2020年高考数学之冲破压轴题讲与练专题05应用导数研究不等式恒成立问题(解析版)

1、第一章函数与导数专题05应用导数研究不等式恒成立问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极(最)值问题，证明不等式、研究函数的零点等， 是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，应用导数研究不等式恒成立问题的主要命题角度有：证明不等式恒成立、由不等式恒 (能)成立求参数的范围、不等式存在性问题 .本专题就应用 导数研究不等式恒成立问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法-参变分离、数形结合、最值分析等.一、利用导数证明不等式 f (x) > g( x)的基本方法(1)若f (x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f (x)m

2、in>g(x) max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x) =f(x) g(x),然后根据函数 h(x)的单调性或最值，证明 h(x) >0.二、不等式恒成立问题的求解策略(1)已知不等式f(x,入)>0(人为实参数)对任意的x CD恒成立，求参数 人的取值范围.利用导数解决此 类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：第一步将原不等式>0(工W 入为实参数)分离，即化为人)与力(1)或人) 八(1)的形式第二步一中用导数求出函数/2(工)(/ E。)的最 认(小)值V第三步解不等式力不>> 力1Mx或人。)<外疝口，从而求出

3、参数义的取值范围(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法 (a>0, Av0或a<0, Av0)求解.三、不等式存在性问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)>g(a)对于xC D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xCD,使得f(x)>g(a)成立，应求f(x)的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值, 可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值.特别需要关注等号是否成立，以免细节出错.【压

4、轴典例】例1. (2019年高考天津理)已知a R ,设函数f (x)2x 2ax 2a,x alnx,x 1.,若关于x的不等式f (x) 0 x 1.在R上恒成立，则a的取值范围为()A. 0,1B. 0,2C. 0,ed. 1,e【答案】C【解析】当x 1时，f(1) 12a 2a 1 0恒成立；2当 x 1 时，f(x) x2 2ax 2a 0 2a -x恒成立, x 1令 g(x)2 2x (1 x 1) g(x) -1 x 1 x(1 x)2 2(1 x) 11 x1 x 221(1 x) - 20,1 x1 x1当1 x ,，即x 0时取等号，1 x2a g(x)max 0,贝U

5、a 0.x当x 1时，f (x) x aln x 0,即a值成立,In x令 h(x)与，则h (x)In xIn x 12' , (ln x)当x e时，h (x) 0 ,函数h(x)单调递增，当0 x e时，h (x) 0 ,函数h(x)单调递减,则x e时，h(x)取得最小值h(e) e ,a h(x)min e,故选c.例2. （2018届河北省邯郸市高三 1月）已知关于x的不等式mcosx 2 x2在上恒成立，则实数 2'2m的取值范围为（）A. 3,B. 3, C. 2, D. 2,2444x2,9 xI解析】 m 最大值，因为当x 0, 时()cosx2 cosx

6、2.2 xcosx 2 x sinx2cos x令 y xcosx sinx, y cosx xsinx cosx 0 y y 0因此(2-)cosx2 x2 .0,由因为为偶函数cosx-2 x2 一,所以最大值为cosx2 0 cos02, m 2,选 c.a 一2.例3.已知函数fx m*一，若£乂 x在1,上恒成立，则a的取值范围是 x【答案】a 1【解析】恒成立的不等式为ln x a x2 ,便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 xa 233斛：ln x x xln x a x a xln x x ,其中 x 1, x33只需要 a xln x x ，令 g x xln x

7、 xmax,1 1g （x） 1 In x 3x2 （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x变为一，所以一阶导函x数的单调性可分析，为了便于确定g x的符号，不妨先验边界值）''2, g x11 6x 6x 0,（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过xx程）, . g x在1,单倜递减,g x g 10 g(x)在1,单调递减g x g 11 a 1答案：a 1.， .2例4.已知不等式 x 1 loga x在x1,2上恒成立，则实数 a的取值范围是 【答案】1 a 22【解析】本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出 y x 1的图象，观察

8、图象可得：若要使.2不等式成立，则y logaX的图象应在y x 1的上方，所以应为单增的对数函数，即a 1 ,另一方面，2观祭图象可得：右要保证在x 1,2时不等式成立，只需保证在x 2时，x 1 logax即可，代入x 2可得：1 log a 2 a 2,综上可得：1 a 2.例5. （2017 天津高考真题（文）设好£K，|同Ml.已知函数常）二-6尸-加（八伙+人匕3 二门3.（I）求HE）的单调区间；（n）已知函数V二玳离和2”的图象在公共点（x0, y0）处有相同的切线，（i）求证：在r 处的导数等于0;（ii ）若关于x的不等式敏© < /在区间风一1人

9、 + 1上恒成立，求b的取值范围.【答案】（I）单调递增区间为（-3,叫，+单调递减区间为|（隼4-0）|. （ii）。）0. （ii）-7,1.【解析】（I）由*）二?-6-303-4）%+也可得Jx） = 3jc2- L2x- 3a（d -4）= 3（x-a）（x-（4-a）,令门>）=0,解得H二口，或N二4一里由I川£ 1,得k<4-ci.当变化时，,HE）的变化情况如下表：*f( - 8声)(%4-公(4- ctF + w)fM+-+JN所以，约的单调递增区间为（-当口），（4-。，+皿）,单调递减区间为（区4-口）|.,（砧=小（ii）（i）因为。比）=/（/

10、a）+ra）,由题意知5。）=已口，所以上出&）+（尸白。，解得似玲）=。.所以，/a 在乂=%处的导数等于0.(ii )因为幻与曰/-1口 + 1,由0,可得式1.又因为八%) = 1,50)=。,故。为(h)的极大值点，由(I)知Ko = L另一方面，由于旧|£1,故1+ 14-口，由(I)知(幻在匕-1内单调递增，在S/+1；内单调递减，故当卜。="时，四打= fS) = 1在口 - la+1上恒成立，从而V/在卜次-1/ +1上恒成立.由 fa) = c? - 6a2- 3a(a -4)a + ft = 1,得 b = 2t?-/ + 1, -1£

11、口£1.令 t二源-小+ 1, ATE -1,1,所以/(*)=123，令其元)= 0,解得* = 2 (舍去)，或* = 0.因为 K-1)=-7, 11) =-3, t(0) = ,故"封的值域为-71.所以，的取值范围是-7J.例6. (2017 全国高考真题(文)已知函数寅幻二叭口)74(1)讨论(X)的单调性；(2)若H，)A0,求a的取值范围.3【答案】(1)见解析(2) - 2e+41【解析】(1)函数的定义域为(-3,+ 2), /O) = 2e“-曰小-1 =+若二°,则/J',在(-5十 0单调递增.若口 0,则由/(工)二0得.二垢口

12、.当工时，八的V%当KEU叫+ e)时，所以(的在：-3,h旬单调递减，在。叫+ g)单 调递增.aI 1I X = )若。CO,则由得 2 .当上时，川为V0；当2 时，故/(即在2单调递减，在a-), + 8)Z 单调递增. 若0二o,则网汽所以n、）wo.若。0,则由（1）得，当片=Mcr时，网工）取得最小值，最小值为八5口）=7勺m.从而当且仅当即日01时,(*) > 0.若。VD,则由（1）得，当）2时，汽门取得最小值，最小值为&心)=口 32 切1一.从而当且仅当,gp>- 2e+H<W >0.综上,廿的取值范围为-2建1.例7.(1)(2)（201

13、8届安徽省马鞍山市高三第二次监测）已知函数 若n七在定义域内无极值点，求实数口的取值范围; 求证：当。一i声力时，（幻1恒成立.2 -df(x) - - -a E ft【答案】（1）5工1； （2）见解析【解析】（1）由题意知令。#） = "0-1） + &口学6,则且=.乂, 当卜0时，.（幻。0。）在1-8,0；上单调递减, 当K o时，g'a）。闻（幻在。,+ s-；上单调递增,又以0）二口-I, （，；在定义域内无极值点, 又当"二】时，（，;在- s和乩+上都单调递增也满足题意, O) = «- 1 <0 又所以,令成幻=ex- 1

14、） +叽由（1）可知。处在。.+ w）上单调递增,所以存在唯一的零点卜口£（0），故3在步/）上单调递减，在（羯+ 3）上单调递胤小国-1）+口=0知八询）=1即当0 < 口 < 1户 >。时，（幻> 1恒成立.例8. （2018届山西省孝义市一模）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当me（1, + 3：时，曲线y =/（，）总在曲线y= 口（/-1；的下方，求实数d的取值范围【答案】（1）当吐。时，函数在：。.+上单调递增；当小<0时，幻在一京上单调递增, 上单调递减；（2）031.【解析】f =口 +（1）由fW = dx-a +13可得幻的定义

15、域为（S + 3）,且 若0之0,则八到工0,函数网幻在;。,+ 3）1上单调递增;若1<0,则当"<”< 时，fa）o,（引在/上单调递增,11/ 11X > 嗝Ip. + 8 |当。时，八在I 口J上单调递减.综上，当口之。时，函数度灯在0,+ 3上单调递增;当口 （0时，“均在（必用上单调递增,在上单调递减（2）原命题等价于不等式 口（/-1）>口1-+皿1在万石（1.+ 8）上恒成立,即忖1£（1, + 3）,不等式恒成立.当1>1时，之一比：>0,“、lnxg）=-即证当X>1时，仃大于黑一，的最大值.Ihjc力。）

16、-< l（x> 1） 又 当星 时，. x -x,综上所述，【总结提升】 不等式恒成立问题常见方法：分离参数日A刈恒成立厂>*）成即可）或=三町恒成立即 可），数形Z§合（/=/（n图象在上方即可兀讨论最值八五）句用之。或（工心门式°恒成立；讨论参数.本题是利用方法求得口的范围.【压轴训练】1.（安徽省毛坦厂中学 2019届高三校区4月联考）已知/（公二+ 1-口/，若关于的不等式/1H）<0恒成立，则实数目的取值范围是（）B.,0C.D.【答案】D【解析】由f x0恒成立得a1、汁lnx 1设 h xx，则 h x e设 g x 1 lnx 1 ,

17、则 g x x在（0, + 8）上单调递减，lnx 1恒成立， xelnx 1 .xe11-0恒成立, x x又飞二（，当oi时，=o,即卜3>0；当 时，Hx)<mU = 0|,即 h1力 <0I二氧E在【。J）上单调递增，在l（L + g）上单调递减，11. h（x）niax = h（I） =J,1> -心c.械工)=Zlnx + x + A仆则设1-£x< 1加二十】潜0*/X2时，A%）<o, H切单调递减故选D.当1d时，h(x)>0,方0)单调递增丫存在1 ，、2 +- + 3e h(e) =ri-e e，咱 ,"e)故

18、选3m 与 2lnx + x + - 才成立2 + iff + 3. (2019 辽宁高考模拟(文)已知函数f(x)1x a2 e ax ,右对任息x (0,),者b有 xxf(x) xf (x)成立，则实数a的取值范围是()A.B.株3C.版2e,+?之D."e,+?)【答案】D【解析】令 g(x) xf (x) (2x 1)ex ax2 a ,则 g (x) f (x) xf(x),因为对任意x (0,)，都有f(x) xf(x)成立，所以g (x) f (x) xf (x) 0在x (0,)上恒成立;即 g(x) (2x 1)ex 2ax 0在 x (0,即2a(2x 1)ex

19、x2 1 ex在x (0,)上恒成立;x“1 x则 h (x)令 h(x) 2 - e , x (0,), x1由h(x) 0 得 2x2 x 1 0,解得 x 1 (舍)或 x ,2、，1所以，当0 x 5时，h(x)(2x2 x 1) x2ex0, h(x)1 x、，、二，2ex单调递减;x-1当 x 2 时，h (x)2,、(2x x 1) x2-ex 0, h(x)x1 X、，2 1 ex单调递增; x所以 h(x)minh 14e ,2因为 2a (2x 1)ex2 1 ex在x (0,)上恒成立, x所以只需 2a 4金,解得a27e .故选D4. (2019 湖南高三期末(理)函

20、数f(x)x2 x a, g(x) ex 2x2 (e为自然对数的底数)，若任意x 0,1,都有fg(x), 0 ,则实数a的最大值是()1A. e2 5e 6 B. e2 3e 6 C. 2D.-4【答案】A【解析】由于 g (x) ex 4x,令 m(x) ex 4x ,当 x 0,1时，m(x) ex 4 0,又 m(0) 1 0, m(1) e 4 0,所以m(x)在0,1有唯一一个零点x0,即ex0-4xo 0且g(x)在0, Xo)单调递增,在(x0,1单调递减,22_2所以 e2蒯g(x)gXoexo2xo4xo2xo2Xo12 2 ,121令 u g(x) e 2,2),则由

21、f (u), 0,即 a, u2 u u -,24所以 a, (e 2)2 (e 2) e2 5e 6,故选A.5. (2019 天津高考模拟(文)已知函数f(x)3 lnx,x 12,若不等式f (x) | 2x a |对任意x 4x 6,x 1x (0,)上恒成立，则实数 a的取值范围为()11A.3 -,3B. 3,3 ln5 c, 3,4 ln 2d.3,5ee【答案】C【解析】由题意得：设g(x)= |2x a|,易得a>0,oa2x a, x2a可得g(x)二,g(x)与x轴的交点为(一,0),cJ a22x a, x< 2 当x a,由不等式f (x) |2x a|对

22、任意x (0,)上恒成立，可得临界值时，f(x)与g(x)相2a切，此时 f (x) x 4x 6,x 1 , g (x) 2x a,x -,2'可得f (x) 2x 4,可得切线斜率为 2, 2x 4 2, x 3,可得切点坐标(3, 3),可得切线方程：y 2x 3,切线与x轴的交点为3a(3,0),可得此时a223,综合函数图像可得 a 3;一 一 . a 一 ， 同理，当x< 一,由f(x)与g(x)相切，22a(1)当 f(x) x 4x 6,x 1, g(x) 2x a,x<3,可得 f(x) 2x 4,可得切线斜率为-2, 2x 42, x 1 ,可得切点坐标

23、(1, 3),可得切线方程y 2x 5,可得a 5,综合函数图像可得a 5,a1(2)当 f(x) 3 In x,x 可得切线万程：y (3 In2) 2(x -) , y 2x 4 In2 In2aIn2可信切线与x轴的父点为(2 ,0),可得此时一 2 , a 4 In2,222, g(x) 2x a,x<, f(x)与 g(x)相切，可得 f (x)= ，2x111此时可得可得切线斜率为 -2,12, x ,，可得切点坐标(1,3 In2),x22综合函数图像可得a 4 In2, 综上所述可得3 a 4 1n2, 故选C.6. (2019 山东高考模拟(文)已知函数f(x) x 若

24、 a一，,万程2x22x a0 ,2 alnx 2x(a R).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)有两个极值点xi,x2(xi x2)且f(x1) mx2 0恒成立，求实数 m的取值范围1【答案】(1) a 时，增区间为(0,2、1 . 1 2a); a 0时，增区间为"' 211 2a(0，-)1.1 2a()；(2)(ln2.(1)函数f(x)的定义域为(0,),f'(x) 2x a 2x2x2 2x a令 2x2 2x a 0,4 8a 4(1 2 a),f (x)在(0,)上单调递增.11若a2时，0, f(x)0在(0,)恒成立，函数两根为

25、x111 2a2，x211 2a当 a 0时，x2 0, x (&,), f'(x) 0, f(x)单调递增.1当 0 a & 时，K>0, x2 0 ,x (0,x，f'(x) 0, f(x)单调递增，x (x2,), f'(x) 0, f(x)单调递增.八，1综上，a 时，函数f(x)单调递增区间为(0,), 2a 0时，函数f(x)单调递增区间为 J * 2a ), 2，0 a 1时，函数f(x)单调递增区间为(0 112a (1 1 2a ).2 ，22'（2）由（1）知，f（x）存在两个极值点 Xi,X2（Xi X2）时，0a 2

26、x1 1X2此时f X1m” 0恒成立，可化为f X1X22x11 Xf 1n x1 2x11 X1Xi Xi11 X1 2X1 1 x11nxi1 X11 X12x1 In x1X11-恒成立'设 g(x) 12x1n x1x (。,2),g'(x)21n x(x(x 1)2 1 厂 21n x(x 1)2x(x 2)(x1)2因为01 一",所以2x(x2) 0 , 2ln x 0,所以g '(x)0,1 、，故g（x）在（0,）单倜递减,2g(x)1n2,所以实数m的取值范围是1n 2.7. （2018届广东省肇庆市高三三模】已知函数（I ）讨论的单调区

27、间；m + irud/，mE/? J>1.(n)若V=E N .，且x + 1 恒成立.求女的最大值.【答案】（1）见解析；（2） 6.x> 1当1-小£0时，即血之1时,版收£0在L + 但）上恒成立，所以（工）的单调减区间是L + s）,无单调增区间.当l-m0时，即me】时,由门，）0得.由（幻0,得丁 口，十，所以幻的单调减区间是/ M. +8）,单调增区间是（1出< /W k a由工+】 得(x + 1)(4 4-1因1a ,一且 Xi + X21 , X1 x2,则 X22岫)=311>中。1）二丈一3_回式1,伊在（L卜座增，中二1lu

28、t0,伊=2 - ln5 > 0 ,"几e （4，使= 0 戢w1即即&） 。#' 必8递减,x e (jt0, s)#(x) > " >。/3递增_（ + D（4 + l 叽）%虱打.1且近/）=%-3-加与=02s 36= r0 + -+ 2 G (y-y)15+4五J21-1令，+ -+ 2 = 7,.:上二曲匚-二一-X£&5+ .21125,.与 e= x0 + - + 2e (7£IS + 01-In> 02|又 k E 小.k£6,斤上：A的最大值为68.（陕西省2019届高三第三次

29、联考）已知函数Rx) = Inx -ax ,9(川)=x2 , cje.（1）求函数"）的极值点;（2）若r*）=（:：恒成立，求。的取值范围.1【答案】（1）极大值点为 巴 无极小值点.（2）【解析】（1） f x 1nx ax的定义域为（O. + s）, 、 1(*) = _当口工口时,fx) = -a>0所以工在0,卜9上单调递增，无极值点;f （x）=-当|口 口时，解X-a>0 Q<x<-口，解1/ (x)=a < 0所以（工在。上单调递增,在一，十 3上单调递减,所以函数“G有极大值点，为无极小值点.（2）由条件可得.忧一-一 "三

30、口口 0恒成立,则当£ 。时,Inxf >x恒成立,lot人(幻二x(x > 0)1 x In-h 3 =令;<x)二 1 一->0:,、 1k ( jc) = 2x< 0, j .则当时，上 ，所以网心在Q + s)上为减函数.又9)=。,所以在(0冉上,kgd；在ia+肛上，Fs)<。.所以依上在0/：上为增函数，在(L + 8)上为减函数，所以M。皿=卜(1)=一口，所以口 上_1.9. (2019 天津高考模拟(文)已知函数f X x3 ax2 a2x 3, a(1)若a 0,求函数f x的单调减区间；2(2)右关于x的不等式2xlnx f

31、 x a 1恒成立，求实数a的范围.R.【答案】(1)a (2) a>- 23【解析】(1) f' (x) =3x2+2ax-a2= (3x - a) (x+a)由 f' (x) v 0 且 av 0 得：a< x< a3a函数f (x)的单调减区间为 a(2)依题意xC (0, +oo)时，不等式 2xlnxwf' (x) +a2+1恒成立,一3x 1等价于a lnx 在xe(0, +00)上恒成立.2 2x人 , 3x 1令h x lnx 2 2xntt 131 3x 1 x 1则 h'x22x 2 2x2x当 xC (0, 1)时,h&#

32、39; (x) > 0, h (x)单调递增h (x)单调递减当 xC (1, +00)时，h' (x) < 0,当x=1时，h (x)取得最大值 h (1) =- 2故 a> 2.10.(2019 河南高考模拟(文)已知函数f x x lnx a b ,曲线y f x在点1,f 1处的切线为2x y 1 0 .(1)求a , b的值;(2)若对任意的x 1,f x m x 1恒成立，求正整数 m的最大值.【答案】(1) a 1 , b 0; (2) 3【解析】(1)由 f x x ln x a b得：f x Inx a 1由切线方程可知：f 12 1 1f 1 a

33、1 2, f 1a b 1,解得：a 1, b 0(2)由(1)知 f xx ln x 1则x 1,时，f xm x 1恒成立等价于x 1,n,x ln x 1 l4 、时，m 恒成立x 1x In xQ h 3 1 ln3 0, h 42 2ln 2 0M 3,4，使得 h x。0当 x 1, 小 时，g x0; xx0,时，g x 0g x min g x0% ln% 1x 1Q h x0x0ln x02 0ln x°x02g x min g x0x0 x02 1x 13,4x In x 1x 11 x 1令 h x xlnx2,则 hx 1 - x x当x 1, 时，h x 0

34、,则h x单调递增m x03,4 ,即正整数m的最大值为311. (2019 山西高考模拟(文)已知函数f(x) mex x2.(i)若m 1,求曲线y f(x)在(0, f (0)处的切线方程;(n)若关于x的不等式f(x) x(4 mex)在0,)上恒成立，求实数 m的取值范围1【答案】(I) x y 1 0； (n) 2e【解析】(i)依题意,f (x) ex x2,故 f '(x)ex 2x. f'(0) 1 ,而 f(0) 1.故所求切线方程为 y 1 x,即x y 10.(n)由 mex x2xx ，x 4 me 得 me (x 1)2x 4x.即问题转化为当x 0

35、时，mx2 4xex(x 1)max令 g(x)4xex(x 1)0 ,则 g '(x)(x 2) x2 2x 2222 x(x 1) e由 g'(x) 0及x 0,得 x J3 1.当 x (0, J3 1)时，g'(x) 0 , g(x)单调递增;当x (出1,)时，g '(x) 0, g(x)单调递减.所以当 x 的 1 时，g(x)maxg(N/3 1) 2e1所以m 2e1百.即实数m的取值范围为 2e1【方法点睛】(II )将原不等式分离常数，得到 mx2 4xex(x 1),构造函数maxg(x)x2 4xex(x 1)求得g x的最大值，由此求得

36、 m的取值范围12. (2019 湖北高考模拟(文)2)已知函数f(x) ex - 12(1)若直线y x a为f x的切线，求a的值.(2)若 x 0, f xbx恒成立，求b的取值范围.【答案】(1) 0； (2) b 1【解析】(1)设切点为 P x0, y0 , f' xex x ,f x0ex0则 h' x ex 1,当x 0时，h' x当x 0时，h' x所以 h x min h 0 又 ex0 -xo 1 x02(2)x 0,2令 g(x) ex 2- 1g' x ex x b当x 0时，h' x h x min 1b, 若b 1,

37、则当x故x 0,0, h x在0, 上为增函数;0, h x在 ,0上为减函数;1,所以xo 0 ,a ,所以a 0.2f x bx恒成立ex 2bx, x 0,h x , h' x ex 1,ex 1 0,所以h x在0,0 时 g '(x) 0 ,故 g x 在 0,时，有g x1 bx 0, x 0,上为增函数，上为增函数，bx 0恒成立，满足题意若b 1,因为g' x为0,上的增函数且 g' 01 b 0, g' ln 2b b In b In 2,1令 s b b ln b In 2,其中 b 1, s' b 10, b所以s b在1,

38、为增函数，所以s b s 11 In 2 0,故存在x0,使得g'(%)= 0且x 0,x0时，g' x 0,g x在0,x0为减函数，故当x0,x0 时，g xg 00,矛盾，舍去综上可得：b 1.13. （2019 天津高考模拟（理）己知函数f x2 xax eaR,fx是fx的导数（e为自然对数的底数）(I)当a 1时，求曲线y f x在点(0, f 0)处的切线方程;(II )若当x 0时，不等式f x【答案】I. x y 1 0； II. a【解析】(I )当 a 1 时，f x 则 f 00 e°1,切线方程为：y 1(II )当 x 0 时，f x 设

39、g x ax2 ex x 1 则 g x 2ax ex 1 , g -1 .当a 时，2a 1 ,此时 2x 1恒成立，求实数 a的取值范围.1,2f 00 e012x ex1 x 0 ,即 x y 1 0x 1恒成立,即:2 xax e x 1 0 在 0Xx 2a eex e0 1,则 g x 0上恒成立可知g x在0,上单调递减，则g x g 00g x在0,上单调递减g x g 001即f x x 1恒成立 a 满足题意21 -当a 一时，令g x 0 ,解得：x ln2 a2当x 0,ln2a时，g x 0,则g x单调递增此时g x g 00,则gx在0,ln 2a上单调递增即当

40、x 0,ln 2a 时，f x x 11即f x x 1不恒成立,可知a 不合题意2综上所述，a14. (2019 浙江高考模拟)设函数 f(x) ax (2) f(x) 0恒成立，f(e) 0,可得 a ,e lnx(a R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x) 0恒成立，求实数a的取值范围.1【答案】(1)见解析；(2)',)2e【解析】2ax2 1(1)由题息，f (x) (x 0).x当a 0时，f'(x)0 ,函数f (x)在(0,)上单调递减；1当a 0时，令f x 0,解得x ,2a)时，f'(x) 0.， 一 1 、， 当 x (0,刀=)

41、时，f (x) 0 ,当 x .2af(x)在(0,上单调递减，在(.2a,)上单调递增;由(1)可得,f(x)在(0,上单调递减，在(.la,)上单调递增,i , 1 、1, , 1 、1,1 C i 1f (x)的取小值为 f ( i ) 一 ln( ). ln /0,斛得 a 一.2a 2,2a 2, 2a2e一 1因此，实数a的取值范围为',).2e【方法点睛】(2) f (x) 0恒成立，由(1)知-1 f (x)在(0,正1)上单倜递减,在)上单调递增,求其最小值，由最小值大于等于0求解a的取值范围.15. (2019 临川一中实验学校高考模拟(理)已知函数f (x) ex

42、 ax b .(其中e为自然对数的底数)(1)若f(x) 0恒成立，求ab的最大值;(2)设g(x) ln x 1 ,若F(x) g(x) f(x)存在唯一的零点，且对满足条件的a,b不等式m(a e 1) b恒成立，求实数 m的取值集合.e.【答案】(1) ； (2)1 .2【解析】x(1) g x a,1 b当a0时，gx 0 , g x在R上单倜递增，取m min 0,a当 m 时，g %ex0 a% bax0 1 b 0矛盾；当 a 0 时，g xex b b,只要b 0 ,即b 0 ,此时ab 0 ；当 a 0 时，令 g x 0 , x In a,所以g x在Ina,单调递增，在

43、，ln a单调递减，g x g In a a aln a b,所以 a aln a b 0,即 b a aln a ,此时 ab a%一,b 1 xo eIn x0, x0 a2 In a ,222 1令 h a a a In a, h a 2a 2aln a a a 1 2ln a , a令 h a 0, a e,当a 0, y/e , h a 0, h a在0, JI上为增函数；当aje,ha 0, h a在x/,上为减函数. _11ee所以h a h vee -e -e,所以ab 一，故ab的最大值为一 .2222一 1 x(2) F x - e a在0,单调递减且F x在0, 的值域为R,xIn x0 1即1 x ex0%所以aex0设F x的唯一的零点为x。，则F x00, F