2020年中考数学压轴题：《折叠与图形存在性》

1、2020年中考数学压轴题:折叠与图形存在性28题型一：直角三角番存在性问题折叠与图形存在性题型二：等腰三角形存在性问题题型三：敷董（住置）关系存 在性问题典例剖析【例1】（2019郑州外国语模拟）如图，在RtA ABC中，/ ACB=90, AC=2 , BC=4 , CD是ABC的中线，E是边BC上一动点，将 ABED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于G,当 DFG是直 角三角形时，则 CE=.2【解析】解：在 RtAABC中，由勾股定理得：AB=2 J5,由折叠性质知/ F=/BW90；分两种情况讨论,（1）当/ FDG=90时，D是RtA ABC斜边AB的中点，CD = BD=

2、AD= ,5 , ./ B=Z DCE=Z F, / DCE+ / GEC= Z F+Z FDG ,/ GEC=90 ,在 RtDFG 中，tan/F = _DG, DFDG=-5 ,2 .CG=CD DG=画, 2 _，_ _ _ 54在 RtA CEG 中,CE=CG cos/ GCE= x= =1 22.5由（1）知/ B=ZF=ZDCB,由 BD=DF = 75,DG = DF sin/ F=J5 x= =12.5.CG=CD-DG=75-1,.CE=CG/s/DCB=（恋1）45.5-2,52故答案为：1, 口后.2【变式1-1（2018 洛阳三模）如图，在菱形ABCD中，Z DAB

3、 =45 , AB=8,点P为线段AB上一动点,过点P作PELAB交直线AD于E,沿PE将/ A折叠，点A的对称点为点 F,连接EF、DF、CF,当ACDF是直角三角形时， AP=【解析】解：如图，当 DFLAB时，ACDF是直角三角形,在 RtADF 中，AD=8, Z DAN=45 , DF=AF=4 点,AP=2 我；如图，当 CFLAB时，ADCF是直角三角形，在 RtACBF 中，/ CFB=90 , / CBF = Z A=45 , BC=8,BF=CF=4 72 , . AF=AB+BF=8+4 ,2 , AP=1 AF=4+2 - 2 , 2故答案为：4或4+2 72 .【例2

4、】（2019河南南阳一模）如图，矩形 ABCD中，AB=2, AD =4,点E在边BC上，将 DEC沿DE翻折后，点C落在点C处.若ABC是等腰三角形，则 CE的长为.A【分析】根据 ABC是等腰三角形，分 AB=AC =2AC BC,即C落在AB的垂直平分线上时;AB=BC = 2三种情况讨论，逐一作出图形求解即可【答案】2或毡.3【解析】解：分三种情况讨论:AB=AC =2如图所示,可得：四边形 CDCE是正方形，即 CE=2;AC BC,即C落在AB的垂直平分线 MN上时，如图所示,CDM=30 ,即得：/ CDC=60, /EDC=30,CE=CD tan/ EDCo 3=2 X 32

5、 3=；3 AB=BC，=2此时作出C的运动轨迹，及以 B为圆心，2为半径的圆，发现二者不相交，如图所示,C运动轨迹即此种情况不存在；综上所述，答案为：2或忠.3【变式2-1（2019郑州外外国语测试）如图所示，在 4ABC中，/ C=90, AC田C,将4ABC沿EF 折叠，使点 A落在直角边BC上白D点，设EF与AB、AC分别交于点E、F,如果折叠后 4CDF和4BDE 均为等腰三角形，那么/ B=.【答案】45或30.【解析】解：若 4CDF是等腰三角形，C=90,CDF = Z CFD=45 ,由折叠性质知，/ A=/FDE, /B=/EFD,若4BDE是等腰三角形，则：(1)若 DE

6、=BD,设/ B=Z DEB=x,贝U/ A=Z FDE =90-x,. / CDE= Z B+Z DEB,45+90 x=x+x,解得：x=45,即/ B=45 ,若DE=BE,/CDE=180/ BDE=180-Z B,/ CDE =45 + / FDE =45 + / A=45 +90 -Z B=135 - ZB,.不符合题意，(3)若 BD=BE,设/ B=x,则/ BDE = Z BED=90 -x2 ，Z CDE =45 +/A=135x,Z CDE =/B+/DEB=90 +1x2，135-x=90 + lx,解彳导:x=30,2即/ B=30 ,综上所述，/ B的度数为：45或

7、30.E为斜边AB的中EPA；当折叠后【例 3】（2019 商丘二模）如图，在 Rt祥BC 中，/ ACB=90, /B=30, AC=2, 点，点P是射线BC上的一个动点，连接 AP、PE, WAAEP沿着边PE折叠，折叠后得到 EPA与ZBEP的重叠部分的面积恰好为 AABP面积的四分之一，则此时 BP的长为【答案】2或2g.【解析】解：.一/ ACB=90, /B=30, AC=2, E 为 AB 的中点, AB=4, AE= 1AB=2, BC=2T3.2(1)若点A落在BC上方时，连接 AB,由折叠可得 SMEP= SAEP, AE = AE=2,.点E是AB的中点,Sa bep=

8、S aaep= S mbp .21由题可得：Sa efp= - S aabp4Saefp= - Sabep= - Saaep= 工 Szaep, 222 .EF=BF, PF = AF.四边形AEPB是平行四边形,若点A落在直线BC卜方时，连接 AA小可得：GP = BG, EG=1. BE= AE,一 1 EG= - AP= 1, 2 . AP=2AP= AC,即此时点P与点C重合，bp= BC = 2V3 .故答案为：2或28.【艾式3-1】(2019安阳二模)如图，在点E在边AB上，将AADE沿DE翻折，使点A【答案】1或9.22【解析】解：分两种情况：(1)当 AE/BC 时，/AEG

9、 = /B,，交EP与H,AABC 中，/ C=90, AB= 5, BC = 4.点 D 是边 AC 的中点,A落在点A处，当线段 AE的长为时，AE/BC.BP= AE = 2;rxCB由折叠可得，/ A= /A,/ B+Z A=90,. AEG+Z A=90,. AGE= 90,ABCA ADG ,.AG AD DG-，AC AB BC_13-AD= -AC= 3,22AG= , DG = 6 , AG =,10510设 AE= AE= x,贝U EG = x, 10则 cos/GEA-EG -AE 5 x=,即 AE=; 22(2)当 AE/ BC 时，/ AHE=Z C=90,AH

10、CD,设 AE= y,由AHEsACB,得：-AH- 娼 EHAC AB BCl 1AH = _ y, HE = y,55由折叠可得， AE = AE = y, AD = AD = 3 , 2 .AH=1y DH = y-, 552/， DH 4sin Z DA H=,AD 5可得：y=9,即 AE= 9 , 22故答案为：1或9.22压轴精练1. (2017关B州一模)如图，在 RtAABC中，/ ACB=90, AB=5, AC=3,点 D是BC上一动点，连结AD,将9CD沿AD折叠，点C落在点C 连结C D交AB于点E,连结BC.当ABCD是直角三角形时,DE的长为24【解析】解：(1)

11、当点E与点C重合时，ABCD是直角三角形,在Rt祥BC中，由勾股定理得：BC=4.由翻折的性质可知； AE=AC=3 , DC = DE, EB=2 .设 DC=ED=x,贝U BD=4 - x.在RtADBE中，由勾股定理得：DE2+BE2=DB2,即 x2+22= (4-x) 2.3 解得：x= 一.2(2)当/ EDB=90 时，由翻折的性质可知： AC=AC, /C=/C =90. 可得：四边形 ACDC为矩形. , AC=AC,，四边形ACDC为正方形.，CD=AC=3. DB=BC-DC=1. DE / AC,DEBD1DE1一一-,-.ACBC4，34解得：DE=3. 4(3)二

12、点D在BC上运动, ./ DBCv90,即/ DBC不可能为直角.故答案为：3或3. 242. （2019洛阳三模）如图，已知 RtA ABC中，/B=90, /A=60, AB=3,点 M, N分别在线段 AC, AB上，将ANM沿直线 MN折叠，使点A的对应点 D恰好落在线段BC上，若4DCM为直角三角形 时，则AM的长为.【答案】2或363.【解析】解：二.在 4CDM中，/ C=30,，分两种情况讨论4CDM为直角三角形的情况,(1)当/ CMD=90时,如图所示,设 AM=x,贝U DM=x, CM= J3x, ，x+J3x=6,解得：x=3j3 3;(2)当/ CDM=90时,如图

13、所示,设 AM=x,贝U CM =2x, DM=x,1- x+2x=6,解得 x=2,综上所述，答案为:3百3或2.3. (2019周口二模)如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=6, BC=8, E是边AD上的点，以CE为折痕折叠纸片，使点 D落在点F处，连接FC ,当4AEF为直角三角形时，DE的长为.【解析】解：由题意知，/ EAFW90；(1)当/ AEF=90 时，如下图所示，AED即 DE=6;(2)当/ AFE=90时，如下图所示,AC=10, CF=6, AF=4,设 DE=x,贝U EF=x, AE=8-x, 在RtAAEF中，由勾股定理得： x2+42= (8 x) 2,解

14、得：x=3, 故答案为：3或6.4. (2018 焦作一模)如图，在 RtABC 中，/A=90, /B=30, BC=J3+1,点 E、F 分别是 BC、AC边上的动点，沿 E、F所在直线折叠/ C,使点C的落对应点C始终落在边AB上，若aBEC是直角三角形 时，则BC的长为.3【解析】解：一/ B=30 ,，分两种情况讨论：当/ BEC=90时，BE=君 CE,. CE=CE, BC= 3+ +1,BE= J3 , CE=1, RtA BEC中，由勾股定理得：BC=2 ;当/ BCE=90 时,BE=2CE=2CE, BC=6+1 ,21 .BE=*X( V3 + 1), CE=- (V3

15、+1),33在RtA BEC由勾股定理得：BC= 3 网;3综上所述，BC的长为纥叵或2. 35. (2019南阳毕业测试)如图，在RtAABC中，AC= 8, BC=6,点D为斜边 AB上一点，DEAB交AC于点E, WAAED沿DE翻折，点A的对应点为点F.如果4EFC是直角三角形，那么 AD的长为C【答案】7或5.5【解析】解：在 RtAABC中，AC = 8, BC = 6,由勾股定理得：AB=10,按直角顶点位置分类讨论，匕 &u : k 0 lti 巾5二尸DCCIEiu_rL-Bunjts-Lr、：_nr_mjr若/ CFE=90, .在 RtA ABC 中，/ ACB= 90,

16、 ./ CFB + Z EFD = Z B+Z A=90,由翻折知：/ A= / EFD, AE=EF, ./ CFB = Z B, CF =BC=6,在 RtA CEF 中，有 CE2=EF2+CF2,即 CE2= ( 8-CE) 2+62,.CE=空AE =由/ ADE = Z ACB = 90,得 AADEs ACB,AE AD一 ,AB AC得：AD=7;5当/ ECF = 90时，点F与B重合, AD= 1AB=5;2当/ CEF = 90时，贝U EF / BC, / AFE=Z B, . / A=Z AFE, ./ A=Z B,，AC=BC （与题设矛盾），这种情况不存在，综上所

17、述：如果 4EFC是直角三角形，AD的长为7或5.5故答案为：1或5. 5将MBCBE的长度6.（2019开封二模）在RtA ABC中，AC=3, AB=4, D为斜边 BC中点，E为AB上一个动点, 沿直线DE折叠，A、C的对应点分别为 A、C； EA交BC于点F,若4BEF为直角三角形，则 为.24【解析】解：.一/ BW90；，分两种情况讨论：当/ BEF=90时，过 D 作 DM，AB于 M,则/ EMD =90, DM / AC, D 为 BC 中点,A可得：M为AB的中点，BM= -AB=2, DM = -AC=-,222由折叠可得，/ MED= - Z AEF = 45, 2.

18、DEM是等腰直角三角形，EM= DM =-, 2BE= 2 =2当/ BFE=90时，连接 AD, AD,RtMBC 中，AC=3, AB=4,由勾股定理得：BC=5,RtABC中，D为BC的中点,AD= BD = AD= -BC=-, 22 ./ B=Z EAD = Z FAD,设 BE=x,贝U BF = BE cosB=由 sin/ FAD = sinB,得:解得：x=5,即 BE=5,44综上所述，BE的长度为1或5.247. （2019安阳一模）如图，在RtABC 中，Z C=90, AC = 4J3, BC=4 ,点 D 是 AC 的中点，点 F 是边AB上一动点，沿 DF所在直线

19、把4ADF翻折至U ADF的位置，若线段 AD交AB于点E,且ABAE为 直角三角形，则 BF的长为.CB【答案】28或6. 5【解析】解：由分析知/ EBA才90。分两种情况讨论:(1)当/ BAE=90时,如图所示,连接BD,过F作FHXAC于H,可得：BCD0BAD, /BDF=90,当/ BEA=9CB寸,B设 FH=x,贝U AF=2x, AH=73x, DH =2 73 -x, BF=82x,由勾股定理得:BD2+DF 2=BF2, DF2=DH2+FH2,即 BD2+ DH2+FH2= BF2,282 3 x一 一 12 解得：x=,5即 BF= 28 ;5如下图所示,由折叠性质

20、知，/ A=Z ADF = Z EDF=30 ,. , AD=2 V3 ,DE= 3 , AE=3,l- EF= - DE=1, 3AF=2,即 BF=6,综上所述，BF的值为竺或6.58. （2019省实验一模）如图，在 RtA ABC中，AB = 3, BC= 4,点P为AC上一点，过点 P作PD，BC于点D,将4PCD沿PD折叠，得到 APED,连接AE.若 APE为直角三角形，则 PC=.【答案】35或125.3232【解析】解：若/ APE=90,贝U/ CPD = Z EPD=45 ,可得/ C=45,与题意不符, ./ APE w 90；在RtABC中，AB=3, BC=4,由勾

21、股定理得： AC=5,当/ AEP=90时,设 PC = x,在 RtPDC 中，sinC= 3 , cosC = 4 , 55所以 PD = x, CD = x,由折叠知DE = CD= 4x ,5BE= BC - CE= 4 - x5， . / B=Z PDE,Z BAE+Z AEB=90, / PED+/ AEB= 90, ./ BAE = Z PED = ZC,tan / BAE= tan / C,4 8x53解得：x=35,32即 PC=35；32当/ EAP=90时，如下图,设 PC=x,则 PE=x, PD=3x, CD= -x, CE=8x, BE=8x4, 5555可证：/

22、AEB=/C, . tan/ AEB= tan / C,BE 3, AB 48x 4 3即53, 34125解得：x= 32即 PC=!25 ,32综上所述，答案为：35或125.32329. （2019叶县一模）如图，矩形ABCD中，AB=4, AD =6,点E为AD中点，点 P为线段AB上一个动点，连接EP,将4APE沿PE折叠得到FPE,连接CE, CF ,当 ECF为直角三角形时，AP的长为【答案】1或9.4【解析】解：由图可知，/ ECFW90；所以分两种情况讨论:(1)当/ CFE = 90 时,由折叠可得，/ PFE=/A=90, AE=FE=DE,CFP = 180,即点P,

23、F, C在一条直线上, RtACDERtA CFE,.-.CF=CD = 4,设 AP=FP = x,贝U BP = 4- x, CP = x+4,在 RtBCP 中，BP2+BC2=PC2,即(4 x) 2+62= ( x+4) 2,r 99解得x=,即AP=;44(2)当/ CEF = 90时,过 F 作 FHAB 于 H,作 FQAD 于 Q,则/ FQE=/ D=90, . / FEQ+/CED = / ECD+/CED, ./ FEQ = Z ECD, . FEQA ECD,FQ QE EFDE CD CEFQ QE 3345912 .FQ=- , QE=,AQ=HF=3-QE= -

24、, AH = QE=9,55设 AP= FP = x,则 HP = 9 x, 5在 RtPFH 中，HP2+HF2=PF2,即(9-X)2+ ( 3) 2=X2, 55解得x= 1,即AP= 1.综上所述，AP的长为1或9 .4点M、N分别在j DCM为直角10. (2019 濮阳二模)如图，已知RtAABC 中，/ B= 90, / A= 60, AC=2，3+4,线段AC、AB上，将AANM沿直线MN折叠，使点 A的对应点D恰好落在线段 BC上， 三角形时，折痕 MN的长为.答案2A 4或褥. 3【解析】解：一/ C=30,即C不可能是直角顶点,，分两种情况讨论：(1)当/ CDM = 9

25、0 时，C在 RtABC 中，Z B=90, /A=60, AC=2T3+4, ./ C=30, AB= 73+2,由折叠性质知，/ MDN =Z A= 60,BDN = 30,bn= 1 dn= Ian, 22BN= 1AB=君 2 ,AN=2BN =由/ DNB = 60,得：/ ANM = Z DNM =60, . AMN是等边三角形，AN= MN = 2底 4 ； 3(2)当/ CMD = 90时,C由题可得，/ CDM = 60, /A=/MDN=60, ./ BDN = 60, / BND = 30,BD= 1 DN= 1 AN, BN= V3BD, 22AN=2, BN= 73

26、, BD=1 ,CD = BC-BD=岳 AB - BD=2 / +2, DM=AM = -CD= V3+1, 2 在 RtMNH 中，AH=1AN=1, NH= J3, 2HM =AM -AH = 3 ,在RtA HNM中，由勾股定理得： MN=;故答案为：284或几.11. (2019郑州联考)如图，正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3,点F是边BC上不与点B, C重合的一个动点，把 4EBF沿EF折叠，点B落在B处.若4CDB恰为等腰三角形，则 DB的长5【答案】16或4指.【解析】解：分三种情况讨论,(1)当 BD = BC 时,过B作GH / AD交AB、CD于点G、H,则/ BGE=90D可得：GH是CD、AB的垂直平分线, . AG= DH= -DC = 8, 2由 AE=3, AB=1