2020-2021学年山西省高考数学文科模拟试卷(5月)及答案解析

1、山西省 高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题1 .设集合A=4, 5, 7, 9, B=3, 4, 7, 8,则集合AB中的元素共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2 .已知向量于（2, 1）, 5= （x, 2）,若W/E，则Z+E等于（）A. （-2, T） B. （2, 1）C. （3, T）D. （-3, 1）3 .在复平面内复数 6+5i、- 2+3i对应的点分别为 A、B,若复数z对应的点C为线段AB的中点，则的值为（）A. 61 B. 13 C. 20 D. 104 .从1, 2, 3, 4, 5中随机选取一个数为 a,从1, 2, 3中随机选取一个数为 b,

2、则ba的概率是（）八q -3八2 一A. -B. -C. ITD.55555.如图是将二进制111111 （2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A. i6 C.35 D. i56.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为 包知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？（钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）5435A.二钱B.瓦钱C. 7T钱D.二钱TJ上J7.若圆 Ci： x2+y2+ax=0与圆 C2：

3、 x2+y2+2ax+ytan。=0 都关于直线 2xy 1=0对称，贝U sin 0cos 0 =A.B.837C.D.8.某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为(A. 2 . B. 3 ,C. 4 一一 D. 6.：9 .设偶函数f (x) =Asin ( ox+4) (A 0, w0, 0V(j)v %)的部分图象如图所示， KLM为等腰直角三角形，/ KML=90, KL=1,则f (击)的值为(10 .已知 f (x) =ex - x, g (x) =lnx+x+1,命题 p： ?xC R, f (x) 0,命题 q： ? x0 c (0, +0),使得g (x0)

4、 =0,则下列说法正确的是()A. p是真命题，p：?%eR, f(Xo) 0, b0)的左右焦点分别为 F1, F2, |FF2|=4, P是双曲 a I bZ线右支上白一点，F2P与y轴交于点A, APE的内切圆在边 PF1上的切点为Q,若|PQ|=1,则双曲线的离心率是(12 .定义在区间(0, +8)上的函数f(X)使不等式2f (x) vxf (x) 3f (x)恒成立，其中f(x)为f (x)的导数，则()f C2)_f C2)_f C2)_ f C2)A- 8W16 B 4帚8 C 3fO) 4 D- 2W2工-42 ,则-y的最大值是14 .在 ABC中，角A, B, C对应的

5、边分别是 a, b, c,其中A=120, b=1, 4ABC的面积S=/l ,einA+sinB15 .已知在三棱锥_ ,兀 I兀 _ , _P-ABC 中，Vpabc= ；, /APC丁，/ BPC, PAL AC, PB BC,且平面PAC,平面PBC,那么三棱锥 P-ABC外接球的半径为16 .已知函数f (x)是定义在 R上的奇函数，当 xv 0时，f (x) =ex (x+1)给出下列命题:当 x 0 时，f (x) =ex (1 x)函数f (x)有2个零点f (x) 0 的解集为(-1, 0) U (1, +8)？ Xi, X2C R,都有 |f (Xi) f (X2)|V2其

6、中正确的命题是.三、解答题17 .已知数列an的首项 a产二，an+i=n=1, 2, 3, 3 中、，1 (I )证明：数列 1是等比数列；(n )求数列产一的前n项和Sn， %18 .在某大学自主招生考试中，所有选报n类志向的考生全部参加了 数学与逻辑”和 阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为 A, B, C, D, E五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统 计如图所示，其中 数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.科目中成绩为A的人数;(I )求该考场考生中阅读与表达(D)若等级A, B, C, D, E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生 数学与逻 辑”科目的平均分

7、;(出)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为 A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.19 .如图所示，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AA平面ABC,点M是棱CC的中点.(1)在棱AB上是否存在一点 N,使MN/平面AB1C1?若存在，请确定点 N的位置；若不存在,请说明理由;(2)当 ABC是等边三角形，且 AC=CC=2时，求点 M到平面AB的距离.r20 .已知两点A(- 2, 0), B(2, 0),直线AM, BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为 一彳 (1)求点M的轨迹方程；(2)记点M的轨迹为曲线 C,曲线C上

8、在第一象限的点 P的横坐标为1,过点P且斜率互为相 反数的两条直线分别交曲线 C于Q, R,求 OQR的面积的最大值(其中点。为坐标原点).21 .已知函数 f (x) =lnx+x2+ax, aC R.(1)若函数f (x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围；(2)当a=1时，函数g (x) =，； x在区间t, +) (tCN*)上存在极值，求 t的最大值.(参考数值：自然对数的底数e= 2.71828)选彳4-1 :几何证明选讲22 .几何证明选讲如图，已知 AD为圆。的直径，直线 BA与圆。相切于点A,直线OB与弦AC 垂直并相交于点 G,与弧菽相交于M,连接DC, AB=10, A

9、C=12.(1)求证：BA?DC=GCAD;选彳4-4 :坐标系与参数方程选讲23 .选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是 P=2,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为尸哼t为参数).(I )写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；二V1 I(n )设曲线C经过伸缩变换，/得到曲线C设曲线C上任一点为M (x, y),求I V =2y2的取值范围.选彳4- 4-5 :不等式选讲24 .已知函数 f (x) =log2 (|x+1|+|x - 2| - m).(1)当m=5时，求函数f (x)的定义域；(2)若关于x的不等式f (x) 1的解集是

10、R,求m的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题1 .设集合A=4, 5, 7, 9, B=3, 4, 7, 8,则集合AB中的元素共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【考点】交集及其运算.【分析】由A与B,求出两集合的交集，即可作出判断.【解答】解：= A=4, 5, 7, 9, B=3, 4, 7, 8,.AHb=4, 7,则集合ACB中的元素共有2个，故选：B.2 .已知向量 (2, 1), b= (x, - 2),若W/芯，则；+E等于()A. (-2, T) B. (2, 1)C. (3, T) D. (-3, 1)【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示；平面向量的坐标运

11、算.【分析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得 2x-2=0,解可得x的值，即可得E的坐标， 由向量加法的坐标运算方法，可得答案.【解答】解：根据题意，向量 鼻=(2, 1),另=(x, -2),若则有 1?x=2? (- 2),即 x= 4,即 /= ( 4, 2),则熹讣L2, - 1), 故选A.3 .在复平面内复数 6+5i、- 2+3i对应的点分别为 A、B,若复数z对应的点C为线段AB的中点， 则z 的值为()A. 61B. 13 C. 20 D. 10【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】根据z是A、B的中点，由复平面内的中点坐标公式求出z,则己可求，代入W方可求的值.【解答

12、】解：因为复数 6+5i、- 2+3i对应的点分别为 A、B,且若复数z对应的点C为线段AB的 中点，所以 zj密5i)+( - 2+3i)=2+4i,所以工=2 - 4i ,所以I (， 4 ) 2产二2。故选C.4 .从1, 2, 3, 4, 5中随机选取一个数为a,从1, 2, 3中随机选取一个数为b,则ba的概率是()A豆B百C司D瓦【考点】等可能事件的概率.【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5刈种结果，而满足条件的事件是 a=1, b=2; a=1, b=3; a=2, b=3共有3种结果.【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验包含的

13、所有事件根据分步计数原理知共有而满足条件的事件是 a=1, b=2; a=1, b=3; a=2, b=3共有3种结果,由古典概型公式得到P=3= ,5 X J 5故选D.5 .如图是将二进制111111 (2)化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是()A. iW6 B. i6 C.35 D. i5【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图程序要要循环5次，根据循环变量的初值为1,步长为1,故循环变量的终值为5,由满足条件时退出循环，分析四个答案，即可得到结论.【解答】解：由已知中程序的功能是将二进制数111111 (2)化为十进制数，结合循环体中S=1+2S,及二进制数1111

14、11 (2)共有6位,可得循环体要重复执行5次,又由于循环变量初值为1,步长为1 ,故循环终值为5,即35时，继续循环,i5时，退出循环,故选：C.6 .九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为 包知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？(钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为()5435A.二钱B.可钱C亍钱D.，钱【考点】等差数列的通项公式.【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d, a-d, a, a+d,

15、a+2d,由题意求得a=- 6d ,结合 a - 2d+a- d+a+a+d+a+2d=5a=5求得 a=1,则答案可求.【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d, a-d, a, a+d, a+2d,贝U由题意可知，a - 2d+a- d=a+a+d+a+2d,即 a=6d,又 a- 2d+a- d+a+a+d+a+2d=5a=5a=1,贝U a- 2d=a- 2故选：B.7.若圆 C1: x2+y2+ax=0与圆 C2: x2+y2+2ax+ytan。=0 都关于直线 2xy 1=0对称，贝U sin 0cos 0 =A.B.37C.D.【考点】圆与圆的位置关系及其判定.

16、tan 0=- 2,利用1的【分析】求出圆心坐标，根据圆关于直线对称，得到圆心在直线上，得到 代换进行求解即可.【解答】解：圆 C1: x2+y2+ax=0的圆心坐标为（：，0）,圆C2： x2+y2+2ax+ytan。=0的圆心坐标为（a,tan日两圆都关于直线 2x- y- 1=0对称,圆心都在方程为 2x- y- 1=0的直线上,则一22.- 1=0,得 a= - 1,-2a+rr tan-1=0,即 2+-1=0 则tan 8=-1,即 tan 0 = - 2,则sinsincos卜tan 8- 2=1+L 2 产sin 6 +s s故选：C.8 .某几何体的三视图如图所示，当xy最大

17、时，该几何体的体积为（）A. 2 .B. 3 ,C. 4 , D. 6 . 7【考点】由三视图求面积、体积.【分析】三视图复原几何体是长方体的一个角，利用勾股定理，基本不等式，确定xy最大时AD的值，代入棱锥的体积公式计算可得.【解答】解：由三视图得几何体为三棱锥，其直观图如图:ADXBD, ADLCD, . x2 7=25 y： . x2+y2=32,.1 2xy x2+y2=32, - xy34-4s/7=2/7.故选：A.9 .设偶函数f （x） =Asin （ w+g （A 0, 0, 0V（f）L【考点】正弦函数的图象.【分析】由条件利用等腰直角三角形求出A,由周期求出 g由函数的奇

18、偶性求出 4的值，可得f (x)的解析式，再利用两角差的余弦公式，求得 f (击)的值.【解答】解：由题意可得/崎=KL=1,f （x）=2sin再结合f (x)为偶函数，以及所给的图象，可得cos （欣）.1,冗、acos （五）=?cos （ 27TCOLCOL+SiLSiL=1H.2 3|4|34252则f (击)故选：B.10 .已知 f (x) =ex - x, g (x) =lnx+x+1,命题 p： ?xC R, f (x) 0,命题 q： ? X0 C (0, +0),使得g (x0) =0,则下列说法正确的是()A. p 是真命题，p： ?%6 R, f(x0)V0B. p

19、是假命题，p： ?C R, f (%) & 0C. q 是真命题，q：? xC(0,+), g(x)w0D. q 是假命题，q：? xC(0,+), g(x)w0【考点】全称命题；特称命题.【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p, q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可.【解答】解：f(x)=ex-1,由 f(x) 0 得 x 0,由f (x)0,.? xCR, f (x) 0成立，即p是真命题.g (x) =lnx+x+1 在(0, +0)上为增函数，当 x-0时，g (x) 0,则：？ XoC (0, +),使得g (xo) =0成立，即命题q是真命题.则p： ? XoC

20、 R, f (xo) 0, b0)的左右焦点分别为 Fi, F2 J b|,口臼=4, P是双曲Q,若|PQ|=1,则双曲线的离心率是()线右支上白一点，F2P与y轴交于点A, APE的内切圆在边PFi上的切点为A. 3 B. 2 C 卜羽 D.:【考点】双曲线的简单性质.可得 |PF1|-|PF2|=2,【分析】由|PQ|=1, 4APFi的内切圆在边PFi上的切点为Q,根据切线长定理, 结合|FiF2|=4,即可得出结论.【解答】解：由题意，: |PQ|=1, APF1的内切圆在边 PF1上的切点为Q,，根据切线长定理可得 AM=AN, F1M=F1Q, PN=PQ |AF1|二|AF2|

21、, .AM+F1M=AN+PN+NE, .F1M=PN+NF2=PQ+PE|PF1| TPF2|=Fq+PQ- PF2=F1M+PQ- PF2=PQ+PFF+PQ- PF2=2PQ=2,.|巴=4,，双曲线的离心率是 e=2.a故选：B.12.定义在区间(0, +8)上的函数f(X)使不等式2f (x) vxf (x) 3f (x)恒成立，其中f (x)为f (x)的导数，则()fC2)_ fC2)_ fC2)_ fC2)A- 8W16 B 4帚8 C 3fO) 4 D- 2W h (1),由 f (1) 0,即可得到 4j-8.【解答】解：令g (x) = 一丁，贝U g (x) . xf

22、(x) 0,则 v 8;f? (x)- X2 -江-2氏玉)令 h (x)=葭,h (x) =F工xI xf (x) 2f (x),即 xf (x) 2f (x) 0, h (x) 0在(0, +0)恒成立，即有h (x)在(0, +0)递增，可得h (2) h (1),即f (1),则FfCl)4.- f即有 4二二7V 8 故选：B.二、填空题rs4-2y213.已知实数x, y满足条件K-y2 0=1,故答案为：1 .14 .在 ABC中，角A, B, C对应的边分别是 a, b, c,其中A=120, b=1, 4ABC的面积S=/5 ,则田嬴T2币【考点】正弦定理.【分析】由条件和三

23、角形的面积公式列出方程求出c的值，由余弦定理求出 a的值，由正弦定理和分式的性质求出己+bsink+sinB的值.【解答】解：在 ABC中，A=120, b=1, 4ABC的面积S=/3, bc占.然匕乂一二后，解得 c=4, 由余弦定理得，a2=b2+c2 - 2bccosA=1+162乂 乂 4* （ 一=）=21,贝U a=2L由正弦定理得,己+bsink+ginBV21故答案为： 一. _，4VS , 7U 冗 _ , _ _ _ _15 .已知在二棱锥 P-ABC 中，Vp-abc=, /APC丁，/ BPC, PA，AC, PB BC,且平34 I 3面PAC,平面PBC,那么三棱

24、锥 P-ABC外接球的半径为【考点】球内接多面体；球的体积和表面积.【分析】利用等体积转换，求出PC, PAX AC, PB BC,可得PC的中点为球心，球的半径.【解答】解：由题意，设 PC=2x,贝U7U. PA，AC, Z APC=,APC为等腰直角三角形,.PC边上的高为x,平面 PAC，平面PBC,.A到平面PBC的距离为x,八兀. / BPC=y,PAX AC, PB BC, .PB=x, BC=/3x,-SApbi VP ABC=VA-PBi. x=2,. PAX AC, PB BC,二.PC的中点为球心，球的半径为 2.故答案为：2.16.已知函数f (x)是定义在 R上的奇函

25、数，当 xv 0时，f (x) =ex (x+1)给出下列命题：当 x 0 时，f (x) =ex (1 x)函数f (x)有2个零点f (x) 0 的解集为(1, 0) U (1, +8)？ xn xzC R,都有 |f (xj - f (x2)|0,则x0,故 f ( x) =e x ( x+1) = f (x), -f (x) =e x (x - 1),故错；,. f (x)定义在R上的奇函数，.f (0) =0,又 x0时，f (1) =0,故f (x)有3个零点，错；当 xv 0 时，令 f (x) =ex(x+1) 0,解得-1vxv0,当 x0 时，令 f (x) =e x (x

26、 1) 0.解得x1,综上f (x) 0的解集为(-1,0) U (1, +8),正确;当 xv 0 时，f (x) =ex (x+2) , f (x)在 x=-2 处取最小值为 一7, e当 x 0 时，f (x) =e x ( - x+2), f (x)在 x=2 处取最大值为,由此可知函数f (x)在定义域上的最小值为最大值为一了，而百(一声)=T0.075=3 人；（n）该考场考生 数学与逻辑”科目的平均分为：表 X1X（40 0.2） +2X 40Q1） +3X 40 0.375） +4X 0X0.25） +5X 40 0.075） =2.9;（出）因为两科考试中，共有 6人得分等级

27、为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为A,所以还有2人只有一个科目得分为 A,设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学,则在至少一科成绩等级为 A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为: =甲，乙, 甲，丙, 甲，丁, 乙，丙, 乙，丁, 丙，丁, 一共有6个基本事件.设防机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B,所以事件B中包含的基本事件有1个, 则 P (B)19.如图所示，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AA平面ABC,点M是棱CC的中点.(1)在棱AB上是否存在一点 N,使MN/平面ABiG?若存在，请确定点 N的位置；若不存在,请说明理由；

28、(2)当 ABC是等边三角形，且 AC=CC=2时，求点 M到平面AB的距离.【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定.【分析】(1)在棱AB上在一点N,使MN/平面ABiCi,点N为线段AB的中点.下面给出证明： 分别取线段AB, AC的中点N, P.连接MP, PN, NM.利用三角形中位线定理可得：MP/AG,NP/ BC,又BC/ BiG,可得NP/ BiCi.再利用线面面面平行的判定定理与性质定理即可证明.(2)先求点A到平面ABiCi的距离h,则点M到平面ABiCi的距离是二h.由 ABC是等边三角形，且AC=CC=2,可得点A到平面BCCBi的距离d=/3,禾U用丫&

29、一6=匚一乩比，即可得 出.【解答】解：(i)在棱AB上在一点N,使MN/平面ABiCi,点N为线段AB的中点.下面给出 证明：分别取线段 AB, AC的中点N, P.连接MP, PN, NM.又点M是棱CG的中点，由三角形中位线定理可得：MP/AG, NP/ BC,又BC/ BiCi,可得NP / B.又 MP?平面 ABiCi, AG?平面 ABiCi,MP/平面 ABG,同理可证PN/平面ABiCi,又PNPPM=P. .MN/平面 ABiCi.(2)先求点A到平面ABiCi的距离h,则点M到平面ABiG的距离是二h.ABC是等边三角形，且 AC=CC=2, 点 A 到平面 BCCBi

30、的距离 d=M*GEGC=X2，=2.AG=ABi=&A%=2 於. 必犯X 2 X或丽尸7M. 以 _%3c=%一 呵 L，3xdxS5&c=ixhXS“Bj, 加空=卫V? 7点M到平面ABiCi的距离为20.已知两点A( - 2, 0), B (2, 0),直线AM, BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为(1)求点M的轨迹方程；(2)记点M的轨迹为曲线 C,曲线C上在第一象限的点 P的横坐标为1,过点P且斜率互为相 反数的两条直线分别交曲线 C于Q, R,求 OQR的面积的最大值(其中点 。为坐标原点).【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.【分析】(1)设点M (x, y),

31、通过Kam?Kbm=-仔，即可求出所在的曲线 C的方程.(2)求出P11，等)，设直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去 V,通过x=1是方程的一个解，C求出方程的另一解，求出直线 RQ的斜率，把直线 RQ的方程y=工+B代入椭圆方程，求出|PQ 原点O到直线RQ的距离，表示出面积 Sa oqr,求解最值.【解答】解：(1)设点M (x, y), Kam?Kbm=22整理得点所在的曲线 C的方程：W+J1 &芒土2).43(2)由题意可得点PL4)，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线 PQ的方程为产k(K-1)咛,与椭圆方程联立消去 V,得：(4k2+3) x2+ (12k-8k2) x+

32、 (4k2-12k- 3) =0,由于x=1是方程的一个解,所以方程的另一解为4k 2 - 12L 34k?+3同理故直线RQ的斜率为把直线RQ的方程打二x+b代入椭圆方程，消去 y整理得x2+bx+b2- 3=0,所以 |pQ|=i+乂，碧 x原点O到直线RQ的距离为d ,Saoq+X誓x E X甯率kT7平.当卢正21.已知函数 f (x) =lnx+x2+ax, aC R.(1)若函数f (x)在其定义域上为增函数，求 a的取值范围;-x在区间t, +0) (tCN*)上存在极值，求 t的最大值.rz i=皿f (x)(2)当a=1时，函数g (x)=上+1(参考数值：自然对数的底数e= 2.71828)【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)函数f (x)在其定义域上为增函数 ？ f (x) 0,即十50对xe(0, +8)都成立.通过分离参数 a,再利用基本不等式的性质即可得出.“I /、 1nsa=1 时，g (x)=- 最+11+L i门耳葭(K)二(工+1户*.由于函数g (x)在t, +) (tCN)上存在极值,即方程.，、 -I.,.*，.一 可知：万程 g (x)