

23、BE.又,4门门睦二£且力Q, PE匚平面所以RE_L平面内D.所以 由（1）得BE _L平面小D.所以就是直线小8与平面为1D所成角.、运展1 sinBAE - cosz.BAE =-因为直线71日与平面加。所成角的正弦值为 4 ,即4 ,所以4.AE 21所以, 一小厂小厂4,解得加=2 .则用"（加 TE2 = A1g由（1）得以，e巴二两两垂直，所以以e为原点，e/i,eb,。士所在的直线分别为安, y, e轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则点P（0,02日），W.O0）,/-2,。月）氏。，八位口），a-4,人话叽所以曲=S - ?病,无=-诋令平面PT'

24、;的法向量为m = 3y0 ,则fP_R-m 0, 2/15y - 2串罡=0,汇=仇由PC rn = 0,得-袤+乙回-入出 = 0,解得U =/F，令” =1,可得平面PBC的一个法向量为而=1。工;易知平面办力的一个法向量为7 =（o,o）,八,m-ni （0,1协0,1,0） 水设平面P/1D与平面PRC所成的锐二面角的大小为。，则 问间 优乂1 6 .击所以平面P/W与平面演匚所成的锐二面角的余弦值为 £.10.(天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理)如图，在四棱柱八*3%即小中，侧棱八1"，底面ZIHCZ ,AR 1吟丛区=1, AC = AA1=2八口 =

25、 8 = ®且点时和n分别为比心和的中点(I)求证：MN|平面百ECD；(II)求二面角01一'10一'的正弦值；1(III )设E为棱/氏上的点，若直线NE和平面/1HC 口所成角的正弦值为3,求力避的长。18713【答案】见解析(II)65(iii)4jE=S-2【解析】(I)以力为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：则月(0,0,0),巩以。),汽2a0), 0(1,-2,0)人吟叼。,10 CQ,。© %(L-2Z ? ? ?平面力Hm的法向量矶二GW),公丽,面.即(II)设面的法向量防二(勿，且口出=(-13叫*=(2L-幻.( jt + 3y

26、 = 0' 2x-y-2z = (令y 则工=6, "5.前二g2设面从阻的法向量"二(如为4，且疝=(2A0),力瓦二(0JZ2/=0n+ % = 0,令的=，则*1 = 0, V1 =2aA = (0,-24)m - n -4 + 513|m|n| i/65 x 65a sin < m.n >=1&/H65/- ct7s < m,n >= =-=|co5 < N EtAA 1 >NE-AA|N同Ji + (a + 2)z + ix218/13即二面角"if 一八的正弦值是65(III)设即-幻，则近= (L1

27、+ 2J)又面/IH。的法向量力公=10他幻二2 + 9 + 2)工=9,解得：盘=$-2或3=-小一？(舍).困3 2,2),即且/="-211.(东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学理)如图四棱锥-百月。°中，P/，底面4月CD,必是边长为2的等边三角形，且丛E = Bt? =蠡，P4 = 2,点时 是棱PA上的动点.(I)求证：平面产力0'平面PRD；(n)当线段最小时，求直线ME与平面PW所成角的正弦值【答案】证明见解析；(n) 10.【解析】(I)证明：: P厘底面EC°,旧口二底面八EC。,.

28、PA 1 HD取/IC的中点0,连接OBfOD是等边三角形，AB = BC,.ACLOB 4Cl。,，点。月内共线，从而得ACLBD,又P百门瓶二/，1 平面!)AC,.&Du 平面 PBD,平面PAC，平面PR，(n)解：取CP中点E,连接0E,则口 E/P八,E。-L 底面 ABCD.0二。,。£两两垂直,以“为原点如图建立空间直角坐标系 ",则则-L0) ,01,。,。)必。淄产(TO0 ,-,设平面PBD的法向量为=(加), 炉.即=峭+l)y = 0" = 0由门的二7十八陵=0 ,得& =勿，令” =1,得屋。,1).设施M取0工收1)

29、,则则二曲+而二(1-冽1却)，出而I = '(1 - 2A)2 + I2 + (2A)2 =-1p + | )二当"一4时，网有最小值，且“叫伽。，此时-Q'%).设直线MB与平面PR。所成角为，1 +-2回101HMiT回，直线ME与平面PR口所成角的正弦值为"w".12.（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）如图，在以 P为顶点，母线长为、田的圆锥中，底面圆门的直径乩月长为2,是圆门所在平面内一点，且小匚是圆。的切线，连接月C交圆0于点D,连（1）求证：平面p百匚,平面p用% 若E是也的中点，连接 吃 吗 当二面角日-

30、PO-B的大小为121r时，求平面JW；与平面即E所成锐面角的余弦值.叵【答案】（1）详见解析；（2） 13【解析】 解：（1）加，是圆"的直径，/c与圆。切于点4/cl/RPOCAB=O TIC_L 平面囱日.71cl 呀用PA = PB = AB又.在 APM 中，2? PAL PRPArAC = A PH 1平面P4C,从而平面PC，平面P8C.。打即。为二面角拄-PU-D的平面角,如图建立空间直角坐标系，易知Ofi = 1,D则以仇-LO）,以0,L。），苜,叩咽，T 2*2利,由（1）知信二所二O.-Ll）为平面巴10的一个法向量, 设平面。口E的法向量为7 =图1图285

31、肛门）2, E,PAEX.门0J：门.n门"0 =。? ? ? ?fJS11x y -I- -z = 0322-J3y + y/3z 0卡工-y = 0事1 n122 ，即 故平面ODE的一个法向量为n=（4331）,m - ny/26|rn| - n1313.（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）如图 1,在矩形ABCD中，AB = 4, AD = F,。分别为DC, AE, BC的中点.以AE为折痕把AADE折起，使点D到达点P的位置，且平面 平面ABCE （如图2）.（I ）求证：BC，平面POF;（n ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；PMBB（出）在线段

32、PE上是否存在点 M,使得AM /平面PBC?若存在，求 腱 的值；若不存在，说明理由2尿【答案】（I）见解析；（n）11 ；（出）见解析【解析】（I ）在矩形 ABCD 中，AB =4, AD = 2, E 是 CD 中点，所以 DA = DE ,即 PA=PE,又F为AE的中点，所以 PF± AE,又平面 PAEL平面 ABCE ,平面 PAEH平面 ABCE = AE ,PF?平面PAE,所以PFL平面ABCE , BC?平面ABCE ,所以PFXBC,由F, O分别为AE, BC的中点，易知FO / AB ,所以OFBC,所以BC,平面POF,（n ）过点O做平面ABCE的垂

33、线OZ,以。为原点，分别以 OF, OB, OZ为x, y, z轴建立坐标系 O- xyz,则加=（一 L-曲=- 1,必£否=52。）,设平面pbc的法向量为n = （% y,力（l/P . 7 = 0 f3x - y 十 yf2z - 0-由匕鼠得！ 2尸=。，令z=3得-图。，3）,一 一 n-AP 、泛+ 3痣入之cas<n. AP> =-=-=同|叫 27n112422 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值 11 .（出）在线段PE上不存在点 M,使得AM /平面PBC.证明如下：PM .a点M在线段PE上，设依则P宓="E, 1EO，“，AM =

34、AP + PM =AP + APE = （-1-At-1-九业 1 -用） ,若AM /平面PBC,贝M前由疯。=0得（-l-Z-l-Z/1-4）.（-用口3）= 0 解得入=2?0, 1所以在线段PE上不存在点 M,使得AM /平面PBC.14 .（湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理）如图，菱形百。的对角线"匚与f用交ZF = CF = S,于点0,封=6,点百，F分别在4口，CD±4 EF交ED于点H.将川?F沿府折到M EF的位置，.0rI)H（I）证明：平面DEF _L平面再HG）；（n）求直线匚d与平面同6。所成角的正弦值.【答案】（I ）

35、见解析.（12x/38 n)【解析】5AECF = -(D 4,AE CF.川广CD,.叼%.四边形/BCD为菱形,. ACLBD . EF1BD - EF LDH"匚=6,.八。二3；再E0H = - 00=10B = 4AD，, ,.所二D力:上 . |。砰=3+|D"|Dj_m又.UHCEFM, .DH1 平面八BCDH匚平面D EF平面DEF 1平面4月CO（n）建立如图坐标系则氏&。内），匚（1,工0）,以口川八（I“）? ?二(%3,0) AD = - 1,3,3) ?设平面ABD的法向量几二（芯，*）,4x + 3y = 0-x + 3y + 3 =

36、0F x = 3，y =- 4,取(“5设直线。炉与平面ABD所成角为9,CDn |-3 + 12 + l5| 12 甚CDn S# 廖9S5 加日=15.（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）如图，已知圆柱啊,底面半径为1,高为2, ARCD是圆柱的一个轴截面，动点 即从点日出发沿着圆柱的侧面到达点 D,其路径最短时在侧面留下的曲线记为: 将轴截面月月G）绕着轴“内，逆时针旋转a （0曰五）角到/自位置，边/加与曲线相交于点P.7Tl9 =（1）当 2时，求证：直线"""平面/尸/旺9 =（2）当 匕时，求二面角。2的余弦值.213【答案】（1）证明见

37、解析；（2）13 .【解析】河0 二一（1）方法一：当 2时，建立如图所示的空间直角坐标系,则有出0. L口），W（M，P（ LOJ）,"一"，为"1,0曲口式LO ?=脑=0,2,0）,仆=（-LL1）.设平面RHP的法向量为R二（七厂/），则i_k + y + z = 0,可取了=1,得元= （L（U）, DiElT0-2） %即加.所以直线01务,平面八PR.方法二：在正方形中，,，）用必£ ,.""明 ,AB1002 ，AB1A1B1 ABl叫门41HL °） 平面又与与仁平面2£氏所以 AfflFM,又。

38、P。必，ABnOP = O 吗 UFu 平面ME所以直线以1外 1平面APR.冗J =（2）当一匕时，以月8所在直线为y轴，过点。与4月垂直的直线为丁轴，门内所在的直线为工轴建立如图空间直角坐标系，可得勺? 2号J,所以? 2+切，设平面用研的法向量为皿=卜必/），则, =。1 - -x-j +十 1）十-z1 0q -2 121 W，可取“上，得m =乙0司又平面的一个法向量为几二(1,0,0),则2再再边长为所以二面角的余弦值为13 .16.(山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测数学理)如图，正方形“e CE 1 DE,CE -AB面即，2.【答案】(1)证明见解析；(2) 5 .

39、【解析】(1)证明：平面八BCD，平面CDE,平面力aCOD平面匚DE = CD1 平面 5E ,又月。匚平面。DE,.又.YEIDE, HnDF=f), &D, DE 匚平面百隧，CE L 平面 /W”,又HE匚平面4力E二三.二？(2)解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系 口 一 呼则或口,o,6,见/弭o）, “（uo）1历EC aE 0 tiBa I在直角AGJF中，2 DC = a易得14 4 J,由（1）知山为平面且DE的一个法向量,面=9M0：|,设,1二茁V7）是平面BDE的一个法向量n .叩=0则n 庇=0令 r = 1,则 y =_ 1, z = <3

40、13q » T7十一口 有广e 门仅 442J5 cos 飙- 小 =-向阳x|5亥ABCD的底面是菱形,，二面角八-DE-旧的余弦值是5 .17.（广西桂林市、崇左市 2019届高三下学期二模联考数学理）已知四棱锥7T"口。二一3, S月,底面4Hm , £是上的任意一点.（1）求证：平面W L平面；（2）设,轨二胃旧=2,是否存在点丑使平面"ED与平面所成的锐二面角的大小为30° ?如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】(1)证明：，平面 RH仃)，匚平面S4 J_ 月。四边形HHC。

41、是菱形，.小匚门/16 =八，.RDJ.平面5RC.日Du平面ERD, .平面EED_L平面.MC. 设力匚与地的交点为°,以。仃、所在直线分别为工、>轴, 以过。垂直平面力的直线为/轴建立空间直角坐标系(如图)，则虫-1,0,0),鹿 1,0,0), S(-vu),见口色郎0)设股/则宛=(m+ V)tz-2)EC = 1-Xfo 幻设雷二力比，j >1 1 x ：+ 12 z -一】十1“一小卜：正；+ 11,设平面加月的法向量n =(工14口),fn IDE n-DE = 0 冷. U KP = 0 .求得输=QMJ -外为平面AQE的一个法向量.同理可得平面

42、63;百。的一个法向量为 后=(',包-1，。).平面日即与平面5/W所成的锐二面角的大小为30m n K-LO） （2A1-Z）| 平.-. 同，m|24 + ci-a）2 ：解得：i = i.E为宛的中点.18 .（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）如图，在圆柱皿中，点内、。?分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F）,点G为下底面圆弧ME的中点，点H与点6在平面MMFE 的同侧，圆柱 印的底面半径为1,高为2.（1）若平面1平面NHG，证明：NG LFH.屏（2）若直线N”与平面NFG所成线面角厘的正弦值等于6 ,证明：平面与平面MNFE所成锐

43、二面角的平JT面角大于.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）由题知：面.口1面NHG,面面.MHG=NH,因为NH1FH, FHu平面卅，所以FH 1平面可& , NG仁平面NHG所以（2）以点出为坐标原点,分别以©声,°狎，为七人工轴建立空间直角坐标系 吁叮，所以砥0.-10,虱1,孙，F（UZ,设则兴+ M=1,而= （rn浦+ 1"设平面N”的法向量ni =卬力否），科 死=。（工1，避1） （1,-2）二。因为曷心二° ,所以i （打必由）电孙二。，比1 +打-2/ =。所以（2当=。，即法向量自二（24/）.元sina =2

44、mX Jm* + (n + I)2设面NHG的法向量丐士（勺，力乃）,低标二0n2 JVH = 0（工别/力（14, -2）-0 广（万先巴），三号口上。 ，所以 I12 2）,因为CGSti =:-因为面的法向量自二 O ,所以 卜川闯JT所以面NHG与面MMFE所成锐二面角的平面角大于3.因此W川司19 .（四川省攀枝花市 2019届高三下学期第三次统考数学理）已知三棱锥P-ABC （如图一）的平面展尹图（如图二）中，四边形 ABCD为边长等于2J2的正方形，&ABE和ABCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC 中:图二图一(I )证明：平面PAC _L平面ABC ；PM 1(n )

45、若点m为棱pa上一点且 =,求二面角 P - BC - M的余弦值.MA 2【答案】(I )证明见解析；(n)述.3【解析】解：(I )设AC的中点为O ,连接BO , PO .由题意，得 pa=pb=pc=272, PO=2, AO = BO=CO=2.在 APAC 中，PA=PC , O为 AC 的中点，.PO_LAC,在 &POB 中，PO = 2, OB = 2, PB=2>/2， PO2+OB2=PB2, - PO _LOB.,zACAOB=O, AC, OB 匚平面 ABC,二 PO_L 平面 ABC, P PO仁平面PAC，二平面PAC _L平面ABC .B(n )

46、由 PO_L 平面 ABC, OB_LAC, .PO_LOB, PO _L OC ,于是以OC, OB, OP所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系,则 O(0,0,0 ), C (2,0,0 ), B (0,2,0 ), A(-2,0,0 ), P(0,0,2 ),2M -,0,3-j,窃=(2,-2,0), 3褪=(2,0,-2 ),胡=3,0,设平面MBC的法向量为m = (x1,y1,Z1 ),m bC =oxi - yi = °则由j 信：.令 X=1,得 y1=1, z<i=2,即 m = (1,1,2).m MC =o2x1-乙二o设平面PBC的法

47、向量为n = (x2,y2,z2 ),由得nBC=0x2.y2=0* 弁 o ： 0 ,令 x=1 ,得 y =1, z=1,即 n = (1,1,1 卜cos n mmpn>/182 2 一.由图可知，二面角 P - BC - M的余弦值为320.(福建省泉州市2019届高三第二次(5月)质检数学理)四棱锥 P-ABCD中,PDABCD ,AB_LAD, AD/BC, AB=1, AD=2BC=V2，PD = 6 .(1)求证：平面PBD _L平面PAC ；(2) M为棱PB上异于B的点，且 AM _L MC ,求直线AM与平面MCD所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)翌羽13【

48、解析】(1)证明：在RABC与RtL ABD中，因为 型 =Y2 , 幽二互,AB 2 AD 2一,BC AB0_ _ _ _所以 =,/ABC =/DAB =90°，即 MBC ADAB ,所以 /ABD =/BCA.AB AD因为 NABD +/CBD =90°，所以/BCA+/CBD =90°，所以 AC! BD .因为PD _L平面ABCD, AC仁平面ABCD ,所以PD _L AC,又 BD c PD = D ,所以 AC _L平面 PBD ,又AC二平面PAC ,所以平面PBD .L平面PAC .(2)过A作AE/DP,因为PD_L平面ABCD,所以

49、AE_L平面ABCD ,即AE, AB,AD两两相垂直,以A为原点，AB, AD,AE所在的直线为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，因为 AB =1 , AD=2BC=72，pd=T3,所以 A 0,0,0 , B 1,0,0 , C 1,一,0 , D 0,72,0 , P(0,V2, J3), I 2 JAB =(1,0,0 ), BP=(1,，2, J3 ), CB=；0,学,0 ,因为设 BM =，uBP,九10,1.则 AM = AB+，.BP=(1 %J2%J3，j,AM 1 MC ,所以 AM CM =0，即(1 一1一 一1斛信6九2 -2九=0 ,九=0或九二一.因为九三

50、(0,1，所以九二一.33777t 2近娓口”2& M、所以 AM = , ，即 M , .1333,© 33 j设n =仪0,丫0,4 )为平面MCD的一个法向量，则n DM =0n DC =02X03223-y0Z0 - 0332 nX。 y。= 02所以取n=盘石五i I2)设直线AM与平面MCD所成角为6 ,sin：所以直线AM与平面MCD所成角的正弦值 2回1321.（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）如图，在三棱锥D-ABC中，AABC为等边三角形,/DAC =/DAB, ABCD面积是AABC面积的两倍，点 M在侧棱AD上.DB（1）若BM ±

51、AD，证明：平面 ACD 1平面BCM ;. _. . 9k _. .一_.一 （2）若二面角D -BC - A的大小为2-,且M为AD的中点，求直线 BM与平面ACD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） 3113(1)证明：因为 AC =AB,/DAC =/DAB ,所以 MCDMBD ,所以DC =DB .取 BC 中点 O,连结 DO,AO ,所以 DOBC, AO ± BC ,因为AO DO =O ,所以BC,平面AOD ,所以BCXAD ,又因为 BM ±AD , BCCBM =B,所以AD，平面BCM ,所以平面 ACD，平面BCM .（2）由（1）

52、知，/DOA是二面角D-BC-A的平面角,过D作DG_LAO交AO延长线于G,因为BCL平面AOD, DG U平面AOD ,所以 BC _L DG ,因为AOcBC =O ,所以DG，平面ABC .Z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图，以。为原点，以OA，OB, GD的方向为x轴，y轴,设 AB=2a (a >0 ),则 AO=*a,又因为 SBCDD =2SABCD ,所以 DO =2OA =2V3a,在 RtDGO 中，/DOG =-, 3所以DG =3a , OG =撷，所以所以D(-x/3a,0,3a),C(0,-a,0 JB(0,a,0 ),A(场0,0 ),DA =(2>/3a,0, -3a ), DC =(£a, a, 3a ),= (x,y,z)是平面DCA的