江苏省高考数学二轮复习专题三解析几何3.4专题提能—“解析几何”专题提能课讲义(含解析)

1、第四讲 专题提能一一“解析几何”专题提能课提能点 一防止思维定式，实现“移花接木”失误1因忽视方程的标准形式而失误例1已知抛物线的方程为y= 2ax2(a<0),则它的焦点坐标为一一解析y= 2ax2(a<0)可化为x2=2y,则焦点坐标为 答案(0, 8y点评本题易错如下：由抛物线方程为y=2ax2,知抛物线的对称轴为 y轴，2p= paa2a,所以p=- a, 2=2,所以它的焦点坐标为 ?，一5 J求解此类问题的关键是：首先要 准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程：y2= 2px、y2=2px、x2= 2py、x2=2py,对于抛物线方程有关的题目要首先将方程变为标准形式，

2、然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p.在求焦参数日要注意 p>0,标准方程中一次项系数的绝对值为2p,求出p后再研究抛物线的几何性质，结合图形去考虑.失误2因忽视圆方程本身的限制条件而失误例2过定点(1,2)作两直线与圆 x2+y2+kx+2y+k215=0相切，则k的取值 范围是.解析把圆的方程化为标准方程得，+2)+(y+l)2=l64k2,所以16-1k2>0,解得-2k驾.又点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆方程得，133+ 4+k+4+k2-15>0,即(k2)( k+3)>0 ,解得 k<3 或 k>2.综上，k 的取值范围是【答案一83

3、3, 一3卜')点评本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D2+E24F>0.本例应把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0,列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在 圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k的关系式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k的取值范围.失误3因忽视斜率不存在的情况而失分例3 已知过点(1,2)的直线l与圆x2+y2=4交于A, B两点，弦长 AB= 2口,求直线l的方程.解当过点(1,2)的直线l斜率不存在时，满足要求，所以方程 x=1满足题意；当

4、过 点(1,2)的直线l存在斜率时，记l的方程为y-2=k(x- 1),即kx-y+2-k= 0,由弦长,|2 -k|3 为2，3可得圆心到直线的距离为l的方程为y1,则d =2=i,解得k=-,所以直线1 + k243-2 = 4(x - 1),即3x-4y+ 5 = 0.所以所求直线l的方程为x= 1和3x4y + 5= 0.点评本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在用斜率研究直线方程首先考 虑斜率不存在的情况.给定弦长，一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一 解.提能点 二灵活运用策略，尝试“借石攻玉”策略1利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题22例1如图，在平面直角坐标系x

5、Oy中，F是椭圆b ，1(a>b>0)的右焦点，直线y = 2与椭圆交于B, C两点，且/ BFC=90° ,则该椭圆的离心率为 .b2解析法由x y ,匕十11，可得B乎a, bj,C悖a, b j 由 F(c,0)，得"FB =乎ac, b j, "FC =偿ac, b)又/ BFC=90 ,所以 FB , FC = 0,化简可得 2a2= 3c：即 e=-2=故 e=Yp.b y=2,a 33可彳B B乎a, 2 i, C23a, 2 i,所以 BC= J3a,由椭圆3_3a,的焦半径公式得 BF= aexB= a+e,2-a, CF= aexC

6、= a- e > 2；又/ BFC= 90 ,所以 B1+CFbC,即 a+ e ,乎a 2+ a-e , ga 2= (/a) 2, 式子两边同除以a2可彳导e2=|,即e=乎.答案93点评本题中B, C两点是关于y轴对称，对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助.策略2利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题x y例2若双曲线苫一3=1(2>0, b>0)右支上存在一点 P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的取值范围为 .22解析记双曲线 A(=1(2>0, b>0)的左、右焦点分别为Fl, F2,设点P到右准线的距离为d,则由题意得点 P到

7、左焦点的距离为PF = 6d,由于 PFPB=2a,所以 PF>=6d-2 ad> a- - c222aaa，所以,6acc、6a c>0,6d-2a c2a22a，所以F-=a，所以d=n，又因为解之得此双曲线的离心率e的取值范围是(1,2 U 3,6)答案(1,2 U 3,6)点评一般地，根据“存在一点”这样的条件求解离心率的取值范围问题，主要是先利用几何条件建立关于a, b, c的方程，再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解.提能点 三系统数学思想，实现“触类旁通”函数方程思想一一解决平面几何中的最值问题典例在平面直角坐标系 xOy中, 设曲线 G：凶+|

8、= 1(a>b>0)所围成的封闭图 a b形的面积为4*,曲线G上的点到原点O的最短距离为平.以曲线G与坐标轴的交点为顶3点的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设AB是过椭圆。中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线.若 M是l与椭圆G 的交点，求 AMB勺面积的最小值.仔ab=4成，解(1)由题意得彳ab2v2I Vow = 3 .解得 a2=8, b2= 1.x2 2所以所求椭圆 G的标准方程为x + y =1.8(2)法一：设 Mx, y),则 a(入 y,入 x)( xcr,入 wo).因为点A在椭圆G上，所以 入2(y2+8x2) =8,即y2+8x2 =2

9、.又 X2+ 8y2= 8.+得 x2+y2=8 1 +所以&AMB= OM OA= | 入 |( x2+y2)=9'| 入1+16当且仅当 入= ±1,即 kAB= ± 1 时，(SaAmB min=.9法二：假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线的方程为y=kx(kw0)._ 2,口 2828k行 xA= E?, yA=iT8F,x 2.6+y = 1，解方程组87=kx,所以 OA= xA+yA=8 k22 +2 =1 + 8k21 + 8k28 l + k2.21 + 8k,Ad =40/2,= l +k2 .21 +8kx2 1 2 .

10、a+y j8又由10,yM=号，所以0M=8 l + k2k2 8，一 21 o 21由于 S AAMB = 二 A百 oM =二 4432 l+k.21 + 8k8 l+k2k2+8阳 I + k l + 8k22k2 + 52 26-1 l + k：2 2 25618kk 8 2 812 22 J 7 l + k时等号成立，此时 AM酶积的最小值当且仅当1 + 8k2=k2 + 8时等号成立，即k=±l是 S AMB=.9116当k = 0时， SaAMB= X 4 勺2 X 1 = 22>291 16当k不存在时，Samb= X2、2X2 = 2y2> .2，916

11、综上所述， AMBT积的最小值为 .9(1)以弦长为底，点点评第(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式:到弦所在直线距离为高；(2)正弦定理；(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点，可以将面积进行分割.一般地，如果建立关于k的函数，可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法；如果建立的关于(x, y)的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数.提能点四强化一题多法，激活“解题思维”1.多角度几何条件求解离心率例1如图，已知椭圆k,若= 1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，离心率为e,设A, B是椭圆上关于原点对称的两点，AF的中点为 M BF的中点为N,原

12、点 O在以线段 MN为直径的圆上，设直线 AB的斜率为30<kw-,求椭圆离心率 e的取值范围.3解法一：设MNK x轴与点C,.AF的中点为M BF中点为N,一 一 一 1 . MN/ AR FC= CO= 2,A, B为椭圆上关于原点对称的两点, .CM= CN原点O在以线段MNK;直径的圆上,1. CO= CM= CN= 2. OA= OB= c=1.,. O/>b,a2= b2 + c2<2c2,c 2e=a>T设 A(x, y),由3上1 心321- 2a2+ a4-0<a2 2-a2' x2+ y2= 1x2=a2 2-a2 , |y2= 1-

13、2a2+a4.1 I, 椭圆离心率e的取值范围为惇，1 1法二：由r y = kx,j x2+y2=1,22.如卜11 + k2 = 1,1k2x3+甘厂1k21. a=,b2= a2e22, k2e2.21-e221 + k-e+i，*2e2-1"，o< 41.3'2e 13解得幸we<42,又 e<i, .幸we<i, 313，椭圆离心率e的取值范围是悸，1 1法二：设/ BAF= a ,贝U 2csina +2ccos a =2a,2sin，椭圆离心率则 A >0,且 x1 +8km x2 = 1 + 4k2,4n2- 4 x1x2= 1

14、+ 4k2.e的取值范围为点评动直线可以通过联立方程建立 k与坐标的关系，再得出与 e的关系；也可以构 建几何意义，利用几何图形得出关系；也可以转化为角，利用三角函数求解.2.多角度的求解直线过定点X22例2 过椭圆+y = 1的左顶点 A作互相垂直的直线分别交椭圆于M N两点.求证：直线 MNi定点，并求出该定点坐标.解 法一：设 Mxi, yi) , Nx2, y2),直线 MN y = kx+my= kx+ m联立 Wx2 2消去 y,得(1 + 4k2) x2+8kmx+ 4n2- 4=0,“y = 1y1y2由AML AN彳导黄石七=-1, x1十2 x2十2即(k2+ 1)x1x2

15、+ ( km+ 2)( x1 + x2)+ n2+ 4=0,(k2+ 1)4m241 + 4k2卜(km+ 2)：m+ m2+4= 0,1 + 4k化简得 5m216k饰 12k2=0, kw0,5:2 16m+ 12 = 0,k k直线 MN y=kjx+66 ；,过定点:6, 0 .1法二：设直线 AM y=k(x+2)( kw0),则直线 AN y=7(x + 2). ky=k x+2 ,联立彳x22消去 V，得(1 +4k2)x2+16k2x+ 16k2-4=0,4+y = 1一 2_ 2C 16k4 .2 8k4k贝(一 2xMi= - 2- . . xm= Tp, yMi= T7&

16、quot;2.1 + 4k '1 + 4k ' y 1+ 4k所以点必 8k2l1 + 4k2,4k1 + 4k2 ,2k2-8 同理点N。2,4k4k、1 + 4k2+4+k2所以 kMIN= -2-2= T28k 2k 8 41 + 41 4+k25kPk2,所以直线MN勺方程为y-4k5k1 + 4k"=l 1-k22-8k2J 1k2J；655,人 c /口28k2 16 l-k2-6 l+4k2令 y = 0, 得 x = . . . 2 1=i.2- = = ; . 2y1+4k al + 4k a + 4k所以直线MNi定点'-|, 0 j法三：

17、（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题5A2-8k22k2 8同法一知，x M= - -2, xn = T,1 + 4k4+k.22 8k61 + 4k2=-5,22令 1*4k2= 4 I k2? k2=1 ,此时1 + 4k4+k-6，直线MN±定点C -5, 0 当 k2wi,kcM=4k1 + 4k25k2 j 22 8k6 1 k1 + 4k2+ 54k5k1 1-k24+k2kCN= 2k2-8 64+k2- 5.kc kcN,M N, C三点共线，即直线 MN±定点5, 0.点评直线过定点问题，可以设出直线方程y=kx + m得出k与m的关

18、系，从而得到过定点；也可以直接用k表示出新直线的方程，再求过定点；也可以先特殊得出定点，再用三点共线来论证一般情形.课时达标训练A易错清零练一一一一,51.过点R2 , 1)且倾斜角的正弦值为 右的直线方程为 .13解析：设所求直线的倾斜角为a ,则由题设知sin a =,因为0W a < 71 ,13所以cos a = ± Ji - sin 2 a =±,所以tan a =sn- =±2，则所求直线方程为1 13cos a 12.5 ,y+1 = ±(x-2),即 5x12y 22 = 0 或 5x+12y+2 = 0.答案：5x-12y- 22

19、=0 或 5x+12y+2=02 .若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解析：因为短轴长为 2,即b=1,所以3=2,则椭圆的中心到其准线的距离是4/3.答案:3V33 .设双曲线的渐近线为y=±|x,则其离心率为 解析：由题意可得b a答案:呼或呼a的取值4 .若关于x的方程，1 -x2 = a(x1)+1有两个不相等的实数根，那么实数 范围是.解析：作出函数丫 = 严中的图象，它是单位圆的上半部分，作出 直线y= a(x1) + 1,它是过点A(1,1)的直线，由图象可知，实数取值范围是0, 2答案:1 .已知直线l:m奸 y + 3m-43= 0

20、与圆 x2+y2= 12 交于 A,B两点，过A, B分别作l的垂线与x轴交于解析：由直线C D两点.若|AB = 2小，则|CD=.l： m刈y+3mH43=0知其过定点(3, J3),圆心O到直线l的距离为d=13 mH . 3|严+ 1由| AB = 2小得3m02+(、/3)2=12,解得m=-33又直线l的斜率为:：jm+1.3m=乎,3所以直线l的倾斜角a = 1.、一.一一.一兀 .回出符合题意的图形如图所不，过点C作CEL BD则/ DC岸石.在RtACDE,可得 |CD= 1AB =2淄。=4.cos 二6答案：42 .如图，设F, F2分别是椭圆 E x2+=1(0 vbv

21、1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆 E于A, B两点.若|AF|=3|F1B| , AE±x轴，则椭圆E的方程为解析：设 F1( c, 0), F2( c, 0),其中 c = 11 b2,则可设A(c, b2),B(xo, y。)，由 |AF| =3| F1B| ,可得 AF =3F1B,-2c =3x0+3c,故 1b2=3y0,B组一一方法技巧练5 x0=-C, 即3I y0=-3b2, 3代入椭圆方程可得+ -b2= 1,解得b2=|,故椭圆方93程为 x2+ 3y-= 1.答案：x2+3y2= 1x2 y2b3 .椭圆a2+b2=1（a>b>o）的右焦点F（

22、c, o）关于直线y=c*的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是解析：法一：设椭圆的另一个焦点Fi（ c,。），如图，连结 QF,QF设QF与直线y = bx交于点M又题意知 M为线段QF的中点，且 cOML FQ O为线段FiF的中点,FQ OMFiQL QF FiQ= 2OMMF b在 RtA MOF*, tan / MOEy/一 OF= c. 'OM c2一一 c解得OM=一, abc4八MF=，故 QF= 2MF= a2bc22C,QF= 2OM=. aa由椭圆的定义QFF- QF=+= 2a,整理得 b=c,a= b2 + c2 = -J2c,a a法二：设 Qx0, yo）,

23、则FQ的中点坐标为,蜀,kFQ=yo纥b2 c依题意得xo+ c2 ，解得上xo cc cxo =bc=-1.2c-a2bca2，2又因为（xo, yo）在椭圆上，所以c2 2c2a26a244c_+ - = 1.a令e = ca，则4-2=1,故离心率ej答案:-2222它到左焦点的距离是它到右准线距离的4 .若椭圆 Ab2= 1（a>b>o）上存在一点 M倍，则椭圆离心率的最小值为解析：由题意，设点M的横坐标为X,根据焦半径公式得,a+ex=2-x；, x =222a2a2aaa1ccco , 有一awa 不等式各边向除以a, 得一1w 1,e+2e十2e+2+ 3e-2>

24、;0,又0<e<1,所以 取13 we<1,所以椭圆离心率的最小值为5.已知点(x, y)在圆x2 + y2=1上，求x2+2xy +3y2的最大值和最小值. 故 a =娘,b2= a2 c2= 1.解：圆x2+ y2= 1的参数方程为:"x= cos 0 ,y= sin0 .则 x2 + 2xy + 3y2 =221 + cos 2 0cos 0 + 2sin 0 cos 0 + 3sin 0 =2+ sin 2 0 +1 cos 2 03X2= 2 + sin 20 cos 2 0 =2 + J2sin '2 0 -7t一.兀则当2-=2卜兀 +2，即

25、0 = k % + (k e Z)时,8x2 + 2xy + 3y2取得最大值，为 2 + 2;当 2。- -=2kjt - -2,即 0=k7t"kCZ)时，x2+2xy+3y2取得最小值，为2 J2226.设椭圆与+上=1(2*>0)的左、右焦点分别为 F1, F2,点D在 a b椭圆上，DFXF1F2, |7詈=2啦，4DFF2的面积为修，求该椭圆的 | DF|2标准方程.解：设 Fi(c, 0), F2(c, 0),其中 c2=a2 b2.I FEI|DF|/口|FM2=2啦，仔1 DF| = 2爪=2 C1 .从而 S>A DFF2= 2| DF| | F1F2

26、I =冬2著，故I从而 |DF户乎.由 DFLF1F2,得 |D同 2=|DF|2 + |F1F2|2=9,因此 | DF =3 .22 ，所以 2a=| DF| +|DE| =2亚,X22所以所求椭圆的标准方程为2+ y2= 1.C组一一创新应用练1.设库R,过定点 A的动直线x+ my= 0和过定点B的动直线 mx-y-3=0交于点Rx,y),则| PA - I PB的最大值是.解析：易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时，不难验证PAL PB所以|PA2+| PE|2=|AE|2=10,所以 |PA I PEfw|PA2 |PB22=5(当且仅当 |PA=|PB=,时

27、，等号成立)，当p与a或B重合时，| PA | PB =0,故| PA I PB的最大值是5.答案：5222 .已知O为坐标原点，F是椭圆C： 3 + =1(a>b>0)的左焦点，A, B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF± x轴.过点 A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E若直线BMIg过OE的中点，则C的离心率为 解析：如图所示，由题意得A( - a,0) , B(a,0) , F( c, 0).设 e(0 , m,小 | mf | af由 PF/ OE 4西二百则|MF = m a C .2| OE BO 又由。日MF需, m a + c则1MF=r&q

28、uot;由得 ac=：(a+c),即 a=3c,，e=C=； 2a 3N,使彳导/ OMN45 ,则x0的取值范3 .设点 Mx0,1),若在圆 Q x2+y2=1上存在点围是.解析：依题意，直线 MNW圆O有公共点即可，即圆心 O到直线MN勺 距离小于等于1即可，过O作OAL MN垂足为A,在RtAOM/A3,因为/ OMA：45。，故 |OA=|Oh|Sin 45。= *|OM&1,所以| omw J2,则,Jx2+ 1 w 22,解得 一 1 w X1 < 1.答案：1,1224.已知椭圆，+b2 = 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,且IF1F2

29、I =2c,若椭圆上存在点M使得sin / MFF2 sin / MFFi,则该椭圆离心率的取值范围为解析：在 MFF2中,| MF| MF|sin / MFF2 sin / MFFi'sin ZMHF2 sin /MFF1而=,ac.| MF| sin / MFF2 a. |MF| =sin /MFF1=c 22又M是椭圆02+b2= 1上一点，F1, F2是椭圆的焦点,，| MF| 十| MF| =2a.由得，| MF| =2ac2a2显然 | MF>| MF| ,2a2 . ac<| MF|< a+c,即 a-c<aq<a+c,整理得 c2+2aca

30、2>0,2e + 2e 1>0,又 0<e<1,2-1<e<1.答案:(12-1,1)5.已知椭圆C：02 + b2= 1(a>b>0),四点 P(1,1) , P2(0 ,恰有三点在椭圆 C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A, B两点.若直线 班与直线P2B的斜率的和为解：(1)由于P3, P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆 C经过P3, P4两点.一，11 13又由02 + b2>a2+石知，椭圆C不经过点巳所以点P2在椭圆C上.1 -!?=1，因此1,3,-2 + 22=1 ,.a 4ba2 = 4, 解

31、得j2X22故椭圆C的方程为w + y=1.(2)证明：设直线 PA与直线 BB的斜率分别为ki, k2.如果l与X轴垂直，设l： x = t,由题设知two,且|t|<2,可得 a B的坐标分别为则 ki+ k2=工2t/4 t2 - 2*/4 t2 + 22=-1,得t = 2,不符合题设.从而可设 l： y=kx+m(m 1).X22将y = kx + m代入+ y = 1得(4 k2 + 1)x2+ 8km奸 4m2 4= 0.由题设可知 A = 16(4k2m2+ 1)>0.设 A(x1, y。, Rx2, y2),2则 x1+ x2=一4k2+11 x1x2=4k2+1.4m-4一y1 1 y2 1而 k1 + k2