2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国一卷)

1、绝密启用前sinx x5、函数f（x）=2在-n,n的图像大致为（）cosx x2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国一卷）2019.06. 07满分150分，考t用时120分钟、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。1、已知集合 M =x -4 <x <2, N =x x2 -x-6 <01,则 M Pl N =C.2、3、4、A. x Y <x <3)B. x -4 <x <-2C. x -2<x<2)D.x2<x<3A.00B.D.-TT6、我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每设复数z满足z-

2、i =1,z在复平面内对应的点为(x, y),则()成，爻分为阳爻“”和阴爻“一一”，如图就是22.A. (x+1) +y =1B.(x -1)2y2 =1C.22x2 (y-1)2 =1D.22x2 (y+1)2 =15该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.316B.0.2已知 a log 20.2, b 2 ,03c =0.2 ,则(A. a <b <cB.C.D.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是.5 -12. 51 一， 、5-0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头2顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之

3、比也是Y5二1.若某人满足上述两个黄金分割比例，且27、已知非零向量 a,腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是（“重卦”由从下到上排列的一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,1132C 21口 义. 3216（开蛤a与b的夹角为（）b 满足 | a |=2| b |,且(a-b) _L b,则6个爻组 则花A.一68、如图是求_ 冗B.一312 f2 -22冗C. 一35冗D. 一6的程序框图，图中空白框中应填入（A. 165 cm B. 175 cmC. 185 cmD. 190 cm1A. A=2 AB.1A=2 AC. A=-1 D. A=1+ 1 2A2A1

4、0三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。2217、(12 分) ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c,设(sin BsinC) = sin AsinBsinC.(1)求 A； (2)若 V2a+b=2c ,求 sinC.18、(12分)如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面是菱形， AAi=4, AB=2 , /BAD=60° ,巳M , N分别是BC, BB1, A1D的中点.(1)证明：MN/平面CQE; (2

5、)求二面角A-MAi-N的正弦值.9、记a为等差数列an的前n项和.已知 & =0, a5 =5 ,则（）212_A. an=2n5B. a=3n10 C. Sn =2n 8n D. Sn=n -2n210、已知椭圆C的焦点为Fi（1,0）, F2（1,0）,过F2的直线与C交于A,B两点.若| AF2|=2|F2B|,|ABR BF1 |,则C的方程为() 2222222x 2 .x y ,x y ,x y ,A. 一+ y2=1 B. 一+工=1 C.+ =1D. 一+工=1232435411、关于函数f (x) =sin | x | +1 sin x |有下述四个结论：f(x)是

6、偶函数；f(x)在区间(-,n)单调递增；f(x)在一耳可有4个零点；2f(x)的最大值为2;其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.12、已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球 。的球面上，PA=PB=PC, 4ABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, PB的中点，/ CEF=90° ,则球。的体积为()A. 8芯五 B, 4Z6hC. 2而冗D. 76n二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。2 一 x13、曲线y=3(x +x)e在点(0,0)处的切线方程为 .1014、记Sn为等比数列an的刖n项和.右a1 =-，a4 =a6 ,则S5=.315、甲、乙两

7、队进行篮球决赛， 采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客主设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立， 则甲队以4： 1获胜的I率是 .2216、已知双曲线 C:与4=1(a>0,bA0)的左、右焦点分别为 F1, F2,过F1的直线与C的两 a bT T T -I条渐近线分别交于 A, B两点.若F1A = AB, F1B F2B = 0,则C的离心率为.19、(12分)已知抛物线 C: y2=3x的焦点为F,斜率为-的直线l与C的交点为A, B,与x轴的 2交点为 P. (

8、1)若 AF|+|BF|=4,求 l 的方程；(2)若 TP=3pB,求 |AB|.20、(12分)已知函数 f (x) =sin x ln(1+x), f'(x)为 f (x)的导数.证明:(1) f (x)在区间(1，)存在唯一极大值点；2(2) f(x)有且仅有2个零点.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22、选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)_1-t2x -2 ,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为11 + t(t为参数).以坐标原点 。为极点，x4ty y 1 t2轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标

9、方程为2P cose + J3P sine +11 = 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.21. (12分)为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行 动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只 施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白 鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得_1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲

10、药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得_1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为“和3, 一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi (i= 0,1111,8)表示用药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=0, p8=1, r =apy+bpi+cr由(i=1,2,|,7),其中 a=P(X=1), b=P(X=0), c=P(X=1).假设 a=0.5, P=0.8.(i)证明:PhR (i =0,1,2,111,7)为等比数列；23、选彳45:不等式选讲(10分) 已知a, b, c为正数

11、，且满足 abc=1.证明：111222(1)-+-+-< a + b + c ；a b c(2) (a+b)3 + (b+c)3 + (c+a)3 224.(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学？参考答案一、选择题：1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. A 9. A 10. B 11. C 12. D二、填空题：13. y=3x ； 14. 121 ； 15. 0.18； 16. 23三、解答题22 222217、解：(1)由已知得 sin B+sin Csin A = s

12、inBsinC,故由正弦定理得 b +c -a =bc.A(2,0,0) , A1 (2,0,4), M (1,73,2), N(1,0,2),篇=(0,0,4) , "AM = (-1,73-2),由余弦定理得.222.A b C - a1八 A/CCL ACCcosA =-.因为 0 < A <180 ,所以 A = 60 .2bc 2由(1)知 B=120°C ,由题设及正弦定理得 J2sin A + sin(120°C )=2sin C,>AN =(-1,0,-2), MN = (0,-V3,0)./ 、一一m AM 0 I x . 3y

13、-2z0,设m= (x,y,z)为平面Aima的法向量，则$ 一 ，所以<)I m A A = 0-4z = 0.可取 m = (J3,1,0).设即+ cosC +二sin C =2sin C ,可得 cos(C +60口)=- 2222n MN = 0, n= (p,q,r)为平面Aimn的法向量，则 一n AN = 0.2由于0 <C <120 ,所以sin (C+60 )=,故2所以 |一«q = 0，可取 n= (2,0,1) .于是 cos«m,n)=-mn= -3-p - 2r = C| mil n| 2 . 5所以二面角A- MA1 一 N

14、的正弦值为YE .5.6 F 2sinC =sin C 60 -60 . -sin C 60 cos60 -cos C 60 sin 60 =419、解：设直线118、解：（1）连结BiC, ME.因为M, E分别为BBi, BC的中点，所以ME/BC,且ME=BiC. 2,3i ：y = -x+t,A(,yO,B(x2,y2 )1一一一又因为N为AiD的中点，所以ND=-AiD,由题设知AiBi 口 DC,可得BiCAiD,故MEND,2 I 3. 35(1)由题设得 F .-,0 ，故 | AF | + |BF |= X + x2 +,由题设可得 x1 + x2 =.U )223,y =

15、- x t由 22y = 3x12(t-1)9因此四边形MNDE为平行四边形， MN/ED.又MN0平面EDC1，所以MN/平面CDE .（2）由已知可得DEXDA.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐，可得 9x2 + 12(t 1)x+4t2 = 0 ,则 x1 + x2 =标系D-xyz,则12(t -1) 5737从而一=一,得t = 一一 .所以l的方程为y = - x一一92828(ii)当 x w 0,3 I2由 AP =3pB可得 y1 = -3y2 .由 1y - 2 X 1,可得 y2 2y + 2t = 0 .!2J y = 3x所以 yi +

16、 y2 = 2 .从而 3y2 + y2 = 2 , 故 y2 = 1,yi = 3 . 14,13代入C的方程得x1 =3,x2 =.故| AB |="3331120、解：(1)设 g(x) = f '(x),则 g(x) =cosx -， g (x) = -sinx +2 .1 x(1 x),g'(x)单调递减，而 g'(0) >0,g'(3 <0 ,可得 g'(x)在 1 -1,22设为 ot .则当 x w (-1,a)时，g' (x) a 0 ;当 x w it - I时，g'(x) <0 .2所以g

17、(x)在(-1户)单调递增，在la, '单调递减，故g(x)在1 -1,-'存在唯一极大值点， I 2；I 2；即f '(x)在1 -1,1 存在唯一极大值点.(2) f(x)的定义域为(1, ).(i)当xW(Tq 时，由(1)知，f'(x)在(1,0)单调递增，而f'(0) =0 ,所以当xW (1,0)时,f'(x) <0,故f(x)在(1,0)单调递减，又f (0)=0 ,从而x = 0是f (x)在(1,0的唯一零点.( n、，由(1)知，f'(x)在(0,口)单调递增，在1口二|单调递减，而 f'(0)=0 ,2

18、又 f(0)=0, f 勺=1_"1 +三>0,所以当 xw 1。， 时，f(x)>0.从而，f(x)在''0,- 1 22. 22没有零点.(iii)当 x 三9，/时，f'(x)<0,所以 f(x)在i-,H 1 单调递减.而 f'-1>0, f (n)< 0,所222以f (x)在，J有唯一零点.2(iv)当x三(兀,心)时，ln(x+ 1)> 1 ,所以f (x) <0,从而f (x)在(江，氏c )没有零点.综上，f (x)有且仅有2个零点.P(X = - 1> (-1 P)21、解：X的所有可

19、能取值为1,0,1. P(X= 0>«P + (1)例，)P(X= 1>a (1，)所以X的分布列为X 701P (I i a)* n' + (l_/?) a(l -(2) (i)由(1)得 a = 0.4, b = 0.5, c=0.1.因此 Pi=0.4p+0.5 R+0.1pi+，故 0.1( 口书r )= 0.4( Pi % ),即Pi 1 - Pi = 4 p - Pi.又因为R P0= P10 0,所以P)(i = 0,1,2,111,7)为公比为4,首项为R的等比数歹U.( n、，使彳导(F)=0,且当*10邛)时，f'(x) >0;当xw ! I,2f n、时，f'(x) <0 .故f (x)在(0, P)单调递增，在！氏二|单调递减.,2(ii)由(i)可得(2)因为a, b, c为正数且abc=1,故有48 -1P8=P8-P7P7-P6IHPl- P0P0=P8- P76 -P6l|l R -Po二二一Pl.3P4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为