2020高考数学二轮复习集合逻辑函数与导数不等式第3讲基本初等函数函数与方程及函数的综合问题教案[浙江]

1、精品资源备战高考第3讲基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题指数、对数的运算核心提炼指数与对数式的七个运算公式(1) am an= am+ n；(2)( am)n= am;(3)log a( MN = log aM+ log aN；， M ，(4)log aN= log aM- log aN；(5)l0g aM=nlogaM(6) alog aN= N；(7)log aN= logbN.log ba注：a>0且 awl, b>0且 bwi, M>0, N>0.典型例题例1 (1)(2019 浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83= p, log 35= q，则l

2、g 5(用p、A3p±qA. 5q表示)等于()1+3pq tB.p+qD.p2+q2r 3 Pq C.1 + 3pq(2)设 x, y, z 为正数，且 2x=3y=5z,则(A. 2x<3y<5zB.5z<2x<3yC. 3y<5z<2xD.3y<2x<5z 5b a(3)已知 a>b>1.右 log ab+ log ba=2, a = b ,则a=(1)因为 log 83= p,所以lg 3= 3plg 2 ,又因为 10g 35= q,所以lg 5所以lg 5= 3pqlg 2 =3pq(1 -lg 5),所以lg

3、51+露故选C.(2)设 2x=3y=5z=k>1,所以 x= log 2k, y= log sk, z= log 5k.2因为 2x 3y = 210g 2k 310g 3k =10g叱910g k8log k2 - log k3>°'所以2x>3y；3因为 3y 5z = 31og 3k 51og 5k =：10g k312510g kT-243<0,1og k3 - 1og k5所以3y<5z；2因为 2x 5z = 21og 2k 51og 5k = 1-3 21og k3 31og k2 1og k31 2 1og k23 10g k3

4、10g k2 - 10g k310g k2 - 10g k35 31og k5 51og k31og k53 1og k35：Z = ； Z ： Z = -；Z ：Z-1og k5 1og k3 - 1og k5 1og k3 - 1og k55 21og k5 51og k21og k52 1og k257 T = - Z ：- = - Z ：-10g k510g k2 - 10g k510g k2 - 10g k51og25krzr32;z-;-<0,1og k2 - 1og k5所以5z>2x.所以5z>2x>3y,故选D. 由于 a>b>1,则 1o

5、g abe (0,1),因为 1og ab+ 1og ba=f,即 1og ab+-= 所以 1og ab 2log ab 2所以 2a+ 2 a= 210g 4+ 2 log 3 = 3+ 210g1 1,一2. (2019 王而安市局二四校联考 )右正数a, b满足10g 2a = log 5b= 1g( a+b),则一F二的值 a b为.解析：设 10g 2a= log 5b= ig（ a+b）=k,所以 a=2k, b=5k, a+b= 10k,所以 ab=10k,所以a+b=ab,则+?=1.a b答案：1题海无涯战胜高考基本初等函数的图象及性质核心提炼指数函数与对数函数的图象和性质

6、指数函数y = ax(a>0, aw1)与对数函数 y=1ogax(a>0, aw1)的图象和性质，分 0<a<1, a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数.典型例题例2 (1)(2019 高考浙江卷)在同一直角坐标系中， 函数y=工，y= 1og a x+. (a>0,且a2 、aw 1)的图象可能是()(2) P为曲线G： y=ex上一点，Q为曲线G： y=1n x上一点，则| PQ的最小值为1y=1oga x+2是减函数且其图象41一一 通解：右0<a<1,则函数

7、y=r是增函数, a过点0 ,结合选项可知，选项 D可能成立；若a>1,则y=工是减函数，而y=1ogax + ；2a2一，一.1， r ，一，是增函数且其图象过点2, 0 ,结合选项可知，没有符合的图象.故选 D.，一1 一优解：分别取a=2和a=2,在同一坐标系内回出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.(2)因为曲线y=ex与曲线y=ln x互为反函数，其图象关于y=x对称,故可先求点P到直线y=x的最近距离d,设曲线y= ex上斜率为1的切线为y = x+b,因为 v' = ex,由 ex= 1,得 x = 0,故切点坐标为(0 , 1),即b=1,所以d=j，,业+

8、 1 2所以|PQ的最小值为2d = 2x2=q2.【答案】(1)D (2) 2茗师点评研究指数、对数函数图象应注意的问题(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x) = ln( x2- 3x+ 2)的单调区间，只考虑t=x23x+2与函数y=ln t的单调性，忽视t>0的限制条件.对点训练|x|11 .当xCR时，函数f(x) = a始终?黄足0v | f (x)| w 1,则函数y=log a -的图象大致为x|f(x)| <1.因此，

9、必有 0<a<1.先画出函数y=log a|x|的图象，如图.而函数 y= log a 1 =log a|x| ,如图.x故选B. ，,、x2 + 2x(xwo),2 . (2019 四川胜读九校联考)已知函数f(x)=若|f(x)|>ax恒ln(x+ 1) (x>0),成立，则a的取值范围为解析：由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象和函数y= ax的图象,由图象可知，函数 y=ax的图象为过原点的直线，直线 l为曲线的切线，当直线介于 l 和x轴之间符合题意，且此时函数 y=| f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x2-2x,求其导 数可得y' = 2

10、x-2,因为x=0,故V, =- 2,故直线l的斜率为2,故只需直线y= ax的斜率a介于一2与0之间即可，即a -2, 0.答案:2, 0函数的零点核心提炼1 .函数的零点的定义对于函数f(x),我们把使f(x) = 0的实数x叫做函数f(x)的零点.2.确定函数零点的常用方法(1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解.典型例题x, x<0,例3 (1)( 2019 高考浙江卷)设a, be R,函数f (x) = 1 3 12> 若32 '函数y = f(x) ax b恰有3个零点，则()A. a< - 1, b<0

11、B. a<- 1, b>0C. a>-1, b<0D. a>- 1, b>0x>0 时，f(x) =log 2 (x + 1),| x- 3| , x> 1(2)(2019 衢州市高三教学质量检测)已知f(x)是R上的奇函数，当0<x< 1 一一1、一一,则函数y= f(x)12的所有零点之和是A. 5+ .2C.啦1一、一一、 一, X4, X", 、一一(3)(2018 局考浙江卷)已知入C R,函数f(x)= 2当入=2时，不等式x 4x+ 3, x<X .f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点

12、，则 入的取值范围是 .【解析】(1)由题意可得，当 x>0 时，f(x) axb='x3；(a+1)x2b,令 f(x)ax32一 1 3121 2一 ,，, 一,b=0,则 b=3x -2(a+1)x =6x 2x-3(a+1).因为对任意的 xCR, f(x)axb=0 有 3个不同的实数根，所以要使满足条件， 则当x>0时，b = -1x22x-3(a+1)必须有2个零点，3 (a4 1)所以 2>0,解得a>1.所以b<0.故选C.0<x<1,(2)当 x>0 时，f(x) >0,所以当 xv 0 时，f (x) v 0;

13、由1 得 x= 1 + J2;log 2 (x+1)=-x> 1 , 7 5 由1得x = %或大 所以所有零点之和是 5+J2,选A.|x-3| =22 27(3)若 入=2,贝U当 x>2 时，令 x-4<0,得 2W x<4;当 x<2 时，令 x2-4x+ 3<0,得 1<x<2. 综上可知1<x<4,所以不等式f(x)<0的解集为(1 , 4).令x4=0,解得x=4;令x2- 4x + 3 =0,解得x=1或x=3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象 (图略)可知1<入3 或入>4.【答案】(1

14、)C (2)A(3)(1 ,4) (1, 3U(4, +°o)(1)判断函数零点个数的方法直接求零点：令f(x) =0,则方程解的个数即为零点的个数.零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在 (a,b)上是连续的曲线，且f(a) - f (b)<0 , 还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(2)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法利用零点存在的判定定理构建不等式求解.分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.利用此种方法还可 判断零点个数，求所有零点的和，研究基本初等函数的性质等.对

15、点训练1. (2019 “七彩阳光”高三联考)设关于x的方程x2ax2=0和x2x 1 a=0的实数根分别为xi, x2和x3, x4,若xi<x3<x2<x4,则a的取值范围是 .解析：由x2ax2= 0得a= x2,由x2x1 a= 0得a=x2x1.在同一个坐标系 x中画出 y=x 2 和 y = x2 x 1 的图象（图略）.由 x2=x2x1,化简得 x3- 2x2- x+ 2= 0, xx此方程显然有根 x = 2,所以 x32x2x+2=(x+1)( x1)( x 2) =0,解得 x=1 或 x=1 或x = 2,当x = 2或x=1时，y=1;当x=1时，y

16、= - 1,由题意可知，- 1<a<1.答案：( 1, 1)2.若函数f (x) =|2x1|+ax5(a是常数，且ae R)恰有两个不同的零点，则 a的取值 范围为.解析：由 f (x) = 0,得 |2 x1| = ax+5.作出y=|2x 1|和y=ax+5的图象，观察可以知道, 当一2<a<2时，这两个函数的图象有两个不同的交点， 即函数y= f(x)有两个不同的零点.故a的取值范围是(一2, 2).答案:(2, 2)函数的综合问题核心提炼函数的综合问题是浙江省新高考命题的热点之一，是考查考生分析问题、解决问题的能 力及数学素养的较好题型，具有较好的区分度，求解

17、函数综合问题应注意以下三点：1 .审题是关键审题时要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性.解题实践表明：条 件暗示可启发解题手段，结论预示可诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得 尽可能多的信息.2 .画出草图，寻找思路画好图形，做到定形(状)，定性(质)，定(数)量，定位(置).图形能帮助你直观的理解 题意，分析思路.3 .力求表述规范，抓住得分点解题过程要用规范的数学语言，避免以某些二级结论为依据，只写结论，不写过程.典型例题例4已知函数f (x) = x2+ ax+ b( a, be R),记M(a, b)是I f (x)|在区间1,1上的最 大值.(1)证明：当

18、 | a| >2 时，M(a, b) >2；(2)当a, b满足Ma, b尸2时，求|a| 十|b|的最大值.a 2 , a2【解】(1)证明：由f (x) = x +2 +b,得对称轴为直线x = - ,.,，ra由 |a| >2,得 一2 >1,故 f (x)在1, 1上单倜,所以 Ma, b) = max| f (1)| , |f(-1)|.当 a>2 时，由 f(1) f( 1)=2a>4, 得 maxf(1), - f ( -1) >2,即 Ma, b) >2.当 aw 2 时，由 f ( 1) f (1) = 2aA4,得 maxf(

19、1), f(1) >2,即 Ma, b) >2.综上，当 |a| >2 时，Ma, b) >2.(2)由 Ma, b)<2 得|1 +a+b| =| f (1)| <2, |1 a+b| =|f(1)| W2, 故|a+b|w3, |ab|w3.由 | a| + | b| =I a+bl ,I a-b| ,ab>0, ab<0,得 | a| + | b| < 3.当 a=2, b=1 时，|a|+|b|=3,且|x2+2x1|在1, 1上的最大值为 2,即M2 , 1) = 2.所以| a| 十 | b|的最大值为3.(1)命制函数的综合问

20、题的试题涉及到诸多性质、运算和思想方法，如本例考查了函数的 单调性与最值、分段函数、不等式等知识，同时考查了分类讨论、化归、转化、推理论证和 代数运算能力.(2)对于函数的综合题，要认真分析，处理好各元素之间的关系，把握问题主线，运用相 关知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其要注意等价转化、分类讨论和数形结合等思 想的综合运用.对点训练1. (2019 金丽衢十二校联考 )已知函数f (x) =log a(a2x + t),其中a>0且aw1.(1)当a=2时，若f(x)<x无解，求t的范围；(2)若存在实数 m n(n<n),使得xCm n时，函数f(x)的值域也都为m

21、 n,求t的范围.解：(1)因为 10g 2(22x+t)<x=log 22：所以 22x+t<2x无解，等价于 Z"+t*"!成立，即 t > 22x+ 2x= g(x)恒成立,即 t >g(x) max,求得 g(x)max= g(- 1)= 2 +2 =彳，所以 t.2m m2yf(m) = m a+t=a(2)因为f(x) =log a(a2x + t)是单调增函数，所以 f _n,即a+t_an,问题等价于关于k的方程a2k- ak+t = 0有两个不相等的解，令ak= n>0,则问题等价于关于n的二次方程ni + n2>0t

22、>0n2n+t=0在nC(0,十)上有两个不相等的实根，即ni n2>0,即 i, >0t得 o<t <4.2. (2019 绍兴市一中期末检测)已知函数f(x) =| x+2| -|x-1|.(1)试求f(x)的值域；.2、门ax 3x+3- f,(2)设 g(x) =(a>0),右对任息 sCi, +8) te0,+8) 恒有 g( s) > f( t)x成立，试求实数a的取值范围.解：(1)因为 | x+2| -|x-1| <|( x+2)-(x-1)| =3,所以一3w| x+2| |x1|W3,所以f(x)的值域为3, 3.(2) g(

23、x)=ax ；x+3 =ax+1_3 xx当 a>3 时，g( x)在1 , 十°°)上是增函数，g(x)min= a,当 aC(0, 3)时，g(x)min = 2/3a-3,、273a3, 0<a<3 、 c因此 g( S) min=, f ( t ) max= 3 ,a, a>3由题息知 g( S) min A f ( t ) max,当0<a<3时，243a 3>3,此时a无解，当a>3时，a>3恒成立，综上，a > 3.专题强化训练1 .已知函数f(x) =(n2-m- 5) xm是哥函数，且在xC (0

24、 , +°o)上为增函数，则实数m的值是()A. -2B. 4C. 3D. 2 或 3解析：选 C.f(x) = (mi-m- 5)xm是备函数？ m2- m- 5= 1? m= - 2 或 m= 3.又在xC(0,+8)上是增函数，所以m= 3.2.函数y = ax+21(a>0且awl)的图象恒过的点是()1. (0 , 0)B. (0 , 1)C. ( -2, 0)D. ( -2, 1)解析：选C.法一：因为函数y=ax(a>0, aw 1)的图象恒过点(0,1),将该图象向左平移 2个单位，再向下平移1个单位得到y= ax 2- 1( a> 0, a1)的图

25、象，所以y= ax 2- 1(a>0,aw1)的图象恒过点(一2, 0),选项C正确.法二：令 x+ 2=0, x= 2,得 f ( 2) = a°1 = 0,所以 y= ax 2- 1(a>0, aw 1)的图象 恒过点(2, 0),选项C正确.3. (2019 温州模拟)已知 a=log 20.2 , b=2° c=0.20.3,则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a解析：选 B.因为 a= log 20.2<0 , b=20.2>1, c= 0.2 0.3 (0 ,

26、 1),所以 a<c<b.故选 B.4. (2019 嘉兴市高考一模)函数f(x)=(g)xx2的大致图象是()ABCU解析：选D.由题意，x=0, f(0) =1,排除B,x=-2, f( 2) =0,排除 A,X-oo, f(x) 一十 oo,排除 C,故选D.5. (2019 丽水模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特 (C.F.Richter) 制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大， 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M其计算公式为 M= lg Alg A,其中A是被测地震的最大振幅，A)是

27、“标准地震”的振幅.已知 5级地震给人的震感已经比较明显，则 7级地震的最大振幅是 5级地震的最大振幅的()A. 10 倍B. 20 倍C. 50 倍D. 100 倍解析：选D.根据题意有lgA= lg A+lg 10"= lg (A010).所以A= A010”，则 » dn5A0 人 10 = 100.故选 D.6. 已知函数 f(x) =x2 2x+a(exT + ex+1)有唯一零点，则 a=()A.1B.3D. 1C.2解析：选 C.由 f(x) =x = 1的实根个数为()-2x+ a(ex +e x+1),得 f (2 x) = (2 x)22(2 x) +

28、ae 2一、一 + e2-x)+ 1 =x2 4x+4 4+2x + a(ex+exT) =x22x+ a(ex + e x+1),所以 f(2 -x)= f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴.由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x =1,即 f(1) = 12 2X1+a(e11 + eT+1) =0,解得 a=2.故选 C.17. (2019 宁波效实中学图二质检)若函数f(x) = a1|(a>0,aw1)满足f(1)=石，则f (x)9的单调递减区间是()A.( 8, 2B.2 ,+8)C. -2,+°°)D.( 一-21 上1/口 21P

29、1 m ,1 |2x-4| E4斛析：选B.由f (1) =9得a = 9.又a>0,所以a=3，因此f (x) = 3.因为g(x)= |2x-4|在2, +8)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是2, +8).110g 2x| , 0<x< 48. (2019 金华十校联考)函数f(x)= 2x_5|x>4，若a, b, c, d各不相同，且f(a)=f(b) = f(c)=f(d),贝U abcd 的取值范围是()B. 16 , 25)D. (0, 25A. (24 , 25)C. (1 , 25)解析：选A.函数f(x)的图象如图所示:若a、b、c、d互不相

30、同，且 f (a) = f (b) = f (c) = f (d), 不妨令a<b<c<d,贝 U0<a<1, 1<b<4,则 log 2a =log 2b,即 log 2a+log 2b =log 2ab= 0,则 ab=1,同时 cC(4, 5) , de (5, 6),一， 一一 , c+ d一因为c, d关于x= 5对称，所以 2一= 5,则c+d=10,同时 cd=c(10-c) =- c2+ 10c=- (c-5)2 + 25,因为 c(4, 5),所以 cd (24 , 25),即 abcd = cd e (24 , 25),故选 A.|

31、log 2( 1 x) | , xv 119. (2019 宁波十校高考模拟)已知函数f(x)= _x2+4x_2, x>1 ,则方程f(x + x-A. 8B. 7C. 6D. 51 ,、斛析：选 C.令f (x) = 1得x= 3或x= 1或x = /或x= 1,因为 f(x+1 2) = 1,x一,1八 1八 1所以 xH2=3 或 xH2=1 或 xH-2 =-或 xH2 = - 1.2 x令 g(x) =x + -2,则当 x>0 时,xg(x) >2- 2=0,当 x<0 时，g(x) w 2 2= 4,作出g(x)的函数图象如图所示:11所以万程 x +

32、x-2=3, x+1 - 2=1,1 一 1,x + - 2=不均有两斛,x 21+ - 2= 1 无解. x方程1,所以万程“x + 厂 2) = 1有6解.故选C.10.已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，且在区间0 , +8)上单调递增，若f (ln x) f ln1x<f (1),则x的取值范围是()A. 0,B. (0,e)1 c. e，D. (e, +8)解析:选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(ln x) -f ln 1 =f(ln x)- xf ( In x)= f(ln x)+f(ln x)=2f(lnx),f (In x) f In所以1 x&

33、lt;f (1)等价于 | f(lnx)|< f(1),又f(x)在区间0, +8)上单调递增,所以1<ln x<1,解得 Lx<e. e11. (2019 浙江新高考冲刺卷 )已知集合 M= x|y=lnx二1, N=y| y= x2+2x+2,则 xM=,(?RM) n N=解析：Ml= x|y=lnx_1 = x| x(x1) >0 = ( 8 0) U (1 , 十0°) x所以？RM= 0 , 1.因为 N= y|y=x2+2x + 2=y|y=(x+1)2+1 = 1 , +8),所以(？RM) AN= 1.答案：(8, 0) U (1 ,

34、+OO) 1 3x1, x<1,.212. (2019 台州市书生中学局二月考)设函数 f(x)= 2x则f(f(-)=;若f(f(a) =1,则a的值为.解析：f (3) = 1, f(1) =2,所以 f (f (刍)=2.当 x>l 时，f(x) >2,所以 a<1, f(a)<1 且f(a)=-,因此 3a 1 = 7,所以 a=R 339-5答案：2 §13. (2019 台州市高三模拟)设函数f(x) =9x+m3x,若存在实数x。，使得f(x0)= f(x0)成立，则实数 m的取值范围是 .解析：因为 f ( - xc) = - f ( x

35、c),所以 9x0+ nr 3- x0= 9x0 mr 3 x0,所以 m= (3x0+3x。)+3x0+ 3x0令 t =3x0+3x°,则 t >2,2故m= - t +f, (t >2),函数y= t与函数y=2在2 , +°°)上均为单调递减函数,2所以m= t + -(t >2)在2 , +8)上单倜递减, ,2所以当t = 2时，m= t+(t >2)取得最大值一1,即- 1.答案：(8, 114. (2019 浙江新高考冲刺卷 )已知函数f (x) = ax2+bx+c( a>b>c),且f(1)=0,若 函数f(

36、x)的导函数图象与函数 f(x)的图象交于 A B两点，C D是点A, B在x轴上的投影， 则线段| CD长的取值范围为 .解析：因为 f (1) =a+b+c=0,所以 b= - a- c,因为a>b>c,所以a>0, c< 0,所以cv0, af ' (x) = 2ax+ b,令 ax444所以。/。+2| a / w aw2有解,所以 a< o zQt 2 =",所以 a+ bx+ c=2ax+ b得 ax2+ (b 2a) x+ c b= 0,即 ax2(3a+c)x+2c+a= 0,因为函数f (x)的导函数图象与函数f(x)的图象交于

37、 A, B两点,所以方程ax2(3a+c)x+ 2c+ a=。有两解，所以 = (3a+ c)2 4a(2 c+ a) = 5a2 2ac+ c2>0,所以(a，2 一 "a+5 > o, a e r,.3a+c - , c 2c+a -2c所以 xi+x2=a=3+a, *水2=a= i+,所以 | xi x2| = (xi + x2) 4xix2= (3H) 4(1 T) = (-)F 5= ( 1) +4,aa a a a因为&v 0,所以(c 1) 2 + 4>5,所以 | xi x2| >J5 aa答案：(邓,+oo)15. 如图，线段EF的

38、长度为i,端点E, F在边长不小于i的正方形ABCD1的四边上滑动，当 E, F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为 G若G的周长为I,其围成的面积为S,则lS的最大值为解析：设正方形的边长为a(a>i),当E, F沿着正方形的四边滑动一 1i 周时，EF的中点M的轨迹如图，是由半径均为2"的四段圆弧与长度均为的四条线段围成的封闭图形，周长1 =兀+ 4(ai),面积S= a2亍，所以IS= a2+4a+ 54L-4(a>i),由二次函数的知识得，当a=2时，I S取得最大值5/.5兀答案：不416. (20i9 高考浙江卷)已知aC R,函数f (x)

39、 =ax (3t + 6t+4)3 (3t + 6t+ 4)3 (3t + 6t+4) max 3-x,若存在t £ R,使得|f (t +2) f(t)| <|,则实数a的最大值是.3解析：f(t + 2) f(t) =a(t + 2)3(t + 2) (at3t) =2a(3t2+6t + 4) 2,因为存在2 ,22.22.t e R,使得 | f(t + 2) -f(t)| W3，所以一3W2a(3t +6t + 4) 2W3 有解.因为 3t +6t+4>i,，一一 4的最大值为4. 34答案：o32-1 x 2x , x、017 .已知f(x)=,若关于x的方

40、程f(x)=a有四个实根xi, X2, X3, x4,11g x| , x>0则这四根之积*仇2*3*4的取值范围是 .解析：画出函数f(x)的图象，由图知f (x) = a有四个实根的条件为 1 wav 9.设四个实根8,_. 一 0一-.a - 1,xi<x2<x3<x4,由 f (x)= a 可得2x+ x+a1 =0,所以*仅2=2,由 y= |lg*|=2知一lg x3=lg x4,所以 x3 x4=1,故 x1x2x3x4=a，又因为 g( a) =-7在 1, 1 上是增函数，所以228*1x2x3x46 0.16答案:得 g(2) <0, g(4)

41、 >0,4a+2b-1<0, 即16a+4b 3> 03 . 1-4a< b<2-2a.-31-1 -3 b 1显然由14a<22a得a>8,即有2 花>一乱> 1 几,故 xo=>1；>1 2a4a11=T4X 8(2)由 g(x) =ax2+ ( b- 1)x+ 1 = 0,知 x1x2=0,1618.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+ 1(a, be R, a>0),设方程f(x) = x的两个实数根为 x1 和 x2.(1)如果x12Vx2V4,设函数的对称轴为 x = xc,求证：xc>- 1;(2)如

42、果| x1| <2, | x2刈=2,求b的取值范围.解：(1)证明：设 g(x) =f (x) -x= ax2+ (b- 1) x+1,因为a>0,所以由条件x1<2<x2<4,>0,故 x1 与 x2 同号.a若0vxi<2,则X2xi=2(负根舍去)，所以 X2=xi + 2>2,所以 g(2) <0,即 4a+2b-1<0.(*)2,所以(X2Xl)2 =2= 4,a a所以 2a + 1 = (b 1)2+ 1(a> 0,负根舍去),-2.1代入(*)式，得 2N (b-1) 2+1 <32b,解出 b<4

43、.若一2 Vxi v 0,则 X2= 2+ X1 v 2(正根舍去)，所以 g( -2)<0,即 4a-2b+3<0(*).将 2a+1 = " (b1) 2+1 代入(*)式得2y (b1) 2+ 1 <2b- 1,解得 b>7.综上，b的取值范围为bv：或b>7. 4419 . (2019 杭州市高三模拟 )设函数 f (x) = | x2- a| - ax- 1( a R).(1)若函数y= f (x)在R上恰有四个不同的零点，求a的取值范围；(2)若函数y= f (x)在1 , 2上的最小值为 g(a),求g(a)的表达式.解：(1)若函数y=f

44、(x)在R上恰有四个不同的零点，则等价为f (x) = | x2- a| - ax- 1 = 0,即|x2a|=ax+ 1有四个不同的解，若aw。，则方程x2a=ax+1至多有两个根，不满足条件.若a>0,则y= | x2a|与y= ax+1两个图象有四个不同的交点，当y=ax + 1与y = x2+a相切时，得a= 2+2加.(负值舍掉)当y= ax +1过点(一小, 0)时，得a=1,所以2小2<a<1,即a的取值范围是(2啦一2, 1).2一2a 2 a(2)当 a< 1 时，f(x)=xax a- 1 = (x-) - -a- 1,则 f (x)在1 , 2上单

45、倜递增，则 f ( X) min= f (1) = 2a.当1<a<4时，2(x+a) 2+ + a-1, 1WXW&f(x)=2，(x-a) 2-4-a-1, >/a<x<2易知f（x）在i, ya上单调递减，在（乖,2上单调递增,则 f (x) min = f (a) = ayJa 1.2当 a>4 时，f (x) = - (x+2)2 + -+ a - 1,则f (x)在1 , 2上单调递减,贝U f (x)min=f(2) =- a-5,-2a, a< 1综上，g(a)= a« 1, 1<a<4. a5, a>

46、;4以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。 如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把 自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者 自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习 复习。2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例， 要能用自己的话解释概念（理解概念）然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推 导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的 出来（依靠自己才是最可靠的力量）。最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白 天攻，晚上钻，梦中还惦着它）其次，先看笔记后做作业。有的高中学生感到。老师讲过的，自己 已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其 原因在于，学生对教师所讲的内容的理解