恒成立与存在性问题的基本解题策略

1、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型26 / 181、恒成立问题的转化:2、能成立问题的转化:af x恒成立af x能成立afx -afx恒成立i max /afxmin ；afx 能成立3、恰成立问题的转化:a f x在M上恰成立a f x的解集为Mminmaxa f x在M上恒成立a f x在CRM上恒成立A,若 x D, f(x) B另一转化方法：若x D,f(x) A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值fmin(x) 在D上恰成立，则等价于 f (x)在D上的最大值fmax(x) B .4、设函

2、数f xg x ,对任意的x1a , b ,存在x2c, d ,使得 f xig x2 ,贝U fmin x gmin x5、设函数f xg x ,对任意的x1 a , b ,存在x2 c, d ,使得f x1g Xz ，则 fmax xgmax x8、设函数f xg X ,对任意的Xia , b ,存在X2c, d ,使得f6、设函数f x、g x ,存在x17、设函数f x、g x ,存在X1a , b ,存在 X2c , d ,使得 f Xia ,b ,存在 X2c , d ,使得 f XigX2,贝Uf max Xg min xgx2,贝Uf min xg max xXig X2 ,设

3、 f(x)在区间a,b的值域为A, g(x)在区间c,d上的值域为B,则A B.9、若不等式f x g X在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yf x和图象在函数y g x图象上方；f x和图象在函数y g x图象10、若不等式f x g X在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上函数y下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立 ；某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数；某表达式的值恒大于 a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数

4、形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年 高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图 象。二、恒成立问题解决的基本策略特别是多项大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题, 式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。(一)两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、mf(x)在x D上恒成立m f(x)max思路2、m”*)在* D上恒成立m f

5、(x)min如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理有效的方法进行求 解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (x)的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题 类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二)、赋值型一一利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得例1 .如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线 x= 一对称，那么a=()A.

6、1B.-1C . .2D. - . 2 .略解：取 x=0 及*=,则 f(0)=f( ),gp a=-l ,故选 B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例(备用).由等式 x4+aix3+a2用+a3x+a4= (x+1) 4+bi(x+1) 3+ b2(x+1) 2+b3(x+1)+b 4 定义映射 f： (ai,a2,a3,a4) -bi+b2+b3+b4,则 f： (4,3,2,1) 一()A.10B.7C.-1D.0略解：取 x=0 ,贝U a4=1+b 1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以 b+b2+b3+b4 =0 , 故选D(三)分清基本类型，运用相关基本知识，把握基

7、本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a w。)若y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0 ,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等 价于，f (m) 0二 f(n) 0同理，若在m,n内恒有f(x)<0 ,则有f (m) 0f(n) 0例2.对于满足|a| 2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2, 2内关于a的

8、一次函数大于 0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0在|a| 2时恒成立，设 f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1，则 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有：f( 2) 0 目口x24x 30“日x蜒x1即解得：f (2) 0x21 0x1或x 11.x<-1 或 x>3.即 x C (8 , 1) u (3,+00)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或卜方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉

9、运用。(1)若二次函数 y=ax2+bx+c(a w0大于0恒成立，则有 a 0且0(2)若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1：设f (x)2.ax bxc(a0)在R上恒成立, f(x)R上恒成立 f (x)R上恒成立0且0。类型2：设f(x)2.ax bxc(a0)在区间,上恒成立0时,f(x),上恒成立f(x)0® x,上恒成立(2)当0时,f(x)上恒成立f(x)上恒成立bbb2a 或2a或 2a ，f( ) 00f( ) 0f( ) 0f( ) 0f( ) 0f( ) 0bbb2a 或2a或 2af( ) 00f( ) 0(-类

10、型3：设 f(x)ax2 bxc(a0)在区间f(x)>0a>0且<0 或-b/2a> 且 f()>0f(x)<0a<0且<0 或-b/2a> 且 f()<0类型4：设 f (x)ax2 bx c(a0)在区间,+OC)上恒成立。f(x)>0a>0, <0 或-b/2a< 且 f( )>0f(x)<0a<0, <0 或-b/2a< 且 f( )<0例3.若函数f (x)(a2 1)x2 (a2 、一，1)x的定义域为a 1R,求实数 a的取值范围.分析：该题就转化为被开方数(

11、a2 1)x22(a 1)x 0在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数 a 1的讨论.解：依题意，当x R时,22(a 1)x (a2 ，一一1)x 0恒成立,a 1所以，当a2a2 11 0,即当a 1,此时22(a 1)x(a 1)x1 0,a 1.当a2 10时,即当(a1)24(a20,2 时,1) 0a 1有a10a0,a 9,综上所述，f(x)的定义域为R时,a 1,9例4.已知函数f (x) x2ax 3f (x) 0恒成立，求a的取值范围.分析：yf(x)的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示:略解:a2 4 3 aa2 4a 12 06 a 2变式1:x 2,2 时,f (x

12、) 0恒成立，求a的取值范围.0解析一.(零点分布策略)本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论,0无零点、零点在区间的左侧、 零点在区间的右侧三种情况,a2f( 2) f(2)a 22 f( 2) f(2)'-7, 2.解法二分析：(运用二次函数极值点的分布分类讨论)2,2时,f(x)0恒成立，只需f(x)的最小值g(a) 0即可.略解：(分类讨论)f(x)3,令f(x)在2,2上的最小值为g(a).a当 一2 ,即a2a不存在.4时,g(a)f(2)3a 0a 4时，g(a)f(2)6 a 2 又Q 4 a 4a当2,即 a 4时，g(a) f(2) 7 a 0 a 7 又Q

13、a47 a 42综上所述， 7 a 2.变式2：若x 2,2时，f(x) 2恒成立，求a的取值范围.解法一：分析：题目中要证明f(x) 2在 2,2上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间2,2时恒大于等于0的问题.例2已知f (x) x2 ax 3 a ,若x 2,2, f(x) 0恒成立，求a的取值范围22略解：f(x)x ax 3 a 2 0,即 f (x) x ax 1 a 0在 2,2 上成立. a2 4 1 a 0a2 4(1 a) 0 f(2) 0 f( 2) 0aa小一2或一222综上所述，5 a 2.2 2.解法二：(运用二次函数极值点的分布)a当一2

14、,即 a 4 时，g(a) f ( 2) 2a 一当2- 2 即4 a 4时，g(a)2-2 2 2 a 2.2 24 a 2 2当 a 2,即 a 4时，g(a) f (2) 72a 55 a 4综上所述 5 a 2 2 2.rec57 3a 2 a -4,a 不存在.32aaf () a 3 2 ,24此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样 .对于二次函数在 R上恒成立问题往往采用判别式法(如例 4、例5),而对于二次函数在某一区间上恒成立 问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不

15、等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等 变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a) 恒成立，则g(a)<f(x) min ;若对于 x 取值范围内的任何一个数，都有 f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x) max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例5.已知三个不等式 x2 4x 3 0,x2 6x 8 0,2x2 9x m0 .要使同时满足的所有x的值

16、满足，求 m的取值范围.略解：由得2vx<3,要使同时满足的所有x 的值满足,即不等式2x2 9x m 0在 x (2,3) 上恒成立，即m 2x2 9x在x(2,3)上恒成立，又2x2 9x在x (2,3)上大于9,所以 m 9例 6. 函数 f (x) 是奇函数，且在 1,1 上单调递增，又f ( 1)1 ，若 f (x) t2 2at 1 对所有的a 1,1 都成立，求t 的取值范围.解： 据奇函数关于原点对称，f (1) 1,又 “对在1,1上单调递增f(x)max f(1) 12f(x) t2 2at 1 对所有的a 1,1 都成立 .因此，只需t2 2at 1大于或等于 “*

17、)在1,1上的最大值1,22t2 2at 1 1 t2 2at 0又 对所有 a 1,1都成立，即关于 a 的一次函数在-1 ， 1上大于或等于0 恒成立，t22t 0t22t 0t 2或 t 0或 t 2即： t(, 2 02,)利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例.已知f(x) x|x a| b,x R.若b 0,且对任何x 0,1不等式f(x) 0恒成立，求实数a的取值范围解：当 x 0 时，a 取任意实数，不等式f (x) 0恒成立，故只需考虑x0,1 ,此时原不等式变为|x a|x故(xb axb)maxx(xb)min,x0,1x又函数g(x)b0,1上

18、单调递增，所以(x -)maxg(1) 1 b；x对于函数h(x)0,1当b 1时，在0,1上h(x)单调递减,(x b)min h(1) 1 b,又 1 x所以,此时a的取值范围是(1 b,1 b).当1 b 0,在 0,1 上，h(x)一， bb 时，(x -)min2 b ,x此时要使a存在,，1 必须有2 J23,此时a的取值范围是(1b,2,-b)综上，当b1时，a的取值范围是(1 b,1b)；当1 b 2J2 3时，a的取值范围是(1 b,2«T)；b 0时,a的取值范围是4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的(f(-x)=f(

19、x)恒成立;若函数y=f(x)的周期为T,则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例7.对任意实数x,不等式x 1 x 2 a包成立,求实数a的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,对任意实数x,不等式x 12a恒成立即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得 a的取值范围.3解：令 y x 1 |x 2 2x 13在直角坐标系中画出图象如图

20、所示，由图象可看出，a 3.对任意实数x,不等式x 1 |x 2 a恒成立，只需故实数a的取值范围是(，3).注：本题中若将 对任意实数x,不等式x 1 |x 2 a恒成立，求实数a改为对任意实数x,不等式x 1 x 2 a恒成立，求实数a,同样由图象可得 a>3;对任意实数x,不等式x 1 x 2 a恒成立，求实数a,构造函数，画出图象，得 a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围 例8.设常数aC R,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=

21、f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则 a的取值范围 为。解：1) a<=0x<=a/2<=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0 时，f(x)=-3x+(2x-a尸-x-ax>=0 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a ,最小值为-a<=2则与g(x)有交点，即：-2<=a<=0 。2) a>0x<=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2 时，f(x)=3x+(-2x+a尸x+ax>=a/2 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小

22、值a<=2时与g(x)有交点，即：0<a<=2 综上所述，-2<=a<=2 时 f(x)=3|x|+|2x-a| 与 g(x)=2-x 有交点。三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学 会把问题分类、归类，熟练基本方法。(一)换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x,不等式2x2 log 2 2xlog2 log 2 2 0恒成立，求 a 的取值范围。aa 14a2a2a解：因为log 2-a-的值随着参数a的变化而变化，若设t log 2a-, a 1a 1则上述问题实质是“当t为何值时，不等式(3 t)

23、x2 2tx 2t 0恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于3 t 02a求解关于t的不等式组:2。解得t 0 ,即有log 2 0 ,易得0 a 1。2、设点 P (x, y)是圆 x2 (y 1)2(2t)2 8t(3 t) 0a 14上任意一点，若不等式 x+y+c 0恒成立，求实数c的取值范围。(二)分离参数，化归为求值域问题3、若对于任意角总有sin22mcos 4m 1 0成立，求m的范围。解：此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cos 4) cos2 ,又cos 2 0,则原不等式等价变形为2m2coscos一恒成立。2根据边界原理知，2m必须小于f(2cos的最小

24、值，这样问题化归为怎样求cos 22coscos-的最小值。因22、,cos为 f()cos2(cos 2) 4(cos2)cos即cos0时,cos 242 cos0有最小值为(三)变更主元，简化解题过程24、若对于0 m 1 ,方程x0,0。mx2m1 0都有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数的根，再由m的范围来确定根 x的范围,但这样会遇到很多麻烦,若以m为主元,则m(x2)(1 x)2 ,由原方程知1 x2一 .一 1 x2又 0 m 1,即 0 1x 2 广 1解之得一.1325、当a1时，若不等式(a6)x 9 3a 0恒成立，求x的取值范围。(四)图象解题，形

25、象直观6、设x (0,4,若不等式 Jx(4 x) ax恒成立，求a的取值范围。解：若设必7x(4 x),则(x2)2y2 4(y10)为上半圆。ax,为过原点，a为斜率的直线。y在同一坐标系内作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有a 0。a 0时成立，即a的取值范围为7、当x (1,2)时，不等式(x-1) 2<log ax恒成立，求a的取值范围。解：设y1=(x-1) 2,y2=1og ax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x (1,2),y 1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于 y1的函数值。故 1oga2>1,1

26、<a 2.8、已知关于x的方程1g(x2+4x)-1g(2x-6a-4)=0 有唯一解，求实数 a的取值范围。分析：方程可转化成1g(x 2+4x)=1g(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y=x2+4x及一次函数y=2x-6a-4 ,则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令 y=x2+4x= (x+2) 2-4,y 2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线 直线必须位于11和12之间。 当直线为11时，直线过点(y2的图象是k=2 ,而截距不定的直线，要使 y1和y2在x轴上方有唯一交点，则(包括-4,

27、 0)11但不包括12),此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2;当直线为12时，直线过点(0, 0),纵截距为-6a-4=0 ,2a=3 .a的范围为2,-)3(五)合理联想，运用平几性质9、不论k为何实数，直线y kx 1与曲线x2 y22 axa22a 4 0恒有交点，求a的范围。分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立,用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A (0, 1),而曲线 x2 y2 2ax a22a 40为圆，圆心C (a, 0),要使直线恒与圆有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内。解：(x a)2y24 2a , c (a, 0),当

28、 a 2 时,联想到直线与圆的位置关系，则有点A (0, 1)必在圆上或圆内，即点 A (0, 1)到圆心距离不大于半径，则有2a 1 2a 4(a(六)分类讨论，避免重复遗漏10、当 |m|2时，不等式2x 1m(x2 1)恒成立，求x的范围。解：使用|m|2的条件，必须将m分离出来，此时应对x2 1进行讨论。当0时,要使不等式2x 1m恒成立，只要2x 1解得1当x20时,要使不等式2x当x20时,要使2x解法2:可设1 -2 - m恒成立，只要x 11 0恒成立，只有x 1。f (m) (x2 1)m (2x将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x2时，f (m) 0恒成立，所以只需2x

29、解得综上得1),用一次函数知识来解较为简单。我们可以用1) (2x1)0 ,；令 f (m) m(x21) (2x改变主元的办法，1),则 2 m 2f( 2) 0f(2) 0一 2一2(x1) (2x 1)2(x2 1) (2x 1)x的范围是,17 1.3、一一 ，一，x (一2一，一)。此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.11、当1 x 3时，不等式x2 2ax 6 0恒成立，求实数a的取值范围。解：a x 32 x当1 x 3时，x 3 2 J3 灰，当当 3,即x J6时等号成立。 2 x-22 x故实数a的取值

30、范围：a V6(七)构造函数，体现函数思想1x2x 3x(n1)xnxa12、(1990年全国高考题)设 f(x) 1g13()a,其中a为实数，n为任意给定的自n然数，且n 2,如果f(x)当x (, 1时有意义，求a的取值范围。解：本题即为对于x (,1,有1x 2x(n 1)x nxa 0恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将 a分离出来，得aJ)' (2)x(=)x(n 2),对于 x (, 1恒成立。n nn1 v 2 Vn 1 v构造函数g(x)()x ()x()x,则问题转化为求函数 g(x)在x (, 1上的值域。n nnk x

31、由于函数u(x)(一) (k 1, 2, n 1)在x (, 1上是单调增函数，n1 ,则g(x)在(,1上为单倜增函数。于是有g(x)的取大值为：g(1)- (n 1),从而可得21a -(n 1)。2(A)利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,nf a ,g a ，则f a m且g a n,不等式的解即为实数 a的取值范围。一1例 13、当 x -,33时,lOgax1恒成立，求实数a的取值范围。解：Q 1 1ogax 111 一 1(1) 当a 1时，一x a,则问题转化为 一，3-,aa3 a1 a1113_

32、1(2) 当0 a 1时，a x ,则问题转化为一,3a,-30a a3a 13-3 a一，-1综上所得：0 a 或a 33四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。a1、已知函数 f(x) x 2ax 1 , g(x) ，其中 a 0, x 0.x对任意x 1,2,x2 2,4,都有f(x1) g(x2)恒成立，求实数a的取值范围；【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数f(x)和g(x)分别求最值，即只需满足fmin(x) gmaXx)即可.简解：令 n(a)= gma(x)=a/2 ;令 m(a)=f min(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)对称轴

33、x=a<1 ,即或 0<a<1 时，m(a)= f min(x)=f(1)=2-2a,由 m(a)>n(a)解得 a<4/5,(注意到 a 的范围)从而得a的范围：0<a<4/5;(2)对称轴x=a>2时，m(a)= f min(x)=f(2)=5-4a,由m(a)>n(a) 解得a<10/9,(注意到a的范围)从而得a无解:(3)对称轴 x=a 1,2时，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a,由 m(a)>n(a) 解得 a 1一虫7 或 a 1上17 ,44(注意到a的范围)从而得a的范围1 a 2 ：;综合(1)

34、 (2) (3)知实数a的取值范围是：(0, 4/5) U 1,2x12、已知两函数f (x) x , g(x) - m,对任息X 0,2 ,存在x21,2 ,使得f(x1) g x2,则头数m的取值范围为1 x1解析：对任意Xi0,2 ,存在x21,2，使得f由)g x2等价于g(x) m在1,2上的最小值4 m21-1不大于f (x) x在0,2上的最小值0,既一 m 0 , m 一 44【例” 已知函数八*) =*5,若存在'三1 ,打他不等式/(f) V"求实数 m 的取值 范围.M ： C 1 )Z< x )=/+ Iruc ( x :> O ) J*

35、Cx) = x +京E 1 ,AO得函数人工)在区间巨1口为增南数，则当至e ET时«北>+ Le3.枚要使存在与e I,oj使不等式Wm 成立.只需 m N -HP 可.t«2 已知函数M)= ?"二的定义域为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法) 五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法若在区间D上存在实数X使不等式f XA成立，则等价于在区间D上f x mav A；max若在区间D上存在实数X使不

36、等式f X1、存在实数x,使得不等式|x 3 |x 1B成立，则等价于在区间D上的f x mina2 3a有解，则实数a的取值范围为 B.解：设f x |x 3 x 1 ,由又 x 3 x 1 x 3 x 11、求使关于p的不等式x2f x 4, px2a2a13a 有解， a2 3a f3a 4,解得a 4或ax min，1。P 2x在p -2,2有解的x的取值范围。2x 1 p x 2x 1 ,则 f p 在-2,2上解：即关于p的不等式(x 1)p x2 2x 1 0有解，设f p的最小值小于 0当 x>1 时，f(p)关于 p 单调增加,故 fmin(p)=f(-2)=x2-4x

37、+3<0,解得 1<x<3;(2)当 x<1 时，f(p)关于 p 单调减少，故 f min(p)=f(2)=x 2-1<0,解得 -1<x<1 ；当 x=1 时，f(p) = 0,故 f min(p)=f(p)<0不成立。综合(1) (2) (3)知实数x的取值范围是：(-1 , 1) U(1,3)例、设命题P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二个根，不等式|m2-5m-3|引xi-x2|对任意实数a -1,1恒成立； 命题Q:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0) 有解；若命题P和命题Q都是真命题，求 m的值范围。解：(1m

38、P 真得：| x1 x2 | Va28,注意到 a 在区间-1,1,| x x2|max3,由于 |m2-5m-3| > |x 1-x 2| 对任意实数 a -1,1恒成立，故有 |m25m3| |x1x2 |max3解得：m01或m力或0前<5由 Q 真，不等式 |x-2m|-|x|>1(m>0) 有解，得(|x-2m|-|x|) max=2m>1,解得:m>1/2由于(1) (2)都是相公命题，故 m的值范围：1/2<m<5或mE举例(1)已知不等式4x a 2x 2 0对于x 1,)恒成立，求实数a的取值范围.(2)若不等式4x a 2x

39、2 0对于a (,3恒成立，求实数x的取值范围.x -x2V 12_ _分析：(1)由4 a 22 0得：a 2x r对于x 1,)恒成立，因2x,所以2x 2V2 ,222当2xJ2时等号成立.所以有a 2J2.(2)注意到4x a 2x 2 0对于a (,3恒成立是关于a的一次不等式.不妨设f(a) 2x a (4x2),则f(a)在a (,3上单调递减，则问题等价于f (3) 0 ,所以4x 3 2x 2 02x2 或 2x 1 ,则 x 取值范围为(，0) (1,).小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一

40、体。不等式f x M对x I时恒成立fmax(x) M?, x I。即f x的上界小于或等于M ;不等式f x M对x I时有解fmin(x) M?, x或f x的下界小于或等于 M ;不等式f xM对x I时恒成立fmin (x)M?,。即f x的下界大于或等于 M ;不等式f x M对x I时有解fmax (x) M , x I . o或f x的上界大于或等于M ;高中数学难点强化班第四讲(140709)课后练习答案:一.填空选择题(每小题6分，共60分)1、对任意的实数x,若不等式x 1 x 2 a恒成立，那么实数 a的取值范围 。答案：|x+1|-|x-2|-|(x+1)-(x-2)|

41、=-3,故实数 a 的取值范围：a<-32、不等式sin2 x 4sin x 1 a 0有解，则a的取值范围是 解：原不等式有解 a sin2 x 4sinx 1 sinx 2 2 31 sin x 1 有解，而 sinx 2 2 32,所以 amin3.若对任意x R,不等式|x| ax恒成立，则实数a的取值范围是(A) a 1 (B)|a| 1(C)|a| 1(D) a 1解析：对 x R,不等式|x| ax恒成立则由一次函数性质及图像知1 a 1,即|a| 1。答案：选B4.当x (1,2)时，不等式X2mx 4 0恒成立，则m的取值范围是解析：当x (1,2)时，由x2 mx 4

42、 0得m2 , 2x 4x 44.令f(x) x ,则易知f(x)在(1,2)上是xx x减函数，所以x 1,2时f (x)maxf (1) 5,则(x24)min x5 1 m 5.5.已知不等式ax2 3x (a 1) x2 x a 1对任意a(0,)都成立，那么实数x的取值范围为.分析：已知参数a的范围，要求自变量x的范围，转换主参元x和a的位置，构造以a为自变量x作为参数的一次函数g(a),转换成 a (0,),g(a) 0恒成立再求解。解析：由题设知“ ax2 3x (a 1) x2 x a 1对 a (0,)都成立，即a(x2 2) x2 2x 0对 a (0,)都成立。设 g(a

43、) (x2 2)a x2 2x ( a R),则g(a)是一个以a为自变量的一次函数。Q x2 2 0恒成立，则对 x R , g(a)为R上的单调递增函数。 所 以对 a (0,), g(a) 0恒成立的充分必要条件是 g(0) 0, x2 2x0,2 x 0,于是x的取值范围是x| 2x0。6.已知函数f x22mx 2 4 m x 1,g xmx,若对于任一实数x ,f (x)与g (x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A. (0, 2) B ,(0,8) C ,(2,8) D .(巴 0)分析：f (x)与g(x)的函数类型，直接受参数 m的影响，所以首先要对参数进行分类

44、讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。1.斛析：当m 0时，f (x) 8x 1 0在(q)上恒成立，而g(x)在R上恒成立，显然不满足题意；(如图1)当m 0时，g(x)在R上递减且g(x) mx 0只在(，0)上恒成立，而f(x)是一个开口向下且恒过定点(0, 1)的二次函数，显然不满足题意。当m 0时，g(x)在R上递增且g(x) mx 0在(0,)上恒成立，而f(x)是一个开口向上且恒过定点(0, 1)的二次函数，要使对任一实数xf X与g X的值至少有一个为正数则只需f(x) 0在(，0上恒成立。(如图3)4 m则有im4(4m)2 8mf 4 m或2m0解得4

45、 m 8或0 m 4,综上可得0 m(0,8)。故选7、已知两函数2f x 7x(1)对任意3,3，者B有 f xg(x)=6x 2-24X+21 。g x成立，那么实数c的取值范围cR(2)存在x成立，那么实数c的取值范围c-25(3)对任意X1 , X23,3Xig X2,那么实数c的取值范围c50(4)存在 X1 , X2解析：(1)设h.-2-h x 6x 6x 12都有fX f XXig 2x3X23x2那么实数c的取值范围c>17512x c在2,3单调递增，且h 3由 c 45 0 ,得 c 45。(2)据题意：存在x3,3知hmax x c 7 0 ,于是得450,得x,h x极大值1或2。h 1,问题转化为 x由导数知识，可知3,3时,0恒成立，故在3, 1单调递增，在hmin1,220c 9 ,hminXX 0。令 单调递减，3 c 45 ,成立，即为：h x g x f3,3有解，故hma,IX0,由(1)(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意X1 , X2g X2成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,fmax(X) gmin(X)?XX1 ,27x2X2的取值在3,3上具有任意性,.