人教版高数选修2-2第8讲：数学归纳法(教师版)

1、数学归纳法1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系、数学归纳法:数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了 对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形 成“观察归纳猜想证明”的思维模式，就显得特别重要。一般地，证明一个与正整数 n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当 n取第一个值n = n 0时命题成立；（2）（归纳递推）假设 n=k （化之内口比w ）时命题成立

2、，证明当 是二上时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从题口开始的所有正整数 n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递 的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只 要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤， 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是 证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等式122证明： 当

3、n=1时，左边=13=1,右边=11 11 ,4故等式成立.假设n=k ( k N ,且k> 1)时等式成立。即 13+ 23+ 33+ k 3+=lk2(k+1)2 成立.4则当n=k+1时,13+ 23+ 33+k3+(k+1)3122= -k2(k 1)24122=(k 1)2 k24(k1)34(k11) k 14124k221 (k 1) 1 .即当n=k+1时等式也成立.综合，对一切 n N ,等式都成立.题型二、用数学归纳法证明不等式 1例2、归纳法证明 n 1 n(n>1,且 n N ) .3n 10证明：n=2时,左边=-31920> 一二右边,10不等式成

4、立.假设n=k ( kk>2)时不等式成立,1 即k则当n=k+ 12时,19 ,_1 >上_成立.3k 1013k 19 ,>110k1k 113k21 3k3k 33k3k 11一)313k 33k1 k-)113k3k 313k 113k 211、)3k 3 k 1> A +103k 3-) 19 一.=一即当n=k+1时不等式也成立.10综合，对一切大于 1的自然数n,不等式都成立.题型三、用数学归纳法证明几何问题例4.平面内有n(nN )个圆,其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证:这n个圆把平面分成n2n 2个部分._题型四、用数学归纳法

5、证明整除问题例 4、 用数学归纳法证明32n 2 8 n 9 n N 能被 64 整除证明： 当n=1时，32+28X 1 9=64显然能被64整除，命题成立. 假设n=k (kA 1, k N)时命题成立.即 32k 2 8k 9能被 64 整除则当n=k 1 时，32(k+l)+2-8 (k+ 1) - 9=9 32k+2-8 k-8-9=9( 32k 2 8 k 9)64 k 6432k+2 8 k- 9与64均能被64整除，32(k+1)+28 ( k+1) 9 能被 64 整除.即当n=k 1 时命题也成立综合，对一切 n N , 32n+2 8n 9能被64整除.题型五 归纳、猜想

6、、证明例8：是否存在常数a, b, c使等式对一切自然数n 都成立， 并证明你的结论。分析： 可先把条件式对分别列出方程，试求a， b， c 值，再用数学归纳法证明。解：假设存在a, b, c使题设等式成立，那么令得到下面方程组：解得下面用数学归纳法证明当时，题设等式成立，即有：(1)当时，式成立( 2)假设成立，即：那么当时故当时式成立。综上，可知当时，等式成立。一、选择题1 111 .用数学归纳法证明1 + 5+3+2nT1<n(neN , n>1)时，第一步应验证不等式()“/1 CA. 1 + 2<2B. 1+1+1V2 2 3C. 1+1+1<3 2 3 1,

7、1,1 cD- 1+2+3+4<3答案B解析.nCN*, n>1,，n取第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 -217=故选B. 21 32,用数学归纳法证明1 + a+a2+ an+1 = 1-=-a(nCN*, aw 1),在3证n= 1时，左边所得1 - a的项为()A. 1B. 1+a+a2C. 1 + aD. 1 + a+a2+a3答案B解析因为当n=1时，an+1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2故应选B.1_ _J_E. 设 f(n)=n+1+n+2+- + 2nN ),那么 f(n+1) f(n)等于()171B- 2n + 21A. 2n+ 1C 1 +1D

8、 J 12n+1 2n+22n+1 2n+2答案D解析f(n+1)f(n) 11111= +- + +(n+1) + 1 (n+1) + 2 2n 2n+1 2(n+1)5.1, ,1111- 7+-+1n+1 n+22n 2n+1 2(n+1) n+12n+1 2n+2'F. 某个命题与自然数 n有关，若n= k(kCN*)时，该命题成立，那么可推得n= k+ 1时该命题也成立.现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得()A .当n= 6时该命题不成立B .当n= 6时该命题成立C.当n= 4时该命题不成立D .当n= 4时该命题成立答案C解析原命题正确，则逆否命题正确.故应选

9、C.5,用数学归纳法证明命题“当 n是正奇数时，xn+yn能被x+ y整除"，在第二步的证明时，正 确的证法是()A .假设n=k(kC N),证明n=k+1时命题也成立B .假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1时命题也成立C.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2时命题也成立D .假设n = 2k+ 1(kC N),证明n= k+ 1时命题也成立答案C解析为正奇数，当n=k时，k下面第一个正奇数应为k+2,而非k+1.故应选C.G. 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形对角线的条数 地+1)为()A . f(n)+n+1B. f(n) + nC. f(n) + n1D.

10、 f(n)+n 2答案C解析增加一个顶点，就增加n+1 3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故 f(n +1)=f(n) + 1 + n+1 3=f(n) + n1.故应选 C.7,用数学归纳法证明“对一切nCN*,都有2n>n2 2”这一命题，证明过程中应验证()A . n=1时命题成立B. n = 1, n= 2时命题成立C. n = 3时命题成立D. n= 1, n = 2, n= 3时命题成立答案D解析假设n = k时不等式成立，即 2k>k2-2,当 n=k+i 时 2k+1 = 2 2k>2(k22)由 2(k2-2)>(k-1)2-4? k22k 3

11、>0? (k+1)(k-3)>0? k>3,因此需要验证 n=1,2,3时命题成立.故应选 D.8.已知f(n) = (2n+ 7) 3n+9,存在自然数 m,使得又任意nCN*,都能使m整除f(n),则最大 的m的值为()A . 30B. 26C. 36D. 6答案C解析 因为 f(1)=36, f(2)= 108=3X 36, f(3)= 360= 10X 36,所以 f(1) , f(2), f(3)能被 36 整 除，推测最大的 m值为36.9.已知数列an的前n项和Sn= n2an(n>2),而a1 = 1,通过计算a2、a3、a4,猜想an=()2A.(n+

12、1)22B. n(n+ 1)c.六2D. 2n 1答案B解析 由 Sn= n2an 知 Sn+1 = (n+1)2an+11- Sn+1 Sn= (n+ 1)2an+1 n2anan+1 = (n + 1)2an+1 n2an ._ n - an+1 =_an (n> 2).a1n+ 2当 n=2 时，S2=4a2,又 S2=aI+a2,2131a3=4a2=6，a4=5a3=10.由 a1= 1 , a2 = , a3 = l，a4= TT；3610.一2 一，猜想an=,故选B.n(n+ 1)10.对于不等式.n2+ nwn+1(nC N+),某学生的证明过程如下：(1)当n=1时，

13、52+ 1 w 1+1,不等式成立.(2)假设 n=k(kC N + )时，不等式成立，即 Vk2Tkk+ 1,则 n = k+ 1 时，(k+1)2+ (k+ 1)=#2+ 3k+ 2、(k2+ 3k+2)+ (k + 2) = (k+ 2)2 = (k+ 1)+ 1,当n=k+ 1时，不等式成立，上述证法 ()A.过程全都正确B . n = 1验证不正确C .归纳假设不正确D .从n= k至ij n= k+ 1的推理不正确答案D解析n= 1的验证及归纳假设都正确，但从n= k到n= k+ 1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故应选 D.二、

14、填空题11 .用数学归纳法证明" 2产1加+门+2m6)”时，第一步的验证为 .答案当n = 1时，左边=4,右边=4,左右，不等式成立解析当n= 1时，左 右，不等式成立，nCN*, .第一步的验证为 n=1的情形.Sn =12.已知数列n,通过，t算得S2=i S3=3,由此可猜测答案nn+ 1解析解法1：通过计算易得答案.解法2:11Sn = +1X2 2X31+3X 41n(n+ 1)1 , 1-2 +11 -n n+111,11,十 + +2 33 4=1_，= 4 n+1 n+ 113,对任意nC N*，34n+2+a2n+1都能被14整除，则最小的自然数 a=.答案5解

15、析当n= 1时，36+a3能被14整除的数为a=3或5,当a= 3时且n=3时，310+35不能被14整除，故a=5.14 .用数学归纳法证明命题：1X4+2X7+3X10+ n(3n+1)=n(n+ 1)2.(1)当 n0=时，左边=, 右边=; 当 n=k 时， 等式左边共有 项，第(k-1)项是.(2)假设n=k时命题成立，即 成立.(3)当n=k+1时，命题的形式是 ;此时，左边增加 的项为.答案(1)1; 1X(3X1 + 1); 1X(1 + 1)2; k；(k-1)3(k- 1)+ 1(2)1 X4+ 2X7 +3X10+ + k(3k+1)=k(k+1)2(3)1 X4+ 2X

16、7+ + (k+1)3(k+1)+1=(k+ 1)(k+ 1) + 12; (k+ 1)3(k+ 1) + 1解析由数学归纳法的法则易知.三、解答题15 .求证：12 22+ 32 42+ (2n 1)2-(2n)2=- n(2n +1)(n1 N*).证明n=1时，左边=12-22=- 3,右边=3,等式成立.假设 n = k 时，等式成立，即 12 22+ 32 42+(2k 1)2-(2k)2=- k(2k+ 1)2.当 n= k+ 1 时，12- 22+ 32-42+ +(2k 1)2 (2k)2+ (2k+ 1)2(2k+2)2= k(2k+1) + (2k+ 1)2(2k+2)2=

17、 k(2k+1)(4k+3)= (2k2+5k+3) = (k+1)2(k+1)+1,所以 n=k+1 时,等式也 成立.由得，等式对任何n C N*都成立.一 11 11 n-216 .求证：2 + - + -+.+ 21 >2-(n>2). 一， 1，证明当n = 2时，左=2>0 =右，不等式成立.假设当n=k(k> 2, kCN*)时，不等式成立.门口 111 k- 24、即2+ 3+尹>2-成乂.那么 n=k+1 时，+1"2 32，1,，一1-+ 2k1 + 1+2-1 + 2-1k-211 k-2 111>-2-+2k+ 1 +/力-

18、+尹尹十 了k-2 2k 1 (k+1) 2=+ k =,22k 2'，当n=k+1时，不等式成立.据可知，不等式对一切 nCN*且n>2时成立.17 .在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点.r、, , , . j r LLA,八,n2+n+2求证：这n条直线将它们所在的平面分成 一2一个区域.证明(1)n=2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立.k2 + k + 2, 一 一 一，, 八”(2)假设当n=k(k>2)时，k条直线将平面分成 一2 块不同的区域，命题成立.当n=k+ 1时，设其中的一条直线为1,其余k条直线将平

19、面分成k2+k+2块区域，直线1与其余k条直线相交，得到 k个不同的交点，这 k个点将1分成k+1段，每段都将它所在的区域分成两 部分，故新增区域 k+ 1块.从而k+i条直线将平面分成 中+k+i=(k+ 1)27+1)+2块区域.所以n=k+ 1时命题也成立.由(1)(2)可知，原命题成立.18 . (2010衡水高二检测)试比较2n+2与n2的大小(nC N*),并用数学归纳法证明你的结论.分析由题目可获取以下主要信息：此题选用特殊值来找到 2n + 2与n2的大小关系；利用数学归纳法证明猜想的结论.解答本题的关键是先利用特殊值猜想.解析当 n=1 时，21+2 = 4>n2=1,

20、当 n=2 时，22+2 = 6>n2=4,当 n=3 时，23+2= 10>n2= 9,当 n=4 时，24+2= 18>n2= 16,由此可以猜想，2n+2>n2(nC N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当 n= 1 时，左边=21+2=4,右边=1 ,所以左边 > 右边，所以原不等式成立.当n=2时，左边=22 + 2=6,右边=22=4,所以左边 >右边；当 n=3 时，左边=23 + 2=10,右边=32=9,所以左边 > 右边.(2)假设n=k时(k>3且kC N*)时，不等式成立,即 2k+2>k基础巩固 111 .用数学

21、归纳法证明1 + 2+ 3+ 2nT<n(nCN , n>1)时，第一步应验证不等式 ()A. 1 + 1<2B. 1 + 1 + -1<2 2 3 11111cC. 1 +2+3< 3D. 1 + - + 3+-<3答案B解析.nCN*, n>1,，n取第一个自然数为 2,左端分母最大的项为-21-=,故选B. 2 1 3 C-1-an+2.2. (2014秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1 + a+a2+ an+1= 1_a (nC N ,aw1),在验证n=1时，左边所得的项为()A. 1B. 1 + a+a2C.1+aD.1+a+a+a

22、 答案B 解析因为当n= 1时，an+ 1= a2,所以此时式子左边=1+a+a2故应选B. 1113.设 f(n)=n + n2 +2n(nCN),那么 f(n+1) f(n)等于() 2n+2D. 一 2n+1 2n+2 那么 n=k+ 1 时，2k+1 + 2= 2 2k+ 2=2(2k+2)2>2 k22.又因：2k2 2-(k+ 1)2 = k2 2k3=(k-3)(k+1)>0,即 2k22>(k+ I)2,故 2k+1+2>(k+ 1)2成立.根据(1)和(2),原不等式对于任何 n C N都成立.、选择题12n + 1答案D1,1,1,1,1解析f(n+

23、1)-f(n)= 7TTT7 +市+赤+ +=1J J ， n+1 n+22n 2n+1 2 n+1 n+111Z 7 Z T 2n+1 2n+219 某个命题与自然数 n有关，若n= k(kCN*)时，该命题成立，那么可推得n= k+ 1时该命题也成立.现在已知当 n=5时，该命题不成立，那么可推得 ()A .当n= 6时该命题不成立B.当n= 6时该命题成立C.当n= 4时该命题不成立D.当n = 4时该命题成立答案C解析原命题正确，则逆否命题正确.故应选 C.20 用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+ y整除"，在第二步的证明时，正确的证法是()A .假设n

24、 = k(kC N )时命题成立，证明 n= k+ 1时命题也成立B .假设n=k(k是正奇数)时命题成立，证明 n= k+ 1时命题也成立C.假设n=k(k是正奇数)时命题成立，证明 n= k+ 2时命题也成立D .假设n=2k+1(kC N)时命题成立，证明 n=k+1时命题也成立答案C解析为正奇数，当n=k时，k下面第一个正奇数应为k+2,而非k+1.故应选C.21 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形对角线的条数 地+1)为()A . f(n)+ n+1B . f(n)+ nC. f(n) + n1D, f(n)+ n-2答案C解析增加一个顶点，就增加n+1 3条对角线，另外原来

25、的一边也变成了对角线，故 f(n +1)=f(n) + 1 + n+1 3=f(n) + n1.故应选 C.二、填空题22 (2014湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n) = 2n1 3(2n 1)(nC N*)时，从“ n=k至ij n=k+1”左边需增乘的代数式为()A . 2k+1B, 2(2k+ 1)C.2k+1k+ 1D.2k+3k+ 1答案B解析n=k 时，等式为(k+1)(k+2) - (k+k)=2k1 3 (2k 1),n=k+1 时，等式左边为(k+ 1 + 1)(k+1 + 2) - (k+1+k+1)=(k+ 2)(k+ 3)(2k)

26、 (2k+ 1) (2k+ 2),右边为2k+1 1 3(2k1)(2k+1).左边需增乘2(2k+1),故选B. _ 1118.已知数列 1* 2，2X 3 3X4'1 一 ， ，-123由此可猜测n77T，通过计算得 S=-, S2=2, S3=4,答案nn+ 1解析解法1：通过计算易得答案.解法2:Sn =+1X2 2X3 3X41n n+ 1Sn=-1二+u22 33 4n n+1nn+ 1.,V 1 V 111 , 1 , 的9.用数学归纳法证明:等式是.1 1答案1 2=2步应验证的1 -+ -二+ H =1F ,+ ,第2 3 4 2n 1 2n n+1 n+2 2n 1

27、1,1解析当n=1时，等式的左边为12=5，右边=左边=右边.三、解答题10. (2013大庆实验中学高二期中)数列an满足Sn=2n an(nC N*).(1)计算a1、a2、a3,并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.证明(1)当 n=1 时，a1=S1=2a1，a1=1;3当 n = 2 时，a + a2= S2= 2X2 a2, . a2 = 2;当 n=3 时，a + a2+a3= S3= 2 x 3a3,a3 = .42nT *由此猜想 an=-2n-T(nCN)(2)证明：当n= 1时，a1 = 1结论成立,假设n = k(k> 1,且kC N*)时结

28、论成立,Hr2k- 1即 ak= 2k 1，当n = k+ 1时,ak+1 = Sk+1 Sk = 2(k+ 1) ak+1 2k + ak = 2+ak ak+1). 2ak+1 = 2 + ak2+ak 2k+ 1-1ak + 1 = 2 =2k，2 n 1 1、当n=k+ 1时结论成立，于是对于一切的臼然数nCN*, an=22K成立.能力拓展提升、选择题11 .用数学归纳法证明 1 + 2+3+ n2 =n4+ n2,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上B.(k+1)2C.k+ 1 4+ k+1 2D.(k2+1) + (k2+2)+(k2+3)+- + (k+1)2答案解析n=

29、k 时，左边=1+2+3+ k2, n=k+1 时，左边=1 + 2+3+ k2+(k2+1)+(k2+ 2)+(k+1)2,故选 D.12 .设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+ 1边形的内角和f(k+1) = f(k) +.()A. 2 %B.兀兀C. 2答案B解析将k+1边形A1A2-AkAk+1的顶点Ai与Ak相连，则原多边形被 分割为k边形A1A2Ak与三角形 AAkAk+1,其内角和f(k+1)是k边形的内角 和f(k)与 A1AkAk+1的内角和 兀的和，故选B.13. (2014揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明"n3+(n+1)3+(n +2)3(nC N*)能被

30、9整除”，要利用归纳假设证n= k+1时的情况，只需展开(A . (k+ 3)3C. (k+ 1)3B. (k+2)3D. (k+ 1)3+(k+ 2)3)答案A解析因为从n=k至U n=k+1的过渡，增加了(k+ 1)3,减少了 k3,故利用归纳假设，只需将 (k+ 3)3展开，证明余下的项 9k2+ 27k + 27能被9整除.14. (2014合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a+b=1, a2 + b2=3, a3+b3=4, a4 +b4=7, a5 + b5=11,，则归纳猜测 a7 + b7=(A. 26B.27C. 28D.29答案D解析 观察发现，1 + 3 = 4,3+4 = 7,4+7=11,7+11=18,11+18 = 29, z. a7+b7=29.二、填空题15.用数学归纳法证明“ 2n+1>n2+n + 2(nC N*)”时，第一步的验证为答案当n = 1时，左边=4,右边=4,左>右，不等式成立解析当n= 1时，左 右，不等式成立， nC N*, .第一步的验证为 n=1的情形.16,对任意nC N*，34n+2+a2n+1都能被14整除，则最小的自然数 a=.答案5解析当n= 1时，36+a3能被14整除的数为a=3或5,当a= 3时