教材背景函数是中学数学教材体系的重点组成总分

1、探究式教学案例 2.4反函数 洞头县第二中学陈展（325701）【案例背景】：研究性学习是教材改革的一个重大举措，是新教材教学的一大亮点，目的在于培养学生寻找问题、发现问题、分析问题和解决问题的能力，走出纯知识纯逻辑的传统数学学习方法，进入合作学习、动手实践、感受数学、应用数学的领域中去，培养创新意识和创新能力。于是，能将这一教学思想渗透到日常教学中去的探究式教学模式在各校之间轰轰烈烈的展开，日前，本县三所高中联合举办了主题为“探究、创新”的高中数学教学交流会，本堂课正是探究式教学模式的一次尝试。【教材背景】：函数是中学数学教材体系的重点组成总分，也是高考的重点考察内容，反函数是在函数的概念、

2、性质的基础上的深化，最近几年全国高考和各地的会考，都出现了单独考察反函数的题型，往往以小题出现，难度不大，涉及到反函数的解析式、定义域、值域、函数值、图象和性质等。【知识目标】：深入理解原函数与其反函数的定义域与值域的关系；掌握函数yf（x）、f（x1）、f 1(x)与f 1(x)之间的定义域、值域、图像间的关系。 【能力目标】：进一步培养学生对数学的理解、辨别、判断能力及探究、发现提出问题、分析解决问题的能力。【情感目标】：体验挫折和成功，感受数学思维魅力，培养积极思考、敢于质疑、勇于探索的创新精神。【思想方法】：类比法、换元法、图像法、方程与函数思想、数形结合思想、化归思想【教学设计】：

3、一、创设悬念，引发求知探索欲望T：我近几天睡不好饭不香，知道是什么原因吗（一顿）？是解反函数题中遇到的几个棘手的问题。S：我们可以解吗？T：当然，是我们现在刚刚学的知识的范畴，请同学们帮忙一起解决学生大都露出微笑专注的神情，由设悬念吸引注意力，激发探索求知欲望二、反思例题，培养发现问题的能力例：已知f (x)2x3（x1），求f (3)，f (x1)，f 1(x)，f 1(x1)。2分钟后，学生纷纷举手，由4个学生口答思路T：这些是近几节课的基础知识，我们都已经深知，掌握的不错，这当然不是我的困惑，我的困惑是在我做这几道题时产生的，知道我的困惑在哪吗？S：不知道。学生的回答过于随意，可能与平时

4、课堂气氛过于宽松有关吧T：既然我的困惑产生于解题过程，那么大家也应从刚才的解题过程去找啊，重温刚才的解题过程，看有什么想法没？找出一些问题来，自己尝试去解答。引导学生由看似简单的题目中去发现问题，养成一个思考探索的学习习惯，一阵沉默之后，学生纷纷举手S：f (3)是什么意思啊？（许多学生笑了）f (x1)与f 1(x1)是否互为反函数？f (x1)是函数还是函数值？f (x)与f (x1)究竟有何关系？f (x)与f (x1)的值域相同不？T：好极了，这些也正是我的困惑，同学们真是历害的紧，居然能知我所想！学生因感到能猜对老师的心事而都觉得很兴奋。其实学生的思考很丰富的，有些想法甚至是离题太远

5、，由于课堂需要，不敢放得太开， 匆匆打断了学生的进一步的思考，自己进行了问题分类。T：对刚才同学们的问题进行了整理，主要分为五个方面（分为五块进行板书）1、f (3)的意义、（3，f (3)）的代数意义与几何意义；2、yf (x)与yf (x1)的关系；3、yf (x)与yf 1(x)的关系；4、yf 1(x)与yf 1(x1)的关系；5、yf (x1)与yf 1(x1)的关系。三、展开讨论，培养分析解答能力T：f (3)的意义、（3，f (3)）意义是什么呢？学生举手踊跃S：f (3)的意义为yf (x)当x3时的函数值，（3，f (3)）的代数意义表示方程y2x3的解，几何意义为函数y2x

6、3图象上的点；T：很好，对函数值的概念意义理解很到位。那yf (x)与yf (x1)有什么关系呢？学生反应较为迷惑，一时不知从何答起T：函数之间的关系，应从函数的根本上去讨论，用什么去刻划函数的？S：三要素：定义域、值域和对应法则，T：既然如此，那么这个问题可以从哪几个方面去回答？S：我明白了，分三方面去分析：这二个函数的定义域有什么关系？对应法则有什么关系？值域又有什么关系？T：为了更直观反应函数性质，还可以从哪方面去考察？S：图象通过点拨，引导学生继续发现问题，提出问题，并能分解问题，从而达到简化问题的目的。前面匆匆的结束对发现问题的探索，在此给予弥补。T：现在要回答的问题已经非常明确了，

7、yf (x)与yf (x1)的定义域之间有什么关系？S：不一样，yf (x)的定义域与yf (x1)中的(x1)的范围是一样的，即由yf (x)的定义域可以求出yf (x1)的定义域，反过来也成立。T：答得很好。能举例吗？S：f (x)x1，f (x)x2等T：好象不很明显，能否举出解析式本身自带条件限制的函数呢？S：f (x)，f (x)T：很好，请以f (x)为例，详细说明。S：f (x)，则f (x1)，则第一个函数定义域为x0；第二个函数定义域由x10求得。师生配合刚好，教师需要的例子由学生积极想出。可见平时配合还是不错的。T：答得真好。那yf (x)与yf (x1)的对应法则之间有什

8、么关系？迷惑着，一会儿后分成二泒，认为不一样的居多S：一样：因为同样的f啊S：反驳 不一样，明显的2x3与2x1是二种不同的对应S：再反驳 要是不一样，f (x1)的表达式从何而来？不正是一样，才可以代入的吗？二方都陷入了沉思，承认对方有理，可是自己的道理亦很充分T：双方都答得很有道理，双方不妨都顺着对方的思路想想，能不能找出对方的漏洞或者弱点。S：（恍然）对了，刚才求f (x1)时确实是用x1代入f (x)，其实这时是把x1设为t，则f (x)与f (t)分别对x和t来说，对应法则当然一样，可是现在是yf (x1)是对自变量x来说的，对应法则当然不一样！T：答得好极了，既然对x来说，对应法则

9、不一样，那么yf (x1)可以改写为？S：yf (x1)g (x)真理真是愈辨愈明，在教师的循循善诱下，学生思维很是活跃，思考很深入，回答很精彩T：趁热打铁那么yf (x)与yf (x1)的值域又有什么关系呢？S：定义域、对应法则都不一样，那么值域也不一样。S：不，不能因为这二者都不一样，就认定值域也不一样，如f (x)与f (x)x2。S：我知道了，由刚才的解答，马上可以解答这个问题：设x1t，则f (x)与f (t)的定义域一样，对应法则也一样，那么值域当然也一样！T：太好了！为了加深对这二者关系的理解，我们换种方式进行，直观些的？S：图象T：OK！画出yf (x)2x3（x1）与yf (

10、x1)2x1（x0）的图象，有什么体会？S：值域一样，都是y1，图象是平行的S：图象间可以进行平移，上下平移二个单位或者左右平移一个单位。S：不能上下平移，要是直线是可以的，现在是二条射线，上下平移时有一部分会丢失的。T：答得好，仔细观察图象，确实可以发现只能进行左右平移，由向平移单位得到学生充分回答后，引导回顾初中二次函数的图象平移规律，举例f (x)x2与f (x)2 x，可见yf (x)与yf (x)的图象可以通过平移得到，左平移一个单位，平移规律与初中相仿S：左上为正，右下为负T：引伸：yf (x)可以通过怎样的平移变为yf (xh)呢？S：h0时左移h个单位，h0时右移h个单位高潮迭

11、起，一波又一波，学生在思考过程中充分感受着数学魅力，体验着提问、析问、解问的手段、方法及成就感四、休闲时光，低强度训练放松心情练习1：若函数yf (x) 的图像经过点（1，3），则函数yf (x2) 的图像一定经过点（，）； T：问题三：yf (x)与yf 1(x)有何关系？S：yf (x)的定义域和值域正好是yf 1(x)的值域和定义域，对应法则恰好是互逆关系S：它们的图象关于直线yx对称，且在各自的定义域范围内具有相同的单调性。T：如何画yf 1(x)的图象？S：描点法或者由yf (x)对称而得。T：二个函数互为反函数的条件是？S：同上：定义域与值域刚好是反着的即一个函数的定义域是另一个函

12、数的值域，同时这个函数的值域是另一个函数的定义域。T：这是这二个函数互为反函数的条件？S：必要条件！还要补上对应法则就成充要条件了。T：那么利用这个结论，可以判断二个函数是否互为反函数。练习、函数y= （1x0）的反函数为（）、y= （1x0）、y= （1x0）、y= （0x1）、y= （0x1）在轻松的气氛下，解决了第三问和巩固练习五、高潮再起，培养数学建模意识T：由前面的分析，再来分析yf 1(x)与yf 1(x1)的关系这个问题是对前面的分析作一次回顾，检查学生的理解程度和效果，看学生能否正确建立模型并应用，并且能加深对对应法则f 1的理解。S：同yf (x)与yf (x1)之间的关系一

13、样，yf 1(x)的定义域与yf 1(x1)中的x1的范围一样；对应法则不一样，而值域却也是一样的。看到有部分学生仍是一脸迷茫的样子，教师继续提问T：怎样理解与yf (x)与yf (x1)之间的关系一样中的“一样”这个词？S：f 也好，f 1也好，都只表示一种对应，只需把f 1改写成g即可，于是yf 1(x)与yf 1(x1)就变成了yg (x)与yg (x1)间的关系，当然与yf (x)与yf (x1)之间的关系一样的啦。T：精彩！答得实在很好！那部分感到迷惑的学生亦露出会心的笑容，可见刚才的解答的精彩。T：那yf (x1)与yf 1(x1)究竟是不是互为反函数呢？本来在此的设计是先分析yf

14、 1(x)与yf 1(x1)的图象的，由于学生回答没有答到这点上去，就顺水推舟，把下一个问题先给出，把学生的思维再次推向一个高潮。学生的反应又是非常的激烈，在是与不是的选择中，迷茫、懊恼、兴奋浮现在众多的学生的脸上。S：一样的，x1一样，而且f与f 1正是具有反函数关系的基本表示。S：不一样，总觉得对x而言是不一样的T：能不能直观去判断一下呢？学生纷纷动手画图象yf (x1)与yf 1(x1)之间的图象，发现并没有关于直线yx对称。T：你是如何作yf 1(x1)的图象的？S：yf 1(x1)的图象可以由yf 1(x)的图象向左平移一个单位而得。T：很好！那么yf (x1)与yf 1(x1)之间

15、如果不是互为反函数，那么它们的图象有没有什么关系呢？大家继续认真观察图象，终于S：这二者之间有对称关系，也关于一条直线对称。S：对，关于直线yx1对称。S：不，是关于直线yx1对称。对称轴过点（0，1），而且从平移的角度来看，yf (x1)与yf 1(x1)的图象是分别由yf (x)与yf 1(x)的图象左移一个单位得到，既如此，那么yf (x1)与yf 1(x1)的图象间的对称关系不变，而对称轴也向左平移了一个单位即yx向左平移了一个单位，变成了直线yx1。T：答得太好了。确实如此！事实上，刚才有的同学回答是反函数，是因为S：仍是把x1看作一个新变量t，则对t来说，确实他们是互为反函数，则y

16、f (t)与yf 1(t)之间的图象关于直线yx对称。T：而现在的函数的自变量当然S：是x，对x而言，当然不具有反函数关系。教师问，学生齐答，一时之间，课堂气氛极好，高潮再次涌起，学生的思维再次得到充分的激发T：那么yf (xh)与yf 1 (xh)的图象又是什么关系呢？课外请思考。六、完美结局，培养总结归纳能力T：看大家这么高兴，收获一定不小吧？有谁愿意来给本课作一个小结？S：yf (x) 与yf (xh)定义域（都是对自变量x而言）不一定一样，但在f下的范围是一样的，即x与txh的范围一样；S：yf (x)可以通过平移变为yf (xh)呢？当h0时左移h个单位；当h0时右移h个单位；S：二

17、个函数互为反函数的必要条件是：一个函数的定义域是另一个函数的值域，同时这个函数的值域是另一个函数的定义域；S：yf (x1)与yf 1(x1)不是互为反函数，但它们的图象也对称，关于直线yx1对称。七、留有余地，继续展开思维的翅膀T：本堂课我们通过一个很简单的题目，深入挖掘，发现了很多的问题，并通过我们的积极思考，同学间的配合，成功的解决了我们自己遇到的问题，这正是数学学习的魅力所在，希望大家在今后的学习过程中多多思考，寻找并提出问题，分析并解决问题。作业：已知f (x) x21（x1），求yf 1(x)，看自己能给自己提出并解决多少个问题，明天比比谁的思考最有深度。【教学反思】：通过本堂的备

18、课和教学，对探究式模式有了进一步的理解。新一轮国家基础教育课程改革的一个重要而具体的目标，就是要改变至今仍普遍存在的以“知识本位、老师本位”，学生被动接受、大运动量反复操练的学习方式，倡导学生主动参与的探究式学习。这就要求在教学过程中，辩证地处理学生自主与教师指导的关系，不仅强调学生要倾听教师，更要强调教师要倾听学生，珍视探究中学生的个人观念、独特感受和体验，并引导学生积极反思。探究式教学就是教师如何把新课标对大纲对教材的再创造的思维过程，转化为学生的再发现过程。“只要数学的学习过程稍能反应数学的发现过程，那么就应当让猜想、合情推理占有重要地位。”本堂课的亮点在于：1、对教材有所挖掘，或许其中的有些知识点是部分教师没深思过的； 2、课堂的设计体现了师生平等的原则，把课堂交给学生，以学生为主体，教师为主导。点拨很到位，具有一定的艺术性。3、在学生再发现的过程下了很大的努力，使得整堂课探究气氛浓厚：问题的提出上，由悬念引入，以看似简单的课堂练习为载体，引导学生反思解题过程，从而去寻找、发现、提出问题；问题的分析上，采取了概念问题追根溯源分解、同类问题比较分析等思维方式；问题的解决上，采取分解、类比联想、观察、辩论、自省等方法；4、教学设计过程中根据注意力分配规律，对梯度把握的很好，使得整堂课节奏紧凑，高潮迭起。本堂课的不足在于：1、引课方面还可以进行更好处理，使得与本课题更