2020届二轮(理科数学)离散型随机变量的均值与方差专题卷(全国通用)

1、离散型随机变量的均值与方差(25川础介实组，(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1 .若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22则X的数学期望E(X)等于()A.2B.2 或；C.1 D1a111【解析】选C.由题意，三十=1, a>0,所以a=1,所以E(X)=0+1左=.2 .已知X的分布列为X-101P1112361231则在下列式子中E(X)=-7；D(X)卞；P(X=0)q,正确的个数是()A.0B.1C.2D.31 1 1 1【解析】选C.由E(X)=(- 1)句+0q+19二亏，知正确；由D(X)=(-1 +，) x；+(0 + ：) x+(l + ；

2、J x：=,知不正确；由分布列知正确.3.节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5元，销售价为每束5元；节日卖不出 去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花 的需求量X服从如表所示的分布：X200300400500P0.200.350.300.15若购进这种鲜花500束，则利润的均值为()A.706 元 B.690 元 C.754 元 D.720 元【解析】选A.由分布列可以得到E(X)=200 X 0.2+300 X 0.35+400 X 0.3+500 X 0.15=340 ,所以利润是(340 X5+160X 1.6) -500X 2.5=706 元.137

3、4 .已知 X是离散型随机变量，P(X=1)=;, P(X=a)G，E(X)=;,则 D(2X-1)=()工33sA.-B.-C.-D.一b406"【解析】选B.因为X是离散型随机变量，P(X=1)=P(X=a)= I，E(X)=213 7所以由已知得1汽+a百=2，解得a=2 ,所以 D(X)= <1-724+12-丁2有二«,所以 D(2X-1)=2 2D(X)=4 /=£.【变式备选】已知离散型随机变量S的概率分布如下：012P0.33k4k随机变量刀=22+1,则刀的数学期望为()A.1.1B.3.2C.11kD.22k+1【解析】选B.由0.3+3

4、k+4k=1得k=0.1 ,所以 E( 9=0 X0.3+1 X0.3+2 X0.4=1.1 ,E(*=2E( 9+1=2 X1.1 + 1=325 .如果XB(20, p),当p=且P(X=k)取得最大值时，k的值为 ()A.9B.10C.11D.12【解析】选B.当Pj时，p(x=k尸匚%0)(-) 工%,显然当k=10时，P(X=k)取得最大值.二、填空题(每小题5分，共15分)6 .有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表 示取到次品的次数，则 D(X)=./I、139【解析】因为XB(3gJ,所以D(X)=3汽时=a.答案:16【变式备选】设随机变量XB(

5、8, p),且D(X)=1.28 ,则概率p的值是.【解析】由 D(X)=8p(1-p)=1.28,所以 p=0.2 或 p=0.8.答案：0.2或0.87 .(2018 淮南模拟)已知随机变量X的分布列如表，又随机变量 Y=2X+3则Y 的均值是.X-101P1213a【解析】由随机变量X的分布列得：11.i1T+-+a=1 ,解得 a=, £ Otj所以 EX=-1 x；+0 X7+I x-=- 7, 色oO O因为 Y=2X+3 ,所以 EY=2EX+3=- -+3=-.答案：78 .据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产

6、保险，交保险费 100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1 000),为确保保险公司有可能获益，则 a的取值范围是【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题，由此列不等 式求解.【解析】X表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布列为X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995 xi00+(100-a) X0.005=100- M.若保险公司获益，则期望大于 。， £i U解得 a<20 000 ,所以 a 6 (1 000 , 20 000).答案：(1 000 , 20 000)三、解答题9 .(10分)(2018

7、安庆模拟)年年岁岁有春晚，岁岁年年景不同：2018年的狗年 春晚，新气象扑面而来；在4个多小时的晚会中，各类接地气、有新意、动真 情的作品精彩纷呈、高潮迭出，渲染出全民大联欢、普天同庆的基色，将热烈 喜庆的节日氛围和激动人心的新春景象一次又一次推至高潮.为了测试观众对本次春晚的喜爱程度，随机抽取 600名观众参加春晚节目的问卷调查(满分150 分)，并将观众的得分统计如表所示.区间50 , 70)70 , 90)90, 110)110, 130)130, 150人数3012024016050(1)求这600名观众对2018年春晚节目问卷调查的平均分的估计值.(2)现用分层抽样的方法从这600人

8、中抽取20人的问卷进行分析，求其中得分 超过90分的观众人数.(3)在(2)中抽取的20名观众中，要随机选取2名参加元宵晚会的点评工作，记 其中得分超过90分的观众人数为X,求X的分布列与数学期望.【解析】(1)这600名观众对2018年春晚节目问卷调查的平均分的估计值为：_ 13 口总於茅(60 X30+80 X120+100 X240+120 X160+140 X50)= .(2)用分层抽样的方法从这600人中抽取20人的问卷进行分析， 240416050其中得分超过90分的观众人数有：20 X=15.抽取的20名观众中，要随机选取2名参加元宵晚会的点评工作，记其中得分超过90分的观众人数

9、为X,则X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=武10 1 _ =$ 室运口竺 /190 班'强理资离 190 38? 二 U所以X的分布列为：X012P1191538213811521 3数学期望 E(X)=0 X+1 X+2 >C7=7. Ljop Cj1 口 dIT储力提升机(20分钟40分)1 .(5分)某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次，若他命中一次得10分, 没命中不得分；命中次数为 X,得分为Y,则E(X), D(Y)分别为()A.0.6 , 60B.3 , 12C.3, 120D.3, 1.2【解析】选 C.XB(5, 0.6)

10、 , Y=10X 所以 E(X)=5 乂 0.6=3D(X)=5X0.6 X0.4=12D(Y)=100D(X)=120.2 .(5分)有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用S表示取到次品的件数，则E(E)等于()a814A. - B C.D.151515【解析】选A. E服从超几何分布P( gx尸 (x=0 ,1,2),10*Z1 7则pd=°)=瓦=至=6，叫口尸后=百叶=2)=离=正故 E( 9=0 X+1 x-+2 x-=l 12SIn 32143 .(5 分)已知 X是离散型随机变量，P(X=Xi)=, P(X=X2)=-,且 Xi<X2,若 E(

11、X)=-,D(X)=j,则 Xi+X2=.【解析】由题意得，E(X)=|xi + |x2=|, 。 。 。d(x)=(卬3 号33)>4=1,由得xi+x 2=3.答案：34 .(12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对25, 55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组25 , 30)1200.6第二组30 , 35)195P第三组35 , 40)1000.5第四组40 , 45)a0.4第五组45 , 50)300.3

12、第六组50 , 55150.3但心06MM但归UIH o.oono.0。U.(1)补全频率分布直方图，并求n, a, p的值.(2)从40, 50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18人参加户外低 碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在40, 45)岁 的人数为X,求X的分布列和均值E(X).【解析】(1 )因为第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)X5=0.3 ,所以高为 =0.06.频率分布直方图补全如下:因为第一组的人数为 =200 ,IJ.o频率为 0.04 X5=0.2 ,所以 n=-=1 000. U - u第二组的频率

13、为0.06 X5=0.3 ,故第二组的人数为1 000 X0.3=300 ,因此p= 一=0.65.p.3.由题意可知，第四组的频率为 0.03X5=0.15 ,故第四组的人数为1 000 X0.15=150 ,因此 a=150 X0.4=60.（2）因为40, 45）岁年龄段的“低碳族”与45, 50）岁年龄段的“低碳族”的比值为 60 : 30=2 ： 1 ,所以采用分层抽样法抽取18人，40, 45）岁中有12人，45, 50）岁中有6人.可知随机变量X服从超几何分布，所以 P（X=0）= W=如，P（X=1）=比片=前，P（X=2）=云:=不，P(X=3)=£iz£

14、£_ 5s=-1.所以随机变量X的分布列为:X0123P52041568336855204_ s 15 _ 33 _53 _所以 E(X)=0 x+1 X-+2 1+3 X=2.【变式备选】(2018 山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿 者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是20 , 25) , 25 , 30), 30 , 35) , 35 , 40) , 40 , 45.(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这 500名志愿者中，年龄在35 , 40)岁的人数.(2)在抽出

15、的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取 3名志愿者担任主要 负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X,求X的分布列及均值.【解析】(1)因为小矩形的面积等于频率，所以除35, 40)外的频率和为0.70,所以 x=0.06.口故500名志愿者中，年龄在35, 40)岁的人数为0.06 X5X500=150(人).(2)用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名.故X的可能取值为0, 1, 2, 3,骁 14厚噌2£P(X=0)=或=有，P

16、(X=1)=量=6，P(X=2)=二一既好，P(X=3)= _11故X的分布列为X0123P14285289544951157_.28 _ 44 , 11 3所以 E(X)=0 V/1 X警+2 叫+3 7=5.5.（13分）（2019 张家界模拟）自2018年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个” “生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二孩能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家

17、庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？ 假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然 后由单位根据单位情况自主选择.求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率.如果用S表示两种方案休假周数和.求随机变量S的分布列及期望.【解析】（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P2=亮等.zj u ij £1 a(2)设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A,由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取 2种方案选法共有*=10(种)，其和不低于 32 周的选法有(14, 18), (15, 17), (15, 18), (16, 17), (16,18), (17, 18),共 6 种,由古典概型概率计算公式得P(A尸-=-.