2020高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量与复数第3讲平面向量与复数教案[浙江]

1、精品资源备战高考第3讲平面向量与复数题海无涯战胜高考平面向量的概念与线性运算核心提炼1 .在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能 盲目转化；2 .在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后 一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量.典型例题例1 （1） （2019 杭州模拟）如图所示，已知AB是圆O的直径,D是半圆弧的两个三等分点，A- a, AC= b,则 AD=().1A. a2b_ 1,B. -a - b-1C. a+2b-1.D. -a+ b（2）（2019 金华市十校

2、联考）已知A、RC是平面上不共线的三点，O是 ABC的重心,1 SSA PAB点 P 满足 O2 4(0 AFO跳 2OC,则 f"(.3A. 2B.C. 2D.（3）（2019 嘉兴七校联考）在阳热,点D满足水（配当点E在射线A口不含点A）上移动时，若 AE=入超 AC则（入+ 1）2+ 2的取值范围为 1 1【解析】（1）连接CD由点G D是半圆弧的三等分点，得 CD/ AB且CD= 2AEh2a,所以 Ab= AC>Cb= b+$.71 7（2）如图，延长 CQ交AB中点D, O是ABC勺重心，则O P= 4（ OAF_ J_ 1 _ J_ 1 J_ _ J_ 1 J-O

3、拼 2OC= 4(2 Q> 2OC = 4(- OO 2OC = 4OC,-1一 1 2-1所以出产4x3g 6cdCD= ；CD D0= 1CD一, 一一 1所以D鼻DO 02 -Ct>31 CDSapab dp 23所以 S0L= DO=，3cd一 . .rr 3r 因为点E在射线 AD不含点A)上，设A& kAD( k>0),又BD=：BC4所以 XE= k(AB+BD)=3 /、 k 3k>k A卅4 (AG-AB) =4AB+ ACk入=4、22 k/9,25 2 2922 所以 3k，(入 + 1) + w = 4+ 1 + k =8 k + 5 +

4、10>1,故(入 + 1) +(1 的取值范围为(1 , +°°).【答案】(1)D (2)A (3)(1 , +oo)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.对点训练1. (2019 瑞安市四校联考)设M是4ABC边BC上的点，N为AM的中点，若AN匕入A母W AG则入+ 的值为()1A. 一B.C-D.12解析：选C.因为M在BC边上，所以存在实数 tC0, 1使得BM= tBC.ffff AM= AB+ BM=AB tB G=A B+1( AG-

5、AB = (1 t) AB+ tA C,因为N为AM勺中点，> 1> 1 - t> t >所以 AN= 2AM= 2-AB+ 2AC1 tt 1 t t 1 , 人所以 入=-2-, =2，所以 入+（! = 2-2=2，故 C正确.2. （2019 宁波诺丁汉大学附中期中考试）在4ABC中，BO 7, AO 6, cos C= 2P.若动点P满足AP（1 入）AB+乌加（入CR）,则点P的轨迹与直线 BC AC所围成的封闭区3域的面积为（）A. 5B. 10D.4 ：'6C. 2 ,：6解析：选A.设AD= 3AC因为 AP=（1 入）超 2-AC（1 入）A

6、b+ 入 AD, 3所以B, D, P三点共线.所以P点轨迹为直线BC在 ABC43, BC= 7, AC= 6, cos C= ,所以 sin C= 7,所以 Sabc= 2X 7X6X7=15,一153. （2019 高考浙江卷）已知正方形 ABCD勺边长为1.当每个 X（i=1, 2, 3, 4, 5, 6）取遍± 1 时，|入iAb+入2BC+入3® 入4捻 入5AC计入6BD|的最小值是 ,最大值是解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴tr建立平面直角坐标系，如图，则A（0, 0） , B（1 , 0） , Q1 , 1） , 以0 , 1

7、）,4C所以入 iAB-|-入 2BCC-入 3CDF入 4DA-|-入 5ACC-入6BD=（入 1 入 3+ 入 5 入 6,rs S X入2-入4+入5+入6）,所以当入1 一入3+入5入6=0入2入4+入5+入6=0时，可取 入1=入3= 1 ,入5=入6= 1 ,入=-1 ,入4= 1 ,此时|入1AB+入2BC升入3CD入4入5AC+入6的取得最小值0；取入1= 1 ,一一 一一一一 一_ 三一 _ 3- ?一 _入 3= 1,入 5=入 6=1）入 2= 1）入 4=-1,贝 入 1AEBF 入 2BCCF 入 3CDb 入DAF 入 5ACF 入 6BD|取得最大值/22+42

8、= 2 .'5.答案：0 2 .：5平面向量的数量积核心提炼1 .平面向量的数量积的两种运算形式 数量积的定义：a - b=| a| b|cose (其中0为向量a, b的夹角);(2)坐标运算：a=(xi, yi), b=(X2, y2)时，a b = xiX2+y,2.2 .平面向量的三个性质若 a=(x, y),则 |a| =7a a = "x2 + y2.(2)若 A(xi, yi), B(x2, y2),则a - b xix2+ yiy28| a|b |4x2+ y1Jx2 + y2| AB = /(x2-xi) 2+ (y2 yi) 2.(3)若 a= (xi,

9、yi) , b= (x2, y2),(为 a 与 b 的夹角,则 cos典型例题例(i)(20i8 高考浙江卷)已知a, b, e是平面向量,e是单位向量.若非零向量 a, 兀 .一 .一.2一.一一.一与e的夹角为 至,向量b满足b 4e b + 3=0,则| ab|的最小值是()A.小B.小+iC. 2D. 2- 13(2)(20i9 浙江新高考研究联盟 )已知向量a, b, c满足| a| =i, |b| =k, |c|=2 k且 a+b+c = 0,则b与c夹角的余弦值的取值范围是 .【解析】(i)设 O 为坐标原点，a=OA b=O& (x, y) , e= (i , 0),

10、由 b? 4e b + 3=0得x2 + y24x+3= 0,即(x2)2+y2=i,所以点B的轨迹是以C(2 , 0)为圆心，i为半径 的圆.因为a与e的夹角为y,所以不妨令点 A在射线y = V3x(x>0)±,如图，数形结合可 知| a b| min= |CA |CB=V3i.故选 A.(2)设b与c的夹角为0,由题b+c=a,所以 b2+ c2+ 2b c= i._2,_112 (k-1) 2-2.日口 22k 4k+ 3即 cos 6= 2k2-4k因为 |a| =|b+c| 河 b c| ,所以 |2k2| wi.13所以k w; 221所以 一 1 w cos 8

11、 w 2.1【答案】(1)A(2) 1, 2(1)平面向量数量积的计算涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(i )直接利用数量积的定义；(ii)建立坐标系，通过坐标运算求解.在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量 进行计算.(2)求解向量数量积最值问题的两种思路直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值.建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值.对点训练11. (2019 品兴市局考一模 )已知平面向重 a、b满足| a| =| b| = 1, a b=5，右向重 c满足| a b+c| <1,则| c|的最大值为()

12、A. 1B.2C.3D. 21斛析：选 D.由平面向重 a、b满足|a|=|b|=1, a，b=5，1可得| a| |b | - cosa, b> = 1 - 1 - cosa, b> =2,一兀由 0wa, b> < % ,可得a, b=,3设 a=(1 , 0), b= 2, *,c = (x, y),则|ab+c|w1,即有1+x, y乎 W1,即为x+ 2 + y坐w 1,故| a-b+c| <1的几何意义是在以 一乎为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，| c|的几何意义是表示向量 c的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2.如图，

13、已知平面四边形 ABCD ABL BG AB= BC= AD= 2, CD= 3, AC与BD交于点 O记 I 1= OA- OB 12= OB- OC 13= OC- OD 则()B. I 1 V I 3V I 2D. I 2< I 1< I 3即有 cosa, b> =a , b 4;-R -| a| | b|5| a| | b| 4 :=一|a| | b| 5'A. I 1 V I 2 V I 3C. I 3 V I 1< I 2解析：选C.如图所示，四边形 ABC里正方形，F为正方形的对角线 的交点，易得AOAF,而/AFB= 90° ,所以/

14、 AOBW /CO师钝角，/ AOD 与/ bo锐角.根据题意，11 12= OA Ob- Ob Oc= ob( Oa-o(c=ob Ca = |Ob |CA cosZ AOB0,所以 I 1<I2,同理得，12>I 3,作 AGL BD于 G, 又 AB= AD,所以 OBBG= GDOD 而 OA：AF= FGOC所以 10A | OB<| OC | OD,而 cos / AOB= cosZ COD0,所以 OA- OBOC- Od 即 11>L. 所以 I 3<I 1<I 2.3. (2019 金华十校高考模拟 )若非零向量a, b满足：a2=(5a4

15、b) b,则cosa, b> 的最小值为.解析：非零向量 a, b满足：a2=(5a4b) - b,可得 a - b = 3 a2+ 4b2) = (| a|2+ 4| b|2), 2:| a|2 4| b|2=d a| , | b| ,555'5当且仅当| a| = 2| b| ,取得最小值4.54答案：5平面向量与其他知识的交汇核心提炼平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题 的工具，二是通过运算作为命题条件.典型例题例3 如图，已知点D为ABC勺边BC上一点，

16、BD= 3女 国nCN*)为边AC上的列点,>A >>满足EA= 4+1 曰B(3an+2)ED,其中实数列an中，an>0, ai=1,则数列an的通项公式为 an=()B. 2n1D. 2 - 3n 11A. 3 2n 1-2C. 3n1(2)已知在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a, b,c,向量p=(cosB+ sinB, 2sin B 2) , q=(sin B cos B, 1 + sin E),且 p±q.求B的大小；若b=2, ABC勺面积为事,求a, c.【解】(1)选 d.因为 BD= 3DC 所以 EC= EB+Bb= EB+

17、 4Bb= EB+ 4(BE+ED) = 1品333).设 mEnC= EnA,则由 EnA=4an+1EnB- (3 an+ 2) ED,得(；an+1 + gm) EB- (3m+ 3an+ 2) ED= 0,11贝 U m=; an+1,344 s -m= 一 (3 an + 2),3.11 一所以an+1 = 4(3 an+ 2),所以 an+1 + 1 = 3( an+ 1).因为 a1 + 1 = 2,所以数列an + 1以 2为首项，3为公比的等比数列，所以an+1=2-3nT,所以an=2-3ni 1.(2)因为p)±q,所以 p - q = (cos B+ sin

18、B)(sinB cos B) + (2sin B 2) (1 + sin B) = 0,即 3sin 2B2cos B 2=0,即sin2B= 3,又角B是锐角三角形 ABC勺内角， 4所以 sin B= "23,所以 B= 60° .由得B= 60。，ABC勺面积为 依1所以 Skabc= 2acsin B,即 ac=4.由余弦定理得 b2= a2+ c2- 2accos B,又b=2,所以a2+c2= 8,联立，解得a=c=2.国画施僧平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值.(1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关

19、键还是三角函数的知 识.在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善 于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上.(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题, 可构造向量，使其转化为向量问题求解.对点训练1 . (2019 杭州市高三二模) ABC Z C= 90° , AC= 4, BG= 3, D是 AB的中点，E,F分别是边BC AC上的动点，且 EF= 1,则DE-DF勺最小彳1等于()1517C. 4BND-解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所

20、示:3八则 A(0 , 4), B(3 , 0), C(0 , 0) , D2, 2 .设 E(x, 0),则 F(0 ,寸1 x2) , 0wxw 1.一 3所以 DE= x-2, 2 ,，一 一 9 322 25 3x 22所以 DE DF= 4-2x+4-2/1-x= -2-21 - x .人25 3x 2令 f (x) = 了 2y1 -x ,32x当 xwi 时，则 f' (x)=胃2 /1-x当 0WXV3 时，f' (x)<0,当3V x1 时,f' (x)>0. 553 315所以当x=5时，f(x)取得取小值f 5 =.25 3 19 15

21、 .当x=1时，f(1)=彳一2 =彳>不，故选B.2. (2019 浙江新高考研究联盟联考)已知向量a, b满足|a+b| =4, | ab| =3,则|a|十 | b|的取值范围是()A. 3 , 5B. 4 , 5C. 3 , 4D. 4 , 7解析：选 B.| a| + | b| > max| a+b| , | a b | =4,(| a| +| b|) 2w| a+ b| 2+| a b| 2=25,所以 | a| 十 |b| W5.3. (2019 江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列an中，d = 2,点列Pn(n=1, 2,)在ABCrt部，且 PnAB与

22、RAC的面积比为2： 1.若对nC N*都存在数列3满 足 bnPnA+ %n+1PB+ (3an+2)PnC= 0,求 a4.解：在线段BC上取点D,使得BD= 2CD则Pn在线段AD上，31,人因为 bnPnA+ 2ai+1PnB+ (3 an+ 2) PnC= 0,所以一1an+1BP=bnAP+(3an+2)CP = bn( BP BA + (3 a + 2)( BP BC ,1. 3所以因为所以-2an+1-bn-3an-2 BP= bnBA-x(3an+2) BD13, 一A, Pn, D一点共线,所以一 2an+ 1 bn 3an- 2= bn 2"(3 an+ 2),

23、即 Sb +1 = 3an+ 2,a2=3a1+2=8, a3=3az+2=26, a4=3a3+2 = 80.考点4核心提炼1 .复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轲复数再进一步化简.2 .复数运算中常见的结论211 + i 1 i(1 土 i) =±2i , it =i ,干=-i.(2) -b+ ai =i( a+bi).(3)i 4n=1, i4n+1=i , -2=1, i 4n+3=- i.(4)i 4n+i 4n+1+i4n+2+i4n+3=0.典型例题例4 (1)(2019 杭州学军中学高考模拟)设复数z满足鲁 =i ,则| z| =(

24、)1 zA. 1B . 2C.木D. 2(2)设有下面四个命题p1：若复数z满足z e R,则zC R;p2：若复数z满足z2e r,则z e r；P3：若复数 z1 , z2 满足 z1z2c R,则 z1=z2；P4：若复数ze R,则zC R其中的真命题为()A.P1, P3 B .P1,P4C.P2,P3D .P2,P4(3)(2019 浙江新高考冲刺卷)已知复数z=1 + i ,其中i为虚数单位，则复数1+z + z2+ z2 017的实部为()A. 1B. - 1C. 21 009D . 21 009I z【解析】(1)因为复数z满足一=i ,II -zIII ,、，LI ,、，L

25、I ,、，i 一 1所以 1 + z = i -zi ,所以 z(1 + i) = i - 1,所以 z= i ,i 1所以| z| = 1,故选A.，一一 、一 . .一 ,11abi -，一.一 一 ，、(2)对于命题p1,设z = a + bi( a, b R),由 z = ayb" =aZjTpe R,4导b= 0,则z e r 成立，故命题Pi 正确；对于命题 S,设 z= a+bi(a, beR»,由z2= a2b2 + 2abieR,得 ab= 0,对于命题p3,设z1=a+bi( a,则a=0或b=0,复数z可能为实数或纯虚数，故命题 p2错误;be R),

26、 z2=c+di( c, de R),由zi z2= (ac- bd) + (ad+ bc)i£ R,彳导ad + bc= 0,不一定有z1 = z2,故命题P3错误；对于命题p4,设 z = a + bi( a, be R» ,则由zC R,彳导b=0,所以z=ae R成立，故命题p4正确.故选B.(3)因为 z=1 + i ,所以 1 + Z + z2+Tz2 017=二十1 zz 1(1 + i ) 2 018- 1 _ (2i )1 + i 1= i1 009 - 1( 1 + 21 009i ) ( i)2 1 009+i.所以复数1+z+z2+z2 017的实部

27、为21 009.故选C.【答案】(1)A(2)B(3)C复数问题的解题思路（1）以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题.（2）若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题.对点训练1. （2019 福建省普通高中质量检查）若复数z满足（1 +i） z=|、/3 + i| ,则在复平面内,z对应的点位于（）A.第一象限C.第三象限D.第四象限解析：选A.由题意，得z=I（火i1(1-i )=1 i ,所以 z=1 + i ,其在复平面内应的点为（1,1）,位于第一象限，故选 A.2. (2019金丽衢十二校联考）设z是复数，|

28、 z-i|& 2（i是虚数单位），则| z|的最大值是（）A. 1C. 3解析：选C.因为 |z i| <2,所以复数z在复平面内对应点在以（0, 1）为圆心，以2为半径的圆及其内部.所以| z|的最大值为3.故选C.,，1, 3. （2019 局考浙江卷）复数z=k7（i为虚数单位），则|z| =解析：通解：z=717="2，=；1 2 1 2 '2所以 |z| =2 + -2 =.优解：|z|=千=|1 +i| 方=111答案：-22专题强化训练1 .(2019 绍兴诸暨高考二模)已知复数z满足z(1 + i) = 2i ,则z的共轲复数z等于()A. 1

29、+ iB. 1-iC. 一 1+iD. 1 一 i/口 2i2i (1 i)解析：选 B.由 z(1 +i) =2i ,得 z = 1q7p =(1 + i)( 1 i)=1+ ，则z的共轲复数z=1 i.故选B.2.在等腰梯形 ABCD XB= 2CD M为BC的中点，则XM=()1 一 1 一3 一 1 一A.2AB+ 2ADB.4A拼AD3"rL 1f 13TC. AB+ -ADD-AE3 tAD4424解析：选B.因为AB= 2CD所以A屋2Dc又M是BC的中点，所以AM= 1(枢丽=1(通机前=1(Ab+Ad2丽=3Afe+ :的 故选b.3. (2019 嘉兴一中高考模拟

30、)复数z满足z - (2 - i) =3-4i(其中i为虚数单位)，则复数 Izl =()C.5,5B.2D. ,：5解析：选D.复数z满足z (2 i) = 3-4i(其中i为虚数单位)，所以z (2 -i)(2 + i)z 2 i i (2 i)= (34i)(2 +i),化为：5z=105i ,可彳等 z=2-i.则复数 | = = -| -1-2i| =|1+2i| = W+22 =镉.故选 D.4. 在边长为2的正方形 ABCW, E, F分别为BC和DC勺中点，则DE BF=B.D. - 2A.C. -4解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积.在边长为2的正方形ABC

31、用, E, F分别为BC和DC的中点，以A为坐标原点，AB AD为坐标轴，建立平面直角坐标系，则R2 ,0) ,D(0, 2) ,E(2, 1) ,F(1, 2).所以 DE= (2 , 1) ,BF= ( -1, 2),所以 DE-BF=一 4.5. (2019 台州市书生中学检测 )已知点 O是 ABC的外接圆圆心，且 AB= 3, AC= 4.若存在非零实数 x、V，使得XO= xAB+ yAC,且x + 2y=1,则cos/BAC勺值为（）2A.3解析：选A.设线段AC的中点为点2yAD又因为x+2y=1,所以点O BD,则直线ODL AC因为於 xAB+ yAC,所以AO= xAB+

32、D三点共线，即点 B在线段AC的中垂线上，则 AB= BC=3.在ABC4由余弦定理得,cos/ BAC=：.故选 A.2 3 436.在 ABC中，AB=尊BC= 2, /A=W，如果不等式|BA- tBC|>|AC恒成立，则实数t的取值范围是（）A. 1 , +8）一1C. 一0°, 2 U 1 ,+8）B.2'D. (8, 0 U 1 ,+8)解析：选C.在直角三角形 ABC,易知AC= 1, cos Z ABC=当,由| BA- tBC|刁AC,得BA-2tBA- bctt2BC>AC,即 2t2-3t + 1>o,解得 t>i 或 tw2.7

33、.称d(a, b) = | a b|为两个向量a, b间的“距离”.若向量 a, b满足：I b| = 1; awb；对任意的tCR,恒有d(a, t b) >d(a, b),则()A. a±bB. b±(a-b)C. a±( a-b)D. (a + b) ±(a- b)解析：选B.由于d(a,b)=|ab|,因此对任意的tCR,恒有d(a,t b) >d(a,b),即| a 一 tb|>|a b|,即(a t b) >(a b) , t 一 2t a , b + (2 a , b1)0 对任意的 t e R 都成立, 因此有(一

34、2a b)2 4(2 a - b-1)<0,即(a b- 1)2<0,得 a - b- 1 = 0,故 a b-b2= b (a -b) = 0,故 b，( a b).a, a>b8. (2019 温州市高考模拟)记maxa, b=,已知向量a, b, c满足|a| = 1,b, avb|b|=2, a - b = 0, c=Xa+(ib(入，(i>0,且 入+w = 1,则当 maxc a, c b取最小值 时，I c| =()号B号5C.1D.2解析：选A.如图，设OA= a, OB= b,则 a=(1 , 0), b=(0, 2), 因为 入，(1 > 0,

35、入+(i = 1,所以0w入w 1. 又 c=入 a+(ib,所以 c a=(入a+ b入b) a=入； c - b=(入 a+b入 b) b=4 4入.4由入=4一4入，得 X =.54入，入W 1，5所以 maxc a, c b=44一4入，0W入浴4入不入W 15令f(入)=, 一、44 4 入，0W 入二5则 f (入)C 4, 1 54 一 41所以f (入)min= 7,此时入=(W =£, 555.414 2所以 c=5a + 5b=己，5.5 =255.故选 A9. (2019 绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a, b, c满足|a| =4, | b| =3,

36、| c|=2, b- c=3,贝U(ab)2(a c)2( a-b) (ac) 2的最大值为()A. 4V3+35C. (4用3巾2b. 4v7+3/3D. (4 ：'7+3 j3)2解析：选D.设Ot a, OEB= b, OO c, ab与ac所成夹角为0 ,则(a b)2(a-c)2-( a-b) - ( a-c) 2二| ABjAq2|AB 2| AC2cos2e=| AB2| AC2sin 2e = | AB 2| AC2sin 2/ CAB4S1abc因为 | b| =3, | c| =2, b c=3,所以 b, c 的夹角为 60° ,设 B(3 , 0) ,

37、 Q1 ,乖)，则 | BQ =13.3所以 军oBh2>< 3X2Xsin 60= 十，设O到BC的距离为h,贝1 BC- h=SAOBC= ''''2 ,所以h二甲因为|a|=4,所以A点落在以O为圆心，以4为半径的圆上,所以A到BC的距离最大值为 4+ h = 4+3721所以 及ABC的最大值为2x中X 4 +当=2"+学,D.所以(ab)2(ac)2( ab) (ac) 2最大值为 4 2s+孝=(44+卬3)2.故选10. （2019 金华市东阳二中高三月考）若a, b是两个非零向量，且| a| =| b| =入| a+b| ,

38、坐，1 ,则b与a b的夹角的取值范围是（）35兀"671OAC BC.全，兀解析：选 B.因为 |a|=|b| = X|a+b|, ” 号,不妨设 | a + b| = 1,则 | a| = | b| =入.令OA a, OB= b,以OA OB为邻边作平行四边形兀则平行四边形 OAC的菱形.故有 OA助等腰三角形，故有/ OAB= / OBA= 0 ,且0< 0 <y.而由题意可得，b与ab的夹角，即OBfBA的夹角，等于兀一0 , AOAO,由余弦定理可得|OC2 = 1=| OA2+| AC2210A I AC cos 2 e =入 2+入 22 入入 cos 2

39、 0,解得 cos2 e = 1-71.再由*w 入 w 1,可得1 W；W3,所以一：w cos 2 e W：所以W2 e w等,2 人 322 人 22233所以三y e故9w兀一e 即b与ab的夹角兀一e的取值范围是 好，落 .63363 b11. （2019 杭州市高考二模）已知复数z=1骨（aC R）的实部为1,则a=, | z|1+ai (1 + ai)( i)，一解析：因为z =-个-=a-i的实部为1,i i所以 a= 1,则 z=1i, |z| =。2.答案：1212. (2019 嘉兴一中高考适应性考试)设3, &为单位向量，其中 a=2ei + e2, b = e

40、2,且a在b上的投影为 2,则a b=, e1与e2的夹角为.解析：设e1, e2的夹角为0,因为a在b上的投影为2,所以ae2)e2= 2e1e2+| e2|2=2|e“ |e2|cos8 +1 = 2,解得 cos 0 =7,|b| e2|2则 8 =-. a, b = (2 e1 + e2),e 2=2e1,e2+|e2|2=2|e1 | e21cos9 +1=2.3»一兀答案：2 313. 已知向量a, b, |a| = 1, | b| =2.若对任意单位向量e,均有| a e| + | b e| wJ6,则a b的最大值是.解析：由题意，令 e= (1,0), a = (c

41、os a , sin a ), b=(2cos 3 , 2sin B ),则由 | a e|+ 3 el", 可得 |cos a | +2|cos 3 |乖.令 sin a +2sin § = m 2+2得4|cos a cos B|+sin a sin BW1+n2对一切实数a, B恒成立，所以4|cos a cos 3 | + sin a sin 3 < 1,1故a b=2(cos a cos B +sin a sin B 尸 2| cos a cos Bl+sin a sin 3 <-.答案：214. (2019 温州市十五校联合体联考 )已知坐标平面上的

42、凸四边形ABCD荫足AC= (1 ,43), BD= (-73, 1),则凸四边形 ABCD勺面积为 ; AB-CD勺取值范围是 .解析：由AC= (1 ,43), BD=(一小,1)得AClBD且| AC = 2, | BD =2,所以凸四边形,1一， ，一 一一 .、一，ABCD勺面积为2X2X2=2;因为ABCD1凸四边形，所以AC与BD交于四边形内一点， 记为M 则AB- CD= ( Mb-MA( Md- Mc=Mb- MdfMa- Mc- Mb- Mc- Ma Md、I一7设AM 入 AC BM= BD,则 入，w C (0 , 1),且 MA=入 AC MC= (1 入)ACMB=

43、-科丽 MD= (1 -卜)丽 所以丽 CD= -4(1 ) 4 入(1入)C 2, 0),所1以有入=w =2时，AB- C取到最小值2.答案：2 2, 0)15. (2019 嘉兴一中高考适应性考试)在4ABC中，/ ACB钝角，AC= BC= 1, CO= xCA+ yCB且x + y=1,函数f(n) = |CA- mCB的最小值为 £ 则| C)的最小值为 .解析：在 ABC, / AC斯钝角，AC= BC= 1,函数f(m)的最小值为 当所以函数f(m) = |CA-mCB=<CA+ MCB- 2mCA Cb=，1 + n2 2ncos / ACB> 孚，化为

44、 4m2 8ncos / ACBF1 >0 恒成立., 8cos / ACB,r ,当且仅当m= -=cos/ACB寸等号成立，代入得到8cos/ACB= -1,所以/ ACB=手. 23所以 CgxL+y通+2xyCA CE> /+2叱统等= x2 + (1 -x)2-x(1 -x)=1 2 13 x- - +7,24当且仅当x = 2= y时，I CO2取得最小值4，一1所以I CO的最小值为.答案：216 .在OAB43,已知 |曲=啦，1前=1, / AO9 45 ,若 02 X OAF OB 且入 +2 =2,则OMOp：的投影的取值范围是.解析：由62人OAOb且入+

45、2=2,则Ok MOK xOaf 1 Ob-»2 .入 d=入 OA+ 1 - y OA- OB又|弧=啦，| AB = 1, Z AOB= 45 ,所以由余弦定理求得10A = 1,所以OK 02入+ 1-2 xix/x*=i+g,|入 Oaf 1-2-ob22 +2,入 2| OA2+2 入 1-2- OA- Obf工21-2 |OB214，一一 ,OA- op故OAEOPt的投影 =|OP当入V 2时，（*）式=（入+2） 2入2+4+ 1 2+424 一1 +丁 e4入十不 人（入+2） 2），4 ；综上，OMOPt的投影的取值范围是当人2时，（*）式可化为当答案：一皆117

46、 .已知OA O是非零不共线的向量,1 f r 设OC=二 OA+二OB,定义点集KB- kC KA. Kb kI KB |KAK（>0 ,当K, P时，若对于任意的r>3,不等式| Kk| wc|AB恒成立，则实数c的最小值为 解析：由0c占.3加可得A B, C三点共线,KB, KC KA，KC由=,可得 | KCcos / AKC= | KCcos / BKC|而 府即有/ AKO / BKC则KC为/ AKB的角平分线.由角平分线的性质定理可知以AB所在的直线为x轴,以线段AB上某一点为原点建立直角坐标系,设点 K(x, y), A(a, 0) , B(b, 0),而-(x

47、+a) 2+y22所以(xb) 2+y2 = r，化简得(1 -r2)x2+ (1 r2) y2+(2 a+2br2)x+(a2b2r2) = 0.由方程知K的轨迹是圆心在AB上的圆，当|KK|为直径时最大，方便计算，令KK与AB共线，如图,由| KA| =r| KiB| ,可得 | KB|由| KA =r| KB| ,可得| (日| AB=.r 1一|AB |AB 2r2可得 | KK| = f=X| AB =-1| AB ,3|KK| 3即有|K%|W4|AB,即:a1w-, 4| AB 4| KK|3即 c> TaeT max=4，3故c的取小值为-.,兀18 .在 ABC43,已

48、知 C=,向量 p= (sin A, 2) , q= (2 , cos B),且 p，q.求角A的值；(2)若Bb= 2由 AD= 7p,求ABC勺面积.斛：(1)因为 pXq,所以 p - q = 0? p - q=2sin A+ 2cos B= 0,又 C=,所以 sin A+ cos B= sin A+ cosA = 0,6化简得 tan A= -3-, AC (0 ,兀)，所以 A=.(2)因为鼠 2BD所以D为BC边的中点，设|BD = x, |BC=2x,一 兀 LLr、r 一12 7t由(1)知庆=C=,所以 |BA=2x, B=,63在AABD,由余弦定理，得| AD2=|ba

49、2+|BD2-2|BA |BD cos? 3= (2x)2+x2-2 2 x x cos- = 7, 3所以x=1,所以AB= BC= 2,所以 Sabc= -BA- BC, sin B=x2X2Xsin = /3. 22319 .已知 m= (2sin x, sin x cos x) , n=(淄cos x, sin x+cos x),记函数 f(x) = m, n.(1)求函数f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合；(2)设ABC41角A B, C所对的边分别为 a, b, c,若f(C) = 2, c = y3,求 ABC面积 的最大值.解：(1)由题意，得 f(x) = m n = 2J3sin xcos x+sin 2x-cos2x=sin 2 x- (cos 2 x- sin 2 x) =3sin 2 x cos 2 x= 2sin 2x汗,所以 f(x) max= 2;兀兀兀当 f(x)取最大值时，即 sin 2x6 =1,此时 2x"6=2kTt+2(kCZ),解得 x=kTt +兀 兀一(k Z),所以x的取值集合为 x x= k % + -3-, kCZ.,，r一 兀一11 716(2)由 f (C) =2,得 sin 2C- - =1,又 0。兀，rr 兀一 兀即一一 v 2C66所以2C解得C=， 623在 A