考研数二真题及解析

1、1一、 (6)二、 三、989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题填空题(每小题3分，满分21分.把答案填在题中横线上.)limxcot2x =.x_00 tsintdt =.x曲线y = I (t -1)(t -2)dt在点(0,0)处的切线方程是设 f(x) =x(x +1)(x+2)川，(x+n),则 f(0) =1设 f(x)是连续函数，且 f(x) = x+21 f(t)dt,则 f(x) =a bx21 2 -,f (2) =0及 J。f(x)dx = 1,求 j0x f ”(2x)dx.选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字

2、母填在题后的括号内.)1仅 x 0时，曲线 y = xsin () x(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线, x 0设f (x) = sinbx 在x = 0处连续，则常数a与b应满足的关系是,x 0 x设 tan y = x + y,则 dy =计算题(每小题4分，满分20分.)已知 y =arcsinex,求 y.1求 lim(2sin x cosx)x.x )0d2ydx22、x = ln(1 t ), f dy 口已知,、 八求及已知f(2) 口y =arctant, dx(C)有三个不同实根(D)有五个不同实根 曲线y =c0sx( Mx )与X轴所围成的图形，绕X轴旋转

3、一周所成的旋转体的体积为()2222(A) - (B)二(C)万(D)二 2(4)设两函数f (x)及g(x)都在x = a处取得极大值，则函数F (x) = f (x)g(x)在x = a处()(A)必取极大值(B)必取极小值(C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定(5)微分方程yy =ex +1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)()xxxx(A) ae b (B) axe b (C) ae - bx (D) axe bx(6)设f (x)在x = a的某个领域内有定义，则f (x)在x = a处可导的一个充分条件是()1(A)lim h f (a+) f (a)存在h ,二 h(B

4、)(C)lim f(a h) - f(ah)存在(D) lim f f(ah)存在 h30h四、(本题满分6分)求微分方程xy + (1 -x)y =e2x (0 x -)满足y(1) =0的解.五、(本题满分7分)x设 f (x) =sin x - 1 (x t) f (t)dt ,其中 f 为连续函数，求 f (x).六、(本题满分7分)证明方程-1二。-X 一 ecos2xdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根七、(本大题满分11分)x 1对函数y=,填写下表:x单调减少区间单调增加区间极值点极值凹(U)区间凸(Pl)区间拐点渐近线八、(本题满分10分)2设抛物线y=ax +bx+c过

5、原点，当0M x Ml时，y之0,又已知该抛物线与 x轴及直线x = 1所一一 .一 ,1围图形的面积为 一，试确定a,b,c使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.31989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题(每小题3分，满分21分.)【解析】这是个 0，妙型未定式，可将其等价变换成 0型，从而利用洛必达法则进行求解0cos2x x万法一：lim x cot 2x = lim x =lim cos 2xx 0x 0 sin 2x x 0 sin 2x x11=lim洛 lim二.x )0 sin 2x = J0 2cos 2x 2、-cos2x万法一：lim xcot

6、 2x =lim xx-0xo sin 2xsin xsin x【相关知识点】lim 叫二是两个重要极限中的一个 ，lim sS =1. x-0 xx-0 x【答案】n【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解，=二 0 sint 10 =(0 -0)二星(3)【答案】y = 2x【解析】要求平面曲线的切线，首先应求出该切线的斜率 ，即f (x0).这是一个积分上限函数，满足积分上限函数的求导法则，即y=(x1)(x 2).由y在其定义域内的连续性，可知yxz0 =(01)(0 2) =2.所以，所求切线方程为y -0 =2(x0)，即y =2x.【答案】n!【解析】方法一：利用函数导数

7、的概念求解，即=lim( x 1)(x 2) HI (x n) =1 2 HI n = n!.方法二：利用其导数的连续性，由复合函数求导法则可知，x(x 1)(x 2) Ji (x n T) 1,所以 f (0) =(0 1)(0 2) Hl0 n) 0 川 0 =1 2 | n =n!.【答案】x -1i【解析】由定积分的性质可知，0 f (t)dt和变量没有关系，且f(x)是连续函数，故1(f (t)dt为一常数，为简化计算和防止混淆，1令f f (t)dt =a,则有恒等式f (x) =x +2a ,两边0到1积分得110 f (x)dx = 0(x 2a)dx,.1111 2, 11即

8、 a = o(x 2a)dx = o xdx 2a dx = - x 2a lx 0 = - 2a,1解n得 a = -一，因此 f (x) = x +2a = x -1.2(6)【答案】a = b【解析】如果函数在 x0处连续，则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等由函数连续性可知f _(0) = f (0) = a b 0 = a .sin bx sin bxsin bx ,而 f (0) = lim = lim b =b lim = b,x 0 - xx0bxx bx如果f (x)在x=0处连续，必有f0) = f/0),即a = b.【答案】dx(x y)2【解析】这是个隐函数

9、，按照隐函数求导法，两边微分得sec2 y dy = dx + dy ,dx dx dx所以 dy -2=2=2 ,( x y -0).sec y 1 tan y (x y)、计算题(每小题4分，满分20分.)【解析】令u =efx-Vx，则 y = arcsine = arcsinu ,由复合函数求导法nt .1则，y = (arcsinu) = u.1 -U1 v1 v-1e v = e - 1 -u21 -u22 , x11 -e： x【相关知识点】复合函数求导法则:y =中(f(x)的导数 y =，(f (x)f(x).【解析】利用不定积分的换元积分法，f dx =尸1nx=，+c.

10、xln x In x In x(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限，12sin x：cosx=1imJ1(2sin x cosx -1)2shi x cosx x令 2sinx+cosx-1 =t，则当 xt 0 时，tT 0,11则 1叫1 (2sin x cosx -1)2sinx cosx=lim1 tt,1这是个比较熟悉的极限，即1/3(1 +t)T =e.12sin x -cosx _Jlim所以 lim(2sin x cos x)x =ex 0 x2sinx cosx-12cosx - sinx洛 limx =x p 1=2,12sin x:cosxlim o所以li

11、m(2sin x+cosx)x=ex_0x=e2.(4)【解析】这是个函数的参数方程，dy 1dy _ dtTF _,dx dx 2t 2t2 dt 1 t22d yd/d/dtd z 11=( 一 )= 一 (一)二 一 (一 )dx dx 2t dt 2t dx dt 2t dxdt-21(27互1 t21 t24t3【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果卜川，则5=*.y = (t) dx (t)(5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分，1 .1_11_=-f (2) f(2)-f(2x)dx,222011令 t =2x ,则 x = -t, dx = - dt22112所

12、以 0 f (2x)dx =- f (t)dt .-12把f (2) =-, f (2) =0及f(x)dx =1代入上式，得11 1-1=0.三、选择题(每小题【答案】(A)22 2 2 23分,满分18分.)【解析】函数y,1.c= xsin 只有间断点 x=0. xlimx 0y - lim xsin-x 0 - x1 I，其中sin 是有界函数.当xt 0时，x为无穷小，无穷小量和一个有界函数 x的乘积仍然是无穷小，所以.1八lim y = lim xsin = 0 , x-0 -x 0 - x故函数没有铅直渐近线silim y = xx 1 sint .lim - t = lim =

13、 1,x J 二二 1x x p t所以y =1为函数的水平渐近线，所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数 y = f (x)在其间断点x = x0处有lim f (x) =2 ,则x = x0是函 jx0数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim f(x)=a,(a为常数)，则y = a为函数的水平渐近线. x_ .【答案】(B)【解析】判定方程f (x) = 0实根的个数，其实就是判定函数 y = f (x)与x有几个交点，即对函数图形的描绘的简单应用，53令 f (x) = x 2ax 3bx 4c ,【解析】如图y =cosx(二Ex工二)的图像，则当y =cosx绕x轴旋转

14、一周，在x处取微增dx, 22则微柱体的体积dV =兀cos2 xdx,所以体积V有v因此选(C).【答案】(D)【解析】题中给出的条件中，除了一处极值点外均未指明函数其它性质，为了判定的方便，可以举出反例而排除.2右取f (x) =g(x) =-(xa),两者都在x = a处取得极大值 o,而4 .F (x) = f (x)g(x) =(xa)在x = a处取得极小值，所以(A)、(C)都不正确.若取f (x) =g(x) =1 -(x-a)2,两者都在x=a处取得极大值1,而2 2 ，F(x) = f (x)g(x) = 1 -(x-a)2 I在x = a处取得极大值1,所以(B)也不正确

15、，从而选(D).【答案】(B)【解析】微分方程y * - y =ex +1所对应的齐次微分方程的特征方程为r2 -1 = 0 ,它的两个根是1 =1,2 = -1.而形如y-y =ex必有特解Y1 = x，aex ； yy=1必有特解 Y=b.由叠加得原方程必有特解Y = x aex + b,应选(B).(6)【答案】(D)【解析】利用导数的概念判定f(x)在x = a处可导的充分条件(A)等价于lim f (a *t) - f (a)存在，所以只能保证函数在 x = a右导数存在; j0 t(B)、(C)显然是f(x)在x = a处可导的必要条件，而非充分条件，1cos, x 吏0 , 一0

16、,为简化计算，令广，1 cos2xdx = k0,即 f (x) = ln x - + k , 0e11则其导致f（x）=_,令f（x）=0解得唯一驻点x = e, x e即 f(x) a0 :-f (x) ： 0,e 二 x ：二e所以，x = e是取大点，取大值为f(e) = ln e - - + k = k0.e又因为阿f（x）二卿lim f (x) = lim (Inx j,二-x J,二.ex x _, k) - - - -e由连续函数的介值定理知在（0, e）与（e,十口）各有且仅有一个零点（不相同）,x -： ， 一 故方程In x =4-cos2xdx在（0,十兀）有且仅有两个

17、不同头根.e 0 1H r-.万法一：0 1 -cos2xdx =sin2xdx,因为当 0ExEn 时，sinx2 0,所以0 .2sin2xdx =、.- .0 sinxdx ilLcosxl。其它同方法一.七、（本大题满分11分）【解析】函数y =21则y=-4-e32x xx 12 x1的定义域为（8,0 ）!J（0,y ）,将函数化简为11y = 一 =，x x工-1),y62+43x x1 6 3(2).x x令 y = 0,得 x = -2，即12故x = -2为极小值点.y =-2(-1) 0,x (-2,0), xxy 2(-2-1): 0,x (-：,-2)U(0, -：)

18、, xx令 y =0,得 x = -3，即y在x = 3处左右变号，所以x = -3, y(3) = -2为函数的拐点.g,故x = 0是函数的铅直渐近线;又lim yx_F9X X, 11、= hm( +) =0,故y =0是函数的水平渐近线 f： x x【解析】由题知曲线过点(0,0),得c = 0,即y = ax2 +bx.J2x322,、2,二 y dx 二二 p(ax bx) dx 二二a2x5abx4IL 52二二(封.生马,523填写表格如下：单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八、(本题满分10分)b用a代入消去b ,得V =n,a- +4(1-a) +a(1-a) L这是个含有a的函数，两边对a求导得5273,故体积最小，. 一,5令其等于0得唯一驻点a = -54dV 二 4d- = La 1), da 27 5dV在该处由负变正，此点为极小值点 da、32这时b = 一，故所求函数 y = ax2bx