中学数学教育论文中学数学教学论文：中学教学减元策略

1、 中学数学教育论文中学数学教学论文:中学教学减元策略这里所谓的减元不仅是指减少变元的个数,而且还包括降低变元的次数以及减少变元出现的频率等,由于减元策略的应用融汇于多种数学方法与数学知识之中,掌握了它,就能较大地提高解决数学问题的能力。1、巧设减元在应用待定系数法解题时,有的问题根据题目的特点,可以使待定的系数尽量减少,例如三个数成等差一般可设为:、,四个数成等差可设为:、,同样三个或四个数成等比则可设为:、和、,这样就把原本是三个或四个变元的问题变成仅有两上变元了。再如求椭圆或双曲线的标准方程时,若已知离心率,则方程可设成仅含或之一的形式,这样就把含有两个未知量的问题转化成仅有一个变量的问题

2、。2、消元减元解方程时,一般是通过代入消元法或加减消元法使变元逐渐减少,直至化成一元一次或一元二次方程。对于有些数列中在与并存的情况下,往往可以用减元,将表达式转化为仅含(或的递推关系。而数列求和中的消项法,就是通过裂项,消掉中间的一些变元后化简或求值的。例如:设数列的前项和为,已知+=,(1求数列的通项公式。(2求。(1首先利用,将含、的关系式减元转化为的形式。再通过构造得出新等比数列,从而可求出。(2从原式直接求和很难计算,若将通项拆开成为的形式,就可以消项减元将其化为。3、分离变量减元在一个表达式中有两个变量,有时可以通过其中一个的变化来确定另一个变化范围,这就需要将两个变量分离开。例如

3、:已知是实数,函数,若在区间-1,1上有零点,求实数的取值范围。此题条件清晰,学生易想到讨论零点个数求解,但过程繁琐,不易求解。若将其转化为将其分离参量变形为,求函数的值域则容易解答,避免较复杂的讨论。分离变量减元的方法尤其在有些含两个未知量恒成立的题目中常使用。例如:对,不等式恒成立,求实数m的取值范围。本题若化为,则需以是否在-1,1内分类讨论。若换一个角度,将变量m和分离开,即将原式化为=只要求出的最大值,m大于此最大值即可。4、换元引参减元换元法在解决数学问题中倍受青睐的重要原因就是具有减元的功能。例如:点P是椭圆上动点,求的最大值。设,就从两个变元和减为一个变元,再令,将和换成一个变

4、元t的形式。通过配方再将t 出现的频率由两次减为一次,即,由二次函数在闭区间上最值的求法可顺利得出的最大值。5、整体代换减元整体求解有时运用设而不求的方法,能使看似无法解决的问题迎刃而解。在解析几何中,与弦的中点与及斜率有关的轨迹问题可以利用点差法设而不求。例如:求椭圆的斜率为的弦的中点的轨迹方程。设弦所在直线的斜截式方程,与椭圆方程联立得关于的二次方程,由韦达定理求解,此法 虽属常规但计算量较大,若设某弦端点A、B,其中点为P,利用点差法得,则,整理后就得所求中点的轨迹方程,但要注意自变量的取值范围。再比如:已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,求此长方体的对角线的长。设长方

5、体的长、宽、高分别为、,由题设得,4,设对角线长为l,则,如何使这三个关系联系起来是求解的关键,其纽带就是=,有了此式就可通过整体代换求解两个方程三个未知元的问题,得出对角线长是5。可见运用整体代换的减元方法能够拓宽解题的空间,使“不可能成为可能”。6、降幂减元解高次方程通常是采用降幂的方法,即利用因式分解或换元法将其化成几个一次或二次方程求解,但如何转化也要讲究策略和方法。例如:已知关于的方程有两个不相等的实根,求证:方程有两个不相等的实根。由题设条件易得到的条件,但据此条件判定此四次方程根的情况却有难度,虽然降幂的原则人人皆知,但怎样将其分解成两个二次方程却无一般的方法。由于二次方程有两个

6、不等实根,可设其为和,由韦达定理得,将其代入四次方程应用十字相乘法,原四次方程就可分解成。由和,不难证明两个二次方程各有两个不等实根且无公共根。在复数的问题中,可通过,降幂,若z是虚数且是实数,也可用其降幂。例如,若,求。应用错位相减的方法,同时配以进行降幂,可得,很快能计算出的值为。在三角问题的求解中,降幂也是很重要的方法,降幂除了用降幂公式外,平方关系也发挥着重要的作用。例如:求函数的值。此题只有将其降幂才能求解,原函数可化为,再由倍角公式和降幂公式,可将其降幂为,此时易求值域为。7、变更主元减元人们的思维习惯是以为自变量,其它字母为变量,有时若打破定势,变更主元思考却能优化解题。例如:设

7、,若在区间-2,2上变化时,m值恒正,求的取值范围。此题从二次方程根的分布角度求解是很麻烦的,但若将m看成是t的函数,则把二次转化成一次,易由且求出的范围是。再比如:已知(0,1,求证:对于一切都有此不等式的次数从4次到0次,难以从正面突破,若将主元由变为就使原题变成证明(0,1,恒成立。二次项系数,当时,;当时,且。因此(0,1时,成立,这里根据解题需要适时变更主元,降低了变元的次数,化繁为易。8、配方或配项减元有些函数在几处出现同一变量,由于多处都在变化,因此较难讨论其性质,比如对于二次函数,通过配方把函数化为的形式,就把函数从原来两处出现变成一处,其性质就显而易见了。又对于形如的函数,当

8、其系数满足一定的条件时求最值的问题,通过配方及配项可将出现的频率减小,从而可以应用不等式中单调性求解。例如:森林失火了,火势正发每分钟100平方米的速度顺风蔓延,消防队接到报警后,在失火后5分钟到达现场开始救火,已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50平方米,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元,另附加每次救火所损耗的车辆、器械 和装备等费用平均每人100元,而每烧一平方米森林的损失为60元,设消防队派了名消防队员前去救火,从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n分钟。(注:失火的森林每平方米均为消防队员扑灭(1试用表示n;(2问为何值时,才能使总损失最小。其建模是比较容易

9、的,根据题意不难列出n、的关系式,从而得,若设总损失为,则,将入整理得,很多学生都能列出此式,对于此系数较大的函数形式,若通分就形成了分子二次分母一次的分式形式,将使一部分学生不知所措,实际上只要应用减元的方法,将其配项成为的形式,由均值不等式可求解,即当为27时,损失最小为36450元,9、异名化同名减元有些结论和公式除了各自的功能外也具有减元的功能。例如,可以通过,将含两个函数和的表达式异名化同名,即化成一个角一个函数的形式,这样就有利于使用三角函数有界性解决有关问题。例如:求函数的值域。此题解法比较多,其中展开整理成形式的思路比较自然,然而有些学生对继续求出的范围还不十分清楚,主要是减元的思想还不明确,其实只要将其减元