哈尔滨中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习

1、哈尔滨中考数学一一圆的综合的综合压轴题专题复习一、圆的综合1 .如图，点P在。的直径AB的延长线上，PC为。的切线，点C为切点，连接 AC, 过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交。于点E.(1)如图 1 ,求证：/ DAC=Z PAC(2)如图2,点F (与点C位于直径AB两侧)在。O上，BF ?A，连接EF,过点F作AD 的平行线交 PC于点G,求证：FG=DE+DG在(2)的条件下，如图 3,若AE=2dG, PO=5,求EF的长.3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) EF=3j2.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC/ AD,求出OC, PC,根据切线的判定推出即可

2、；(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形 HGDE是矩形，求出 DE=HG FH=EH即 可得出答案；(3)设OC交HE于M ,连接OE、OF,求出/ FHO=/ EHO=45 ,根据矩形的性质得出EH/ DG,求出 OM=1AE,设 OM=a,则 HM=a, AE=2a, AE=- DG, DG=3a, 23MO1CO 1求出 ME=CD=2a, BM=2a,解直角二角形得出 tan/MBO=tanP= 设BM 2PO 2OC=k,则PC=2k,根据OP=J5 k=5求出k=J5,根据勾股定理求出 a,即可求出答案.【详解】(1)证明：连接OC,.PC为。的切线, OCX PC, .

3、ADXPC, .OC/ AD,Z OCA=Z DAC, .OC=OA,Z PAC4 OCA,Z DAC=Z PAC(2)证明：连接 BE交GF于H,连接OH,的1. FG/ AD, / FGD+/D=180 ；d D D=90 ；/ FGD=90 ；.AB为。的直径，/ BEA=90 ,/ BED=90 ,/ D=/HGD=/BED=90 ,四边形HGDE是矩形，DE=GH, DG=HE, Z GHE=90 ,Bf Af ,/ HEF=Z FEA=1 / BEA=- 90 =45 , 22/ HFE=90 - / HEF=45 , / HEF=Z HFE, .FH=EH,.FG=FH+GH=D

4、E+DG(3)解：设OC交HE于M,连接OE、OF1 . EH=HF, OE=OF HO=HO,2 .FHOAEHO,/ FHO=Z EHO=45 ；四边形GHED是矩形，.EH/ DG,/ OMH=/OCP=90 ；/ HOM=90 - / OHM=90 - 45 =45 ；/ HOM=/OHM, .HM=MO , .OMXBE, .BM=ME, .OM= 1 AE, 2设 OM=a,则 HM=a, AE=2a, AE=2DG DG=3a3 / HGC=Z GCM=Z GHE=90 ；四边形GHMC是矩形，GC=HM=a, DC=DG- GC=2a, DG=HE, GC=HM,ME=CD=2

5、a, BM=2a,在 RtBOM 中，tanZ MBO=M0- - 1 BM 2a 2 EH/ DP, / P=/ MBO,CO 1tanP=-,PO 2设 OC=k,则 PC=2k,在 RtPOC 中，OP=*k=5,解得：k=5 , OE=OC= 5 ,在 RtOME 中，OM2+ME2=OE2, 5a2=5, a=1,HE=3a=3,在 RtHFE 中，/HEF=45, 1-EF=72 HE=372 -【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用 性质进行推理是解此题的关键.2.在平面直角坐标中，边长为 2的正方形OABC的两顶点 A、C分别在y

6、轴、x轴的正 半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当 A点一次落在直线 y x上 时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x于点M , BC边交X轴于点N （如图）.c(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；(3)设 MBN的周长为p ,在旋转正方形 OABC的过程中，p值是否有变化？请证明 你的结论.【答案】(1)兀2 (2) 22.5。(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出/A

7、OM的度数；(3)利用全等把MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) ; A点第一次落在直线 y=x上时停止旋转，直线 y=x与y轴的夹角是 45,4522 _3602，OA 旋转了 45： ，OA在旋转过程中所扫过的面积为(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 , / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.X / BA=BC, .1. AM=CN.又. OA=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN.Z AOM=Z CON=1 (/AOC-/ MON) =- (90 -45 ) =22.5 . 22，旋转过程中，当 MN和

8、AC平行时，正方形 OABC旋转的度数为45 -22.5 =22.5 . (3)在旋转正方形 OABC的过程中，p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，贝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90 = / OCN.OAEAOCN.OE=ON, AE=CN又 / MOE=Z MON=45 , OM=OM , .OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN ,.尸MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋转正方形 OABC的

9、过程中，p值无变化. 考点：旋转的性质.3.如图1,已知扇形MON的半径为五 , /MON=90，点B在弧MN上移动，联结BM , 作OD，BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为 y.(1)如图2,当ABOM时，求证：AM=AC；(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OAXBAM,即可得出结论;(2)OA OE (3)先判断出BD=DM,进而得出-DM ME,进而得出AE-1(J2 x),再判断出

10、BD AE2OC 2DM -，即可得出结论；OD OD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1) OD) BM, AB OM,/ ODM=/BAM=90. / ABM+Z M=Z DOM+Z M,/ ABM=Z DOM .Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E. OB-OM, ODXBM, .BD-DM. DM ME1- x1.DE/AB, ,AE-EM, OM-Jz， AE- -( V2 x).BD AE2OA OC 2DM1. DE/AB, 一 OE OD ODDM OAx_oD 2OE,

11、 y T/2 (0/ AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a, / CAO / M , Z M=90 - a, . . a 90 a, a45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 ，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为屈 衣.2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定 理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.4.在。中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，/ACB=120,点I是/ABC的 内心，CI的延长线交。于点D,连结AD,BD.D(

12、1)求证：AD=BD.(2)猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由.(3)若。的半径为2,点E, F是AB的三等分点，当点 C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长.【答案】（1）证明见解析；（2） AB=DI,理由见解析（3） 还9【解析】分析：（1）根据内心的定义可得 CI平分/ACB,可得出角相等，再根据圆周角定理，可证 得结论；（2）根据/ACB=120, /ACD=/ BCD,可求出/ BAD的度数，再根据 AD=BD,可证得 ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明/BID=/IBD,得出ID=BD,再本艮据AB=BD,即可证得结论；（3）连接DO,

13、延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DIi为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出 AD的长，再根据点 E, F是弧AB ? 的三等分点，4ABD是等边三角形，可证得 /DAIi = /AIiD,然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：二.点I是/ABC的内心.CI 平分 / ACB/ ACD=Z BCD弧 AD=M BD.AD=BD（2） AB=DI理由：. /ACB=120, /ACD=/ BCD / BCDX 120=60 弧 BD=M BD/ DAB=Z BCD=60 ,.AD=BD .ABD是等边三角形，.AB=BD, /

14、ABD=/ C.I是4ABC的内心BI 平分 / ABC/ CBI=Z ABI Z BID=Z C+Z CBI, / IBD=/ABI+/ABD/ BID=Z IBD .ID=BD.AB=BD.AB=DI(3)解：如图，连接 DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DIi为半径的弧 / ACB=120，弧 AD=M BD / AED/ ACBX 120=60:圆的半径为2, DE是直径 .DE=4, / EAD=90，AD=sin/AEDX点E, F是弧AB ?的三等分点, ABD是等边三角形,/ ADB=60弧AB的度数为120； 弧AM、弧BF的度数都为为40/ AD

15、M=20 =/ FAB / DAIi=Z FAB+Z DAB=80 / AIiD=180 -Z ADM- / DAIi=180 -20 -80 =80 / DAIi=Z AIiD .AD=IiD=2nr i i m上班20Tpe2打弧I1I2的长为： ?一L80 一 9点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的 弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透5.如图，已知 AB是OO的直径，点C, D在OO上，BC=6cm,AC=8cm,/BAD=45。.点E在OO外，做直线AE,且/ EAC=Z D.(1)求证：直线AE是。的切线.(

16、2)求图中阴影部分的面积.B【答案】 见解析；(2).4【解析】分析：(1)根据圆周角定理及推论证得Z BAE=90 ,即可得到AE是。的切线;(2)连接0D,用扇形ODA的面积减去AAOD的面积即可.详解：证明：(1) ;AB是的直径，Z ACB=90 ,即 Z BAC+Z ABC=90 , Z EAC土 ADC, Z ADC=Z ABC,Z EAC之 ABCZ BAC+Z EAC =90, 即 Z BAE= 90直线AE是。O的切线；(2)连接ODBC=6 AC=8AB Ve2 82 10. OA = 5又 ; OD = OAZ ADO =Z BAD = 45Z AOD = 90 与影=S

17、扇形ODA S AOD90- 1 = 5 5-55360225502（ cm ）4B点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切 线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用6.如图，已知AB是。O的直径，点C为圆上一点，点 D在OC的延长线上，连接 DA, 交BC的延长线于点 E,使得/ DAC=Z B.(1)求证：DA是。O切线；(2)求证：ACEDAACD;(3)若 OA=1, sinD=l ,求 AE的长.3D【答案】(1)证明见解析；(2) J2【解析】分析：(1)由圆周角定理和已知条件求出AD AB即可证明DA是。O

18、切线;(2)由/DAG/DCE / D=/D 可知DECDCA；(3)由题意可知 AO=1, OD=3, DC=2,由勾股定理可知 AD=2,故此可得到DC2=DE?AD,故此可求得 DE的长，于是可求得 AE的长.详解：(1) .AB 为。的直径，./ACB=90,ZCABZ B=90. ZDAC=ZB,Z CABZ DAC=90 ,ADXAB. OA是。O半径，DA为。的切线;(2) OB=OC, ，/OCB=/B. ./DCE=/OCR ，/DCE=/B. ZDAC=ZB, . . / DAC=/DCE ./D=/D,ACEDIA ACD;.一，一 _ 1(3)在 RtAOD 中，OA=

19、1, sinD=一,3 ad=Jod2 oa2=2 技AD CD又CEDkACD,CD DEAE=AD - DE=2亚-72 =72-OD=-OA-=3, .CD=OD-OC=2. sinDCD2DE=/5 -2-5-x) .PD/ BE,PDPF2-x5xVX28x80 y ,整理得:y=5x x2 8x 800 x 10 ；(3)以.二3x 20EP为直径作圆Q如下图所示,D, GD为相交两个圆交于点G,则PG=PQ即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为 所得的公共弦， 点Q时弧GD的中点， DGXEP,.AG是圆P的直径，/ GDA=90 ； .EP/ BD,由（2）知，PD/ BC,

20、二.四边形PDBE为平行四边形， ，AG=EP=BD.AB=DB+AD=AG+AD=4、,5 ,设圆的半径为r,在ADG中,AD=2rcos 3, DG=-y= , AG=2r,2r 2075 +2r=4 V5 ,解得：2r=正,则：DG=-=10-2 75 ,相交所得的公共弦的长为10-2 75.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中( 关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.15.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证： OBC ACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB

21、,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AEBC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED ,若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.141)见解析；(2)成立；(3)5(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长CG 交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出 a即可.【详解】(1)证明：:AB为直径，ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;(2)成立，证明：连接OC,由圆周角定理得：BOC 2 A ,OC OB ,_ _ 1_1OBC 180 BOC 180 2