6.4--多边形的内角和与外角和(第1课时)

1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标北师北师第六章第六章 平行四边形平行四边形 学学 习习 新新 知知问题思考问题思考3 3. .下图中广场中心的边缘是一个五边形下图中广场中心的边缘是一个五边形, ,你能设法求出它你能设法求出它的五个内角的和吗的五个内角的和吗? ?与同伴交流与同伴交流. .1 1. .前面我们研究了平行四边形的性质和判定前面我们研究了平行四边形的性质和判定, ,上一节上一节又研究了三角形的中位线定理又研究了三角形的中位线定理, ,现在请同学们回忆一下现在请同学们回忆一下, ,三角形的内角和是多少度三角形的内角和是多少度? ?2 2. .四边形的内角和呢四边形的内角和呢? ?

2、四边形的内角和是怎么得到的四边形的内角和是怎么得到的? ?多边形的内角和多边形的内角和1.三角形的内角和是多少度三角形的内角和是多少度?你是怎么得出的你是怎么得出的?用量角器度量用量角器度量: :分别测量出三角形三个内角的度数分别测量出三角形三个内角的度数, ,再求和再求和. .拼角拼角: :将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起, ,可组成可组成一个平角一个平角. .2.四边形的内角和是多少四边形的内角和是多少? ?你又是怎样得出的你又是怎样得出的? ?度量度量; 拼角拼角;将四边形转化成三角形求内角和将四边形转化成三角形求内角和.3.在四边形内

3、角和的探索过程中在四边形内角和的探索过程中,用到了几种方法用到了几种方法,你认为哪种方法好你认为哪种方法好?请讲述你的理由请讲述你的理由.度量法度量法:不精确不精确;拼角法拼角法:操作不方便操作不方便;当多边形边数当多边形边数n较大时较大时,度量法、拼角法都不可取度量法、拼角法都不可取.第三种方法第三种方法:精确、省事且有理论根据精确、省事且有理论根据.4 4. .根据四边形的内角和的求法根据四边形的内角和的求法, ,你能否求出五边形的内角和呢你能否求出五边形的内角和呢? ?方法方法1:如图如图(1)所示所示,连接连接AD,AC,五边形的内角和五边形的内角和为为:3180=540.方法方法2:

4、如图如图(2)所示所示,连接连接AC,则五边形的内角和则五边形的内角和为为:360+180=540.方法方法3:如图如图(3)所示所示,在在AB上任取一点上任取一点F,连接连接FC,FD,FE,则五边形的内角和则五边形的内角和为为:4180-180=540.方法方法4:如图如图(4)所示所示,在五边形内在五边形内任取一点任取一点O,连接连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内则五边形的内角和为角和为:5180-360=540.D方法方法5:如图如图(5)所示所示,在在AB上任取一点上任取一点F,连接连接FD,则五边形的内角和为则五边形的内角和为:2360-180=540.方法方法6:如图

5、如图(6)所示所示,在五边形外任取一点在五边形外任取一点O,连接连接OA,OB,OC,OD,OE,则则五边形的内角和为五边形的内角和为:4180-180=540.5 5. .小组合作小组合作, ,完成下面的表格完成下面的表格. .n边形边形 图形图形从一个顶点从一个顶点引出引出的的对角线条数对角线条数分割成的分割成的三三角角形个数形个数多边形多边形的的内角内角和和 三角形三角形(n=3) 四边形四边形(n=4) 五边形五边形(n=5)六边形六边形(n=6)n边形边形0123n-31234n-2180360540720(n-2) 1806 6. .从表格中你发现了什么规律从表格中你发现了什么规律

6、? ?结论：从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形从而得出：n 边形的内角和是(n-2) 180归纳总结正多边形正多边形(1)(1)想一想想一想:观察图中的多边形观察图中的多边形, ,它们的边、角有什么特点它们的边、角有什么特点? ?正多边形的定义正多边形的定义: :在平面内在平面内, ,每个内角都相等、每条边也都相每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形等的多边形叫做正多边形. .(2)(2)议一议议一议: :一个多边形的边都相等一个多边形的边都相等, ,它的内角一定都相等吗它的内角一定都相等吗? ?一个多边形的内角都相等一个多边形的内角

7、都相等, ,它的边一定都相等吗它的边一定都相等吗? ?(3)(3)练一练练一练: :正三角形、正四边形正三角形、正四边形( (正方形正方形) )、正五边形、正六边形、正八边、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度形的内角分别是多少度? ?正正n边形的内角是多少度边形的内角是多少度? ?一个正多边形的一个内角是一个正多边形的一个内角是150150, ,求它的边数求它的边数. .正三角形的内角为正三角形的内角为 =60.正四边形正四边形(正方形正方形)的内角为的内角为 =90.正五边形的内角为正五边形的内角为 =108.正六边形的内角为正六边形的内角为 =120.正八边形的内角为正八边形的

8、内角为 =135.(32) 1803(42) 1804(52) 1805(62) 1806(82) 1808(2) 180nn =150 ,解得解得n=12,所以这个多边形的边数为所以这个多边形的边数为12.正正n边形的内角是边形的内角是 .(2) 180nn(4)(4)议一议议一议: : 剪掉一张长方形纸片的一个角后剪掉一张长方形纸片的一个角后, ,纸片还剩几个角纸片还剩几个角? ?这个这个多边形的内角和是多少度多边形的内角和是多少度? ?与同伴交流与同伴交流. .剪的位置不同剪的位置不同, ,剩下的多边形的形状也不同剩下的多边形的形状也不同, ,多边形的内角和也不同多边形的内角和也不同,

9、,需需分类讨论分类讨论. .纸片剩下纸片剩下5 5个角时个角时, ,得到的五边形的内角和为得到的五边形的内角和为(5-2)(5-2)180180=540=540. .纸片剩下纸片剩下4 4个角时个角时, ,得到的四边形的内角和为得到的四边形的内角和为(4-2)(4-2)180180=360=360. .纸片剩下纸片剩下3 3个角时个角时, ,得到的三角形的内角和为得到的三角形的内角和为180180. .(教材例教材例1)如图所示如图所示,在四边形在四边形ABCD中中,A+C=180.B与与D有怎样的关系有怎样的关系?解析本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题.解解:A+B+C+D=(4-2)

10、180=360,B+D=360-(A+C)=360-180=180.这就是说这就是说,如果四边形的一组对角互补如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补那么另一组对角也互补.1.1.填空填空：(1)(1)一个一个n n边形有边形有_个顶点，个顶点，_条边，条边，_个内个内角，角，_个外角，从一个顶点出发，能引个外角，从一个顶点出发，能引_条对条对角线。角线。(2) _(2) _边形内角和是四边形内角和的边形内角和是四边形内角和的2 2倍。倍。n nn nn nn nn-3n-3六六2.一个多边形的内角和是一个多边形的内角和是720,这个多边形的边数是这个多边形的边数是 ()A.4 B.5C

11、.6D.7C3.若一个多边形增加一条边若一个多边形增加一条边,那么它的内角和那么它的内角和()A.增加增加180B.增加增加360C.减少减少360D.不变不变解析解析:(n-2+1)180-(n-2)180=180.故选故选A.A4.一个多边形的内角和为一个多边形的内角和为1440,则它是则它是边形边形.解析解析:(n-2)180=1440,解得解得n=10.故填十故填十.十解解:设这五个内角的度数分别为设这五个内角的度数分别为13x,11x,9x,7x,5x.五边形的内角和为五边形的内角和为(5-2)180=540,13x+11x+9x+7x+5x=540.解得解得x=12.最大角为最大角为13x=156,最小角为最小角为5x=60.5.已知一个五边形的五个内角的度数的比是已知一个五边形的五个内角的度数的比是13 11 9 7 5,求这五个内角中的最大角和最小角求这五个内角中的最大角和最小角.解析解析:设这五个内角的度数分别为设这五个内角的度数分别为13x,11x,9x,7x,5x,再再根据五边形的内角和为根据五边形的